【名校试题】全国100所名校最新高考模拟示范卷高三文科数学模拟测试试题(一)(原卷版)
【名校试题】2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(一)试题(解析版)
100所名校高考模拟金典卷·数学（一）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A. {|22}x x -<< B. {|24}x x -≤≤ C. {|22}x x -≤≤ D. {|24}x x -<≤【答案】B 【解析】 【分析】直接利用并集的定义计算即可.【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】C 【解析】 【分析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模计算的公式计算即可.【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题. 3.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A. 36.5 B. 30C. 33D. 27【答案】D 【解析】 【分析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4.已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A. 3 B. 7C. 7-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题. 5.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6.已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A.B.C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由(2)0a a b ⋅-=r r r ，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r， 即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r，所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r ==故选：A【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.7.已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点()1,2对称B. 关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于点()3,3对称 D. 关于点()1,3对称【答案】B 【解析】 【分析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到.【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.9.函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D.【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.163πB.3π C.29π D.169π【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A. 2sin 2x - B. 2sin2xC. 2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D. 2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ，所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12.如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A.2 B.21 C. 2D.21【答案】D 【解析】 【分析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可.【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R . 四棱锥的体积112223323P ABCD ABCD V S PD -=⨯⨯==W ， 四棱锥的表面积S 2112222222242222PAD PAB ABCDS S S =++=⨯+⨯⨯=+V V W ， 因13P ABCD V S -=⨯R ⨯，所以32212142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344zy x=-，易知截距越小，z越大，平移直线34y x=，可知当目标函数经过点A时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 14.曲线()e 43x f x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________. 【答案】52y x =- 【解析】 【分析】直接利用导数的几何意义计算即可.【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +-- 【解析】 【分析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可.【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--， 又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +--【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16.已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】 【解析】 【分析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意. 因为b a >，所以22211b e a=->，所以e >3.e <≤故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,856[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】 【分析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18.在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c+的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】 【分析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）. （2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===213213sin ,sin 33a A c C ∴==， 213(sin sin )3a c A C ∴+=+ 213[sin sin()]3A AB =++ 21321313sin sin sin sin cos 3233A A A A A π⎡⎤⎡⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦213sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()213a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.19.在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -3时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可．【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=222a a ⎛+ ⎝⎭= ,'2a OD =因为1'3V S OD =⨯⨯==所以2a =．【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△化简即可解决. 【详解】(1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△，1m ≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 21.设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x-=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】 【分析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，构造函数()211ln 1h a a a a =++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->． ∴()211ln 10h a a a a =++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】 【分析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决.【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为2212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23.已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x -＃；（2）[7,3]-【解析】 【分析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立， ∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷(文科)(2月份)
2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷（文科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|2x﹣3＜0}，，则A∩B＝（）A．B．C．D．2．（5分）已知复数，则z•＝（）A．2B．8C．D．133．（5分）直线y＝x绕原点逆时针方向旋转后与双曲线C：的渐近线重合，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．44．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若，则a5＝（）A．2B．4C．2D．5．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值是（）A．4B．3C．﹣2D．﹣6．（5分）某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备从3名男生、2名女生中随机选2人发言，则既有男生发言又有女生发言的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知变量x，y的关系可以用模型y＝ce kx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据下：x16171819z50344131由上表可得线性回归方程，则c＝（）A．﹣4B．e﹣4C．109D．e1098．（5分）已知f（k）＝k cos kπ（k∈N*），执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）A．s≥﹣2？B．s≥2？C．s≥3？D．s≥4？9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，过点A及C1D1中点作与直线BD平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD﹣A1B1C1D1各面交线长度之和为（）A．5B．2C．2+3D．510．（5分）已知定义在（﹣∞，+∞）上的增函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞），都有，且f（0）≠0，f（1）＝6，若2＜f（a+1）＜18，则a的取值范围是（）A．B．（﹣1，1）C．（0，2）D．（1，3）11．（5分）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：（a＞0）的蒙日圆为x2+y2＝4，a＝（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知数列{a n}满足，设数列{a n}的前n项和为S n，则S2019＝（）A．2020B．2019C．1010D．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）斜率为﹣1的直线l与的图象相切，则直线l的方程为．14．（5分）已知＝（﹣1，2），＝（1，1），若•（﹣k）＝0，则k＝．15．（5分）函数f（x）＝2sinωx（ω＞0），若存在x0∈[﹣2π，2π]，使得f（x0）＝﹣2，则ω的取值范围是．16．（5分）在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，AD＝，把该四边形沿AC折起，使得点B到达点E，且平面AEC⊥平面ACD，若点A、C、D、E都在同一个球的表面上，则该球的表面积为．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7：00﹣23：00这一时间段内顾客：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：00〜11：00，11：00〜15：00，15：00～19：00，19：00～23：00，依次记作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23]．（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）现从10月1日在该商场购买商品的顾客中随机抽取100名顾客，经统计有男顾客40人，其中10人购物时刻在[19，23]（夜晚），女顾客60人，其中50人购物时刻在[7，19）（白天），根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”？白天夜晚总计男顾客女顾客总计100附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82818．（12分）已知△ABC中，3AC tan C+AB（tan∠BAC+tan C）＝0．（1）求cos∠BAC；（2）若AC＝3，AB＝1，点D在BC边上，且∠BAD＝∠CAD，求AD的长19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中AD∥BC，DA⊥AB，AD＝2，AB＝BC＝1，CD ＝，点E为PD中点．（1）求证：CE∥平面P AB；（2）若P A⊥AD，P A＝2，∠P AB＝，求三棱锥A﹣PCD的体积．20．（12分）已知过点P（4，0）的动直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于点A，B，且（点O为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）当直线AB变动时，x轴上是否存在点Q使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由．21．（12分）已知．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若，且g（x）＝f（x）+a（lnx﹣x）+lnx有2个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），求证：．（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，a∈R）．在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝3．（1）若点A（0，4）在直线l上，求直线l的极坐标方程；（2）已知a＞0，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，若|PQ|最小值为，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知f（x）＝x2+2|x﹣1|．（1）求不等式的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+b+c＝M（a，b，c∈R），求证：．2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷（文科）（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|2x﹣3＜0}，，则A∩B＝（）A．B．C．D．【解答】解：A＝{x|2x﹣3＜0}＝（﹣∞，1.5），＝（0，），故A∩B＝（0，1.5），故选：C．2．（5分）已知复数，则z•＝（）A．2B．8C．D．13【解答】解：∵＝＝2+3i﹣i＝2+2i，∴z•＝．故选：B．3．（5分）直线y＝x绕原点逆时针方向旋转后与双曲线C：的渐近线重合，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．4【解答】解：因为直线y＝x的斜率为1，倾斜角为，由题意可得渐近线的倾斜角为＝，所以斜率为，即＝，所以离心率e＝＝＝＝2，故选：C．4．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若，则a5＝（）A．2B．4C．2D．【解答】解：根据题意，数列{a n}是等比数列，设其公比为q，若，则＝a3q2＝a5＝4；故选：B．5．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值是（）A．4B．3C．﹣2D．﹣【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：令z＝3x﹣y变形为y＝3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，由区域可知，直线经过图中D时，z取最大值；由：⇒；∴D（2，2）；∴z取最大值为：3×2﹣2＝4故选：A．6．（5分）某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备从3名男生、2名女生中随机选2人发言，则既有男生发言又有女生发言的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备从3名男生、2名女生中随机选2人发言，基本事件总数n＝＝10，既有男生发言又有女生发言包含的基本事件个数m＝＝6，∴既有男生发言又有女生发言的概率p＝．故选：C．7．（5分）已知变量x，y的关系可以用模型y＝ce kx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据下：x16171819z50344131由上表可得线性回归方程，则c＝（）A．﹣4B．e﹣4C．109D．e109【解答】解：＝17.5，＝39．代入，得39＝﹣4×，则．∴，由y＝ce kx，得lny＝ln（ce kx）＝lnc+lne kx＝lnc+kx，令z＝lny，则z＝lnc+kx，∴lnc＝109，则c＝e109．故选：D．8．（5分）已知f（k）＝k cos kπ（k∈N*），执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）A．s≥﹣2？B．s≥2？C．s≥3？D．s≥4？【解答】解：已知f（k）＝k cos kπ（k∈N*），执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则计算有f（1）＝cosπ＝﹣1，f（2）＝2cos2π＝2，f（3）＝3cos3π＝﹣3，f（4）＝4cos kπ＝4，首先k＝1，s＝1，s＝s+f（k），第一次执行循环体，k＝1，S＝0，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，k＝2，S＝2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体，k＝3，S＝﹣1，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体，k＝4，S＝3，满足退出循环的条件；若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是s≥3？故选：C．9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，过点A及C1D1中点作与直线BD平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD﹣A1B1C1D1各面交线长度之和为（）A．5B．2C．2+3D．5【解答】解：如图，G为B1C1的中点，则FG∥B1D1∥BD，得平面AEFGK∥BD，由△GC1F≌△HD1F及△HD1E∽△ADE，可得，则，DE＝，求得，FE＝GK＝，AE＝AK＝．∴平面α与该正方体ABCD﹣A1B1C1D1各面交线长度之和为．故选：B．10．（5分）已知定义在（﹣∞，+∞）上的增函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞），都有，且f（0）≠0，f（1）＝6，若2＜f（a+1）＜18，则a的取值范围是（）A．B．（﹣1，1）C．（0，2）D．（1，3）【解答】解：根据题意，函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞），都有，若x1＝x2＝1，则有f（2）＝f（1）×f（1）＝18，若x1＝1，x2＝0，则有f（1）＝f（1）×f（0），变形可得f（0）＝2，若2＜f（a+1）＜18，即f（0）＜f（a+1）＜f（2），又由函数f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，则有0＜a+1＜2，解可得：﹣1＜a＜1，即a的取值范围为（﹣1，1）；故选：B．11．（5分）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：（a＞0）的蒙日圆为x2+y2＝4，a＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上找两个特殊点分别为（0，），（，0），则两条切线分别是x＝，y＝，则两条直线的交点为P（，），而P在蒙日圆上，所以（）2+（）2＝4，解得a＝1，故选：A．12．（5分）已知数列{a n}满足，设数列{a n}的前n项和为S n，则S2019＝（）A．2020B．2019C．1010D．0【解答】解：由题意，可构造数列{b n}：令b n＝，则可得数列{b n}：﹣1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，1，…即数列{b n}是最小正周期为4的周期数列．∴数列{a n}：﹣1，﹣2，3，4，﹣5，﹣6，7，8，…∴S2020＝a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+…+a2017+a2018+a2019+a2020＝（﹣1﹣2+3+4）+（﹣5﹣6+7+8）+…+（﹣2017﹣2018+2019+2020）＝4×504＝2020，∴S2019＝S2020﹣a2020＝2020﹣2020＝0．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）斜率为﹣1的直线l与的图象相切，则直线l的方程为3x+3y+1＝0．【解答】解：设切点坐标为（x0，y0），由，得f′（x）＝x2+2x，则，即x0＝﹣1，则．∴直线l的方程为y﹣，即3x+3y+1＝0．故答案为：3x+3y+1＝0．14．（5分）已知＝（﹣1，2），＝（1，1），若•（﹣k）＝0，则k＝5．【解答】解：．∵•（﹣k）＝0，∴（﹣1）×（﹣1﹣k）+2（2﹣k）＝0．∴k＝5．故答案为：5．15．（5分）函数f（x）＝2sinωx（ω＞0），若存在x0∈[﹣2π，2π]，使得f（x0）＝﹣2，则ω的取值范围是[，+∞）．【解答】解：函数f（x）＝2sinωx（ω＞0），当x∈[﹣2π，2π]时，ωx∈[﹣2ωπ，2ωπ]；令﹣2ωπ≤﹣，解得ω≥，此时存在x0∈[﹣2π，2π]，使得f（x0）＝﹣2，所以ω的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．16．（5分）在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，AD＝，把该四边形沿AC折起，使得点B到达点E，且平面AEC⊥平面ACD，若点A、C、D、E都在同一个球的表面上，则该球的表面积为3π．【解答】解：如图，由AB＝AC＝1，BC＝AD＝，得AB⊥AC，即EA⊥AC，又平面AEC⊥平面ACD，平面AEC∩平面ACD＝AC，∴EA⊥平面ACD，底面ACD为等腰直角三角形，过AD的中点作底面ACD的垂线，交DE于O，则O为三棱锥E﹣ACD外接球的球心，则外接球的半径R＝DE＝．∴球O的表面积为S＝．故答案为：3π．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7：00﹣23：00这一时间段内顾客：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：00〜11：00，11：00〜15：00，15：00～19：00，19：00～23：00，依次记作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23]．（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）现从10月1日在该商场购买商品的顾客中随机抽取100名顾客，经统计有男顾客40人，其中10人购物时刻在[19，23]（夜晚），女顾客60人，其中50人购物时刻在[7，19）（白天），根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”？白天夜晚总计男顾客女顾客总计100附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【解答】解：（1）设中位数为m，则0.025×4+0.075×4+0.100×（m﹣15）＝0.5，解得m＝16．平均值＝0.025×4×9+0.075×4×13+0.100×4×17+0.050×4×21＝15.8；（2）2×2列联表如图：白天夜晚总计男顾客301040女顾客501060总计8020100（2）K2的观测值k＝≈1.302＜2.706．∴没有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”．18．（12分）已知△ABC中，3AC tan C+AB（tan∠BAC+tan C）＝0．（1）求cos∠BAC；（2）若AC＝3，AB＝1，点D在BC边上，且∠BAD＝∠CAD，求AD的长【解答】解：（1）△ABC中，∵3AC tan C+AB（tan∠BAC+tan C）＝0，∴由正弦定理得（3sin B+sin C）•+＝0，由0＜C＜π，sin C≠0，得：（3sin B+sin C）cos∠BAC+sin∠BAC cos C＝0，整理，得：3sin B cos∠BAC+sin C cos∠BAC+sin∠BAC cos C＝0，∴3sin B cos∠BAC+sin（∠BAC+C）＝0，∴3sin B cos∠BAC+sin B＝0，∵0＜B＜π，sin B≠0，∴cos．（2）由cos∠BAC＝﹣，得sin∠BAC＝，由∠BAD＝∠CAD，得sin∠BAD＝sin∠CAD＝＝＝，由S△ABC＝S△BAD+S△CAD，得：＝+，整理，得2＝AD+，解得AD＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中AD∥BC，DA⊥AB，AD＝2，AB＝BC＝1，CD ＝，点E为PD中点．（1）求证：CE∥平面P AB；（2）若P A⊥AD，P A＝2，∠P AB＝，求三棱锥A﹣PCD的体积．【解答】（1）证明：作EF⊥AP于F，点E为PD中点．所以F为AP的中点，所以，所以EF BC，所以四边形EFBC是平行四边形，所以CE∥BF，BF⊂平面P AB，CE⊄平面P AB，所以CE∥平面P AB．（2）解：P A⊥AD，DA⊥AB，所以AD⊥平面P AB，P A＝2，∠P AB＝，所以P到平面ACD的距离为：＝，AD＝2，AB＝BC＝1，CD＝，所以三角形ACD的面积为：＝1，三棱锥A﹣PCD的体积为：＝．20．（12分）已知过点P（4，0）的动直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于点A，B，且（点O为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）当直线AB变动时，x轴上是否存在点Q使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设过点P（4，0）的动直线为x＝my+4，代入抛物线y2＝2px，可得y2﹣2pmy﹣8p＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1y2＝﹣8p，由可得x1x2+y1y2＝+y1y2＝16﹣8p＝0，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（2）当直线AB变动时，x轴上假设存在点Q（t，0）使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，由角平分线的判定定理可得QP为∠AQB的角平分线，即有k AQ+k BQ＝0，由（1）可得y1y2＝﹣8p，y1+y2＝2pm，则k AQ+k BQ＝+＝+＝0，化为2my1y2+（4﹣t）（y1+y2）＝0，即为﹣16mp+2pm（4﹣t）＝0，化简可得t＝﹣4，则x轴上存在点Q（﹣4，0），使得点P到直线AQ，BQ的距离相等．21．（12分）已知．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若，且g（x）＝f（x）+a（lnx﹣x）+lnx有2个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），求证：．【解答】解：（1），求导，，①当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上可知，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明：①方法一：因为g（x）＝f（x）+a（lnx﹣x）+lnx＝，所以，g（x）有2个不同的极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个根，由，得△＝a2﹣4＞0，且x1+x2＝a，x1x2＝1，结合0＜x1＜x2，可得0＜x1＜1＜x2，由x1+x2＝＝a＜，得，所以，解法二：因为g（x）＝f（x）+a（lnx﹣x）+lnx＝，所以，g（x）有2个不同的极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个根，由，得△＝a2﹣4＞0，且x1+x2＝a，x1x2＝1，结合0＜x1＜x2，可得0＜x1＜1＜x2，设m（x）＝x2﹣ax+1＝0，因为，m（1）＝2﹣a＜0，由零点存在定理得；②＝＝＝，设，，求导，＝，，故y＝h（t）在单调递减，，所以..（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，a∈R）．在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝3．（1）若点A（0，4）在直线l上，求直线l的极坐标方程；（2）已知a＞0，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，若|PQ|最小值为，求a的值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为，（t为参数，a∈R）．转换为直角坐标方程为，由于点A（0，4）在直线l上，所以，解得a＝2．即：x+，转换为极坐标方程为．（2）曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝3．转换为直角坐标方程为．设点Q（），点Q到直线的距离d＝，由于a＞0，所以＝，解得a＝或0（0舍去）．故a＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知f（x）＝x2+2|x﹣1|．（1）求不等式的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+b+c＝M（a，b，c∈R），求证：．【解答】解：（1）当x＜0时，等价于x2+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式显然成立；当0＜x≤1时，等价于，此时不等组的解集为∅，当x＞1时，等价于，∴，综上，不等式的解集为．（2）当x≥1时，f（x）＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3；当x＝1时，f（x）取得最小值为1；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞1，∴f（x）最小值为1，∴a+b+c＝M＝1，∵，∴，同理，∴．。
