抛物线的简单几何性质典型例题

抛物线的简单几何性质典型例题

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典型例题一

例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于点M ,如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴？

解：思路一:求出M 、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等,则ＭQ//x 轴,为此,将方程

)2

(,22p

x k y px y -==联立,解出

),)11(,2)11((2222k k p k k p P ++++))11(,2)11((22

22k k p k

k p Q +--+ 直线OP 的方程为,)11()11(22

22x k k k y ++++=

即.)

11(22x k

k y +--=

令2

p

x -=,得M 点纵坐标Q M y k k p y =+-=

)11(2得证. 由此可见，按这一思路去证,运算较为繁琐.

思路二:利用命题“如果过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为1y 、2y ，那么221p y y -=”来证.

设),(11y x P 、),(22y x Q 、),(33y x M ，并从px y 22=及)2

(p

x k y -=中消去x ，得到

022

2

=--kp py ky ，则有结论2

21p y y -=，即1

2

2y p y -=.

又直线O Ｐ的方程为x x y y 11=

, 2

p

x -=,得1132x py y -=．

因为),(11y x P 在抛物线上,所以p y

x 2

112=．

从而212

211113)(2y y p y p py x py y =-=⋅-==．

这一证法运算较小．

思路三:直线MQ 的方程为o y y =的充要条件是),2(),,2(02

00y p y Q y p

M -.

将直线M Ｏ的方程p y y 02-

=和直线ＱF 的方程)2(2220p

x p

y py y o --=联立,它的解（ｘ ,y )就是点Ｐ的坐标，消去o y 的充要条件是点P 在抛物线上,得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向

思维,运算量也较小.

说明：本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时（即斜率不存在)，容易证明成立.

典型例题二

例２ 已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、Ｂ两点，点Ｒ是含抛物线顶点Ｏ的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积.

分析:求RA Ｂ的最大面积，因过焦点且斜率为１的弦长为定值,故可以AB 为三角形的底,只要确定高的最大值即可.

解：设A Ｂ所在的直线方程为2

p x y -

=． 将其代入抛物线方程px y 22=,消去x 得0222=--p py y

p y y y y y y AB 44)(222122121=-+⋅=-=∴

当过R 的直线l 平行于ＡＢ且与抛物线相切时，△ＲAB 的面积有最大值. 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222=+-pb py y 由,0842=-=∆pb p 得2p b =，这时),2

(p p

R .它到A Ｂ的距离为p h 22= ∴△RAB 的最大面积为222

1

p h AB =⋅.

典型例题三

例3 直线1l 过点)0,1(-M ，与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点,P 是线段1P 2P 的中点,直线2l 过

Ｐ和抛物线的焦点Ｆ，设直线1l 的斜率为k ．

(1)将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ; （2）求出)(k f 的定义域及单调区间.

分析：2l 过点Ｐ及F ,利用两点的斜率公式,可将2l 的斜率用k 表示出来，从而写出)(k f ,由函数)(k f 的特点求得其定义域及单调区间．

解：(1)设1l 的方程为：)1(+=x k y ,将它代入方程x y 42=，得

0)42(2222=+-+k x k x k

设),(),(),(222111y x P y x P y x P 、、,则22

22212,24k k x k k x x -=-=

+ 将222k k x -=代入)1(+=x k y 得：k

y 2

=,即Ｐ点坐标为)2,2(22k k k -.

由x y 42=,知焦点)0,1(F ,∴直线2l 的斜率2

2

221122

k

k k k k k -=--= ∴函数2

11

)(k

k f -=

． （2)∵2l 与抛物线有两上交点,∴0≠k 且04)42(422>--=∆k k 解得01<<-k 或10<

∴函数)(k f =的定义域为{}1001<<<<-k k k 或 当)0,1(-∈k 时,)(k f 为增函数.

典型例题四

例4 如图所示:直线l 过抛物线px y 22=的焦点，并且与这抛物线相交于A 、Ｂ两点，求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．

分析：本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平

分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据ｌ上任一点到C 、Ｄ距离相等来得矛盾结论.

证法一：假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线,因为直线l 与抛物线交于Ａ、B 两点，所以直线l 的斜率存在,且不为零；直线CD

的斜率存在,且不为0．

设C 、D 的坐标分别为)2,2(121pt pt 与)2,2(22

2

pt pt .则2

11

t t k CD += ∴l 的方程为)2

()(21p

x t t y -⋅+-=

∵直线l 平分弦CD

∴CD 的中点))(),((212

2

21t t p t t p ++在直线l 上, 即]2)()[()(22212121p t t p t t t t p -++-=+,化简得:0)2

1)((2

22121=+++t t t t p