高中数学必修二第二章经典练习题

高一数学必修二第二章经典练习题
第I卷（选择题）
请修改第I卷的文字说明
一、单项选择
1. 在空间，下列哪些命题是正确的（）．
①平行于同一条直线的两条直线互相平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③平行于同一个平面的两条直线互相平行
④垂直于不一个平面的两条直线互相平行
A．仅②不正确B．仅①、④正确
C．仅①正确D．四个命题都正确
2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（）
A 不存在与a平行的直线
B 不存在与a垂直的直线
C 与a垂直的直线只有一条
D 与a平行的直线有无数条
3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（）
A 必有外接圆
B 必有内切圆
C 既有内切圆又有外接圆
D 必是正方形
4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
5. 若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )
A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个
7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P 到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（）
A 是非等腰的直角三角形
B 是等腰直角三角形
C 是等边三角形
D 不是A、B、C所述的三角形
8. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是的中点,则所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED 与D1F所成角的大小是（）
A． B。

C。

D。

10. 已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若
B.若
C.若
D.若
11. 在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )
A． B． C． D．
12. 已知直线、，平面、，且，，则是的
.充要条件 .充分不必要条件
.必要不充分条件 .既不充分也不必要条件
13. 设表示两条直线，表示两个平面，下列命题中是真命题的是
（）
A． B．
C．D．
14. 在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）
15. 在正方体中,为正方形中心,则与平面ABCD所成角的正切值为( )
A. B. D.
16. 在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（）
A B C D
17. 四条不共线的线段顺次首尾连接，可确定平面的个数是（）
A．1 B．3 C．4 D．1或4
18. 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中真命题是( )
A．若a，b与α所成角相等，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α⊥β，则a⊥b
C．若a？α，b？β，a⊥b，则α⊥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
19. 如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有 ( )
A． 0条 B． 1条 C． 2条 D． 3条
20. 已知AA/是两条异面直线的公垂线段，E、F分别是异面直线上任意两点，那么线段AA/与EF的长度关系是（）
A EF<AA/
B EF≤AA/
C EF＞AA/
D EF≥ AA/
21. 已知、是平面，、是直线，下列命题中不正确的是（）
A．若∥，，则 B．若，，则
C．若，，则∥ D．若∥，，则∥
22. 三个角是直角的四边形（）
A．一定是矩形
B．一定是空间四边形
C．是四个角为直角的空间四边形
D．不能确定
23. 如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角 C1—BD—C的大小为（）Ａ．30°B．45°C．60°D．90°
24. 直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的（）
A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有
25. 若平面外的一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是（）
A．平行B．相交C．垂直D．平行或相交
26. 直线与平面平行的充要条件是（）
A．直线与平面内的一条直线平行 B。

直线与平面内的两条直线不相交
C．直线与平面内的任一直线都不相交 D。

直线与平行内的无数条直线平行
A
B C
D P ·
27. 下列四个结论：
⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（）
A． B． C． D．
28. 如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点．则以下命题中错误
．．的是（）
A．点是的垂心 B．垂直平面
C．的延长线经过点 D．直线和所成角为
29. 空间四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC=BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（）
A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形
30. 命题：（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影；（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线；（3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线；（4）一个锐角在一个平面内的射影一定是锐角。

以上命题正确的有（）
A 0个
B 1个
C 2个 D3个
31. 正四棱锥的所有棱长相等,为的中点,那么异面直线与所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
32. 对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线,使与( )
(A)平行（B）相交(C)垂直 (D)互为异面直线
33. 已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是 ( ）A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交
C．若a在正四棱锥P-ABCD中，点P在底面上的射影为O，E为PC的中点，则直线AP与OE的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．都有可能
35. 三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为
500π
3
的球的表面上，△ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )
A．7 B．
C．8 D．9
36. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（）
（A） (B) (C) (D)
37. 已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（）
A．，，则
B． a，，，，则
C．，，则
D．当，且时，若∥，则∥
38. 与空间四点距离相等的平面共有（）
A．3个或7个 B．4个或10个
C．4个或无数个 D．7个或无数个
39. 已知直线l，m与平面满足，，则有( )
（A）且（B）且
（C）且（D）且
40. 在棱长为1的正方体ABCD-中，与平面ABCD所成的角为( )
A、 B、 C、 D、
第II卷（非选择题）
二、填空题
41. 已知直线和平面,试利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系,构造出一个条件,使之能判断出⊥ ,这个条件可以是 .
42. 已知三个平面α、β、γ，α∥β∥γ，a,b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A、B、C三点，b与α、β、γ分别交于D、E、F三点，连结AF交平面β于G，连结CD交平面β于H，则四边形BGEH必为__________．
43. 、为直线,、为平面,给出下列命题:
请将你认为正确的结论的序号ii）当满足条件时，,且PA=AD=1,AB=2, ,.
? 最大值为多少?
11题图
48. 如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO面ABCD,E是PC的中点.求证:(1)PA∥平面BDE
(2)平面PAC平面BDE
49. 如图，已知四棱台ABCD –A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2.（ I）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅱ）求四棱台ABCD - A1B1C1D1的体积；
（Ⅲ）求二面角B—C1C—D的余弦值．
50. 如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．分别为,,,的中点，分别为,,
,的中点．
（1）证明：四点共面；
（2）设为中点，延长到，使得．证明：平面．
参考答案
一、单项选择
1.【答案】B
【解析】①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线平面，，，且，则，，即平面内两条直交直线，都垂直于同一条直线，但，的位置关系并不是平行．另外，，的位置关系也可以是异面，如果把直线平移到平面外，此时与的位置关系仍是垂直，但此时，，的位置关系是异面．
③如图，在正方体中，易知，，但，因此该命题是错误的．
④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
【解析】∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴D正确．
5.【答案】D
6.【答案】D
【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n，直线m、n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．
7.【答案】C
8.【答案】连接AC、BD交于O,连接OE,因OE∥SD.所以∠AEO为所求.设侧棱长与底面边长都等于2,则在⊿AEO中,OE＝1,AO＝,AE=,
于是【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】C
【解析】取BC的中点E，则面，
，因此与平面所成角即为，设，则，，即有．
12.【答案】B
13.【答案】C
14.【答案】A
【解析】∵CD在平面BCD内，AB是平面BCD的斜线，由三垂线定理可得A.
15.【答案】A
16.【答案】B
17.【答案】D
【解析】可以是平面四边形，也可以是空间四边形，所以正确选项为D.
18.【答案】D
【解析】正四棱锥P－ABCD中，PA、PC与底面ABCD所成角相等，但PA与PC相交，∴A 错；如图(1)正方体中，a∥b∥c，满足a∥α，b∥β，α⊥β，故B错；图(2)正方体中，上、下底面为β、α，a、b为棱，满足a？α，b？β，a⊥b，但α∥β，故C错；
19.【答案】Ｃ
【解析】在平面DAB内过点Ｂ与直线BC成60°角的直线共有２条，
故在平面DAB内过点Ｐ与直线BC成60°角的直线共有２条。

