4.3.1 分枝定界法

x1 ≥3
L P 6： 无 可 行 解
上界： 下界： 29 29 6 7
x2≤3
L P 7：
x2 ≥4
L P 8： x1 2 2 1 , x2 4, Z 28 5 5
剪枝
上界：
29 29
13
剪枝
x1 2 , x 2 3 , Z 2 7
剪枝
返回目录
下界：
OR:SM
五、分枝定界法求解小结
依据之三
如果在求解的过程中已经得 到了一个整数解，则最优整 数解一定不会少于该整数解。 因此，该整数解，可构成最 优整数解的另一个界，对于 最大化问题，它为下界，对 于最小化问题，它为上界。
分枝定界法
z z
*
z
OR:SM
三、分枝定界法求解步骤
第五步：终止： z z ?
是：最优解，否：重复
20 OR:SM
三、判断题
1、整数规划解的目标函数值一般优于其相应的线性规划问 题的解的目标函数值。 2、求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界。 3、整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后 取整得到。
18 OR:SM
一、讨论题
1 、当利用分枝限定法来求解纯整数规划问 题时，如果选择了非整数值的变量，根据这一 变量进行分解就会产生两个新的线性规划子问 题。解释为什么线性规划子问题的解对应的目 标函数值不可能优于前一个上界。
答：由于新分枝的问题排除了这两个子问题之间的 非整数解，故解只能在更小的一个区域内寻找。
4*剪枝
N
z2 z
Y
3*定上下界
z max( z1 , z 2 )
Y
剪枝
剪枝
Y
zz
X*
停
5*终止
再分分枝2
N
N
z1 z2
Y
再分分枝1
Fig4-3 分枝定界法求解流程图
四、分枝定界法求解实例
【例1】用分枝定界法求解下列IP
max Z 4 x 1 3 x 2 1 . 2 x 1 0 . 8 x 2 10 2 x 1 2 . 5 x 2 25 x , x 0 , 且均取整数 1 2
max Z 4x1 3x2
LP5:X=(5,5),Z5=35
6
LP1
LP3
LP5
C 10
1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP5 : x1 5，x2 6 x1, x2 0
o
11
3
4 5
x1
OR:SM
四、分枝定界法求解实例
四、分枝定界法求解实例
LP0 ： 1 7 5 x1 3 , x 2 2 , Z 3 2 9 9 9
上界： 32 下界： 0 5 9
x1≤3
L P1 ： 6 2 , Z 32 7 7
x1 ≥4
LP 2 ： x 1 4 , x 2 1, Z 2 9
上界： 32 下界： 29 2 7
返回目录
OR:SM
整数规划IP 求LP，定上、下界初值 无解
无解 停枝 N
无可 行解 XB=整数
1*求LP X* 停 2*分枝
无解 停枝 N
Y
N
分枝1： LP+xi≤[bi]
XB1=整数
分枝2： LP+xi≧[bi]+1
Y Y
XB2=整数
4*剪枝 N
z1 z
z max( z1 , z2 )
其优点：①任何模型均可用； ②思路简单、灵活； ③速 度快； ④适合上机 其不足：分枝增加时，计算量增加比较 大。
2、分枝定界法求解整数规划问题的关键是分枝和定界， 所以说分枝定界法实际上是一种计算策略。 3、分枝定界法的终止条件是整数目标函数值的上界与下 界相等。
17
OR:SM
E-mail：lijun@guet.edu.cn
e）增加约束x2≥3后无可行解； f）增加约束x1≤1后x1=1，x2=7/3，z=10/3； g）对a增加约束x1≥3后x1 =3，x2=1，z=4； h）对f增加约束x2≤2后x1=1，x2=2，z=3； i）对f增加约束x2≥3后无可行解。
问各个分支间的关系，是否得到最优解？哪些分支不必 计算，为什么？
LP1
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
LP2
C o
9
1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP2 : x1 4 x1 , x2 0
OR:SM
3
4
10
x1
x2 ① ② 10 A
选择目标值最大的分枝 LP2进行分枝，增加约束 x2 6及x2 7，显然x2 7不可行，得到线性规划
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
max Z 4x1 3x2 1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP3 : x1 4，x2 6 x1, x2 0
x2 7不可行
B 6
LP1 LP3
LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33
增加约束
非整数解A
增加约束
整数解B1
非整数解B2, 比B1好 增加约束 增加约束 非整数解B4, 比B1,B3好
整数B3
增加约束
1 若分枝后得到整数解，则这枝不必再分枝。 2 若分枝后得到非整数解, 如果比整数解更好，则这枝继续分枝 3 若分枝后得到非整数解, 如果比整数解更差，则这枝不必再分枝 这里解的好坏是指对应目标函数值的大小
16
（2）分枝节点选择
①深探法（后进先出法）： 最后打开的节点最先选， 尽快找到整数解。整数解 质量可能不高。 ② 广探法：选目标函数 当前最大值节点，找到的 整数解质量高。但是找到 整数解的速度慢。 返回目录
OR:SM
本节小结
1、分枝定界法是由美国学者理查德·卡普（Richard Karp ）教授于20世纪60年代提出的，基本思想是划整为零， 在更小的子域上求整数规划问题的最优解。
x1 3 , x 2 2
x2≤2
L P 3： x1 3 , x 2 2 , Z 2 8
x2 ≥3
L P 4： x1 2 4 4 , x2 3, Z 3 1 5 5
上界： 31 下界： 29 4 5
剪枝
x1
x1≤2
L P 5： 4 6 2, x2 3 ,Z 29 7 7
第四步：分枝或剪枝
对 分 枝 问 题 z 值 进 行 比 较判断，决定是再分枝或 剪枝