2023金太阳全国100所名校最新高考模拟示范卷数学参考答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）参考答案1．【答案】B 【命题意图】本题考查复数的四则运算，要求考生掌握复数代数表示式的四则运算． 【解析】i(1i)i 111i 1i+-==---． 2．【答案】D【命题意图】本题考查集合的运算，要求考生理解两个集合的交集的含义，能求两个集合的交集． 【解析】因为{|22,}{0,1,2}x B y y x x A ==-∈=，所以{0,1,2}A B = ．3．【答案】A 【命题意图】本题考查向量的数量积，要求考生会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，能用坐标表示平面向量的数量积．【解析】2(1,2)(4,2)(3,4)a b -=--=-- ，(2)1(3)(2)(4)5a a b ∴⋅-=⨯-+-⨯-=．4．【答案】C 【命题意图】本题考查椭圆，要求考生掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 【解析】依题意，甲：5a =．乙：4b =．丙：45c a =．丁：8a c +=．可知甲、乙、丁为真命题，丙为假命题． 5．【答案】B【命题意图】本题考查圆柱与球的表面积，要求考生认识圆柱与球及简单组合体的结构特征，知道球与圆柱的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．【解析】由题意得222408122R -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得20cm R =，20164cm h =-=，所以两个球冠的表面积之和为224320cm ππS Rh ==，灯笼中间球面的表面积为2243201280cm R πππ-=．因为上下两个圆柱的侧面积之和为22244192cm ππ⨯⨯=，所以围成该灯笼所需布料的面积为212801921472cm πππ+=． 6．【答案】D【命题意图】本题以泊松分布为情境，考查离散型随机变量的概率分布，要求考生理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．主要考查考生获取信息、运用所学知识解决问题的能力，体现了逻辑推理与数学运算的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求． 【解析】由题可知(2)(3)P X P X ===，即232e 6e λλλλ=，解得3λ=，故33()e (0,1,2,)!k P X k k k -=== ，13333(1)e 1!eP X -===，故两个站台各有1个乘客候车的概率为23639e eP ⎛⎫== ⎪⎝⎭．7．【答案】C【命题意图】本题考查比较大小，要求考生知道两个数比较大小的常用方法，会利用构造法比较大小． 【解析】令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x-'=，当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为2e >73e >>， 所以2(e )(7)(3)f f f <<，22ln e ln 7ln 3e 73<<，即22ln 7ln 3e 73<<，故b c a <<． 8．【答案】C【命题意图】本题考查二面角的最值，要求考生能解决平面与平面的夹角的计算问题．【解析】如图，平面1D MN 平面ABCD PN =，过点D 作DG PN ⊥，垂足为G ，连接1D G ，则1D GD ∠即为平面1D MN 与平面ABCD 所成的锐二面角， 1tan D GD ∠=1D DDG，当DG 最大时，1D GD ∠最小，不妨设4AB =，因为5DG DN ===≤，所以4tan 5θ=，cos θ=． 9．【答案】ABC【命题意图】本题考查异面直线的夹角，要求考生在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．【解析】对于A ：因为SD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以SD AB ⊥， 因为ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥，因为SD AD D = ，,SD AD ⊂平面SAD ， 所以AB ⊥平面SAD ，因为SA ⊂平面SAD ，所以AB SA ⊥，故A 项正确；对于B ：因为,SD AC AC BD ⊥⊥，因为SD BD D = ，,SD BD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，因为SB ⊂平面SBD ，所以AC SB ⊥，故B 项正确；对于C ：AD 与SB 所成的角为SBC ∠，CD 与SB 所成的角为SBA ∠，因为cos cos BC ABSBC SBA SB SB∠===∠，所以AD 与SB 所成的角等于CD 与SB 所成的角，故C 项正确； 对于D ：因为//AB CD ，所以CD SA ⊥，则DC 与SA 所成的角为90︒，因为AB 与SC 所成的角为90SCD ∠<︒，所以AB 与SC 所成的角不等于DC 与SA 所成的角，故D 项不正确． 10．【答案】BCD【命题意图】本题考查换底公式，要求考生理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．【解析】因为lg 2a =，lg 3b =，所以102a=，103b=，所以21012a b+=，A 项错误；2lg 4lg 3lg12a b +=+=，B 项正确；2lg(29)lg18a b +=⨯=，1811log 102lg18a b ==+，C 项正确；36lg 51lg 21log 5lg 362(lg 2lg 3)22aa b--===++，D 项正确． 11．【答案】ABC【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质，理解数形结合的思想．【解析】对于A ：由题意知(1,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0， 设其方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，216(1)0k ∆=+>，故21222(2)k x x k ++=，121x x =， 则122424x x kAF BF =++=++，1212122244(1)(1)11214x x x x x x k k AF BF =++=+++=+++=+⋅，所以AF BF AF BF +=⋅，故A 项正确．对于B ：过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，因为(1,0)K -，所以11tan 1y AKF x ∠=+， 111cos cos sin 21y y MQF MFQ AFD AF x ⎛⎫∠=-∠=∠== ⎪+⎝⎭，所以tan cos AKF MQF ∠=∠，故B 项正确．对于C ：因为1222y y k +=，所以M 点的纵坐标为2k ，故21,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212NFk k k==--，1NF AB k k =-⋅，故NF AB ⊥，故//NF MQ ，故C 项正确．对于D ：2111212122224()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩，则121212042y y k x x y y y -===-+，所以MQ 的方程为000()2y y y x x -=--，令0y =，得0000()22yy x x x x -=--⇒=+，所以0(2,0)Q x +，所以00211FQ x x =+-=+，所以1202222AB x x x FQ =++=+=，故D 项错误．12．【答案】ABC【命题意图】本题考查抽象函数的性质，要求考生理解函数的奇偶性与周期性的含义． 【解析】令1x =，可得(1)(3)40f f -+=，所以(3)5f =，A 项正确； 令2x =，可得(0)(4)80f f -+=，因为(0)0f =，所以(4)8f =，B 项正确； 设()()2g x f x x =-，则()g x 为R 上的奇函数，又因为(2)(2)40f x f x x --++=，所以(2)2(2)(2)2(2)f x x f x x ---=+-+，则(2)(2)g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，因为(4)()()g x g x g x +=-=-，(8)(4)()g x g x g x +=-+=，所以()g x 的一个周期为8，因为(2023)(1)(1)1,(2023)(2023)220231g g g g f =-=-==-⨯=，所以(2023)4047f =，C 项正确；因为(2024)(0)0g g ==，则(2024)220240,(2024)4048f f -⨯==，D 项错误．13．【答案】160-【命题意图】本题考查二项式定理，要求考生会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【解析】因为62x ⎛ ⎝的展开式的通项为36662166C (2)(1)C 2rr r r r r r r T x x---+⎛==- ⎝， 所以第四项的系数为3336(1)C 2160-=-．14．【答案】223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭【命题意图】本题考查圆的方程，要求考生掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 【解析】设圆心坐标为(,2)a a ，可得2(2)110a +=，解得32a =±，所以圆心坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故圆的标准方程为223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．15．【答案】53【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数sin()ωϕy A x =+中各参数对图象的影响．【解析】因为6855ππf f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可知725πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以72()562Z ωππππk k +=+∈，解得510()217Z ωk k =+∈．由图象可知862555283552ππππωππππωT T ⎧-=<=⎪⎪⎨⎪-=>=⎪⎩，可得512ω<<，所以1k =，53ω=．16．【答案】[0,e]【命题意图】本题考查函数的极值，要求考生能借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，能利用导数求某些函数的极大值、极小值，体会导数与极值的关系．【解析】()(1)(e )x f x x ax '=+-．令()e xg x ax =-，因为函数3211()e 32xf x x ax ax =--有唯一一个极值点，且(0)10g =>，所以()0g x ≥恒成立．当0a =时，符合题意；当0a <时，()e 0xg x a '=->，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，且当x →-∞时，()g x →-∞，不合题意，舍去；当0a >时，由()0g x '=，可得ln x a =，()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以min ()(ln )ln g x g a a a a ==-，由ln 0a a a -≥，解得0e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围是[0,e]． 17．【命题意图】本题考查数列的通项公式与前n 项和，要求考生掌握数列的前n 项和的求法，能运用等差数列解决相应问题．【解析】（1）当1n =时，31248a =⨯=，12a =，··························································1分 当2n ≥时，3333221232(1)n a a a a n n ++++=+ ，33332212312(1)n a a a a n n -++++=- ，·······2分 两式相减得323248n a n n n =⨯=，即2n a n =，································································4分 当1n =时，也符合上式，故2n a n =．··········································································5分 （2）因为12211122(1)21n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⨯++⎝⎭，····················································7分 所以11111111122231222n S n n n ⎛⎫=-+-++-=- ⎪++⎝⎭ ．················································10分 18．【命题意图】本题考查解三角形，要求考生能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题． 【解析】（1）因为cos cos 2cos bc A ab C ac B +=，由余弦定理可得2222222222222b c a a b c a c b bc ab acbc ab ac+-+-+-+=，·································2分 整理得2222a c b +=，································································································4分所以2a ，2b ，2c 成等差数列．····················································································5分 （2）因为sin 3sin A C =，所以3a c =．·······································································7分 又因为2222a c b +=，所以22292c c b +=，即b =．·················································9分由余弦定理可得222222955cos 2236a cbc c c B ac c c +-+-===⋅．··············································12分19．【命题意图】本题考查面面平行的性质定理与线面角，要求考生能运用面面平行的性质定理解决问题，能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【解析】（1）在1BB 上取点M ，使得11B M =，连接1A M ，延长1CC 至点N ，使得11C N =，连接MN ，1A N ，则平面1A MN 与平面α重合．············································································1分理由如下：因为1//A D BM ，且1A D BM =，所以四边形1A DBM 是平行四边形，1//A M BD ，············2分 同理可得//MN BE ，所以平面1//A MN 平面BDE ，又平面α过点1A ，且平面//α平面BDE ，(3分) 所以平面1A MN 与平面α重合，则F 为MN 与11B C 的交点．又易知11FB M FC N ≅△△，所以11FB FC =，即F 为11B C 的中点，··································4分所以1A F ===．·································································5分（2）因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，所以BA ，BC ，1BB 两两垂直．分别以BA ，BC ，1BB 的方向为x 轴、y 轴、z则(0,0,0)B ，(2,0,2)E ，(0,2,1)D ，(1,0,3)F ，·········6分所以(2,0,2)BE = ，(0,2,1)BD = ，(1,0,3)BF =，······7分设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =，则0m BE ⋅= ，0m BD ⋅= ，即22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，得(2,1,2)m =- ．···············9分 设直线BF 与平面BDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF m BF m BF mθ⋅=〈〉===⋅ ，······································11分 所以直线BF 与平面BDE ．·······················································12分 20．【命题意图】本题以二氧化碳的排放导致全球气候变暖为情境，要求考生运用所学回归分析与正态分布等必备知识解答相关问题，主要考查数学运算与数据分析的学科素养，突出综合性、应用性的考查要求．【解析】1(1)(141721273239)256x =⨯+++++=，····················································1分 1(0.20.30.50.8 1.0 1.4)0.76y =⨯+++++=，·····························································2分61126.6i i i x y ==∑==66?21.60.9970.7521.66i ix y x yr -∴==≈≈>∑，·································4分 故可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．·····································································5分（2）61621()621.6ˆ0.048450i ii ii x y xybx x ==-===-∑∑，······································································7分 ˆ0.70.048250.5a∴=-⨯=-，·····················································································8分 y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.0480.5yx =-．·····························································9分 （3）~(5,4)Z N ，1(5252)(7)0.158652P Z P Z --<+∴>==≤，···························11分∴该企业每天的二氧化碳排放量Z 超过7吨的概率为0.15865．···········································12 分 21．【命题意图】本题考查导数的几何意义与方程的根，要求考生通过函数图象直观理解导数的几何意义，能利用导数求某些函数的最大值、最小值，体会导数与最大 (小) 值的关系，掌握函数与方程的数学思想． 【解析】 （1）因为()lnx 1af xx =+-'，所以()ln f a a '=，又因为()1f a =-，所以曲线()y f x =在x a =处的切线方程为1()ln y x a a +=-，·············································································2分则1ln ln 1a ab a a -=⎧⎨=--⎩，易知1ln a a -≥，当且仅当1a =时取等号，·······································4分所以1a =，1b =-．·································································································6分 （2）当2a =时，由()f x mx =，可得(2)ln 1x x mx --=，(2)ln 1x x m x--=．令(2)ln 1()x x g x x --=，则22ln 1()x x g x x+-'=．························································8分 设函数()2ln 1h x x x =+-，易知函数()h x 为增函数，(1)0h =，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，············································································································10分 所以()g x 的最小值为(1)1g =-，故实数m 的取值范围是(1,)-+∞．···································12分 22．【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系，要求考生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质，通过圆雉曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．【解析】（1）由已知可得22b a =224a b +=，又0a >，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以双曲线C 的方程为2213x y -=．·············································································2分当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，则122x x ==，1221212()x y x y y y -=-成立； 当直线l 的斜率存在时，AF BF k k =，121222y y x x =--，整理得1221212()x y x y y y -=-．·········4分 综上所述，1221212()x y x y y y -=-成立．······································································5分 （2）设点M 的坐标为(,0)m ，222AMBM AB λ+-=．当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，不妨设A ⎛ ⎝⎭，2,B ⎛ ⎝⎭，则2221222(2)2833λm m m ⎡⎤=-+-=-+⎢⎥⎣⎦⎝⎭．当l y ⊥轴时，直线l 的方程为0y =，代入2213x y -=，得x =不妨设(A ，B ，则2222((26λm m m =++-=-． 令222228263m m m -+=-，得53m =，24269m λ=-=-．··········································7分当l 不与坐标轴垂直时，设直线l 的方程为2(x ty t =+≠，代入2213x y -=，得22(2)33ty y +-=，即22(3)410t y ty -++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12122241,33t y y y y t t +=-=--． 对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22222211221255()()133x y x y y y t λ⎛⎫⎛⎫=-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222221212222222(1)826(1)822(1)()3933(3)93(3)9t t t t t t y y y y t t t ++-=++++=-+=+--- 226222243(3)9399t t -=+=-+=--．·················································································11分 综上所述，存在定点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得222AMBM AB +-为定值49-．····························12分。
2023高考数学模拟卷(一)(含答案解析)
9.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与抛物线交于 两点，若 ，则
A B.8C.16D.
10.已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当 ，且 时， ，则
A. B.-1C.1D.
11.下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为
20.已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 .不过原点的直线 与椭圆 相交于 两点，设直线 ，直线 ，直线 的斜率分别为 ，且 成等比数列.
（1）求 的值；
（2）若点 在椭圆 上，满足 直线 是否存在？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
21.已程 的两个实数根为 ，求证： ；
设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1，|NF|=dN=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．
∵ ，
∴ ，即 ，∴ .
