抛物线的简单几何性质典型例题

抛物线的简单几何性质典型例题
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典型例题一
例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于点M ,如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴？
解：思路一:求出M 、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等,则ＭQ//x 轴,为此,将方程
)2
(,22p
x k y px y -==联立,解出
),)11(,2)11((2222k k p k k p P ++++))11(,2)11((22
22k k p k
k p Q +--+ 直线OP 的方程为,)11()11(22
22x k k k y ++++=
即.)
11(22x k
k y +--=
令2
p
x -=,得M 点纵坐标Q M y k k p y =+-=
)11(2得证. 由此可见，按这一思路去证,运算较为繁琐.
思路二:利用命题“如果过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为1y 、2y ，那么221p y y -=”来证.
设),(11y x P 、),(22y x Q 、),(33y x M ，并从px y 22=及)2
(p
x k y -=中消去x ，得到
022
2
=--kp py ky ，则有结论2
21p y y -=，即1
2
2y p y -=.
又直线O Ｐ的方程为x x y y 11=
, 2
p
x -=,得1132x py y -=．
因为),(11y x P 在抛物线上,所以p y
x 2
112=．
从而212
211113)(2y y p y p py x py y =-=⋅-==．
这一证法运算较小．
思路三:直线MQ 的方程为o y y =的充要条件是),2(),,2(02
00y p y Q y p
M -.
将直线M Ｏ的方程p y y 02-
=和直线ＱF 的方程)2(2220p
x p
y py y o --=联立,它的解（ｘ ,y )就是点Ｐ的坐标，消去o y 的充要条件是点P 在抛物线上,得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向
思维,运算量也较小.
说明：本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时（即斜率不存在)，容易证明成立.
典型例题二
例２ 已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、Ｂ两点，点Ｒ是含抛物线顶点Ｏ的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积.
分析:求RA Ｂ的最大面积，因过焦点且斜率为１的弦长为定值,故可以AB 为三角形的底,只要确定高的最大值即可.
解：设A Ｂ所在的直线方程为2
p x y -
=． 将其代入抛物线方程px y 22=,消去x 得0222=--p py y
p y y y y y y AB 44)(222122121=-+⋅=-=∴
当过R 的直线l 平行于ＡＢ且与抛物线相切时，△ＲAB 的面积有最大值. 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222=+-pb py y 由,0842=-=∆pb p 得2p b =，这时),2
(p p
R .它到A Ｂ的距离为p h 22= ∴△RAB 的最大面积为222
1
p h AB =⋅.
典型例题三
例3 直线1l 过点)0,1(-M ，与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点,P 是线段1P 2P 的中点,直线2l 过
Ｐ和抛物线的焦点Ｆ，设直线1l 的斜率为k ．
(1)将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ; （2）求出)(k f 的定义域及单调区间.
分析：2l 过点Ｐ及F ,利用两点的斜率公式,可将2l 的斜率用k 表示出来，从而写出)(k f ,由函数)(k f 的特点求得其定义域及单调区间．
解：(1)设1l 的方程为：)1(+=x k y ,将它代入方程x y 42=，得
0)42(2222=+-+k x k x k
设),(),(),(222111y x P y x P y x P 、、,则22
22212,24k k x k k x x -=-=
+ 将222k k x -=代入)1(+=x k y 得：k
y 2
=,即Ｐ点坐标为)2,2(22k k k -.
由x y 42=,知焦点)0,1(F ,∴直线2l 的斜率2
2
221122
k
k k k k k -=--= ∴函数2
11
)(k
k f -=
． （2)∵2l 与抛物线有两上交点,∴0≠k 且04)42(422>--=∆k k 解得01<<-k 或10<<k
∴函数)(k f =的定义域为{}1001<<<<-k k k 或 当)0,1(-∈k 时,)(k f 为增函数.
典型例题四
例4 如图所示:直线l 过抛物线px y 22=的焦点，并且与这抛物线相交于A 、Ｂ两点，求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．
分析：本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平
分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据ｌ上任一点到C 、Ｄ距离相等来得矛盾结论.
证法一：假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线,因为直线l 与抛物线交于Ａ、B 两点，所以直线l 的斜率存在,且不为零；直线CD
的斜率存在,且不为0．
设C 、D 的坐标分别为)2,2(121pt pt 与)2,2(22
2
pt pt .则2
11
t t k CD += ∴l 的方程为)2
()(21p
x t t y -⋅+-=
∵直线l 平分弦CD
∴CD 的中点))(),((212
2
21t t p t t p ++在直线l 上, 即]2)()[()(22212121p t t p t t t t p -++-=+,化简得:0)2
1)((2
22121=+++t t t t p
由0)(21≠+t t p 知02
1
2
221=+
+t t 得到矛盾,所以直线l 不可能是抛物线的弦C Ｄ的垂直平分线. 证法二：假设直线l 是弦CD 的垂直平分线
∵焦点F 在直线l 上,∴DF CF =
由抛物线定义，),(),,(2211y x D y x C 到抛物线的准线2
p
x -=的距离相等. ∵2121,y y x x -==,
∴CD 的垂直平分线l ：0=y 与直线l 和抛物线有两上交点矛盾，下略.