20.【答案】D
21.【答案】D
依次画出各选项的示意图：
【解析】依次画出各选项的示意图：
显然D不正确，选D
22.【答案】D
【解析】若此四边形是平面图形，则一定是矩形．若为空间图形，则为有三个角为直角的空间四边形．
23.【答案】A
24.【答案】B
【解析】过与该点作一平面与平面相交，则交线与平行，那么在平面内过该点的直线中，除这一条直线外，其余的与都不平行，所以正确选项为B.
25.【答案】D
【解析】考虑平面外的直线与平面有两种位置关系可得正确选项为D.
26.【答案】C
27.【答案】A
【解析】⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内
28.【答案】D
29.【答案】D
【解析】由中位线定理得四边形是平行四边形，再由已知可得相邻两边垂直且相等，所以正确选项为D ，即有 ，，
∴ 四边形EFGH 是正方形．
30.【答案】A 31.【答案】D
32.【答案】C
33.【答案】C 34.【答案】A 35.【答案】C
【解析】∵△ABC 所在小圆面积为16π， ∴小圆半径r ＝O ′A ＝4，
又球体积为500π3，∴4πR33＝500π
3
，
∴球半径R ＝5，∴OO ′＝3，
故三棱锥的高为PO ′＝R ±OO ′＝8或2，故选C.
36.【答案】D
【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E 为BC 中点，∵ BC ⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC ⊥面SAE ，∴ BC ⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF ⊥面SBC ，∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3，∴∴ ，，∴
37.【答案】B 38.【答案】D
【解析】若A 、B 、C 、D 四点不在一个平面内，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．若A 、B 、C 、D 四点在一个平面内，则距离相等的平面有无数个．
39.【答案】B
，又．
40.【答案】D
二、填空题
41.【答案】或
42.【答案】平行四边形
【解析】由α∥β∥γ，a与AF相交于A有：BG面ACF，
∴ BG∥CF,同理有：HE∥CF，∴BG∥HE．同理BH∥GE，∴四边形BGEH为平行四边形．
43.【答案】①②
44.【答案】②④
45.【答案】③⑤②⑤
【解析】若，，则；
若，，则。

三、解答题
46.【答案】(1)证明:∵ABCD为矩形
∴且
∵ ∴且
∴平面,又∵平面PAD
∴平面平面
(2) ∵
由(1)知平面,且∴平面分
∴
47.【答案】（1）在直角梯形中，，为的中点，则,又，
,知.在四棱锥中，，，平面，则平面.因为平面,所以又, 且是平面内两条相交直线, 故平面.
(2)由(1)知平面，
知三棱锥的体积
由直角梯形中,，，，得三棱锥中，，
当且仅当，即时取等号，（此时，落在线段内）.故当时, 三棱锥的体积最大，最大值为.
48.【答案】(1)∵O是AC的中点,E是PC的中点,∴OE∥AP,又∵OE平面BDE,PA平面BDE,∴PA∥平面BDE
(2)∵PO底面ABCD,∴POBD,又∵ACBD,且ACPO=O∴BD平面PAC,而BD平面BDE,∴平面PAC 平面BDE.
49.【答案】（Ⅰ）∵⊥平面 ABCD，∴．底面是正方形，．
与是平面内的两条相交直线，∴⊥平面．平面，∴平面平面．
（Ⅱ）过作于，则．
∵⊥平面 ABCD，平面．
在中，求得．而，
所以四棱台的体积．
（Ⅲ）设与交于点O，连接．
过点B在平面内作于M，连接．
由（Ⅰ）知⊥平面，．
所以平面，．
所以，是二面角的平面角．
在中，求得，从而求得．
在中，求得，同理可求得．
在中，由余弦定理，求得．
50.【答案】
（1）连接
依题意得是圆柱底面圆的圆心
∴是圆柱底面圆的直径
∵分别为,,的中点
∴
∴∥
∵，四边形是平行四边形
∴∥
∴∥
∴四点共面
（2）延长到，使得，连接
∵
∴，四边形是平行四边形
∴∥
∵，，
∴面
∴面，面
∴
易知四边形是正方形，且边长∵，
∴
∴
∴
易知，四边形是平行四边形∴∥
∴，
∴平面．。