∴ ,∴直线AB的斜率为 ，
∵F（1，0），∴直线PF的方程为y= （x﹣1），
将y= （x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，
A. B. C. D.
6.已知 展开式中 的系数为0，则正实数
A.1B. C. D.2
7.已知数列 的前 项和 ，若 ，则
A. B.
C. D.
8.如图是正四面体的平面展开图， 分别是 的中点，在这个正四面体中：① 与 平行；② 与 为异面直线；③ 与 成60°角；④ 与 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（）
2021年全国100所名校高考数学冲刺试卷(文科)(样卷一)(附答案详解)
2021年全国100所名校高考数学冲刺试卷（文科）（样卷一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·模拟题)已知集合A={x|1<x<3}，B⊆N∗，且A∩B≠⌀，则下列结论中一定正确的是()A. 1∈AB. 2∈BC. B={2}D. (∁R A)∩B=⌀2.(2021·全国·模拟题)设复数z满足(1−2i)z=4+2i，则z−=()A. 3iB. −3iC. 2iD. −2i3.(2021·全国·模拟题)为达成“碳达峰、碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段.太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是()A. 2013～2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减B. 2013～2020年，年光伏发电量与年份成负相关C. 2013～2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值D. 2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关4.(2021·全国·模拟题)已知α为第四象限角，cos2α=−13，则sinα=()A. −√33B. −√63C. −√23D. −235.(2021·全国·模拟题)设向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(m,1)，若<a⃗，b⃗ >=π3，则实数m=()A. −√33B. −√32C. √33D. √326.(2021·全国·模拟题)已知F1，F2是椭圆E：x24+y2=1的左、右焦点，P是E上在第一象限内一点，F1关于直线PF2的对称点为A，F2关于直线PF1的对称点为B，则|AB|的最大值为()A. 4√2B. 5C. 92D. 47.(2021·全国·模拟题)已知定义在R上的奇函数f(x)的部分图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则()A. f(2)=−1B. f(1)⋅f(2)<4C. f′(1)⋅f′(2)<0D. 方程f′(x)=0无解8.(2021·全国·模拟题)执行如图的程序框图，若输入a=1，i=1，输出a=10，则在空白框中可以填入()A. i>18B. i>19C. i>20D. i>219.(2021·全国·模拟题)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 19π2B. 38π3C. 19πD. 38π10.(2021·全国·模拟题)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c，A是C的右顶点，在C的一条渐近线上存在M，N两点，使得|AM|=|AN|=c，且∠MAN= 120°，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|sin(13x −π3)|+|cos(13x −π3)|，现有下列四个结论：①函数f(x)的一个周期为3π2； ②函数f(x)在[−π4,π2]上单调递增； ③直线x =−5π4是函数f(x)图象的一条对称轴；④函数f(x)的值域为[1,√2]． 所有正确结论的序号是( )A. ①②④B. ①③C. ①③④D. ②④12. (2021·全国·模拟题)已知2a =lnb =e c =log 2d ，则( )A. log 2(b −d)>e a−cB. e a+b >e c+dC. ln|a −c|<2b−d (a ≠c)D. (12)b+c <(12)a+d二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·全国·模拟题)设函数f(x)={−2x −m,x <0x 2−1,x ≥0，若f(f(−2))=8，则实数m =______ ．14. (2021·全国·模拟题)在△ABC 中，BC =2，∠ABC =π6，△ABC 的面积为2√33，则AC =______ ．15. (2021·全国·模拟题)已知圆C ：x 2+y 2−6x −4√7y +21=0，过点P(m,0)作圆C的切线，切点分别为A ，B ，若点C 始终在以线段AB 为直径的圆外，则实数m 的取值范围为______ ．16. (2021·全国·模拟题)2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱ABC −A 1B 1C 1为一“堑堵”，P 是BB 1的中点，AA 1=AC =BC =2，则在过点P 且与AC 1平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于______ ，该“堑堵”的外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·全国·模拟题)设S n为数列{a n}的前n项和，已知3a n+1=a n，且S4=40，数列81 {b n}是等差数列，且a1b2=a2b5=1．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求{c n}的前n项和T n．18.(2021·全国·模拟题)“中国科学十大进展”遴选活动由科学技术部高技术研究发展中心牵头举办，旨在激励广大科技工作者的科学热情和奉献精神，开展基础研究科学普及，促进公众理解、关心和支持基础研究，在全社会营造良好的科学氛围.2021年2月，科技部高技术研究发展中心(基础研究管理中心)发布了2020年度中国科学十大进展.某校为调查本校中学生对2020年度中国科学十大进展的了解与关注情况，从该校高中年级在校生中，按高一、高二年级，高三年级分成两个年级段，随机抽取了200名学生进行调查，其中高一、高二年级共调查了120人，高三年级调查了80人，以说出10项科学进展的名称个数为标准，统计情况如下.假设以能至少说出四项科学进展的名称为成绩优秀．(1)根据频数分布表完成2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关？(2)按分层抽样的方法，在被调查且成绩优秀的学生中抽取6名同学，再在这6名同学中随机抽取4名同学组成“2020科技展”宣讲队，求至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0100.005 k0 2.706 3.841 6.6357.87919.(2021·全国·模拟题)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD和CDEF均为直角梯形，AB//CD，CF//DE，，CD=AD=DE=AE=2AB=且∠CDE=∠CDA=π22CF=4．(1)求证：BF//平面ACE，(2)求点F到平面ACE的距离．20.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=ax−lnx，a∈R．x(1)设a=1时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0．2e21.(2021·全国·模拟题)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(t,−2)在C上，且|PF|=2|OF|(O为坐标原点)．(1)求C的方程；(2)若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8．(ⅰ)设线段AB的中垂线为l，证明：l恒过定点．(ⅰ)设(ⅰ)中定点为D，当|AB|取最大值时，且P，D位于直线AB两侧时，求四边形PADB的面积．22.(2021·全国·模拟题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+t 2y=2t4+1(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin(α−θ)=2√3sin(α−π6)．(1)若α=π2，求l与C的交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)；(2)若α=π3，设M是C上的动点，求M到l的距离的最小值．23.(2021·全国·模拟题)设a，b，c为非零实数，且a2+b2+c2=3，证明：(1)|a+b+c|≤3；(2)a4b2+c2+b4a2+c2+c4a2+b2≥32．答案和解析1.【答案】B【知识点】集合的基本关系【解析】解：∵A={x|1<x<3}，B⊆N∗，且A∩B≠⌀，∴A∩B={2}，故选：B．由题意可得A∩B={2}，从而得到答案．本题考查集合的关系与运算，属于基础题．2.【答案】D【知识点】复数的四则运算=2i，【解析】解：z=4+2i1−2i∴z−=−2i．故选：D．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【知识点】众数、中位数、平均数、函数模型的应用【解析】解：A，2013～2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减，前几年递增，后面递减，故A错误；B，2013～2020年，年光伏发电量与年份成正相关，故B错误；C，由图表可以看出，每一年装机规模，集中式都比分布式大，因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故C错误；D，根据图表可知，2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，故每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确．故选：D．根据条形图中的数据逐一分析即可得出结果．本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．4.【答案】B【知识点】二倍角公式及其应用、同角三角函数的基本关系【解析】解：因为cos2α=−13=1−2sin2α，又α为第四象限角，所以sinα=−√63．故选：B．由已知利用二倍角公式即可求解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：根据题意，向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(m,1)，则|a⃗|=2，|b⃗ |=√m2+1，a⃗⋅b⃗ =m+√3，又由<a⃗，b⃗ >=π3，则cos〈a⃗,b⃗ 〉=12=√32⋅√1+m2，解可得：m=−√33．故选：A．根据题意，由向量的坐标可得|a⃗|、|b⃗ |和a⃗⋅b⃗ 的值，进而由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题．6.【答案】D【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：由题意知|PF1|=|PA|，|PF2|=|PB|，|AB|≤|PA|+|PB|=4，当且仅当A，P，B三点共线时取“=”．故选：D．利用椭圆的定义，转化求解|AB|的最大值即可．本题考查椭圆的定义，椭圆的简单性质的应用，是基础题．7.【答案】C【知识点】抽象函数【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)为奇函数，且f(−2)>2，则f(2)=−f(−2)<−2，A错误；对于B，f(x)为奇函数，且f(−1)=2，则f(1)=−2，则有f(1)f(2)>4，B错误；对于C，由所给的函数f(x)的图象，可得f′(−1)<0，f′(−2)>0，必有f′(−1)⋅f′(−2)< 0，C正确；对于D，由C的结论f′(−1)⋅f′(−2)<0，则必定存在x0∈(−2,−1)，使得f′(x0)=0，即f′(x)=0一定有解，D错误；故选：C．根据题意，依次分析选项，综合可得答案．本题考查函数的单调性与导数的关系，涉及函数的零点判定定理，属于基础题．8.【答案】A【知识点】程序框图【解析】解：根据题意知：a=2，i=3；a=3，i=5；a=4，i=7；…；a=9，i=17；a=10，i=19，因为输出a=10，所以空白框中可以填入i>18．故选：A．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出a=10时空白框中应填入的条件．本题考查了程序框图的运行问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：根据三视图知，该几何体为一圆台的一半，对应圆台的上底面半径为r=2，下底面半径为R=3，高ℎ=4，计算该几何体的体积为：V=12×π3(22+2×3+32)×4=38π3．故选：B．根据三视图得出该几何体为一圆台的一半，结合图中数据计算该几何体的体积即可．本题考查了三视图与几何体体积的计算问题，解题的关键是根据三视图还原出几何体结构特征，是基础题．10.【答案】A【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：设渐近线方程为y=ba x，则点A到渐近线的距离d=abc，又∠MAN=120°，|AM|=|AN|=c，则abc =c2，即有2ab=c2=a2+b2，所以a=b，e=√2．故选：A．设渐近线方程为y=ba x，则点A到渐近线的距离d=abc，结合∠MAN=120°，|AM|=|AN|=c，推出abc =c2，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，是中档题．11.【答案】C【知识点】命题及其关系【解析】解：根据函数f(x)=|sin(13x−π3)|+|cos(13x−π3)|，对于①；函数f(x+3π2)=|sin(13x+π2−π3)|+|cos(13x+π2−π3)|=|cos(13x−π3)|+|sin(13x−π3)|=f(x)，故①正确；因为根据函数的解析式，由于f(0)=f(π2)，所以②错误；对于③和④：令t=13x−π3，当t∈[0,π2]，即x∈[π,5π2]时，满足y=sint+cost=√2sin(t+π4)∈[1,√2]，由①知3π2是函数f(x)的一个周期，所以f(x)∈[1,√2]，f(−5π4)=|sin(−3π4)|+|cos(−3π4)|=√2，所以③④正确．故选：C ．直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用判断①②③④的结论． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.【答案】D【知识点】对数函数及其性质【解析】解：因为2a >0，所以b >d >1．若b =e ，d =2，a =c =0，则log 2(b −d)<0<e a−c ，A 项不正确；当a ≥0时，a ≥c ，b >d ，则a +b >c +d ，当a <0时，a <c <0，b >d ，不等式不一定成立，B 项不正确；当b −d →0时，c =a ⋅ln2，c −a =a(ln2−1)，当a <eln2−1时，存在|a −c|>e ，所以C 项不正确；当a <0时，a <c <0，b >d ，则b −d >a −c ，当a ≥0时，由指对函数的变化趋势，知b −d >a −c ，即b +c >a +d 恒成立，D 项正确． 故选：D ．由题意可得b >d >1，代入特殊值，利用排除法求解． 本题考查指数函数、对数函数的图象与性质，属于中档题．13.【答案】1或16【知识点】函数的性质【解析】解：∵函数f(x)={−2x −m,x <0x 2−1,x ≥0，∴f(−2)=4−m ，若4−m ≥0，则4−m =3，解得m =1； 若4−m <0，则m −8=8，解得m =16． 故m 的值为8或16． 故答案为：8或16．由条件得到f(−2)=4−m ，若4−m ≥0，则4−m =3，若4−m <0，则m −8=8，由此能求出m 的值．本题考查分段函数求值，函数性质等基础知识，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，是基础题．14.【答案】2√33【知识点】正弦定理【解析】解：因为S△ABC=12AB⋅BC⋅sinπ6=2√33，BC=2，所以AB=4√33，由余弦定理得AC2=4+163−2×2×4√33×√32=43，所以AC=2√33．故答案为：2√33．由已知利用三角形的面积公式可求AB的值，进而根据余弦定理即可求解AC的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】(1,5)【知识点】圆的切线方程【解析】解：由题意知∠ACB<π2，且P、A、C、B四点共圆，所以可得∠APB>π2，即|AC|>|PA|；如图所示：又圆C：x2+y2−6x−4√7y+21=0，可化为(x−3)2+(y−2√7)2=16，圆心为C(3,2√7)，半径为|AC|=4，计算|PC|=√(m−3)2+(0−2√7)2，|PA|=√|PC|2−|AC|2，所以|PC|2<2|AC|2=32，即(m−3)2+28<32，解得1<m<5，所以实数m的取值范围是(1,5)．故答案为：(1,5)．根据题意画出图形，结合题意得出P、A、C、B四点共圆，且∠ACB<∠APB，利用点与圆以及直线与圆的位置关系列不等式求出m的取值范围．本题考查了直线与圆以及点与圆的位置关系应用问题，是中档题．16.【答案】3√3212π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：如图，取E，F，G分别为AA1，A1C1，B1C1的中点，则FG//A1B1，且FG=12A1B1，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1//BB1且AA1=BB1，因为E，P分别为AA1，BB1的中点，则A1E//B1P且A1E=B1P，所以四边形A1B1PE为平行四边形，则PE//A1B1且PE=A1B1，因为A1C1=B1C1，且F，G分别为A1C1，B1C1的中点，则EF=√A1E2+A1F2=√B1P2+B1G2=PG=√2，故四边形PEFG为等腰梯形，当E不是AA1中点时，PE不平行平面A1B1C1，则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个，取PE的中点D，连结DF，DG，因为FG=12A1B1=√2=12PE，FG//EP，且点D位PE的中点，则FG//DE且FG=DE，所以四边形DEFG为平行四边形，可得DG=EF=√2，同理可得DF=PG=√2，所以△DEF ，△PDG ，△DFG 均为等边三角形， 所以S 梯形PEFG =3×√34×(√2)2=3√32， 将三棱柱ABC −A 1B 1C 1补成正方体ACBQ −A 1C 1B 1Q 1， 则外接球的半径R =√3， 所以表面积为4πR 2=12π． 故答案为：3√32；12π． 取E ，F ，G 分别为AA 1，A 1C 1，B 1C 1的中点，分析出四边形PEFG 为等腰梯形，求出面积即可；将三棱柱补成正方体，计算外接球半径，由球的表面积公式求解即可． 本题考查了空间多面体的外接球问题，求解多面体的外接球半径的常用方法为：①补形法；②利用球的性质；③定义法，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)依题意，由3a n+1=a n ，且S 4=4081，可知a n ≠0，且a n+1a n=13， 故数列{a n }为等比数列，且公比q =13， 则S 4=a 1[1−(13)4]1−13=4081，解得a 1=13，∴a n =a 1q n−1=13×(13)n−1=(13)n ，n ∈N ∗， ∵a 1b 2=a 2b 5=1， ∴b 2=3，b 5=9，则在等差数列{b n }中，公差d =b 5−b 23=2，∴b n =3+(n −2)×2=2n −1，n ∈N ∗． (2)由(1)得，c n =a n b n =(13)n ⋅(2n −1)，则T n =1×13+3×132+5×133+⋯+(2n −1)×13n ，13T n=1×132+3×133+5×134+⋯+(2n −1)×13n+1， 两式相减，可得23T n =13+2⋅132+2⋅133+⋅⋅⋅+2⋅13n −(2n −1)⋅13n+1=13+2⋅(132+133+⋅⋅⋅+13n )−(2n −1)⋅13n+1=13+2⋅132−13n+11−13−(2n−1)⋅13n+1=23−2n+23n+1，∴T n=1−n+13n．【知识点】数列求和方法【解析】(1)依题意根据已知条件判断出数列{a n}为等比数列并计算出公比，再根据等比数列的求和公式计算出首项a1的值，即可计算出数列{a n}的通项公式，再代入a1b2= a2b5=1可计算出b2、b5的值，从而进一步计算出数列{b n}的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{c n}的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和T n．本题主要考查等差、等比数列的基本量的运算，以及运用错位相减法求前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)由题意，2×2列联表如下：∵K2=200(90×30−30×50)2120×80×140×60=257≈3.571<3.841，所以没有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关．(2)被调查且成绩优秀的学生有60名，分层抽样抽取6名同学，则从高一、高二年级抽取了3名同学，从高三年级抽取了3名同学，设至少有2名高三年级的同学入选为事件A，∵基本事件总数为C64=15，事件A包含的基本事件数为C32⋅C32+C33C31=12，∴p(A)=1215=45．∴至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率为45．【知识点】独立性检验、离散型随机变量及其分布列【解析】(1)完成列联表，再利用公式求出K2值，从而查表可得．(2求出基本事件总数和事件A包含的基本事件数，从而可求概率．本题考查了独立性检验的应用问题，古典概型的概率求法，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取DE中点G，连接FG交CE于点H，连接AH，∵CF//DG，且DG=CF，∴四边形CDGF是平行四边形，∴GF//DC，H为GF中点，又∵AB//CD，且CD=2AB，∴AB//HF，且AB=HF，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF//AH，又BF⊄平面ACE，AH⊂平面ACE，∴BF//平面ACE．(2)解：∵BF//平面ACE，∴点F到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，取AD中点O，连接OE，∵DE=AE，∴OE⊥AD，∵∠CDE=∠CDA=π2，∴CD⊥AD，CD⊥DE，DE∩AD=D，DE，AD⊂平面ADE，∴CD⊥平面ADE，又OE⊂平面ADE，∴CD⊥OE，又AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∵DE=AE=AD=4，∴OE=2√3，∵CD=AD=2AB=4，∴S△ABC=4，∵CE=AC=4√2，AE=4，∴S△ACE=4√7，设点B到平面ACE的距离为h，由等体积法，V E−ABC=V B−ACE，则13S△ABC⋅OE=13S△ACE⋅ℎ，故ℎ=2√217，所以点F到平面ACE的距离为2√217．【知识点】线面平行的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】(1)取DE中点G，连接FG交CE于点H，连接AH，证明四边形CDGF和ABFH 是平行四边形，从而可得BF//AH，由线面平行的判定定理证明即可；(2)取AD中点O，连接OE，设点B到平面ACE的距离为h，利用等体积法求解h，利用线面平行的性质可知，点F到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，即可得到答案．本题考查了线面平行的判定以及点到面距离的求法，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x−lnxx ，f′(x)=1−1−lnxx2，f′(e)=1，f(e)=e−1e，则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为x−y−1e=0．(2)当a≥12e 时，f(x)≥12ex−lnxx，设g(x)=12e x−lnxx，g′(x)=12ex2+lnx−1x2，设ℎ(x)=12ex2+lnx−1，知其在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(√e)=0，当0<x<√e时，g′(x)<0；当x>√e时，g′(x)>0．所以函数g(x)在(0,√e)上单调递减，在(√e,+∞)上单调递增，g(x)≥g(√e)=0，即f(x)≥0．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，计算f(e)，f′(e)，求出切线方程即可；(2)根据a≥12e 时，得到f(x)≥12ex−lnxx，设g(x)=12ex−lnxx，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意得{t+p2=2×p24=2pt，解得{p=2t=1，所以C的标准方程为y2=4x．