典型例题五
例5 设过抛物线)0(22>=p px y 的顶点Ｏ的两弦OA 、O Ｂ互相垂直，求抛物线顶点O 在Ａ
Ｂ上射影N 的轨迹方程．
分析：求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N 看成定点),(00y x ；待求得00y x 、的关系后再用动点坐标)(y x ，来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算．
解法一：设),,(),,(),,(002211y x N y x B y x A
则:222
121
2,2px y px y ==,2
2
2
21214p y y x x ⋅=∴
OB OA ⊥ ,1-=⋅∴OB OA k k 即02121=+y y x x
04212
2221=+∴y y p
y y 021≠y y ,2214p y y -=∴ ①
把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为:),(00
0x x y x y y --
=-显然00≠x 0
2
00
)(x y x y y x -+-=∴代入,22px y =化简整理得：0)(222
020020=+-+y x p y py y x 00≠∴x ，0
2
02021)
(2x y x p y y +-=∴ ②
由①、②得：0
2
0202
)(24x y x p p +-=-，化简得)0(02002
020
≠=-+x px y x 用x 、y 分别表示00y x 、得:)0(0222≠=-+x px y x
解法二:点N 在以O Ａ、OB 为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设)2,2(2pt pt A ,则以OA 为直径的圆方程为:)()()(242222t t p pt y pt x +=-+-
022222=--+pty pt y x ①
设)2,2(12
1pt pt B ，O Ａ⊥ＯＢ,则t
t t t 1111-=⇒-=
在求以ＯB 为直径的圆方程时以t
1
-代1t ，可得
022)(222=+-+pty px y x t ②
由①+②得：0)2)(1(222=-++px y x t
)0(0222≠=-+∴x px y x
典型例题六
例6如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点Ｎ的距离相等,若△AMN 为锐角三角形,7=AM ，3=AN ，且6=BN ,建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.
分析:因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定Ｃ所满足的抛物线方程．
解:以1l 为ｘ轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐标系．
由题意，曲线段C 是Ｎ为焦点,以2l 为准线的抛物线的一段,其中
A 、Ｂ分别为曲线段的两端点．
∴设曲线段Ｃ满足的抛物线方程
为:),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、Ｂ的横坐标
令,p MN =则)0,2
(),0,2(p
N p M -
，3,17==AN AM ∴由两点间的距离公式,得方程组：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+-=++92)2
(172)2
(2
2
A A A A
px p x px p x
解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22
A x p
∵△ＡMN 为锐角三角形，∴
A x p
>2
,则4=p ，1=A x 又B 在曲线段C 上，4262
=-=-
=∴p
BN x B 则曲线段C 的方程为).0,41(82>≤≤=y x x y
典型例题七
例7如图所示,设抛物线)10(22<<=p px y 与圆9)5(22=+-y x 在ｘ轴上方的交点为Ａ、Ｂ，与圆27)6(22=+-y x 在x 由上方的交点为C 、Ｄ,P 为AB 中点，Q 为C Ｄ的中点.（1)求PQ ．(2）求△AB Ｑ面积的最大值.
分析：由于P 、Q 均为弦ＡB 、CD 的中点,故可用韦达定理表示出Ｐ、Q 两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ ．
解:(1)设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211y x Q y x P y x D y x C y x B y x A D D C C B B A A
由⎪⎩⎪⎨⎧==+-px
y y x 29)5(22
2得：016)5(22=+--x p x , P x x x B
A -=+=
∴52
1
2
198
)5(222222)(222p p p p x x x x p x x p y y y B
A B A B A B A -=+-=++=+=+=
由⎪⎩⎪⎨⎧==+-px
y y x 227)6(22
2得09)6(22=+--x p x ， p x x x D
C -=+=
∴62
2 )(2
22
2D C D
C x x p
y y y +=+=
同1y 类似,229p p y -=
则0,12121=-=-y y x x ，1=∴PQ
（２）B A B A APQ ABQ x x P y y PQ S S S BPQ -=-⋅=
+=∆∆∆2
221
)1(82102
2p p p P
-=--=
10<<p ,∴当21=
p 时,ABQ S ∆取最大值2
1． 典型例题八
例８ 已知直线l 过原点,抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上,且点)0,1(-A 和点
)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程.
分析：设出直线l 和抛物线C 的方程,由点A 、B 关于直线l 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设α=∠Ox B ',利用对称的几何性质和三角函数知识求解.
解法一:设抛物线C 的方程为px y 22=)0(>p ，直线l 的方程为kx y =)0(≠k ， 则有点)0,1(-A ,点)8,0(B 关于直线l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅+-⋅=,11,2121
111k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=;12,1
121221k k y k k x
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=+,18,2282
222k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1)1(8,1
1622
222k k y k k x 如图，'A 、'B 在抛物线上
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+-+-⋅=+.
