人教A版高中数学选修4-1 第二讲 一 圆周角定理 课件(共30张PPT)
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提高学生学习数学的积极性,培养他们勤于思 考,敢于探索的思维习惯,使学生体会到数学的 逻辑严谨的特征.
教学重难点
重点
掌握圆周角定理,圆心角定理及其 圆周角的两个推论.
难点
圆周角定理,圆心角定理的证明及 其应用.
1.首先考虑一种特殊情况:
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
∵∠AOC是△ABO的外角, ∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB, ∴∠A=∠B.
C ●O
∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠AOC.
B百度文库
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考:能否转化为1的情况?
课堂练习
1、如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一动点(不 与A、B重合),CD⊥AB于D,∠OCD的平分线交
⊙O于P,则当C在⊙O上运动时,点P的位置( B )
A.随点C的运动而变化
B.不变
C.在使PA=OA的劣弧上
12
D.无法判断
4 5
解析 ∠1=∠2= ∠3 ∠4=∠5
3
∠CDO=∠POD=90°
知识要 点
圆周角定理的推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同 圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 相等.
小练习
如图,△ABC内接于圆,D是弧BC的中点,AD 交BC于E, 求证:AB·AC=AE·AD 分析:要证AB ·AC = AE ·AD
AB = AD AE AC △ABD∽ △AEC
∠1=∠2 ∠C=∠D
分析:要证AB2=BG·BC
1
△ABG∽ △CBA
∠ABG =∠CBA
2
∠1= ∠C
连接BH,利用等孤所对的圆周角相等:∠1= ∠2=∠C 即证.
4、如图,以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于 D,交AC于E,过E作EF⊥BC,垂足为F,且BF: FC=5:1,AB=8,AE=2,求EC的长. 分析:连接BE,得AC BE
A C
过点B作直径BD.由1可得:
●O
B
∠ABD = 1/2∠AOD,∠CBD =1/2 ∠COD,
∴ ∠ABC = 1/2∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
知识要 点
圆周角定理:
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半 .
小练习
1、⊙O的半径为5,圆心的坐标为(0,0)点P的 坐标为(4,2),点A的坐标为(4,-3),则 点P与⊙O的位置关系是 ,点A在⊙O 的. 2、一个点与定圆上最近的距离为4㎝,最远点的 距离为9㎝,则此圆的半径为 .
y
.4 P(4,2)
2 25
.o
35
x
4 A(4,-3)
..9㎝
4㎝
O
B
P
A
1题
2题
回顾
我们知道,一个周角是360°.把圆周等分成 360份,每份叫做1°的弧. 由此,n°的圆心角所对的弧是n°的弧;反之, n°的弧所对的圆心角的度数是n°.从而有:
知识要 点
圆心角定理:
圆心角的度数等于它所对弧的度数 .
则BE2=AB2-AE2=60 由射影定理可知BE2=BF·BC
即 5/6BC2=60 BC2=72
CE2=BC2-BE2=12.
读书当将破万卷;求知不叫一疑存。读书之法,在循序而渐进,熟读而精思,喜欢读书,就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻 善名。有时间读书,有时间又有书读,这是幸福;没有时间读书,有时间又没书读,这是苦恼。不读书的人,思想就会停止。读书时要深 就可能人云亦云,沦为书本的奴隶;或者走马看花,所获甚微。为乐趣而读书。立身以立学为先,立学以读书为本读书而不能运用,则所 可以培养一个完人,谈话可以训练一个敏捷的人,而写作则可造就一个准确的人。读书是在别人思想的帮助下,建立起自己的思想。养心 书。身边永远要着铅笔和笔记本,读书和谈话时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿壁偷光,聚萤作囊;在读书上,数量并不 的品质与所引起的思索的程度。劳于读书,逸于作文。、没有比读书更廉价的娱乐,更持久的满足了。从来没有人为了读书而读书,只有 发现自己,或检查自己。不怕读得少,只怕记不牢。莫等闲,白了少年头,空悲切!书籍是培育我们的良师,无需鞭答和根打,不用言语 不拘形式,对图书倾注的爱,就是对才智的爱。熟读唐诗三百首,不会作诗也会吟。书到精绝潜心读;文穷情理放声吟读万卷书,行万里 可以医愚。如果把生活比喻为创作的意境,那么阅读就像阳光。书籍是少年的食物,它使老年人快乐,也是繁荣的装饰和危难的避难所, 快乐的种子,在外也不致成为障碍物,但在旅行之际,却是夜间的伴侣。读书是在别人思想的帮助下,建立起自己的思想。饭可以一日不 书不可以一日不读。、读过一本好书,像交了一个益友。读书有三到,谓心到,眼到,口到立身以立学为先,立学以读书为本。读书而不 化。