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1+x2=8．(ⅰ)证明：设AB中点为E(m,n)，则m=x1+x22=4，n=y1+y22，当x 1=x 2时，l ：y =0；当x 1≠x 2时，k AB =y 2−y1x 2−x 1=4(y 2−y &1)y 22−y 12=4y 2+y 1=2n，则k l =−n 2，l ：y −n =−n2(x −4)， 令y =0，得x =6，l 恒过定点(6,0)．(ⅰ)解：由(ⅰ)知直线AB ：y −n =2n (x −4)，即x =n2(y −n)+4， 联立方程消去x ，整理得y 2−2ny +2n 2−16=0，由△>0，得n 2<16，y 1+y 2=2n ，y 1y 2=2n 2−16，|AB|=√1+(n2)2|y 1−y 2|=√(n 2+4)(16−n 2)≤n 2+4+16−n 22=10，当n 2=6时取“=”，所以|AB|的最大值为10， 此时直线AB 的方程为2x ±√6y −2=0．对于直线2x −√6y −2=0，(2×6−√6×0−2)[2×1−√6×(−2)−2]>0， 点P ，D 在同侧，不合题意，所以取直线AB ：2x +√6y −2=0， 点P 到直线AB 的距离d 1=√6√10点D 到直线AB 的距离d 2=√10，所以S 四边形PADB =12|AB|⋅(d 1+d 2)=5√10+2√15．【知识点】抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系【解析】(1)通过点在抛物线上，以及距离关系，求解p ，t ，得到抛物线方程． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且x 1+x 2=8． (ⅰ)设AB 中点为E(m,n)，推出m =x 1+x 22=4，n =y 1+y 22，然后求解直线系方程推出l恒过定点(6,0)．(ⅰ)求出AB 的方程x =n2(y −n)+4，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式结合基本不等式求解写出的最大值，然后转化求解四边形的面积即可．本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，考查分析问题解决问题的能力，是难题．22.【答案】解：(1)由α=π2，得ρcosθ=3，即x =3，代入C ：{x =2+t 2y =2t 4+1中，得t 2=1，即{x =3y =3， 所以交点的极坐标为(3√2,π4)．(2)将ρsin(α−θ)=2√3sin(α−π6)展开，代入{x =ρcosθy =ρsinθ，得sinα(x −3)=cosα(y −√3)，直线过定点(3,√3)， 因为α=π3，所以l ：y =√3x −2√3，将C 的参数方程代入， 因为2t 4+1=√3t 2无解，所以l 与C 没有交点． 设M(a,b)，d =|√3a−b−2√3|2=|√3t 2−2t 4−1|2，所以当t 2=√34时，d min =516．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)求出直线l 的普通方程，代入曲线的参数方程，求解焦点坐标即可． (2)化简直线的极坐标方程为普通方程，判断直线与曲线没有交点，利用点到直线的距离公式，得到关系式，然后求解最小值即可．本题考查极坐标与参数方程的应用，参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式的求法，是中档题．23.【答案】证明：(1)因为(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac)≤3(a 2+b 2+c 2)=9，所以|a +b +c|≤3，当且仅当a =b =c =±1时取“=”． (2)a 4b 2+c 2+b 2+c 24≥a 2，当且仅当2a 2=b 2+c 2时取“=”，同理可得b 4a 2+c 2+a 2+c 24≥b 2，当且仅当2b 2=a 2+c 2时取“=”，c 4b 2+a 2+b 2+a 24≥c 2，当且仅当2c 2=a 2+b 2时取“=”，所以a 4b 2+c 2+b 4a 2+c 2+c 4a 2+b 2≥a 2+b 2+c 22=32，当且仅当a 2=b 2=c 2=1时取“=”．【知识点】证明不等式的基本方法【解析】(1)通过(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac)利用基本不等式证明即可． (2)利用a 4b 2+c 2+b 2+c 24≥a 2，b4a 2+c 2+a 2+c 24≥b 2，c 4b 2+a 2+b 2+a 24≥c 2，相加，即可推出结果．本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(一)试题(word无答案)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学（一）试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知是实数，是纯虚数，则复数的模等于（）A．B．C．D．(★) 3 . 某产品的宣传费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表所示：宣传费用（万4235元）销售额（万元）252450根据上表可得回归方程，则宣传费用为3万元时销售额为（）A．36.5B．30C．33D．27(★) 4 . 已知在等差数列中，，则（）A．B．C．D．(★) 5 . 已知抛物线的准线与圆相切，则实数的值为（）A．8B．7C．6D．5(★) 6 . 已知平面向量，满足，，，则（）A．B．C．D．(★★) 7 . 已知定义在上的函数，对于任意的，总有成立，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于点对称(★★) 8 . 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生(★) 9 . 函数的图象可能是（）A．B．C．D．(★★) 10 . 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．(★★) 11 . 已知函数的图象上存在两点，的最小值为，再将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 如图所示，在棱锥中，底面是正方形，边长为，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 设实数，满足约束条件，则的最大值是__________.(★) 14 . 曲线在点处的切线方程为__________.(★★) 15 . 已知数列满足：，，则数列的前项和__________.(★★★★) 16 . 已知双曲线（）的左、右焦点分别是 、 ， 为双曲线左支上任意一点，当最大值为时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.三、解答题(★) 17 . 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组频数高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率； （2）在抽取的学生中，从成绩为 的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率.(★) 18 . 在 中，角 所对的边分别是 ，且 ， .（1）若，求的值；（2）求的最大值(★★) 19 . 在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．(★★)20 . 已知椭圆的离心率为，过右焦点作与轴垂直的直线，与椭圆的交点到轴的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），若，求四边形面积的最大值.(★★) 21 . 设函数．Ⅰ 求函数的单调区间；Ⅱ 记函数的最小值为，证明：．(★) 22 . 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线的参数方程为，（为参数）.直线与曲线交于两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程.（2）设，若成等比数列，求和的值.(★) 23 . 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2），求实数的取值范围.。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(一)文科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合M={x|x2＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N=（）A. ∅B. {x|x＞0}C. {x|x＜1}D. {x|0＜x＜1}【答案】D【解析】试题分析：根据一元二次不等式的解法，对集合M进行化简得M={x|﹣1＜x＜1}，利用数轴求出它们的交集即可．解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选D．考点：交集及其运算．2.已知复数z满足()1z i +=，则z =（ ）2i -2i +4i -4i 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据所给的等式表示出z ，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，得到最简形式． 【详解】解：()13i z i +=14i iz ∴===， 故选：D ．【点睛】本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘法运算，合并同类项，得到结果． 3.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（ ） A. x R ∃∈，2210x x -+≥B. x R ∃∈，2210x x -+>C. x R ∀∈，2210x x -+≥D. x R ∀∈，2210x x -+<【答案】C 【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，故命题20",210"x R x x ∃∈-+<的否定是“2,210x R x x ∀∈-+≥”.本题选择C 选项. 4.若3sin 5α=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. C. 10-【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解． 【详解】解：3sin 5α=， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 24cos 1sin 5αα∴=-=， ()522cos cos sin 4210πααα⎛⎫∴+=--=- ⎪⎝⎭． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 5.若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则 A. p 或q 为假B. q 真C. q 假D. 不能判断q 的真假【答案】C 【解析】 试题分析：命题“”为假，说明p 与q 中至少有一个是假命题，“”为假说明p 为真命题，所以q 为假命题.考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假. 点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用. 6.在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ） A. 40 B. 43C. 42D. 45【答案】C 【解析】∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =．∴45613345a a a a d d d++=+++＝1312a d+＝42．7.运行流程图，若输入3x=，则输出的y值为（）A. 4B. 9C. 0D. 5 【答案】A【解析】【分析】分析程序的功能是计算并输出分段函数y的值，代入对应是x的值求出y的值即可．【详解】解：分析程序的功能是计算并输出分段函数23,1,11?1,1x xy x xx x-<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩；输入3x=时，计算1314y x=+=+=；所以输出4y=．故选：A．【点睛】本题考查了利用程序框图求分段函数值的应用问题，是基础题．8.双曲线2221xya-=过点()22,1P，则双曲线的焦点是（）A. )3,0，()3,0B. )5,0，()5,0C. (3，(0,3-D. (5，(0,5-【答案】B【分析】先将点P 的坐标代入双曲线方程求出a 值，再利用双曲线的标准方程，就可求出双曲线中的a ，b 的值，根据双曲线中a ，b ，c 的关系式即可求出半焦距c 的值，判断焦点位置，就可得到焦点坐标．【详解】解： 双曲线 2221x y a-=过点 ()P ，2811a∴-=， 24a ∴=， 21b =， 2415c ∴=+=， c =又双曲线焦点在x 轴上，∴焦点坐标为 ()故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，做题时注意判断焦点位置，属于基础题．9.已知向量()2,1a =-，8a b ⋅=，35a b +=，则 b =（）B. C.D. 24【答案】C 【解析】 【分析】根据 ()2,1a =-，8a b ⋅=，对35a b +=两边平方，进行数量积的运算即可求出 b 的值． 【详解】解：()2,1,8a a b =-⋅=，35a b +=，2222()251645a b a a b b b ∴+=+⋅+=++=，224b ∴=，26b ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查了向量数量积的运算，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基10.若函数()31y x ax a R =++∈在区间()3,2--上单调递减，则a 的取值范围是 （）A. [)1,∞+B. [)2,0-C. (],3∞-- D.(],27∞--【答案】D 【解析】 【分析】由 2'30y x a =+≤在区间()3,2--上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．【详解】解：()31y x ax a R =++∈在区间 ()3,2--上单调递减，2'30y x a ∴=+≤在区间 ()3,2--上恒成立，即 23a x ≤-在区间 ()3,2--上恒成立，()2327,12x -∈--，27a ∴≤-．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题.11.甲、乙、丙三名同学在军训的实弹中射击各射击10发子弹，三人的射击成绩如表．1s ，2s ，3s 分别表示甲、乙、丙三名同学这次射击成绩的标准差，则 （）A. 312s s s >>B. 213s s s >>C. 123s s s >>D.231s s s >>【答案】A 【解析】 【分析】求出平均数，代入计算标准差即可，或者用观察法，判断估计离散情况． 【详解】解：解法一： 设123,,x x x 分别为甲，乙，丙射击成绩的平均数，1x 7283931028.510⨯+⨯+⨯+⨯==，(2222211[2(78.5)3(88.5)3(98.5)2108.5)10s ⎤=-+-+-+-⎦，1 1.05s =， 同理可得， 27184941018.510x ⨯+⨯+⨯+⨯==，20.65s =，338.5, 1.45x s ==， 或者观察法：乙的数据比较集中，方差最小，丙的数据比较离散，方差最大， 故选：A ．【点睛】本题考查了求平均数与方差和标准差的问题，是基础题． 12.如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则ABC ∆的边长是（ ）A. 23B.317221【答案】D 【解析】【详解】作高AE ，BG ，CF （如图），设AD ＝x ，则AC ＝3x ， 于是3DG x x 22x =-=，333BG 3x x ==， ∵∠BDG ＝∠CDF ， ∠BGD ＝∠CFD ＝90°， ∴Rt △BDG ∽Rt △CDF ，BG DG CF DF∴=，即33222x x DF=， 222DF 33DE 33128AD AE DE 1272728AD 2728221AC 3x 327∴=∴==+=+=∴=∴===． 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题）13.实数x ，y 满足103200x y x y x ++≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最小值等于______．【答案】125- 【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，由32z x y=+得直线3122y x z=-+，平移直线找出最优解，计算z的最小值．【详解】解：画出不等式组10320x yx yx++≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图阴影部分所示；由32z x y=+得3122y x z=-+，平移直线3122y x z=-+，则由图象可知当直线3122y x z=-+，经过点A时直线3122y x z=-+的截距最小，此时z最小，由10320x yx y++=⎧⎨-=⎩，解得23,55A⎛⎫--⎪⎝⎭，此时231232555z⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；即32z x y=+的最小值为125-．故答案为：125-．【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，根据z的几何意义，利用数形结合是解题的关键．14.已知()sin ln f x x x =+，则()1f '=______． 【答案】cos11+ 【解析】 【分析】根据导数的运算法则先求出函数的导数()f x '的解析式，再把1x =代入()f x '的解析式运算求得结果．【详解】∵函数()sin ln f x x x =+，∴()1cos f x x x'=+， ∴()1cos11f ='+，故答案为cos11+.【点睛】本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，准确求出导函数是解题的关键，属于基础题．15.已知某个几何体的三视图如上图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是.【答案】80003【解析】【详解】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥， 其底面面积S ＝20×20＝400cm2， 高h ＝20cm ，故体积318000V cm 33Sh ==， 故答案为：8000316.对于ABC ，有如下命题：()1若sin2sin2A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()2若sin sin A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()3若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 一定为钝角三角形．()4若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 一定为锐角三角形．则其中正确命题的序号是______ .(把所有正确的命题序号都填上) 【答案】()2，()3，()4 【解析】 【分析】三角形中首先想到内角和为π，每个内角都在()0，π内，然后根据每一个命题的条件进行判定【详解】()122A B =或22A B π+=，ABC ∴为等腰或直角三角形() 2正确；()3由2221sin A sin B cos C ++<可得222sin A sin B sin C +<由正弦定理可得222a b c +<再由余弦定理可得0cosC <，C 为钝角，命题()3正确()()()()4tan 11tanA tanB A B tanAtanB tanC tanAtanB +=+-=--0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ∴++=> ABC ∴全为锐角，命题()4正确故其中正确命题的序号是()2，()3，()4【点睛】本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为π，然后代入化简 三、解答题（本大题共7小题）17.设A ，B ，C 是ABC ∆的内角，已知向量(),1m sinB cosB =-，向量(1,3n =-，m n ⊥． （1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）.2⎛ ⎝ 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的性质求出 sin 32B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此能求出B ． （2）由 3B π=，得 23A C π+=， 2sin sin sin sin 36A C A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此能求出sin sin A C +的取值范围．【详解】解：（1）向量()sin ,1cos m B B =-，向量 (1,3n =-， m n ⊥，sin 0B B ∴=，得 sin 32B π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又0B π<<，4333B πππ<+<， 233B ππ∴+=， 解得3B π=；（2）由（1）知 3B π=，23A C π∴+=， 2sin sin sin sin 3A C A A π⎛⎫∴+=+- ⎪⎝⎭3sin 2A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，203A π<<， 5666A πππ<+<， 1sin ,1,62A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦sin sin A C ∴+的取值范围是 .⎝【点睛】本题考查角的大小和两角的正弦和的取值范围的求法，考查向量垂直的性质、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.试比较下面概率的大小：（1）如果以连续掷两次骰子依次得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，点P 在直线5x y +=的下面(包括直线)的概率1p ；（2）在正方形(){,|06T x y x =≤≤，06y ≤≤，x ，}y R ∈，随机地投掷点P ，求点P 落在正方形T 内直线5x y +=的下面(包括直线)的概率2p ． 【答案】12p p < 【解析】 【分析】（1）把一颗质地均匀的骰子连续掷两次，依次得到点数m 、n ，基本事件的总数为2636=，将m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5x y +=下方(包括直线)的基本事件有10种，由此能示出点P 在直线5x y +=下方的概率；（2）分别求出正方形的面积以及阴影部分的面积，根据几何概型的面积之比即可求解， 求出了12,p p ，即可得解.【详解】解：（1）把一颗质地均匀的骰子连续掷两次，基本事件的总数为6636⨯=． 由m ，{1,n ∈2，3，4，5，6}满足5m n +≤的点(),p m n 有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,2，()2,3，()3,1，()3,2，()4,1共10种．11053618p ∴==． （2）正方形的面积6636S =⨯=．直线5x y +=与0x =，0y =围成的三角形面积1255522S =⨯⨯=．2252523672p ∴==．1252025187272p p ∴==<=．故12p p <．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．19.一个多面体的三视图(正视图、侧视图、俯视图)如图所示，M ，N 分别是11B C ，1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面11ACC A ； （2）求证：MN ⊥平面1A BC ；（3）若这个多面体的六个顶点A ，B ，C ，1A ，1B ，1C 都在同一个球面上，求这个球的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）332a 【解析】 【分析】（1）根据三视图的性质，可得该几何体是直三棱柱，且AC BC ⊥，1AC BC CC ==，连接1AC ，1AB ，矩形11ABB A 中对角线1AB 的中点N 就是1A B 的中点．结合M 是11B C 的中点证出1//MN AC ，由线面平行的判定定理，证出//MN 平面11ACC A ．（2）由BC ⊥平面11ACC A ，得到1.BC AC ⊥正方形11ACC A 中可得11A C AC ⊥，结合线面垂直判定定理，证出1AC ⊥平面1A BC ，再由1//MN AC ，可得MN ⊥平面1A BC ； （3）根据三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，在矩形11ABB A 中算出可得13A B a =，从而得到13NA NB NA a ===，同理得113NC NB NC a ===，所以点N 是多面体的外接球心，得到半径3.R a =由球的体积公式，即可算出该外接球的体积． 