一道常见解析几何题的六种解法
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可知 ∆ > 0 恒成立，且 x1 + x2 = ∵ ∴
16k 2 16k 2 − 48 ①， ②， x x = 1 2 4k 2 + 3 4k 2 + 3
1 1 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 = | PF | ⋅ | y1 | ， S2 = | PF | ⋅ | y2 | ， 2 2
7 ，∴ 2
∴ ∴
x1 = −1 ， x2 = −
y1 = ±
3 5 5 ，∴ k = ± ， 2 2
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
【解法六】 （极坐标下的焦半径公式） ∵ ∵
S1 = 2 S 2 ，∴ | MF |= 2 | NF | ， | MF |= ep ep ， | NF |= ， 1 + e cos θ 1 − e cos θ tan θ = 5 5 ，即 k = ， 2 2
解得： k 2 = ∴
5 5 ，∴ k = ± ， 4 2
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
【解法二】设直线 l 的方程为 x = my + 2 ， M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，
x2 y 2 =1 + 由 16 12 得 (3m 2 + 4) y 2 + 12my − 36 = 0 ， x = my + 2
S1 | y1 | y = = − 1 = 2 ，即 y1 = −2 y 2 ，从而 x1 + 2 x2 = 6 ③， S 2 | y2 | y2
联立①③得： x1 =
8k 2 + 18 8k 2 − 18 (8k 2 + 18)(8k 2 − 18) 16k 2 − 48 ， x = ， 代入②得： = ， 2 4k 2 + 3 4k 2 + 3 (4k 2 + 3)2 4k 2 + 3
7 ，∴ 2
y1 = ±
3 5 5 ，∴ k = ± ， 2 2
∴
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
【解法五】 （焦半径公式）设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ， ∵ ∴
1 1 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 = | PF | ⋅ | y1 | ， S2 = | PF | ⋅ | y2 | ， 2 2
∴
【解法四】 （定比点差法）设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ， ∵ ∴
1 1 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 = | PF | ⋅ | y1 | ， S2 = | PF | ⋅ | y2 | ， 2 2
S1 | y1 | y = = − 1 = 2 ，即 y1 = −2 y 2 ①，从而 x1 + 2 x2 = 6 ②， S 2 | y2 | y2
x2 y 2 【题目】 已知椭圆 C： + = 1 的右焦点为 F， 右顶点为 A， 离心率为 e， 点 P(m, 0)(m > 4) 16 12
满足条件
| FA | =e． | AP |
（Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ） 设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M， N 两点， 记 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 ，
S2 ，若 S1 = 2S2 ，求直线 l 的方程．
【解析】 （Ⅰ）∵ 椭圆 C 的方程为 则 e=
x2 y 2 + = 1，∴ 16 12
a = 4 , b = 2 3 , c = a 2 − b2 = 2 ，
| FA | 2 1 = = ，∴ | AP | m − 4 2
m =8．
c 1 = ， | FA |= 2 ， | AP |= m − 4 ，∵ a 2
【解法三】设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ， ∵ ∴
1 1 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 = | PF | ⋅ | y1 | ， S2 = | PF | ⋅ | y2 | ， 2 2
S1 | y1 | y = = − 1 = 2 ，即 y1 = −2 y 2 ，从而 x1 + 2 x2 = 6 ， S 2 | y2 | y2
∴
y1 + y2 =
−12m −36 ①， y1 y2 = ②， 2 3m + 4 3m 2 + 4
∵ ∴
1 1 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 = | PF | ⋅ | y1 | ， S2 = | PF | ⋅ | y2 | ， 2 2
S1 | y1 | y = = − 1 = 2 ，即 y1 = −2 y 2 ③， S 2 | y2 | y2
∵
x12 y12 + = 1③ ( x + 2 x2 )( x1 − 2 x2 ) ( y1 + 2 y2 )( y1 − 2 y2 ) 16 12 + = −3 ， ，∴ ③ − ④× 4 得： 2 2 16 12 x2 + y2 = 1④ 16 12
代入①②得： x1 − 2 x2 = −8 ⑤， 联立②⑤得： x1 ห้องสมุดไป่ตู้ −1 ， x2 = −
（Ⅱ）若直线 l 的斜率不存在，则有 S1 = S 2 ，不合题意； 若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y = k ( x − 2) ， M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，
x2 y2 + = 1, 得 (4 k 2 + 3) x 2 − 16k 2 x + 16 k 2 − 48 = 0 ， 由 16 12 y = k ( x − 2),
∴
ep 2ep 1 2 ，解得 cos θ = − = = − ，∴ 1 + e cos θ 1 − e cos θ 3e 3 5 也符合条件， 2
由对称性可知， k = − ∴
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
∵
(6 − 2 x2 ) 2 (−2 y2 )2 + =1 7 3 5 5 16 12 ，解得 x2 = − ， y2 = ± ，∴ k = ± ， 2 2 2 4 2 x2 + y2 = 1 16 12
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
联立①③得： y2 =
12m −24m −12m ⋅ 24m −36 ， y1 = ，代入②得 ， = 2 2 2 2 3m + 4 3m + 4 (3m + 4) 3m 2 + 4
解得 m 2 = ∴
4 ，∴ 5
m=±
2 5 ， 5
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
S1 | y1 | y = = − 1 = 2 ，即 y1 = −2 y 2 ，从而 x1 + 2 x2 = 6 ， S 2 | y2 | y2
∵
| MF |= a − ex1 = 4 −
x1 x ， | NF |= 4 − 2 ，且 | MF |= 2 | NF | ， 2 2