第三步：定界。修改上、 下界： z max(zip), z max(zi ) 第二步：分枝 第一步：求松弛问题的 z , z z 最优解，定初界： 对一般IP问题
5
0
添xi<=[xi]和xi>=[xi]+1到 拟分解模型中构成两个问 题，并求分枝问题最优解
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第三节 （I）分枝定界法
1.分枝定界法的创立者 2.分枝定界法求解依据 3. 分枝定界法求解步骤 4.分枝定界法求解实例 5.分枝定界法求解小结 6. 算法应用注意事项
2
OR:SM
一、分枝定界法的创立者
理查德·卡普（Richard Karp）教授1935年1月3日生 于波士顿，从小时起就兴趣广泛，聪明过人。在哈 佛大学时他文理兼修， 1955 年先获得文学学士学位 ，第二年又获得理科硕士学位。之后他进入哈佛大 学的计算实验室攻读博士，于 1959 年取得应用数学 博士学位。现任美国加州大学伯克利分校计算机科 学讲座教授，美国科学院、美国工程院、美国艺术 与科学院、欧洲科学院院士。因其在计算机科学领 域的杰出贡献曾获图灵奖、冯诺依曼奖、美国国家 科学勋章、哈佛大学百年奖章等奖项. 卡普和他的同事海尔特（M．Held）20世纪60年代，经过反复研究，提出 了一种称为“分枝限界法”（branch—and—bound method）的新方法。该方 法的要点是：对解集合反复进行分枝，每次分枝时，都对所得的子集计算最 优解的界。如果对某个子集求得的界不优于已知的允许解，则抛弃此子集不 再进行分枝；否则继续分枝以探索更好的解，直到所得的子集仅含有一个解 时为止。分枝限界法就其实质而言是一种求解策略而非算法，具体算法要根 据实际问题的特点去实现。但由于这种方法在求解许多问题中都非常实用， 因此常常被直呼为“分枝限界算法”。
z 0, z 35 .5
x2≥7 无可行解
z 0, z 35 .3
x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35 分枝过程图示
z 35, z 35
OR:SM
x* (5,5), z* 35
例2：
MaxZ 6 x1 5 x 2 2 x1 x 2 9 5 x 7 x 35 1 2 s .t . x1 , x 2 0 x1 , x 2 取整数
3 OR:SM
二、分枝定界法求解依据
依据之一
如果求解一个整数规划的松 弛问题到到的是一个整数解， 则这个解也一定就是整数规 划的最优解。但这种情况很 少见。 松弛问题：不考虑整数条件， 由余下的目标函数和约束条 件构成的规划问题。
依据之二
如果解松弛问题得到的不是一 个整数解，则最优整数解不会 更优于所得到的松弛问题的目 标函数值。因此，因此，线性 规划松弛问题的解值必是整数 规划目标函数值的一个界。它 对于最大化问题为上界，对于 最小化问题为下界。
第四章
整数规划习题课 OR:SM
二、选择题
2、以下关于整数规划的命题中不正确的是（ ）。
A）用分枝定界法求解整数规划问题时首先要求解 放松整数要求的线性规划松弛问题 B）整数规划解的数目比线性规划少得多，但整数 规划问题也可能有无数多个可行解 C）求解整数规划问题要比求解线性规划问题难得 多 D）分枝定界方法不能求解有连续变量的混合整数 规划问题
四、分枝定界法求解实例
x2
1.2x1 0.8x2 10
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B
10
A
2x1 2.5x2 25
C 8.33
o
8
10
x1
OR:SM
x2 ① ② A 10
增加约束x1 3及x1 4得到两个线性规划
max Z 4 x1 3x2 1 . 2 x 0 . 8 x 10 1 2 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 2x1 2.5x2 25 LP1: x1 3 x1 , x2 0 B max Z 4 x1 3x2
14 2013-5Βιβλιοθήκη Baidu29 OR:SM 14
试试看——分枝定界法
用分支定界法解整数规划时各分支情况为： a）增加约束 x2≤2后x1 =33/14，x2=2，z=61/14； b）对a增加约束x1≤2后x1 =2，x2=2，z=4； c）增加约束x1≥2后x1 =2，x2=23/9，z=41/9； d）x1=1.5，x2=10/3，z=29/6；
C o
10
3
4
10
x1
OR:SM
x2 ① ② 10 A
由于 Z 3 Z 1，选择 LP 3 进行分枝，增加约束 x 1 4 及 x 1 5，到线性规划 LP 4 及 LP 5：
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
max Z 4 x1 3x2
1.2 x1 0.8x2 10 2 x1 2.5x2 25 LP4 : x1 4，x2 6，x1 4 LP4:X=(4,6),Z4=34 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段
15 OR:SM
六、分枝定界法注意事项
（1）分枝变量选择原 则
① 按 目 标 函 数 系 数： 选 系 数绝对值 最大者变量先分。 对目标值升降影响最大。 ② 选 与 整 数 值 相 差最 大 的 非整数变量先分枝。 ③ 按 使 用 者 经 验 ，对 各 整 数 变 量 排 定 重 要 性的 优 先 顺序。
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7 x1≤3 LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8 × x2≤6 LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33 x1≤4 LP4:X=(4,6) Z4=34
12
z 0, z 35 .7
x1≥4 LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 LP 0 : 2 x1 2.5 x 2 25 x1 , x 2 0 用图解法得到最优解X＝（3.57,7.14）,Z0=35.7,如下图所示。
7 OR:SM