《基本不等式：ab≤a+b》课件

[解题过程]
(1)因为 x>0，由基本不等式，得 12 3x＝2 36＝12， x·
12 f(x)＝ x ＋3x≥2
12 当且仅当 ＝3x，即 x＝2 时，f(x)取得最小值 12. x (2)∵x>2，∴x－2>0， 4 4 ∴f(x)＝x＋ ＝x－2＋ ＋2 x－2 x－2 ≥2 4 x－2· ＋2＝6， x－2
即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca.
(2)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
1 1 1 2 －1 －1 －1≥ a b c
bc 2 ac 2 ab a ·b ·c
＝8. 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时，等号成立．
[题后感悟]
(1)多次使用 a＋b≥2 ab时， 要注意等号能
否成立．累加法是不等式性质的应用，也是证明不等式的一 种常用方法． (2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运 用基本不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为 1，要 注意“1”代换．
x＋y 得 4 ＝1，
1 1 1 1 1 ∴x＋y＝4(x＋y)x＋y
y x 1 1 ＝42＋x＋y≥4(2＋2)＝1. 答案： B
3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________．
解析： 2a＋2b≥2 2a· 2b＝2 2a＋b＝2· 23＝4 2
答案： 4 2
2 2 a＋b a ＋ b 2 4．求证： 2 ≤ 2 .
2 2 2 2 2 2 a＋b a ＋ b ＋ 2 ab a ＋ b ＋ a ＋ b 2 ≤ 2 ＝ 4 4
证明：
a2＋b2 ＝ (当且仅当 a＝b 时“＝”成立)． 2
利用基本不等式证明简单不等式 已知 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1.
1．已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证： (1)a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ac； (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.
证明： (1) b＋c≥2 bc＞0， c＋a≥2 ca＞0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)，
1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝－1
)
D．m＝0
解析： m2＋1＝2m时，m＝1.故选A. 答案： A
2．若 x＞0，y＞0，且 x＋y＝4，则下列不等式中恒成立 的是( ) 1 1 B. ＋ ≥1 x y
1 1 A. ≤ x＋y 4
1 C. xy≥2 D.xy≥1 解析： 若 x＞0，y＞0，由 x＋y＝4，
≥
2ab，
③等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
a＋b ④对任意两个正实数 a、b， 叫做 a，b 的算术平均数 ， 2 ab叫做 a，b 的
几何平均数．
2．应用基本不等式求最值
如果x，y都是正数，那么 (1)若积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有 最小值． (2)若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时，积xy有 最大值．
3.4
a＋b 基本不等式： ab≤ 2
1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单不等式．
3．熟练掌握基本不等式及变形应用．
4．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．本课难点是利用基本不等式证明不等式．
2．利用基本不等式求最值是本课热点．
3．多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查．
1 1 1 求证：a－1b－1c－1≥8.
不等式右边数字为 8，使我们联想到左边因式分别使用 1－a b＋c 1 基本不等式，可得三个“2”连乘，又 －1＝ ＝ a a a 2 bc ≥ ，可由此变形入手． a
[解题过程] 证明：∵a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， 1－a b＋c 2 bc 1 ∴ －1＝ ＝ ≥ ， a a a a 1 2 ac 1 2 ab 同理 －1≥ ， －1≥ . b b c c 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
12 (1)若 x>0，求 f(x)＝ x ＋3x 的最小值． 4 (2)已知 x>2，求 f(x)＝x＋ 的最小值； x－2 x2＋8 (3)求函数 y＝ (x>1)的最小值． x－1
利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等” 的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式 解之．
呢？
简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下， a＋b 以 A＝ 2 表示物体的质量．这样的做法合理吗？
1．基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2 当且仅当 a＝b 时，等号成立． (2)基本不等式
a＋b ab≤ ； ①形式： 2 ②成立的前提条件：a>0，b>0；
1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－b)2 ≥ 0，因此 a ＝b a2＋b2 2ab≥ .什么时候等号能成立呢？当且仅当 时 ， 取
等号． 2．把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放 砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确， 天平的两臂长略有不同 ( 其他因素不计 ) ，那么 a 并非物体的实际 质量．不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个 盘上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量
4 当且仅当 x－2＝ ， x－2 即 x＝4 时，等号成立． 4 所以 x＋ 的最小值为 6. x－2 (3)∵x>1，∴x－1>0. x2＋8 x－12＋2x＋7 ∴y＝ ＝ x－1 x－1 x－12＋2x－1＋9 9 ＝ ＝(x－1)＋ ＋2 x－1 x－1