为中华之崛起而读书。来书籍是在时代的波涛中航行的思想之船,它小心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。书籍是最好的朋友 难的时候,你都可以向它求助,它永远不会背弃你。1、抱最大的希望,为最大的努力,做最坏的打算。有些事情本身我们无法控制,只 像大树一样,被砍了,还能再长;也要像杂草一样,虽让人践踏,但还能勇敢地活下去。人的活动如果没有理想的鼓舞,就会变得空虚而 应该更大胆、更积极地向不幸挑战!一个人炫耀什么,说明内心缺少什么。志在山顶的人,不会贪念山腰的风景。当一个人先从自己的内 有价值的人。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。强者向人们揭示的是确认人生的价值,弱者向人们揭示的却是对人生的怀疑。不 这一切看成是在你成大事之前,必须经受的准备工作。成功源于不懈的努力。积极思考造成积极人生,消极思考造成消极人生。对的,坚 的路总是为有信心的人预备着。这社会你改变不了就得适应,适应不了就得被淘汰!这叫适者生存!宁愿跑起来被拌倒无数次,也不愿规 跌倒也要豪迈的笑。没有伞的孩子必须努力奔跑。你不勇敢,没人替你坚强。态度决定一切,实力捍卫尊严!人要经得起诱惑耐得住寂寞 宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水,但这滴水却凝聚着海洋的全部财富;是质量上的一而非数量上的一;你的思维拥有一切宇宙智慧 弃者绝不会成功。人生不售来回票,一旦动身,绝不能复返。自己要先看得起自己,别人才会看得起你。即使爬到最高的山上,一次也只 人生的光荣,不在于永不言败,而在于能够屡扑屡起。——拿破仑游手好闲的人最没有空闲不经风雨,长不成大树;不受百炼,难以成钢 于你自己。人的一生,是很短的,短暂的岁月要求我好好领会生活的进程……攀登顶峰,这种奋斗的本身就足以充实人的心。人们必须相 老骥伏枥,志在千里;烈士暮年,壮心不已。大鹏一日同风起,扶摇直上九万里。不会宽容人的人,是不配受到别人的宽容的。不经过本 到自己的目的,任�
旧知回顾
圆心角和圆周角是如何定义的? 顶点在圆心的角叫圆心角.顶点在圆周
上,两边和圆相交的角叫做圆周角. A
. B OC
课题导入
半圆或直径所对的圆周角等于多少度?
结论
半圆或直径所对的圆周角都等于90°(直角). 反过来也是成立吗?
探究
圆周角和圆心角之间有的关系?
A
. B OC
思考?
教学目标
当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC分 别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的 大小有什么关系?
实际问题数学化
A
E B
C D
A
B,D,E为球员,AC为 球门,分别形成三个张角 E
∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三 个角的大小有什么关系? B
●O
C
D
在同圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等.
2、如图,在⊙O中,弦AB、CD垂直相交于点E, 求证:∠BOC+∠AOD=180°. 解: ∠BOC+∠AOD=∠1+∠3
=2∠2+2∠ABD =2(∠2+∠ABD)
1
3 2
=2 ×90°
=180°
3、已知:△ABC为⊙O的内接三角形,⊙O的直 径BD交AC于E.AF⊥BD于F,延长AF交BC于G, 求证:AB2=BG·BC.
2
r
解二 连接CA,CB利用射影定理 A
求出DB
DO r-1
B
课堂小结
1、圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
2、圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数.
2、圆周角定理的推论
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相 等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的 弧也相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角 是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = 1/2∠AOD,∠CBD = 1/2∠COD,
AD C
●O
∴ ∠ABC = 1/2∠AOC.
B
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考:能否也转化为1的情况?
探究
90°的圆周角所对的弦是直径?
思考
知识要 点
圆周角定理的推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径.
小练习
如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点, CD⊥AB于D.已知CD=2cm,AD=1cm,求AB的长.
解一 连接CO,利用勾股定理
C
求出半径:r2=(r-1)2+22
知识与能力
理解和掌握圆周角定理以及两个相关的 推论,并能够用这个定理和推论解决有关的 几何问题.
过程与方法
学习并领会圆周角定理的证明推导过程,应 用圆周角定理解决几何问题过程,使学生体会 和掌握“分类”和“转化”这两种数学思想在 几何证明中的作用,培养学生的发散思维和严 谨的逻辑思维.