1162)
1()1(64,11
2)
1(42222
2222
22k k p k k k k p k k 两式相除,消去p ，整理，得012=--k k ，故2
5
1±=
k , 由0>p ,0>k ,得251+=
k .把251+=k 代入，得55
2=p . ∴直线l 的方程为x y 251+=
,抛物线C 的方程为x y 5
5
42=． 解法二:设点A 、B 关于l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ， 又设α=∠Ox B ',依题意,有1'==OA OA ,8'==OB OB . 故αcos 82=x ，αsin 82=y ． 由︒=∠90BOA ，知︒=∠90''OA B ．
∴ααsin )90cos(1=︒-=x ,ααcos )90sin(1-=︒-=y .
又01>x ,02>x ，故α为第一象限的角．
∴)cos ,(sin 'αα-A 、)sin 8,cos 8('ααB ．
将'A 、'B 的坐标代入抛物线方程,得⎪⎩⎪⎨⎧==.
cos 16sin 64,sin 2cos 22ααααp p ∴αα33cos sin 8=，即21tan =α从而55sin =α，552cos =α, ∴552=p ，得抛物线C 的方程为x y 5
542=. 又直线l 平分OB B '∠,得l 的倾斜角为︒+=-︒+452
290ααα． ∴2
51sin 1cos )90cos(1)90sin()452tan(+=-=︒++︒+=︒+=αααααk ． ∴直线l 的方程为x y 2
51+=． 说明：
(１)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强，一时难于想到．
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法,需要重点掌握．
典型例题九
例9 如图，正方形ABCD 的边AB 在直线4+=x y l ：上，C 、D 两点在抛物线x y =2上，求正方形ABCD 的面积．
分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力．
解：∵直线4+=x y AB ：,CD AB //,∴设CD 的方程为b x y +=，且),(11y x C 、),(22y x D .
由方程组⎩⎨⎧+==b
x y x y 2，消去x ,得02=+-b y y ，于是 121=+y y ,b y y =21,∴21211y y k CD -+=(其中1=k ) ∴)41(24)(221221b y y y y CD -=-+⋅=.
由已知,ABCD 为正方形,AD CD =，
∴CD 可视为平行直线AB 与CD 间的距离，则有
24b
CD -=,于是得24)41(2b
b -=-.
两边平方后,整理得,01282=++b b ,∴6-=b 或2-=b .
当6-=b 时,正方形ABCD 的面积50)241(22=+==CD S ．
当2-=b 时，正方形ABCD 的面积18)81(22=+==CD S .
∴正方形ABCD 的面积为１8或5０.
说明：运用方程（组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件．
典型例题十
例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为410⨯d km 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为︒30，求这彗星与地球的最短距离.
分析:利用抛物线有关性质求解．
解：如图，设彗星轨道方程为px y 22=，0>p ,焦点为)0,2
(
p F , 彗星位于点),(00y x P 处.直线PF 的方程为)2(33p x y -=.
解方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-==),2(33,22p x y px y 得2)347(p x ±=, 故2
)347(0p x ±=． p p p p x PF )324(|2
2)347(|332|2|3320±=-±=-=. 故d p =±)324(,得d p 232±=
． 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为d p 4322±=，所以彗星与地球的最短距离为4104
32⨯+d km 或4104
32⨯-d km ，（P 点在F 点的左边与右边时,所求距离取不同的值)． 说明：
（1)此题结论有两个，不要漏解；
（２)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如
下：设),(00y x P 为抛物线px y 22=上一点,焦点为)0,2(p F ，准线方程为2
p x -=,依抛物线定义,有2
20p x p PF ≥+=)0(0≥x ,当00=x 时，PF 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．
典型例题十一
例11 如图,抛物线顶点在原点,圆x y x 422=+的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2,直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点，求CD AB +的值.
分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把CD AB +转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.
解：由圆的方程x y x 422=+,即4)2(22=+-y x 可知，圆心为)0,2(F ,半径为２,又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为)0,2(F ,设抛物线方程为x y 82=,
BC AD CD AB -=+ ∵BC 为已知圆的直径，∴4=BC ，则4-=+AD CD AB ．
设),(11y x A 、),(22y x D ，∵FD AF AD +=，而A 、D 在抛物线上，
由已知可知,直线l 方程为)2(2-=x y ，于是,由方程组
⎩⎨⎧-==).
2(2,82x y y 消去y ，得0462=+-x x ，∴621=+x x ． ∴1046=+=AD ，因此,6410=-=+CD AB ．
说明:本题如果分别求AB 与CD 则很麻烦，因此把CD AB +转化成4-=-AD BC AD 是关键所在,在求AD 时，又巧妙地运用了抛物线的定义,从而避免了一些繁杂的运算.。