∴ 4−
x1 x = 2(4 − 2 ) ，得 x1 − 2 x2 = −8 ， 2 2
16k 2 16k 2 − 48 ①， ②， x x = 1 2 4k 2 + 3 4k 2 + 3
1 1 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 = | PF | ⋅ | y1 | ， S2 = | PF | ⋅ | y2 | ， 2 2
7 ，∴ 2
∴ ∴
x1 = −1 ， x2 = −
y1 = ±
3 5 5 ，∴ k = ± ， 2 2
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
【解法六】 （极坐标下的焦半径公式） ∵ ∵
S1 = 2 S 2 ，∴ | MF |= 2 | NF | ， | MF |= ep ep ， | NF |= ， 1 + e cos θ 1 − e cos θ tan θ = 5 5 ，即 k = ， 2 2
解得： k 2 = ∴
5 5 ，∴ k = ± ， 4 2
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
【解法二】设直线 l 的方程为 x = my + 2 ， M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，
x2 y 2 =1 + 由 16 12 得 (3m 2 + 4) y 2 + 12my − 36 = 0 ， x = my + 2
S1 | y1 | y = = − 1 = 2 ，即 y1 = −2 y 2 ，从而 x1 + 2 x2 = 6 ③， S 2 | y2 | y2
联立①③得： x1 =
8k 2 + 18 8k 2 − 18 (8k 2 + 18)(8k 2 − 18) 16k 2 − 48 ， x = ， 代入②得： = ， 2 4k 2 + 3 4k 2 + 3 (4k 2 + 3)2 4k 2 + 3
7 ，∴ 2
y1 = ±
3 5 5 ，∴ k = ± ， 2 2
∴
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
【解法五】 （焦半径公式）设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ， ∵ ∴
1 1 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 = | PF | ⋅ | y1 | ， S2 = | PF | ⋅ | y2 | ， 2 2
∴
【解法四】 （定比点差法）设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ， ∵ ∴
1 1 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 = | PF | ⋅ | y1 | ， S2 = | PF | ⋅ | y2 | ， 2 2
S1 | y1 | y = = − 1 = 2 ，即 y1 = −2 y 2 ①，从而 x1 + 2 x2 = 6 ②， S 2 | y2 | y2
x2 y 2 【题目】 已知椭圆 C： + = 1 的右焦点为 F， 右顶点为 A， 离心率为 e， 点 P(m, 0)(m > 4) 16 12
满足条件
| FA | =e． | AP |
（Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ） 设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M， N 两点， 记 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 ，
S2 ，若 S1 = 2S2 ，求直线 l 的方程．
【解析】 （Ⅰ）∵ 椭圆 C 的方程为 则 e=
x2 y 2 + = 1，∴ 16 12
a = 4 , b = 2 3 , c = a 2 − b2 = 2 ，
| FA | 2 1 = = ，∴ | AP | m − 4 2
m =8．
c 1 = ， | FA |= 2 ， | AP |= m − 4 ，∵ a 2
【解法三】设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ， ∵ ∴
1 1 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 = | PF | ⋅ | y1 | ， S2 = | PF | ⋅ | y2 | ， 2 2
S1 | y1 | y = = − 1 = 2 ，即 y1 = −2 y 2 ，从而 x1 + 2 x2 = 6 ， S 2 | y2 | y2
∴
y1 + y2 =
−12m −36 ①， y1 y2 = ②， 2 3m + 4 3m 2 + 4
∵ ∴
1 1 ∆PMF 和 ∆PNF 的面积分别为 S1 = | PF | ⋅ | y1 | ， S2 = | PF | ⋅ | y2 | ， 2 2
S1 | y1 | y = = − 1 = 2 ，即 y1 = −2 y 2 ③， S 2 | y2 | y2
∵
x12 y12 + = 1③ ( x + 2 x2 )( x1 − 2 x2 ) ( y1 + 2 y2 )( y1 − 2 y2 ) 16 12 + = −3 ， ，∴ ③ − ④× 4 得： 2 2 16 12 x2 + y2 = 1④ 16 12
代入①②得： x1 − 2 x2 = −8 ⑤， 联立②⑤得： x1 ห้องสมุดไป่ตู้ −1 ， x2 = −
（Ⅱ）若直线 l 的斜率不存在，则有 S1 = S 2 ，不合题意； 若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y = k ( x − 2) ， M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，
x2 y2 + = 1, 得 (4 k 2 + 3) x 2 − 16k 2 x + 16 k 2 − 48 = 0 ， 由 16 12 y = k ( x − 2),
∴
ep 2ep 1 2 ，解得 cos θ = − = = − ，∴ 1 + e cos θ 1 − e cos θ 3e 3 5 也符合条件， 2
由对称性可知， k = − ∴
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
∵
(6 − 2 x2 ) 2 (−2 y2 )2 + =1 7 3 5 5 16 12 ，解得 x2 = − ， y2 = ± ，∴ k = ± ， 2 2 2 4 2 x2 + y2 = 1 16 12
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
联立①③得： y2 =
12m −24m −12m ⋅ 24m −36 ， y1 = ，代入②得 ， = 2 2 2 2 3m + 4 3m + 4 (3m + 4) 3m 2 + 4
解得 m 2 = ∴
4 ，∴ 5
m=±
2 5 ， 5
直线 l 的方程为 5 x + 2 y + 2 5 = 0 或 5 x − 2 y − 2 5 = 0 ．
S1 | y1 | y = = − 1 = 2 ，即 y1 = −2 y 2 ，从而 x1 + 2 x2 = 6 ， S 2 | y2 | y2
∵
| MF |= a − ex1 = 4 −
x1 x ， | NF |= 4 − 2 ，且 | MF |= 2 | NF | ， 2 2
∴ 4−
x1 x = 2(4 − 2 ) ，得 x1 − 2 x2 = −8 ， 2 2