情感态度与价值观
教学重难点
重点
掌握圆周角定理,圆心角定理及其 圆周角的两个推论.
难点
圆周角定理,圆心角定理的证明及 其应用.
1.首先考虑一种特殊情况:
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
∵∠AOC是△ABO的外角, ∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB, ∴∠A=∠B.
C ●O
∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠AOC.
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一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考:能否转化为1的情况?
课堂练习
1、如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一动点(不 与A、B重合),CD⊥AB于D,∠OCD的平分线交
⊙O于P,则当C在⊙O上运动时,点P的位置( B )
A.随点C的运动而变化
B.不变
C.在使PA=OA的劣弧上
12
D.无法判断
4 5
解析 ∠1=∠2= ∠3 ∠4=∠5
3
∠CDO=∠POD=90°
知识要 点
圆周角定理的推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同 圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 相等.
小练习
如图,△ABC内接于圆,D是弧BC的中点,AD 交BC于E, 求证:AB·AC=AE·AD 分析:要证AB ·AC = AE ·AD
AB = AD AE AC △ABD∽ △AEC
∠1=∠2 ∠C=∠D
分析:要证AB2=BG·BC
1
△ABG∽ △CBA
∠ABG =∠CBA
2
∠1= ∠C
连接BH,利用等孤所对的圆周角相等:∠1= ∠2=∠C 即证.
4、如图,以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于 D,交AC于E,过E作EF⊥BC,垂足为F,且BF: FC=5:1,AB=8,AE=2,求EC的长. 分析:连接BE,得AC BE
A C
过点B作直径BD.由1可得:
●O
B
∠ABD = 1/2∠AOD,∠CBD =1/2 ∠COD,
∴ ∠ABC = 1/2∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
知识要 点
圆周角定理:
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半 .
小练习
1、⊙O的半径为5,圆心的坐标为(0,0)点P的 坐标为(4,2),点A的坐标为(4,-3),则 点P与⊙O的位置关系是 ,点A在⊙O 的. 2、一个点与定圆上最近的距离为4㎝,最远点的 距离为9㎝,则此圆的半径为 .
y
.4 P(4,2)
2 25
.o
35
x
4 A(4,-3)
..9㎝
4㎝
O
B
P
A
1题
2题
回顾
我们知道,一个周角是360°.把圆周等分成 360份,每份叫做1°的弧. 由此,n°的圆心角所对的弧是n°的弧;反之, n°的弧所对的圆心角的度数是n°.从而有:
知识要 点
圆心角定理:
圆心角的度数等于它所对弧的度数 .
则BE2=AB2-AE2=60 由射影定理可知BE2=BF·BC
即 5/6BC2=60 BC2=72
CE2=BC2-BE2=12.
读书当将破万卷;求知不叫一疑存。读书之法,在循序而渐进,熟读而精思,喜欢读书,就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻 善名。有时间读书,有时间又有书读,这是幸福;没有时间读书,有时间又没书读,这是苦恼。不读书的人,思想就会停止。读书时要深 就可能人云亦云,沦为书本的奴隶;或者走马看花,所获甚微。为乐趣而读书。立身以立学为先,立学以读书为本读书而不能运用,则所 可以培养一个完人,谈话可以训练一个敏捷的人,而写作则可造就一个准确的人。读书是在别人思想的帮助下,建立起自己的思想。养心 书。身边永远要着铅笔和笔记本,读书和谈话时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿壁偷光,聚萤作囊;在读书上,数量并不 的品质与所引起的思索的程度。劳于读书,逸于作文。、没有比读书更廉价的娱乐,更持久的满足了。从来没有人为了读书而读书,只有 发现自己,或检查自己。不怕读得少,只怕记不牢。莫等闲,白了少年头,空悲切!书籍是培育我们的良师,无需鞭答和根打,不用言语 不拘形式,对图书倾注的爱,就是对才智的爱。熟读唐诗三百首,不会作诗也会吟。书到精绝潜心读;文穷情理放声吟读万卷书,行万里 可以医愚。如果把生活比喻为创作的意境,那么阅读就像阳光。书籍是少年的食物,它使老年人快乐,也是繁荣的装饰和危难的避难所, 快乐的种子,在外也不致成为障碍物,但在旅行之际,却是夜间的伴侣。读书是在别人思想的帮助下,建立起自己的思想。饭可以一日不 书不可以一日不读。、读过一本好书,像交了一个益友。读书有三到,谓心到,眼到,口到立身以立学为先,立学以读书为本。读书而不 化。为中华之崛起而读书。来书籍是在时代的波涛中航行的思想之船,它小心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。