【详解】解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC BC ⊥，1AC BC CC ==， （1）连接1AC ，1AB ，由直三棱柱的性质，得1AA ⊥平面111A B C ，111AA A B ∴⊥，可得四边形11ABB A 为矩形．由矩形的性质，得1AB 过1A B 的中点N ． 在11AB C 中，由中位线性质得1//MN AC ， 又1AC ⊂平面11ACC A MN ⊄平面11ACC A ，//MN ∴平面11ACC A（2）BC ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，1BC AC ∴⊥在正方形11ACC A 中，可得11A C AC ⊥ 又1BC A C C ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BC 又1//MN AC ，MN ∴⊥平面1A BC（3）多面体为直三棱柱，∴矩形11ABB A 中，22222211(2)3A B AA AB a a a =+=+=可得13A B a =，AN 是直角三角形斜边的中线，1NA NB NA ∴===同理可得112NC NB NC a ===N ∴是这个多面体的外接球的球心，半径2R a =，∴外接球的体积334)3.V a π==【点睛】本题给出直三棱柱的三视图，求证线面平行、线面垂直并求外接球的体积．着重考查了三角形中位线定理、线面平行垂直的判定与性质和球的体积公式等知识，属于中档题． 20.已知椭圆C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，两焦点为()1,0-，()1,0． （1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 与直线1ax by +=交于P ，Q 两点，且0(OP OQ O ⋅=为坐标原点)，求证：22a b +为定值，并求此定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，定值为712 【解析】 【分析】（1）由题意有1c =，将点A 代入椭圆方程，求出a ，b ；（2）设出P ，Q 的坐标，由0OP OQ ⋅=得12120x x y y +=，再联立方程分别求出12x x ，12y y 即可；【详解】解：（1）依题意1c =，设椭圆C 的方程为222211x y b b +=+；椭圆C 过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭得2219114b b+=+解得2233(4b b ==-舍去)， ∴椭圆C 的方程是22143x y +=；（2）证明：椭圆C 的方程可化为2234120x y +-=①设椭圆C 与直线()10ax by ab +=≠交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点， 则由0OP OQ ⋅=得12120x x y y +=② 由()10ax by ab +=≠得1a yx b b代入① 得222224843120a a x x b b b ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2122241243b x x a b-∴=+③ 同理由()10ax by ab +=≠得1b x y a a=-+代入① 得2122231243a y y a b -=+④将③④代入②得22222241231204343b a a b a b--+=++， ()()224123120b a ∴-+-=，即22712a b +=为定值． 【点睛】本题考查椭圆方程，向量的垂直条件的处理，求代数式为定值的问题，设而不求的方法的应用，属于中档题． 21.设函数322()31()f x ax bx a x a b R =+-+∈，在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．（Ⅰ）若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()f x 在(11)-，单调递减，在(1)-∞-，，(1)+∞，单调递增．（Ⅱ）b 的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 【解析】【详解】解：22()323f x ax bx a '=+-．① （Ⅰ）当1a =时，2()323f x x bx '=+-；由题意知12x x ，为方程23230x bx +-=的两根，所以123x x -=． 由122x x -=，得0b =．从而2(1)3f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-．当(11)x ∈-，时，()0f x '<；当(1)(1)x ∈-∞-⋃+∞，，时，()0f x '>． 故()f x 在(11)-，单调递减，在(1)-∞-，，(1)+∞，单调递增． （Ⅱ）由①式及题意知12x x ，为方程223230x bx a +-=的两根，所以12x x -=．从而221229(1)x x b a a -=⇔=-， 由上式及题设知01a <≤． 考虑23()99g a a a =-，22()1827273g a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎝'⎪⎭．故()g a 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在213⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，从而()g a 在(]01，的极大值为2433g ⎛⎫=⎪⎝⎭． 又()g a 在(]01，上只有一个极值，所以2433g ⎛⎫=⎪⎝⎭为()g a 在(]01，上的最大值，且最小值为(1)0g =．所以2403b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，即b 的取值范围为33⎡-⎢⎣⎦，．22.已知直线l 经过点()1,3M ，且倾斜角为3π，圆C 的参数方程为15(5x cos y sin θθθ=+⎧⎨=⎩是参数)，直线l 与圆C 交于1P ，2P 两点．（1）写出直线l 的参数方程，圆C 的普通方程； （2）求1P ，2P 两点的距离．【答案】（1）1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），22(1)25-+=x y ；（2【解析】 【分析】（1）利用221sin cos θθ+=，消去参数θ，求得C 的普通方程；再根据直线经过点()1,3P ，倾斜角3π，求出直线l 的参数方程． （2）把l 的参数方程代入圆的方程，利用根与系数的关系求得12t t ⋅以及12t t +，再由直线参数方程中参数的几何意义即可求出结论．【详解】解：（1）直线l 的参数方程为13{33x tcosy tsinππ=+=+即112{(3x tt y =+=为参数) 圆的参数方程化为普通方程得22(1)25-+=x y ． （2）直线的参数方程代入圆的普通方程得221()(3)2522t ++=；即2160t +-=；12t t +=-1216t t =-；()22121212()4(33)41691t t t t t t ∴-=+-=--⨯-=．1P ∴，2P 两点的距离为：91．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程之间的转化，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．23.是否存在实数a ，使得不等式12x x a -++<有解？若存在，求出实数a 的范围；若不存在，说明理由． 【答案】存在，3a > 【解析】 【分析】画出不等号左边的函数对应图象，结合图象即可求解． 【详解】解：存在，设()21212321211x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩； 画出其图象，；由图象可知，当3a >时，不等式12x x a -++<有解． 故存在实数3a >使得不等式12x x a -++<有解．【点睛】本题主要考查绝对值不等式解法以及数形结合思想的应用，属于基础题目．- 21 -。
全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)
全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)数学(理科)一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1.数列{}n a 是首项为2,公差为3的等差数列,数列{}n b 是首项为2-,公差为4的等差数列.若n n a b =,则n 的值为( ).A.4B.5C.6D.7 2.函数221212cos ()sin ()1y x x ππ=-++-的最小正周期为( ).A.4πB.2π C.π D.2π3.已知(10)xf x =,则(5)f =( ).A.510B.105C.lg 5D.5log 10 4.两个集合A 与B 之差记为“/A B ”,定义为/{|,}A B x x A x B =∈∉.如果集合 2{|log 1,}A x x x R =<∈,集合{||2|1,}B x x x R =-<∈,那么/A B =( ).A.{|1}x x ≤B.{|3}x x ≥C.{|12}x x ≤≤D.{|01}x x <≤ 5.设,a b R ∈,132bi ia i -+-+=,则limn n n a b a b→∞-+等于( ).A.1B.1-C. 1-或1D.不存在 6.已知球面上的四点P 、A 、B 、C ,PA 、PB 、PC 的长分别为3、4、5,且这三条线段两两 垂直,则这个球面的表面积为( ).A.B. C.50π D.200π 7.正方体1111ABCD A B C D -中,若E 为棱AB 的中点,则直线1C E 与平面11ACC A 所成角的正切值为( ).A.6B.4C.178.已知椭圆2281(0xymm +=<<的两焦点分别为1F 、2F ,点P 满足12||||PF PF +=则m =( ).21 D.29.直线0Ax By C ++=与圆224x y +=交于M 、N 两点,若满足222C A B =+,则OM ON ⋅(O 为坐标原点)等于( ).A.2-B.1-C.0D.1 10.已知方程2(1)10x a x a b +++++=的两根为12,x x ,且1201x x <<<,则b a的取值范围是( ).A.12(1,]-- B.12(1,)-- C.12(2,]-- D.12(2,)--11.五个人站在图中A 、B 、C 、D 、E 五个位置上互相传球,规定每次 只能传给相邻的人,如B 不能直接传给D 等.若开始时球在A 手中,则经ABC过四次传球后,球又回到A 手中的传法种数是( ).A.16B.32C.64D.12812.设()f n 为整数n (十进制)的各位数上的数字的平方之和,比如222(123)123=++f , 记1()()=f n f n ,1()[()](1,2,3,)+== k k f n f f n k ,则2007(2006)f 等于( ).A.20B.42C.37D.45第(Ⅱ)卷 (非选择题 共90分)二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.已知(2,1)a =- ,(1,2)b =,且||a tb +=则实数t =__________.14.已知232012(1)(1)(1)(1)++++++++=++n n n x x x x a a x a x a x ,且01126+++= n a a a ,那么二项式1n 的展开式中常数项为__________.15.过双曲线M ：221(0)y bx b -=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别交于点B 、C ,且||||AB BC =,则双曲线M 的离心率__________.16.在000,001,,999 这1000个连号中抽奖,若抽出的号码中,出现仅出现两个偶数数字则中奖,那么抽取一个号码能中奖的概率是________.三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知513sin B =,且a 、 b 、c 成等比数列.(Ⅰ)求cot cot A C +的值；(Ⅱ)若12AB BC ⋅=-,求a c +的值.18.(本小题满分12分)四个纪念币A 、B 、C 、D ,投掷时正面向上的概率如下表所示(01)<<a .纪念币 A B C D概率1212a a这四个纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的个数.(Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望；(Ⅱ)在概率()(0,1,2,3,4)ξ==P i i 中,若(2)ξ=P 的值最大,求a 的取值范围；19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成60︒的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形, 其重心为G 点.E 是线段1BC 上的一点,且113BE BC =.(Ⅰ)求证：//GE 侧面11AA B B ；(Ⅱ)求平面1B GE 与底面ABC 所成的锐二面角的大小.20.(本小题满分12分)设33()=xf x ,2323()()=-∈g x t x t t R .(Ⅰ)当8=t 时,求函数()()=-y f x g x 的单调区间；(Ⅱ)求证：当0>x 时,()()≥f x g x 对任意正实数t 成立.A1ACBEG 1B1C21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列{}n a 由11=a ,11(1,2,3,)++== nn c a a n 确定.(Ⅰ)对于一切的*∈n N ,证明：111+≤≤n c a ；(Ⅱ)若a 是满足1+=c aa 的正实数,且12||||||=-+-++- n n S a a a a a a ,证明：1<n S .22.(本小题满分14分)已知常数列0>a ,点(,0)-A a 是直角∆ABC 的直角顶点,顶点B 在定直线l ：2=a x 上移动,斜边BC 所在直线恒过定点(,0)D a .(Ⅰ)求顶点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)设P 是轨迹T 上的任一点,l 是过点P 法线(即与过P 点的切线垂直的直线),且(2,0)-M a ,(2,0)N a ,证明：直线MP 、NP 与直线l 的夹角相等.全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)数学(理科) 参考答案一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C D B C C D A D B B二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,)13.0 14.540-27200.三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知513sin B =,且a 、 b 、c 成等比数列.(Ⅰ)求cot cot A C +的值； (Ⅱ)若12AB BC ⋅=-,求a c +的值. 解：(Ⅰ)依题意,2b ac =,由正弦定理及513sin B =,得225169sin sin sin A C B ==.cos cos sin()sin 516913sin sin sin sin sin sin 13255cot cot A C A C B ACA CA CA C ++=+===⨯=.(Ⅱ)由12AB BC ⋅=- ,得cos()12ac B π-=-,即cos 12ac B =.由513sin B =,得1213cos B =±(舍负)∴213b ac ==,由余弦定理,得2121313()22a c ac ac =+--⨯,∴2()63a c +=,故a c += 18.(本小题满分12分)四个纪念币A 、B 、C 、D ,投掷时正面向上的概率如下表所示(01)<<a .纪念币 A B C D概率1212a a这四个纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的个数.(Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望；(Ⅱ)在概率()(0,1,2,3,4)ξ==P i i 中,若(2)ξ=P 的值最大,求a 的取值范围；解：(Ⅰ)()P ξ是ξ个正面向上,4ξ-个背面向上的概率.其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4.∴02022221124(0)(1)(1)(1)P C C a a ξ==--=-,10201222211112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)P C C a C C a a a ξ==⋅--+--=-,220211022222222221111122224(2)()(1)(1)(1)(1)(122)P C C a C C a a C C a a a ξ==⋅-+⋅--+-=+-,22112222221112222(3)()(1)(1)a P C C a a C C a ξ==-+⋅-=,22222221124(4)()P C C a a ξ===.∴ξ的分布列为ξ1234P214(1)a -12(1)a -214(122)a a +-2a214aξ的数学期望为2221111424240(1)1(1)2(122)3421a E a a a a a a ξ=⨯-+⨯-+⨯+-+⨯+⨯=+.(Ⅱ)∵01a <<,∴(0)(1)P P ξξ=<=,(4)(3)P P ξξ=<=.则14(2)(1)(12P P a ξξ=-==+221242)(241)0aa a a --=--+≥,2211424(2)(3)(122)(21)0aP P a a a ξξ=-==+--=--≥,由222410210a a a ⎧-+≤⎪⎨-≤⎪⎩,得222a -≤≤,即a的取值范围是222[-. 19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面 ABC 成60︒的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形, 其重心为G 点.E 是线段1BC 上的一点,且113BE BC =.(Ⅰ)求证：//GE 侧面11AA B B ；(Ⅱ)求平面1B GE 与底面ABC 所成的锐二面角的大小.解：(Ⅰ)延长1B E 交BC 于点F ,则111122BF B C BC ==,即F 为BC 的中点.∵G 为ABC ∆的重心,∴A 、G 、F 三点共线,且113FG FE FAFB ==,∴1//GE AB ,故//GE 侧面11AA B B .(Ⅱ)作1B H AB ⊥于H ,∴1B H ⊥面ABC .∵侧棱1AA 与底面ABC 成60︒的角,12AA =. ∴160B BH ∠=︒,1BH =,1B H .作H T AF ⊥于T ,连1B T ,则1BT AF ⊥,∴1B TH ∠为所求二面角的平面角.又3AH AB BH =+=,30HAT ∠=︒,∴32sin30HT AH =︒=,在A1A CBEG 1B 1C1Rt B HT ∆中,113tan B H HTB TH ∠==,故所求锐二面角的大小为3arctan.20.(本小题满分12分)设33()=xf x ,2323()()=-∈g x t x t t R .(Ⅰ)当8=t 时,求函数()()=-y f x g x 的单调区间；(Ⅱ)求证：当0>x 时,()()≥f x g x 对任意正实数t 成立. (Ⅰ)解：当8=t 时,316334xy x =-+,由240y x '=-=,得2x =±.∵当(,2)(2,x ∈-∞-+∞时, 0y '>；当(2,2)x ∈-时,0y '<,∴y 的单调增区间是(,2)-∞-,(2,)+∞；单调增区间是(2,2)-.(Ⅱ)证明：令233233()()()(0)xh x f x g x t x t x =-=-+>,则232()h x x t '=-.当0t >时,由()0h x '=,13x t =；当13(,)x t ∈+∞时,()0h x '>；当13(0,)x t ∈时,()0h x '<,∴()h x 在(0,)+∞上的最小值是1()0h t =,故当0>x 时,()()≥f x g x 对任意正实数t 成立. 21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列{}n a 由11=a ,11(1,2,3,)++== nn c a a n 确定.(Ⅰ)对于一切的*∈n N ,证明：111+≤≤n c a ；(Ⅱ)若a 是满足1+=c aa 的正实数,且12||||||=-+-++- n n S a a a a a a ,证明：1<n S .解：(Ⅰ)用数学归纳法证明：当1n =时,11a =,0c >,1111c a +≤≤成立.假设n k =时结论成立,即111k c a +≤≤,则111k c c c a c ++≤+≤+,即2111111kc c a c c +++++≤≤<.∴1111k c a ++≤<,∴1n k =+时结论也成立,综上,对一切的*∈n N ,111+≤≤n c a 成立.(Ⅱ)11)()111(||||||||||nn n n n n n c a c ac a c a a a a a a a a a a a a ++++++-=-=-=-≤-,∴11||||n n a a a a a --≤-.当1a ≥时,111c +<,与1+=c aa 矛盾,故01a <<.∴112111||||||||||||n n n S a a a a a a a a a a a a a a -=-+-++-≤-+-++-2111(1)(1)(1)1n aa a a a a --=-++++<-⨯= .22.(本小题满分14分)已知常数列0>a ,点(,0)-A a 是直角∆ABC 的直角顶点,顶点B 在定直线 l ：2=a x 上移动,斜边BC 所在直线恒过定点(,0)D a .(Ⅰ)求顶点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)设P 是轨迹T 上的任一点,l 是过点P 法线(即与过P 点的切线垂直的直线),且(2,0)-M a ,(2,0)N a ,证明：直线MP 、NP 与直线l 的夹角相等.解：(Ⅰ)设2(,)aB t ,(,)C x y ,依题意0AB AC ⋅= ,∴32(,)(,)0a t x a y ⋅+=,即32()0a x a ty ++= ①.又CD 与BD 共线,∴2()()0aa x t y --+⋅= ②. 由①②消去t ,得222231(0)x y aa y -=≠.(Ⅱ)由双曲线的对称性,不妨设00(,)P x y 是双曲线上位于x 轴上方的点,由222231x yaa-=,得y ,∴3x y '=.故过点P 的切线的斜率3x k =切,而220031x y aa-=,∴03y x k =切,∴03l x y k =-,002MP x ay k +=.设θ是MP 与直线l 的夹角,则00000000000222000000244232223636313tan ||||||x ax x x ay y x y ay y ay y y y x ax y a ax ax θ+⋅+--+++-+-====. 设α是NP 与直线l 的夹角,02NP x ay k -=,则00000000000000000244232223636313tan ||||||x ax x x ay y x y ay y ay y y y x ax y a ax ax α-⋅----+----====.∴tan tan θα=,又090,090θα︒<<︒︒<<︒,∴θα=,故直线MP 、NP 与直线l 的夹角相等.。
【名校试题】全国100所名校最新高考模拟示范卷高三文科数学模拟测试试题(一)(原卷版)
数学模拟测试
本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在
条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整，笔迹清楚.
4,x Z}与B {x| x 2k, k Z}6.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列
说法正确的是（）
中国电动汽车充电桩细分产品占比情况
■公共类口私人类
中国电动汽车充电标细分产品保存量情况（单位；万台）
70
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(一)试题-附答案解析
频数
高二
（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（2）在抽取的学生中，从成绩为 的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率.
18．在 中，角 所对的边分别是 ，且 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最大值
19．在菱形 中， ， 为线段 的中点（如图1）．将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ， 为线段 的中点（如图2）．
【详解】
由已知， ，所以 ，所以
，同理 ，又 ，所以 平面 ，
，又 ， ，所以 平面 ，所以
，设此球半径为 ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为 ，
连接 ， ，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为 .