书籍是最好的朋友 难的时候,你都可以向它求助,它永远不会背弃你。1、抱最大的希望,为最大的努力,做最坏的打算。有些事情本身我们无法控制,只 像大树一样,被砍了,还能再长;也要像杂草一样,虽让人践踏,但还能勇敢地活下去。人的活动如果没有理想的鼓舞,就会变得空虚而 应该更大胆、更积极地向不幸挑战!一个人炫耀什么,说明内心缺少什么。志在山顶的人,不会贪念山腰的风景。当一个人先从自己的内 有价值的人。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。强者向人们揭示的是确认人生的价值,弱者向人们揭示的却是对人生的怀疑。不 这一切看成是在你成大事之前,必须经受的准备工作。成功源于不懈的努力。积极思考造成积极人生,消极思考造成消极人生。对的,坚 的路总是为有信心的人预备着。这社会你改变不了就得适应,适应不了就得被淘汰!这叫适者生存!宁愿跑起来被拌倒无数次,也不愿规 跌倒也要豪迈的笑。没有伞的孩子必须努力奔跑。你不勇敢,没人替你坚强。态度决定一切,实力捍卫尊严!人要经得起诱惑耐得住寂寞 宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水,但这滴水却凝聚着海洋的全部财富;是质量上的一而非数量上的一;你的思维拥有一切宇宙智慧 弃者绝不会成功。人生不售来回票,一旦动身,绝不能复返。自己要先看得起自己,别人才会看得起你。即使爬到最高的山上,一次也只 人生的光荣,不在于永不言败,而在于能够屡扑屡起。——拿破仑游手好闲的人最没有空闲不经风雨,长不成大树;不受百炼,难以成钢 于你自己。人的一生,是很短的,短暂的岁月要求我好好领会生活的进程……攀登顶峰,这种奋斗的本身就足以充实人的心。人们必须相 老骥伏枥,志在千里;烈士暮年,壮心不已。大鹏一日同风起,扶摇直上九万里。不会宽容人的人,是不配受到别人的宽容的。不经过本 到自己的目的,任�
旧知回顾
圆心角和圆周角是如何定义的? 顶点在圆心的角叫圆心角.顶点在圆周
上,两边和圆相交的角叫做圆周角. A
. B OC
课题导入
半圆或直径所对的圆周角等于多少度?
结论
半圆或直径所对的圆周角都等于90°(直角). 反过来也是成立吗?
探究
圆周角和圆心角之间有的关系?
A
. B OC
思考?
教学目标
当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC分 别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的 大小有什么关系?
实际问题数学化
A
E B
C D
A
B,D,E为球员,AC为 球门,分别形成三个张角 E
∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三 个角的大小有什么关系? B
●O
C
D
在同圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等.
2、如图,在⊙O中,弦AB、CD垂直相交于点E, 求证:∠BOC+∠AOD=180°. 解: ∠BOC+∠AOD=∠1+∠3
=2∠2+2∠ABD =2(∠2+∠ABD)
1
3 2
=2 ×90°
=180°
3、已知:△ABC为⊙O的内接三角形,⊙O的直 径BD交AC于E.AF⊥BD于F,延长AF交BC于G, 求证:AB2=BG·BC.
2
r
解二 连接CA,CB利用射影定理 A
求出DB
DO r-1
B
课堂小结
1、圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
2、圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数.
2、圆周角定理的推论
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相 等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的 弧也相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角 是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = 1/2∠AOD,∠CBD = 1/2∠COD,
AD C
●O
∴ ∠ABC = 1/2∠AOC.
B
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考:能否也转化为1的情况?
探究
90°的圆周角所对的弦是直径?
思考
知识要 点
圆周角定理的推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径.
小练习
如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点, CD⊥AB于D.已知CD=2cm,AD=1cm,求AB的长.
解一 连接CO,利用勾股定理
C
求出半径:r2=(r-1)2+22
知识与能力
理解和掌握圆周角定理以及两个相关的 推论,并能够用这个定理和推论解决有关的 几何问题.
过程与方法
学习并领会圆周角定理的证明推导过程,应 用圆周角定理解决几何问题过程,使学生体会 和掌握“分类”和“转化”这两种数学思想在 几何证明中的作用,培养学生的发散思维和严 谨的逻辑思维.
情感态度与价值观