四棱锥的体积 ，
四棱锥的表面积
，
因为 ，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列 ，公差 ，
所以 ，
若 ，则 ，不合题意；若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ，符合题意；若 ，则 ，不合题意．故选C．
【点睛】
本题主要考查系统抽样.
9．C
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性可排除B；由 可排除选项A、D.
【详解】
设 ，定义域为 ， ，所以 为奇函数，
A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生
9．函数 的图象可能是（）
A． B．
C． D．
10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
百校大联考全国名校2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
百校大联考全国名校2025届高考仿真模拟数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．512．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．BC ．12-D ．123．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 4．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 5．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-26．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．524+ D ．98．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．409．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．2311．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．2-C ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国百所名校最新高考模拟示范卷数学卷一答案
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解题方法本题首先应将条件化简"得出.'.'3((+$.'3(0
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百所名校2021届高考模拟文科数学(详解答案)
16．某小学开展“整本书阅读活动”，其中某班老师号召本班学生阅读《唐诗三百首》并 背诵古诗，活动开展一个月后，老师抽四名同学（四名同学编号为 1，2，3，4）了解 能够背诵古诗多少情况，四名同学分别对老师做了以下回复：1 说：“2 比 4 背的少”；2 说：“1 比 3 背的多”；3 说：“我比 4 背的多”；4 说：“3 比 2 背的多”.经过老师测验发现， 四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的 一个.四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是____________.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U 0,1, 2,3, 4，集合 A 1, 2,3 ， B 2, 4 ，则 (ðU A) B 为( )
A．{1,2,4}
B．{2,3,4}
C．{0,2,4}
D．{0,2,3,4}
2．总体由编号为 01 、02 、03 、 、30 的 30 个个体组成，利用随机数表（以下选取
了随机数表中的第1行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第1行的第 4 列
开始由左向右读取，一行读取完毕后转下一行继续读取，则选出来的第 4 个个体的编号
为（ ）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
z1 z2
_______.
试卷第 3页，总 7页
14．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有 8 辆甲 型车和 4 辆乙型车，甲型车每次最多能运 6 吨且每天能运 4 次，乙型车每次最多能运 10 吨且每天能运 3 次，甲型车每天费用 320 元，乙型车每天费用 504 元.若需要一天内 把 180 吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为______ 元.
全国百所名校但愿检测示范卷 高三文科 数学卷 简易答案
参考答案 (文科)单元检测卷(一)1．B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.D 7.B 8.A 9.D 10.C 11.B 12．A13．100 14.－1 15.(1,2)16．(－∞，－3)∪⎣⎡⎦⎤12，1∪(3，＋∞) 17．∴∁U B ＝(－∞，－5]∪{0}∪[5，＋∞)， A ∩B ＝(－2,0)∪(0,3)，A ∪B ＝(－5,5)，A ∪(∁UB )＝(－∞，－5]∪(－2,3)∪[5，＋∞)，A ∩(∁U B )＝{0}， ∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁ U B )＝(－∞，－5]∪[5，＋∞)．18．(1)否命题：若m ≤0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0无实数根；(假命题) 命题的否定：若m ＞0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0无实数根．(假命题) (2)否命题：若x 、y 不都是奇数，则x ＋y 不是奇数；(假命题) 命题的否定：若x 、y 都是奇数，则x ＋y 不是奇数．(真命题) (3)否命题：若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为0；(真命题) 命题的否定：若abc ＝0，则a 、b 、c 全不为0.(假命题) 19.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，－13. 20．(1)A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． (2)(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1. 21．－23≤a <0，或a ≤－4.22．(1)集合B 不是“好集”．理由是：假设集合B 是“好集”． 因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B .这与－2∉B 矛盾． 有理数集Q 是“好集”．理由是：因为0∈Q,1∈Q ， 对任意的x ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x ∈Q .所以有理数集Q 是“好集”． (2)证明：因为集合A 是“好集”，所以0∈A .若x ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A . 所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A . (3)命题p ，q 均为真命题．理由如下： 对任意一个“好集”A ，任取x ，y ∈A ， 若x ，y 中有0或1时，显然xy ∈A .下设x ，y 均不为0,1.由定义可知：x －1，1x －1，1x ∈A .所以1x －1－1x ∈A ，即1x (x －1)∈A .所以x (x －1)∈A .由(2)可得x (x －1)＋x ∈A ，即x 2∈A ，同理可得y 2∈A ， 若x ＋y ＝0或x ＋y ＝1，则显然(x ＋y )2∈A ，若x ＋y ≠0且x ＋y ≠1，则(x ＋y )2∈A .所以2xy ＝(x ＋y )2－x 2－y 2∈A .所以12xy ∈A .由(2)可得1xy ＝12xy ＋12xy ∈A ，所以xy ∈A .综上可知，xy ∈A ，即命题p 为真命题．若x ，y ∈A ，且x ≠0，则1x ∈A .所以y x ＝y 1x∈A ，即命题q 为真命题．单元检测卷(二)1．D 2.B 3.B 4.A 5.A 6.D 7.A 8.C 9.B 10.C 11．C 12.B13．2 14.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 15.f (x )＝3x ＋23 16．f (x )＝－(x －2)2(不唯一)17．(1)(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)． (2)⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5. 18．(1)(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)2－2(x ≥0)，－2(x ＋1)2＋2(x ＜0). 19．(1)f (x )max ＝f (－1)＝21，f (x )min ＝f (1)＝－11.(2)存在常数q ＝9，使得当x ∈[q,10]时，f (x )的最小值为－51. 20．(1)f (4)＝2，f (8)＝3 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <167.21．(1)y ＝－2x 2＋40x －98(x ∈N *)． (2)从第三年起(3)①∵y x ＝－2x ＋40－98x ＝40－⎝⎛⎭⎫2x ＋98x ≤40－22×98＝12， 当且仅当2x ＝98x，即x ＝7时，等号成立．∴到2019年，年平均盈利额达到最大值，机床厂可获利12×7＋30＝114万元． ②y ＝－2x 2＋40x －98＝－2(x －10)2＋102， 当x ＝10时，y max ＝102.故到2022年，盈利额达到最大值，机床厂可获利102＋12＝114万元．因为两种方案机床厂获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理． 22．(1)奇函数(2)设x 1＜x 2，由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，知f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)，∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.又当x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)，即f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )是定义域上的减函数． (3)当x ＝－3时，函数有最大值6；当x ＝3时，函数有最小值－6.单元检测卷(三)1．B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.D 9.A 10.D 11．C 12.C13．(1,2) 14.⎣⎡⎭⎫17，13 15.1 16.(－∞，0) 17．(1)100 (2)12.5 18．(1)(0，＋∞)． (2)(0,1) 19．(1)(2)4.820．x ＝22时，y min ＝－14；x ＝1时，y max ＝2.21．(1)证明：设任意x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝4x 12＋4x 1－4x 22＋4x 2＝2(4x 1－4x 2)(2＋4x 1)(2＋4x 2)， 则因为x 1＜x 2，所以4x 1＜4x 2，所以4x 1－4x 2＜0. 又2＋4x 1＞0,2＋4x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在R 上是增函数．(2)证明：对任意t ，f (t )＋f (1－t )＝4t 2＋4t ＋41－t 2＋41－t ＝4t 2＋4t ＋42·4t ＋4＝1. 所以对于任意t ，f (t )＋f (1－t )＝1.(3)1 00622．(1)f (1)＝0，f (xy )＝f (x )＋f (y )(x ＞0，y ＞0)． (2)证明：令y ＝1x ，则有f (1)＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x . 又f (1)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )． ∴f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1y ＝f (x )－f (y )． (3)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫13＜x ＜1. 单元检测卷(四)1．C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.B 11．A 12.C13．－4 14.(－∞，－1)，(－1，＋∞) 15.3(2＋2)V 16.①② 17．(1)极小值f (1)＝1，f (x )无极大值(2)当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，2a 2，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2a 2，＋∞ 18．(1)a ＝－1，b ＝3(2)证明：f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知 f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时， g (x )≤0，即12f (x )≤x －1.19．(1)当a >0时，k 的最大值为2a －1；a >0时，k 的最大值为－2a －1. (2)⎣⎡⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎦⎤0，22 . 20．(1)证明：f ′(x )＝－a (x －a )2，g ′(x )＝e x[f (x )＋f ′(x )]＝(x 2－ax －a )e x (x －a )2，f ′(0)＝－1a ， g ′(0)＝－1a. 又 f (0)＝0，g (0)＝f (0)＝0.所以，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处有相同的切线y ＝－xa .(2)存在整数m ，且m 的最小值为1.21．(1)①f (x )是增函数；②f (x )≤9恒成立；③f (x )≤x5恒成立．(2)①函数模型不符合公司要求． ②函数模型符合公司要求． 22．(1)e 2－4ln 2 (2)(－∞，0]单元检测卷(五)1．C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D 9.B 10.C 11．A 12.C13．1,3 14.1438015.⎝⎛⎭⎫13，1 16．答案不唯一，可填⎝⎛⎭⎫0，12ln 2，⎝⎛⎦⎤1ln 2，3等 17．(1)(2) 3(3)设2≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－2x 2＝2(x 1－x 2)，∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上单调递增．18．(1)单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)． (2)b ≤0 19．(1)证明：先将f (x )变形：f (x )＝log 3⎣⎡⎦⎤(x －2m )2＋m ＋1m －1，当m ∈M 时，m >1，∴(x－2m )2＋m ＋1m －1>0恒成立，故f (x )的定义域为R . 反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只需x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1>0，令Δ＜0，即16m 2－4⎝⎛⎭⎫4m 2＋m ＋1m －1＜0，解得m >1，故m ∈M .(2)log 3⎝⎛⎭⎫m ＋1m －1为最小值．20．(1)3e －1.(2)(－∞，－e 2＋3e ＋1)．21．(1)当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－a 6和⎣⎡⎭⎫ a 6，＋∞，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－ a6， a 6.(2)证明：由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|2－a |＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2. 当a >2时，f (x )＋|2－a |＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3－4x ＋2＝2(2x 2－2x ＋1)． 设g (x )＝2x 3－2x ＋1， 则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 于是g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫33＝1－439>0.所以，当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1>0. 故f (x )＋|2－a |≥4x 3－4x ＋2>0.22．(1)a ＝0时，f (x )既没有增区间也没有减区间； a <0时，单调减区间为(0，＋∞)；a >0时，单调减区间为(0，a )，单调增区间为(a ，＋∞)． (2)⎣⎡⎭⎫4e 2＋12e ，＋∞. 单元检测卷(六)1．B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.C 7.D 8.C 9.D 10.B 11.A 12．B13．2 14.1 15.[2，4] 16.b ≤3，a ＝c ＝0 17．(1)A ∪B ＝{x |2<x <8}． (∁R A )∩B ＝{x |2＜x ＜3}． (2)(－∞，3]18．(1)f (x )＋g (x )为偶函数，证明如下：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋1＞0，解得－1＜x ＜1.所以函数f (x )＋g (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，此函数的定义域关于原点对称．设F (x )＝f (x )＋g (x )，即F (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋1)．又因为F (－x )＝log a (1＋x )＋log a (1－x )＝F (x )，所以函数f (x )＋g (x )是偶函数． (2)(1,22]19．(1)m ＝4，n ＝30 (2)f (log 34)＜f (log 330)．20．(1)L (x )＝20＋4(x －20)(x －50)2，(20<x <50)． (2)30元21．(1)当a ＝－1时，f (x )＝1＋x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54， 所以f (x )在x ∈(－∞，0)上单调递增，所以f (x )＜f (0)＝－⎝⎛⎭⎫0－122＋54＝1， 于是函数f (x )在(－∞，0)上的值域为(－∞，1)．又因为f (x )＜1，所以|f (x )|∈[0，＋∞)，所以不存在常数M ＞0，使|f (x )|≤M 都成立． 故函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)⎣⎡⎦⎤－12，－18. 22．(1)f (x )＝13x 3－x ＋2.(2)m >5－e 2.单元检测卷(七)1．C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B 11.A 12.D 13. 314．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6 15.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ) 16．①③17．(1)⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，0(k ∈Z )． (2)18．(1)最小正周期为π.单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)x ＝π3时，f (x )有最大值12；x ＝0时，f (x )有最小值－1.19．(1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠－π3－2k π，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为T ＝2π.(2)4465. 20．(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1. (2)13. 21．(1)A 、B 的值分别为4、2或－4、2.(2)g (x )＝⎩⎨⎧4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2.22．(1)a ＝6，b ＝19，φ＝5π6，f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫π72x ＋5π6＋19. (2)152(天)单元检测卷(八)1．A 2.B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.B 11．A 12.D13．1 14.⎣⎡⎦⎤0，π4，⎣⎡⎦⎤π2，3π4 15.4 16.①②⑤ 17．(1)－3＋226(2)⎣⎡⎦⎤－2，98 18．(1)⎝⎛⎭⎫－2425，725 (2)－2 19．(1)－13≤m ≤0 (2)－42920．(1)17 (2)3π421．(1)±3或0(2)单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )． 22．(1)⎝⎛⎭⎫－3，－52 (2)34单元检测卷(九)1．A 2.C 3.A 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 9.D 10.C 11．A 12.A13.π3 14.15 15.1 2 16.112 17．(1)53 (2)41318．(1)3 (2)钝角三角形19．(1)A ＝π6或A ＝π2. (2)2＋ 320．(1)π3 (2)⎝⎛⎦⎤12，2 21．(1)CD ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π3 (2)⎝⎛⎦⎤1，π6＋33. 22．(1)⎝⎛⎦⎤－32，3. (2)方案一：选择①②，可确定△ABC ，S △ABC ＝3＋14. 方案二：选择①③，可确定△ABC ，S △ABC ＝3＋14. 单元检测卷(十)1．B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.C 7.D 8.B 9.B 10.A 11．B 12.D13．2 14.π3 15.⎣⎡⎦⎤－1－22，1＋22 16.①②③17．(1)－92 (2)－3573818．(1)k ＝4919(2)⎝⎛⎭⎫4919，＋∞ 19．(1)AB ―→＝12(EB ―→＋EC ―→)． (2)－75220．(1)7 (2)132≤m ≤2＋3221．(1)证明：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则m a ＋n b ＝m (x 1，y 1)＋n (x 2，y 2)＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，所以f (m a ＋n b )＝(my 1＋ny 2,2my 1＋2ny 2－mx 1－nx 2)．又因为f (a )＝(y 1,2y 1－x 1)，f (b )＝(y 2,2y 2－x 2)，故mf (a )＋nf (b )＝m (y 1,2y 1－x 1)＋n (y 2,2y 2－x 2)＝(my 1＋ny 2,2my 1＋2ny 2－mx 1－nx 2)，即f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )． (2)α＋β＝k π，k ∈Z . 22．(1)y 2＝4ax .(2)证明：由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4ax ，y ＝k (x －a )，消去x 得y 2－4a k y －4a 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－4a 2，KA ―→＝(x 1＋a ，y 1)，KB ―→＝(x 2＋a ，y 2)，KA ―→·KB ―→＝(x 1＋a ，y 1)·(x 2＋a ，y 2)＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2－4a 2＝y 21y 22(4a )2＋a ⎝⎛⎭⎫y 21＋y 224a －3a 2＝a 2＋14(y 21＋y 22)－3a 2＝14(y 21＋y 22)－2a 2＞14(2|y 1y 2|)－2a 2＝14×8a 2－2a 2＝0， 又KA ―→与KB ―→不共线，所以0＜θ＜π2.单元检测卷(十一)1．D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.C 10.A 11．D 12.C13．0 14.15 15.1p (1＋p )7－1p ＋2 100p16．1 553 17．(1)a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1. (2)S n ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n . 18．(1)a n ＝2n . (2)n ＝10.19．(1)当n ＝1时，数列{a n }的最大值为a 1＝3 (2)4 20．3·21 008－3 02721．(1)证明：易知a n －1≠0，所以a n ＝2－1a n －1，当n ≥2时，1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎫2－1an －1－1－1a n －1－1＝11－1a n －1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以1a 1－1为首项，以1为公差的等差数列．(2)b n ＝12－n 或b n ＝13－n 22．(1)a n ＝e 2n ＋1，b n ＝2n(2)T n ＝e 6－e 4n ＋61－e 4＋ln 1n ＋1＋n 2＋2n . 单元检测卷(十二)1．A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.B 9.A 10.A 11．B 12.B13．16 14.2n －12n －115.13(3n ＋1－1) 16.4 02717．(1)a n ＝2n －5，b n ＝3n －1(2)S n ＝n 2－4n ＋3n －1218．(1)a n ＝6n －3(2)存在，当n ＞10时，T n ＞1021. 19．(1)由条件知a n ＋1＝f (a n )＝3a n －22a n －1， 所以1a n ＋1－1－1a n －1＝13a n －22a n －1－1－1a n －1＝2a n －1a n －1－1a n －1＝2(a n －1)a n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以1a 1－1＝1为首项，以2为公差的等差数列．(2)3 (3)6 039220．(1)A n ＝40n ； B n ＝2n 2＋2n ； C n ＝12(2n －1)．(2)当销售产品数量小于10时，应该选用第一种方案；当销售产品的数量大于等于10时，应选用第三种方案．21．(1)a n ＝⎝⎛⎭⎫14n ，b n ＝2n －3 (2)S n ＝－19－⎝⎛⎭⎫2n 3－19⎝⎛⎭⎫14n22．(1)S n ＝(4＋22)[(2)n －1] (2)证明：由(1)知a n ＝log 2T n ＝n ＋22，所以tan a 2n ·tan a 2(n ＋1)＝tan(n ＋1)·tan(n ＋2)． 因为tan 1＝tan[(n ＋2)－(n ＋1)]＝tan (n ＋2)－tan (n ＋1)1＋tan (n ＋2)·tan (n ＋1)，所以tan(n ＋2)·tan(n ＋1)＝tan (n ＋2)－tan (n ＋1)tan 1－1，即tan a 2n ·tan a 2(n ＋1)＝tan (n ＋2)－tan (n ＋1)tan 1－1.(3)P n ＝tan (n ＋2)－tan 2tan 1－n .单元检测卷(十三)1．A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.C 8.D 9.D 10.C 11.C 12.D 13．1 14.4 15.(4，＋∞) 16.①③17．证明：(1)因为a ＋b ＝1，且a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，1a ＋1b≥21ab ＝2ab ≥212＝4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即1a ＋1b ≥4. (2)因为a ＋b ＝1，且a ＋b ≥2ab ，故ab ≤12，即ab ≤14，所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋2ab ≥1＋214＝9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．18．当a ＞1时，不等式的解集为{x |x ＞a 2或x ＜a }；当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }．19．(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54＜x ＜34.(2)λ≤－120．当x ＝2＋26时，物体离开初始位置的距离对x ＝2的平均定向增长率的最小值为46＋621．电子产品A 的月产量为4，产品B 的月产量为9时，可获得最大利润为96百元． 22．安排20名员工分流．单元检测卷(十四)1．D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.C 11．A 12.B13．2 14.⎝⎛⎭⎫32n 2－12n ，－n 15.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 16．①③ 17．(1，＋∞)18．(1)x ＝2k π＋π3，k ∈Z 时，函数f (x )取最大值为1. (2)C ＝π619．(1)a n ＝3n －1，b n ＝2·3n －1 (2)S n ＝⎝⎛⎭⎫3n －52·3n ＋52 20．(1)43万元 (2)应生产A 产品12吨，才可使平均成本最低，为7万元．21．(1)y ＝0 (2)当a ≤0时，g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，当a <0时，g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，2a22．(1)b ＝－4a －15 ①当a ＜－8时，单调递增区间是(－∞，3)和(－a －5，＋∞)，单调递减区间是(3，－a －5)；②当a ＞－8时，单调递增区间是(－∞，－a －5)和(3，＋∞)，单调递减区间是(－a －5,3)． (2)⎝⎛⎭⎫0，32 单元检测卷(十五)1．C 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.D 10.A 11．A 12.D 13.3 14.616a 215.3∶1 16．点N 在线段EG 上 点N 在线段EH 上 17．S 表面＝(60＋42)π V ＝1483π18．证明：(1)据已知连接OH ，GO ，易知GO ∥BE ∥CD ，即直线GO ∥平面ACD ， 同理可证OH ∥平面ACD ，又GO ∩OH ＝O ，故平面ACD ∥平面GHO ， 又GH ⊂平面GHO ，故GH ∥平面ACD .(2)∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC . 又DC ∩AC ＝C ，∴ BC ⊥平面ADC .∵四边形DCBE 为平行四边形，∴DE ∥BC .∴DE ⊥平面ADC . ∵DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . 19.(1)证明：∵连接SO ，底面ABCD 是菱形，O 为中心， ∴ AC ⊥BD .又SA ＝SC ，∴AC ⊥SO .而SO ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面SBD . (2)取棱SC 中点M ，CD 中点N ，连接MN ， 则动点P 的轨迹即是线段MN . 证明：连接EM 、EN ，∵E 是BC 的中点，M 是SC 的中点，∴EM ∥SB .同理，EN ∥BD ，∴平面EMN ∥平面SBD ， ∵AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN .因此，当点P 在线段MN 上运动时，总有AC ⊥EP ； 侧面△SCD 中P 点不在线段MN 上时，不可能有AC ⊥EP .20．(1)当PC ＝3时，CP ⊥平面ABP ，证明：若CP ＝3，则BP ＝4，而BC ＝5，所以三角形PBC 为直角三角形，且CP ⊥PB .又平面ABC ⊥平面α，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面α， 于是CP ⊥AB ，又因为PB ∩AB ＝B ，所以CP ⊥平面ABP . (2)20414121．(1)直观图如图所示，S ＝18＋2 3 (2)证明：连接B 1C 交BC 1于E 点，则E 为B 1C 、BC 1的中点，连接DE . ∵AD ＝A 1D ，AB ＝A 1C 1，∠BAD ＝∠DA 1C 1＝90°， ∴△ABD ≌△A 1C 1D ，∴BD ＝C 1D ，∴DE ⊥BC 1. 同理，DE ⊥B 1C .又∵B 1C ∩BC 1＝E ，∴DE ⊥平面BB 1C 1C .又∵DE ⊂平面BDC 1，∴平面BB 1C 1C ⊥平面BDC 1.(3)取BC 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接AP ，AQ ，PQ ，则平面APQ ∥平面BDC 1. 证明：连接PE ，则PE ∥AD ，且PE ＝AD ， 故四边形APED 为平行四边形．∴AP ∥DE .又DE ⊂平面BDC 1，AP ⊄平面BDC 1， ∴AP ∥平面BDC 1.由PQ 为△BCC 1的中位线，得PQ //BC 1.∵BC 1⊂平面BDC 1，PQ ⊄平面BDC 1，∴PQ ∥平面BDC 1. 又∵AP ∩PQ ＝P ， ∴平面APQ ∥平面BDC 1. 22．(1)233(2)证明：如图，设F 为A ′B 的中点，连接PF ，FE ，则有EF ∥BC ，PD ∥BC ，且EF ＝12BC ，PD ＝12BC .所以DE ∥PF ，又A ′P ＝PB . 所以PF ⊥A ′B . 故DE ⊥A ′B .单元检测卷(十六)1．D 2.B 3.A 4.A 5.A 6.C 7.B 8.D 9.D 10.D 11.B 12.D 13．2或72 14.(x －1)2＋(y －1)2＝2 15.x ＋2y －3＝0 16.±217．(1)3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0 (2){a |a ≤－1} 18．(x －2)2＋(y －2)2＝5或⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝54 19．(1)3x ＋y ＋2＝0 (2)(x －2)2＋y 2＝820．(1)3x ＋4y －20＝0或x ＝－4 (2)△OAB 的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为±2 2 21．(1)x 2－y 23＝1(x ＞1) (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y ±1522＝1 22．(1)⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73 (2)证明：设过点A (0,1)的圆C 的一条切线为AT ，T 为切点．因为圆C 的圆心C (2,3)，半径r ＝1，则|AC |＝22，所以|AT |2＝|AC |2－r 2＝7.∴AM ―→·AN ―→＝|AM ―→||AN ―→| cos 0°＝AT 2＝7，∴AM ―→·AN ―→为定值． (3)k ＝1单元检测卷(十七)1．A 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A 7.C 8.B 9.A 10.C 11．C 12.D13．y ＝12 14.x 22＋y 2＝1 15.16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >0，y ≠0) 16.1＋5217.x 24－y 2＝1或y 24－x 216＝1 18．(1)钝角三角形 (2)12 319．(1)y 2＝8x (2)证明：①若直线l 斜率存在，设直线l ：y ＝kx ＋b 与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ⇒ky 2－8y ＋8b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，64－32kb >0， ∴y 1y 2＝8b k ，x 1x 2＝y 21y 2264＝b 2k 2，由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即bk＝－8，b ＝－8k ，直线为y ＝k (x －8)，所以直线l 过定点(8,0)．②若直线l 与x 轴垂直，则直线OA (或直线OB )的斜率为1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝8x ，得x ＝8，所以l 过定点(8,0)．由①②得，直线l 恒过定点(8,0)． 20．(1)4029(2)6x －5y －28＝021．(1)x 23－y 2＝1 (2)⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，122．(1)抛物线方程为y 2＝2x ，N 点坐标为(2,2) (2)由题意知直线的斜率不为 0，设直线l 的方程为x ＝ty ＋b (t ∈R )，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋b ，得y 2－2ty －2b ＝0.设两个交点 A ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2(y 1≠±2，y 2≠±2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4t 2＋8b ＞0，y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2b ，故k NA ·k NB＝y 1－2y 212－2·y 2－2y 222－2＝4(y 1＋2)(y 2＋2)＝－2，整理得b ＝2t ＋3， 此时Δ＝4(t 2＋4t ＋6)＞0恒成立，直线l 的方程可化为x －3＝t (y ＋2)，从而直线l 过定点E (3，－2)．因为点M 坐标为(2，－2)，所以M 、E 所在直线平行x 轴， △MAB 面积S ＝12|ME ||y 1－y 2|＝t 2＋4t ＋6，所以当t ＝－2时，S 有最小值为2，此时直线l ′的方程为x ＋2y ＋1＝0.单元检测卷(十八)1．A 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.A 10.D 11.C 12.B 13.⎝⎛⎭⎫0，18 14.(x －5)2＋y 2＝16 15.22 16.7 17．3x ＋4y －75＝018．直线AB 的方程为y ＝－x ＋3，椭圆方程为x 216＋y 28＝1.19．(1)x 2－y 2＝6(2)证明：因为点M (3，m )在双曲线上，所以32－m 2＝6，所以m 2＝3. 又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以MF 1―→·MF 2―→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，所以MF 1⊥MF 2, 所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上．20．(1)证明：由题意，得x 20＋2y 20＝8，即2y 20＝8－x 20，①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝8，x 0x 8＋y 0y 4＝1，得(2y 20＋x 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0，代入①式，得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，则Δ＝0，∴直线x 0x 8＋y 0y4＝1为椭圆的切线．(2)121．证明：(1)由题意设l ：y ＝kx ＋m (k 为该直线的斜率)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋m ，消去y ，可得x 2＝4kx ＋4m ， ∴x 1x 2＝－4m .(2)由题意知AP ―→＝λPB ―→，即x 1x 2＝－λ.又∵Q (0，－m )，QA ―→＝(x 1，y 1＋m )，QB ―→＝(x 2，y 2＋m )， QA ―→－μQB ―→＝(x 1－μx 2，y 1－μy 2＋(1－μ)m )， 又∵QP ―→＝(0,2m )，QP ―→⊥(QA ―→－μQB ―→)， ∴2m [y 1－μy 2＋(1－μ)m ]＝0， 从而x 214－μx 224＋(1－μ)m ＝0，即x 21－μx 22＋4(1－μ)m ＝0. 由(1)知x 21－μx 22－(1－μ)x 1x 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫x 1x 22－(1－μ)x 1x 2－μ＝0， ∴λ2＋(1－μ)λ－μ＝0，∴λ＝－1或λ＝μ，而由题可知λ>0，所以λ＝μ. 22．(1)x 22＋y 2＝1(2)(－2,2)单元检测卷(十九)1．C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.D 8.B 9.B 10.D 11．B 12.A13．x －2y －1＝0 14.6 15.2 16.4∶3 17．(1)⎣⎡⎦⎤－12，12 (2)x －2y －4＝0或x ＋2y －4＝018．(1)证明：如图，连接AC 1, 易知A 1B 1BA 是平行四边形．M 是AB 1与A 1B 的交点，∴M 是AB 1的中点． 又N 是B 1C 1的中点， ∴MN ∥AC 1.又MN ⊄平面ACC 1A 1， ∴MN ∥平面ACC 1A 1. (2)4319．(1)椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝116(2)当x 0＝0，y 0＝±4时，直线l 与圆O 相切；当x 0≠0时，线l 与圆O 相交 20．(1)证明：∵PE ⊥EF ，PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ， ∴PE ⊥平面ACFE . 又∵PE ⊂平面PEA ， ∴平面PEA ⊥平面ACFE . 平面APE ∩平面ACFE ＝AE ， ∴CD ⊥平面APE .(2)延长CF ，AE 相交于点M ，连接PM .∵DG ∥PM ，DG ⊄平面PCM ，PM ⊂平面PCM ， ∴DG ∥平面PCM .即DG ∥平面PCF . (3)x ＝6时，V (x )max ＝V (6)＝2 621．(1)x ＋y －1＝0(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2a 2－y 2b 2＝1，得(b 2－a 2)x 2＋2a 2x －a 2－a 2b 2＝0，由题意得b 2－a 2≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－a 2＋a 2b 2b 2－a2.因为以MN 为直径的圆过原点，所以OM ―→,·ON ―→,＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝1＋2a 2b 2－a 2－2(a 2＋a 2b 2)b 2－a 2＝0，即b 2－a 2－2a 2b 2＝0，所以1a 2－1b 2＝2为定值．22．(1)x 24＋y 23＝1(2)377单元检测卷(二十)1．D 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A 9.D 10.B 11．C 12.C13．40 14.14 15.33.57 16.60%17．(1)(2)14 18．(1)m ＝8(2)由茎叶图可知，选手乙得分的平均数为x 乙＝17(79＋84＋84＋86＋84＋86＋92)＝85，选手甲得分的方差为s 2甲＝17[(77－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(85－85)2＋(84－85)2＋(85－85)2＋(98－85)2]＝2507，选手乙得分的方差为s 2乙＝17[(79－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(92－85)2]＝907，因为x 甲＝x 乙，而s 2甲>s 2乙，这说明选手甲和乙的平均水平相当，但选手乙的水平发挥较为稳定，所以应该选派选手乙．19．(1)y ^＝6.5x ＋3.2 (2)42.2万元 20．(1)79 (2)2321．(1)a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004 (2)①35 ②71522．(1)甲、乙、丙三所学校名额分别为：1,2,3 (2)12 (3)815单元检测卷(二十一)1．C 2.A 3.C 4.A 5.B 6.B 7.A 8.B 9.D 10.B 11．D 12.A13．(－2，2) 14.－12 15.8 16.－3017．(1)z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5 (2)θ＝π3，a ＝±218．(1)(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥n 2 (2)证明：对于任意不为零的实数a 1，a 2，…，a n ，易知不等式⎝⎛⎭⎫a 1x ＋1a 12＋⎝⎛⎭⎫a 2x ＋1a 22＋…＋⎝⎛⎭⎫a n x ＋1a n 2≥0恒成立， 即(a 21＋a 22＋…＋a 2n )x 2＋2nx ＋⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a22＋…＋1a 2n≥0恒成立， 所以Δ＝4n 2－4(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≤0， 即(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥n 219．(1)a n ＝2n ＋1(2)证明：若{b n }是等差数列，设首项为b 1，公差为d ，由b n ＝S n n 可得S nn ＝b 1＋(n －1)d ，于是S n ＝nb 1＋n (n －1)d ，①当n ∈N *，n ≥2时，有S n －1＝(n －1)b 1＋(n －1)(n －2)d ，②由①②两式相减可得：a n ＝b 1＋(n －1)·2d ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝b 1，也可用a n ＝b 1＋(n －1)·2d 表示，所以对任意的n ∈N *都有：a n ＝b 1＋(n －1)·2d ，而a n －a n －1＝2d (n ∈N *，n ≥2)，由等差数列的定义知：{a n }也是等差数列．20．证明：(1)假设存在x 0<0，满足f (x 0)＋2x 0－2＝0即(x 0＋1)e x 0＋x 0－2＝0，则e x 0＝－x 0－2x 0＋1，因为0<e x 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＋2x －2＝0没有负数根．(2)由f (x )＝(x ＋1)e x －x 得f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x －1＝(x ＋2)e x －1，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝(x ＋1)e x －x 在(0，＋∞)上单调递增，所以对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≥f (0)＝1>0，即e x >x x ＋1， 两边取以e 为底的对数，得x >ln x x ＋1，① 在①式中，令x ＝1，得1>ln 12， 令x ＝2，得2>ln 23， 令x ＝3，得3>ln 34， …令x ＝n ，得n >ln n n ＋1， 以上各不等式相加，得1＋2＋…＋n >ln 12＋ln 23＋…＋ln n n ＋1， 即12n (n ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫12×23×…×n n ＋1＝ln 1n ＋1，所以n 2＋n >2ln 1n ＋1. 21．(1)x 22＋y 2＝1 (2)证明：由于F 1(－1,0)，F 2(1,0)，直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，且点P 在直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上，所以k 1≠k 2，k 1≠0，k 2≠0，又直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋1)，y ＝k 2(x －1)，联立方程解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k 1＋k 2k 2－k 1，y ＝2k 1k 2k 2－k 1，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋k 2k 2－k 1，2k 1k 2k 2－k 1，由于点P 在直线l ：x ＋y ＝2上， 所以k 1＋k 2k 2－k 1＋2k 1k 2k 2－k 1＝2，因此2k 1k 2＋3k 1－k 2＝0，即1k 1－3k 2＝2. 22．(1)x k ＝2k －1(k ∈N *，k ≤2 007)y k ＝3k －1(k ∈N *，k ≤2 007)(2)T k ＝(k －1)·3k ＋1－k 2＋3单元检测卷(二十二)1．A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.C10．C 11.D 12.D13．1 220 14.22 15.3n x 1＋(3n －1)|x |16.4 17．(1)π (2)a ＝1，b ＝218．(1)12 (2)71619．证明：(1)由已知得，DM 是△APB 的中位线，所以DM ∥AP ，因为DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，所以DM ∥平面APC .(2)因为△PMB 是正三角形，D 为PB 的中点，所以DM ⊥PB ，所以AP ⊥PB ，又因为AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC ，因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC ，又因为AC ⊥BC ，AP ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面APC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC .20．(1)a 22＝1＋d ＋qa 32＝2＋3d ＋qa n 2＝d 2n 2＋2－d 2n ＋q －1 (2)2(3)S n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6 21．(1)x 29＋y 22＝1 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 29＋y 22＝1，x ＝my ＋1，得(2m 2＋9)y 2＋4my －16＝0， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋9，y 1y 2＝－162m 2＋9， x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1.又直线AE 的方程为y ＝y 1x 1＋3(x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝y 1x 1＋3(x ＋3)，x ＝3，解得M ⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋3， 同理可得N ⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋3，所以BM ―→＝⎝⎛⎭⎫2，6y 1x 1＋3，BN ―→＝⎝⎛⎭⎫2，6y 2x 2＋3， 又因为BM ―→·BN ―→＝⎝⎛⎭⎫2，6y 1x 1＋3·⎝⎛⎭⎫2，6y 2x 2＋3＝4＋36y 1y 2(x 1＋3)(x 2＋3)＝4＋36y 1y 2(my 1＋4)(my 2＋4) ＝4(my 1＋4)(my 2＋4)＋36y 1y 2m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(4m 2＋36)－16×4m 2＋16×4(2m 2＋9)－32m 2＋16(2m 2＋9)＝－64m 2－576－64m 2＋128m 2＋576144＝0， 即BM ―→⊥BN ―→，所以以MN 为直径的圆经过点B .22．(1)y ＝x －1(2)a ≥12(3)⎣⎡⎭⎫2e e 2－1，＋∞。
【百强校】2020届高三3月份文科数学模拟试题含解析
【百强校】2020届高三3月份文科数学模拟试题含解析测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}3813x A x =>,{}212110B x x x =∈-+<N ，则A B =I （）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}5,6,7,8,9,10D ．{}6,7,8,9,102．已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为（）A ．131i 55-+B ．131i 55--C ．131i 55+D ．131i 55-3．已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（）A ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x ->B ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥C ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x ->D ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥4．已知向量()2,m =-a ，()1,n =b ，若()-//a b b ，且2=b ，则实数m 的值为（）A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或45．运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填（）A ．30S <B ．62S <C ．62S ≤D ．128S <6．()tan 751cos 240sin 30sin 60sin1201tan 75︒-︒︒--︒︒+=+︒（）A ．1323+B ．1323-C ．1323-+D ．1323--7．已知函数()321ln 333x f x x x x x-=++++，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于1x =-对称B ．函数()f x 的图象关于1y =-对称C ．函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称D ．函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称8．将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（）A ．()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZB ．()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C ．()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z D ．()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z 9．已知实数,x y 满足343125510x y x y x +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪-⎪⎪⎩≥≤≥，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为（）A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（）A ．1B ．2C ．3D ．211．已知椭圆222:19x y C b +=的离心率为223，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅uuu r uuu r 的取值范围为（）A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--12．已知关于x 的不等式212ln x x mx +≤在[)1,+∞上恒成立，则m 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n =时，从左往右第22个数为.14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：①双曲线C 的离心率为54；②双曲线C 与椭圆22:13611x y C '+=共焦点；③双曲线右支上的一点P 到12,F F 的距离之差是虚轴长的43倍.请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C 的方程为.（注：以上三个条件得到的双曲线C 的方程一致）15．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且AB CD //，12AB CD =，PA PB AD ==，43PA AD CD +==，若平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为.第15题图第16题图16．如图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP △和QNP △，若MN MP ⊥，2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围.18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.19．（12分）已知四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，且AD BC //，222BC AD AB ===，F 为,AC BD 的交点，点E 在平面ABCD 内的投影为点F .（1）AF ED ⊥；（2）若AF EF =，求三棱锥D ABE -的体积.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为,A B ，若12AF =，点3(,1)2-关于直线y x =的对称点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程与离心率；（2）过点()0,2做直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点,M N ；若OM ON λ⋅<uuu r uuu r 恒成立，求实数λ的取值范围.21．（12分）已知函数()2ln 2p f x x x =-.（1）当0p >时，求函数()f x 的极值点；（2）若1p >时，证明：()()33e 121p p x f x p ---<-.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 1004πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值.23．（10分）选修4—5不等式选讲已知函数()f x x m =-.（1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.2020 届文科数学答案与解析1 ． 【 答 案 】 C 【 解 析 】 依 题 意 ， 集 合{}9293813332x x A x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=>=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，{}{}{}2121101112,3,4,5,6,7,8,9,10B x x x x x =∈-+<∈<<N =N =，故{}5,6,7,8,9,10A B =I ，故选C.2．【答案】A 【解析】依题意，()()()()35i 2i 35i 113i i 2i 2i 2i 5a b ----+===++-，故113,55a b ==-，故131i i 55z b a =-=--，故复数z 的共轭复数为131i 55z =-+，故选A.3．【答案】B 【解析】不妨取04x π=，此时003223sin 022x x π-=-<，故命题p 为真；特称命题的否定为全称命题，故:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥，故选B. 4.【答案】C 【解析】依题意，向量()()3,-=--a b m n ；因为()-//a b b ，故3m n n -=-，故20m n +=；又2=b ，即1n =-或1，故2m =或-2，故选C.5．【答案】B 【解析】运行该程序，第一次，2,2S k ==；第二次，6,3S k ==；第三次，14,4S k ==；第四次，30,5S k ==；第五次；62,6S k ==；第六次，126,7S k ==；观察可知，判断框中可以填“62S <”，故选B.6．【答案】A 【解析】依题意，()cos 240sin 30sin 60sin120︒︒--︒︒sin 30cos120cos30sin120=︒︒+︒︒1sin1502=︒=；00tan 751tan 75tan 453tan 301tan 751tan 75tan 453-︒-︒==︒=++︒︒；故原式的值为1323+，故选A.7．【答案】D 【解析】依题意，()()()()321ln1121x f x x x -+=++-++，将函数()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数32ln2x y x x -=++的图象，这是一个奇函数，图象关于()0,0中心对称，故函数()321ln 333x f x x x x x-=++++的对称中心为()1,1--，故选D.8．【答案】C 【解析】依题意，将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到sin 43y x ωππω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，此时()2432k k ωπωππππ--=+∈Z ，解得()546k k ωπππ=+∈Z ，故()1043k k ω=+∈Z ，故ω的最小值为103故()10sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令()10222332k x k k πππππ--∈++Z ≤≤，解得()10522636k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，即()3320545k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，故选C.9．【答案】A 【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出()()221,1,1,,5,25A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭；要使0z ≥恒成立，需且仅需130223055230m m m --⎧⎪⎪--⎨⎪⎪--⎩≥≥≥解得375m ≥；故m 的取值不可能为7，故选A.10．【答案】B 【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为AC 或BD ，均为2，故选B.第9题答案图第10题答案图11．【答案】A 【解析】依题意，()22PM MN PM PN PM PM PN PM PM ⋅=⋅-=⋅-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ；因为222193b e =-=，故21b =；设(),M x y ，则()2,PM x y =--uuu r ，故()2222222282444414599x x PM x y x x y x x x =-+=-++=-++-=-+uuu r ，[]3,3x ∈-，可知，当3x =-时，2PM uuu r 有最大值25，当94x =时，2PM uuu r 有小值12；故PM MN ⋅uuu r uuu r 的取值范围为125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选A.12．【答案】A 【解析】依题意，222ln 112ln x x x mx m x x +⇔+≤≥，令()22ln 1x g x x x =+，故()()32ln 1'x x x g x x --=；令()ln 1h x x x x =--，则()'ln h x x =-，故当[)1,x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-≤；故()22ln 1x g x x x =+在[)1,+∞上单调递减，故()()max 11m g x g ⎡⎤==⎣⎦≥，故m 的最小值为1，故选A.13．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.14．【答案】221169x y -=【解析】依题意，双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，故223bca b =+，即3b =；①双曲线C 的离心率为54，故54c a =；又3b =，且222a b c +=，故4,5a c ==，故双曲线C 的方程为221169x y -=；②椭圆22':13611x y C +=的焦点坐标为()()5,0,5,0-，故5c =；又222a b c +=，故4a =，故双曲线C 的方程为221169x y -=；③依题意，设双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ，故12423PF PF b -=⋅，故4a =，故双曲线C 的方程为221169x y -=.15．【答案】52π【解析】因为四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD //，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =,PA PB AD ==,43PA AD CD +==，=23PA PB AB AD BC ====，故3ADC π∠=；取CD 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD 外接圆圆心；F 是PAB △外心，作OE ⊥平面ABCD ，OF ⊥平面PAB ，则O 是四棱锥P ABCD -的外接球的球心，且3,2OF GE PF ===；设四棱锥P ABCD -的外接球半径R ，则22213R PF OF =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积是52π.16．【答案】524+【解析】因为2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，故42MPN ππ∠+=，故4MPN π∠=，故MNP △是等腰直角三角形；在QNP △中，2,1QN QP ==，由余弦定理，254cos NP Q =-；2211os 42c 45MNP S MN NP Q =-==△；又1sin 2sin QNP S NQ P Q Q Q =⋅⋅=△，55cos sin 2sin()444MNQP S Q Q Q π=-+=+-；易知当4Q 3π=时，四边形MNQP 的面积有最大值，最大值为524+．17．【解析】（1）依题意，11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n n a a +=-，故13n na a +=；故数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为()21322a a a +=+，故()1112329a a a +=+，解得11a =；故数列{}n a 的通项公式为13n n a -=；（6分）（2）依题意，1113n n a -=，故数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，故1231111n n T a a a a =++++L 111113133=1113323213n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++==-< ⎪⎝⎭-L ，故32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（12分）18．【解析】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，故甲参加围棋比赛的概率为12；（4分）（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，则所有的可能为（1,2,1,2）,（1,2,1,3）,（1,2,1,4）,（1,2,2,3）,（1,2,2,4）,（1,2,3,4）,（1,3,1,2）,（1,3,1,3）,（1,3,1,4）,（1,3,2,3）,（1,3,2,4）,（1,3,3,4），其中满足条件的有（1,2,3,4）,（1,3,2,4）两种，故所求概率21126P ==.（12分）19．【解析】（1）依题意，AFD CBF △△∽，12AF DF AD CF BF BC ===，又 1,2AB BC ==,∴2,32AD AC ==，（2分）在Rt BDA △中，2262BD AB AD =+=,∴1333AF AC ==，（3分）在ABF △中，2222236()()133AF BF AB +=+==，∴90AFB ∠=︒，即AC BD ⊥； EF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴AC EF ⊥；（6分）又 BD EF F =I ,BD ⊂平面BDE ,EF ⊂平面BDE ,∴AC ⊥平面BDE ，因为ED ⊂平面BDE ，故AC ED ⊥，即AF ED ⊥；（8分）（2）依题意，11123613322336D ABE E ABD ABD S EF V V --⋅=⨯⨯⨯⨯===△.（12分）20．【解析】（1）依题意，点3(,1)2-关于直线y x =的对称点为3(1,)2-，因为12AF =，故222b c a +==，故椭圆222:14x y C b+=；将3(1,)2-代入椭圆222:14x y C b +=中，解得1b =；所以椭圆C 的方程为2214x y +=故离心率32c e a ==；（4分）（2）当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)M N -，所以1OM ON ⋅=-uuu u r uuu r ．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++，所以1212OM ON x x y y ⋅=+uuu u r uuu r 21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OM ON -<⋅<uuu u r uuu r ，故134λ≥，综上实数λ的取值范围为13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（12分）21．【解析】（1）依题意，()2ln 2p f x x x =-，故()()()21111'px px px f x px x x x +--=-==；可知，当0,p x p ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0f x <；,p x p ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0f x >；故函数()f x 的极小值点为p x p=，无极大值点；（4分）（2） 1p >，令()()()()211ln 2p g x p x f x p x x x =--=--+，故()()()11'px x g x x +-=-，可得函数()g x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞，∴()g x 在1x =时取得极大值，并且也是最大值，即()max 112g x p =-．又210p ->，∴()21(21)1ln (21)(1)22p p p x x x p p ⎡⎤---+--⎢⎥⎣⎦≤．设31(21)(1)2()ep p p h p ---=，则233(297)(1)(27)()2e 2e p p p p p p h p ---+--'=-=-，所以()h p 的单调递增区间为7(1,)2，单调递减区间为7(+)2∞，，所以1236794()()22e e h p h ⨯==≤, 2e 3>,∴99332e <=,∴()3h p <，又3e 0p ->Q ，∴()23(21)1ln 3e 2p p p p x x x -⎡⎤---+<⎢⎥⎣⎦，即()()33e 121p p x f x p ---<-.（12分）22．【解析】（1）曲线：()22:24C x y -+=；直线::250l x y -+=；（4分）（2）依题意，曲线221:14y C x +=；又曲线1C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)，设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则()cos 2sin 25255sin 10222P l d θθθϕ→-+-+==≥(其中1tan 2ϕ=-)，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102.（10分）23．【解析】（1）显然3x >；故()()()()22322343f x f x x x x x x >⇒>-⇒->-⇒<-，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4；（5分）（2）依题意，当2m -≥，()31,21111,22231,22x m x mf x x x m x m x m x ⎧+-⎪⎪⎪++=-++-⎨⎪⎪-+--⎪⎩≥≤≤≤，故()min111222m f x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦≥，解得2m ≥；当2m -≤时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<-⎨⎪⎪-+-⎪⎩≤≤，故()min111222m f x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦≥，解得6m -≤；综上所述，实数m 的值为(,6][2,)-∞-+∞U .（10分）。
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2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学模拟测试
本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱．不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集U =R ，集合{|24,}A x x x =-≤≤∈Z 与{|2,}B x x k k ==∈Z 的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有（ ）.
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2.若复数21ai
z i
+=∈-R ，则实数a =（ ）. A. 2-
B. 2
C. 1-
D. 1
3.下列是函数()tan 24f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的对称中心的是（ ）. A. ,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B. ,04π⎛⎫
⎪⎝⎭ C. (0,0)
D. 3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
4.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）
A. 私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年
B. 公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台
C. 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台
D. 从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%
5.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要
在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg30.4771≈，lg 20.3010≈）
A. 16
B. 17
C. 24
D. 25
6.执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为4，则输出的a 的值为（ ）.
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
7.已知直线10ax y +-=将圆22
:(1)(2)4C x y -++=平分，则圆C 中以点,33a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
为中点弦的弦长为
（ ）.
A. 2
B.
C. D. 4
8.关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增.其中所有正确结论的
编号是（ ）. A .
①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
9.已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）.
B. 3:1
C. 2:1
2
10.对于集合{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅，定义：()()()22210200cos cos cos n x x x x x x n
-+-+⋅⋅⋅+-Ω=为集合
{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅相对于0x
的“余弦方差”，则集合32,,,105105π
πππ⎧⎫-
-⎨⎬⎩⎭
相对于0x 的“余弦方差”为（ ） A.
14
B.
12
C.
2
D.
3
11.已知ln 2,0()12,02
x x x f x x ->⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则满足()1
2(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（ ）.
A. (,1]-∞-
B. (
2
(,1]0,e ⎤-∞-⋃⎦
C. (,1]-∞
D. (,1](0,1]-∞-⋃
12.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，15AA =，垂直于1AA 的截面分别与面对角线1D A ，1B A ，1B C ，1D C 相交于四个不同的点E ，F ，G ，H ，则四棱锥1A EFGH -体积的最大值为（ ）. A.
83
B.
125
8
C.
128
25
D.
640
81
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13.曲线1
()2x
f x x
=+
在1x =处的切线斜率为__________. 14.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，F 为DE 的中点，若AF mAB nAD =+u u u r u u u r u u u r
，则
m
n
=__________.
15.已知双曲线
22
2
:1(0)
4
x y
C b
b
-=>的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与直线PB 的斜率之积为1，则双曲线C的焦距为__________.
16.已知ABC
V
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23Bπ=，BD平分ABC∠交AC于点D，若2
BD=，23
AD CD
=，则ABC
V的面积为__________.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年大会、阅兵式、群众游行在北京隆重举行，这次阅兵编59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，各型飞机160余架、装备580余套，是近几次阅兵中规模最大的一次.某机构统计了观看此次阅兵的年龄在30岁至80岁之间的100个观众，按年龄分组：第1组[30,40)，第2组[40,50)，第3组[50,60)，第4组[60,70)，第5组[70,80]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求a的值及这100个人的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用分层抽样的方法在年龄为[50,60)、[60,70)的人中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人中年龄在[50,60)的恰有1人的概率. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n S a n +-=-. （1）求证：12n a ⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （2）若4n n b =，求数列{}4n n a b 的前n 项和n T .
19.在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥平面ABM ，
2
2
BM AB AM AD ===4=.
（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；
（2）若E 是BM 的中点，3CD =，求E 到平面ACM 的距离.
20.已知直线l 与椭圆22
:162
x y C +=交于不同的两点A ，B .
（1）若线段AB 的中点为11,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||
||
FN AB 为定值.
21.已知函数()ln f x a x x =-，其中a 为常数. （1）讨论函数()y f x =的单调性；
（2）当a e =（e 为自然对数的底数），[1,)x ∈+∞时，若方程(1)()1
b x
f x x -=
+有两个不等实数根，求实数
b 的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1cos21cos22tan x y θθθ
-⎧=
⎪+⎨⎪=⎩（θ为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为2sin 06πρθ⎛
⎫
-+= ⎪⎝
⎭
. （1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程； （2）射线6
π
θ=-
与曲线C 交于点A （异于原点）、与直线l 交于点B ，求||AB 的值.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数24
()|2|(0)a f x x x a a
+=+++<，()8|3|g x x =-+. （1）当1a =-时，求不等式()11f x ≤的解集；
（2）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[2,1]--，求a 的取值集合.。