3 高次同余式的解数及解法(精选、)

§3 高次同余式的解数及解法

定理1 若1,,k m m 是k 个两两互质的正整数，1,k m m m =则同余式

()()0mod f x m ≡ （1）

与同余式组

()()()()()()120mod ,0mod ,

0mod k f x m f x m f x m ≡⎧⎪

≡⎪⎨

⎪

⎪≡⎩

（2） 等价。

以T 表示同余式（1）的解数，以i T 表示同余式()()0mod i f x m ≡的解数，1,,,

i k =则

1.k T T T =

证 （ⅰ）先证（1）和（2）等价。

设0x 是适合（1）的任一整数，则()()00mod .f x m ≡因|,1,

,,i m m i k =故

()()00mod ,1,

,i f x m i k ≡=

故0x 也适合（2）。

反之，设0x 为适合（2）的任一整数，则

()()()()()()010200mod ,

0mod ,

0mod k f x m f x m f x m ≡⎧⎪

≡⎪⎨

⎪

⎪≡⎩

但1,

,k m m 两两互质，[]11

,,.k k m m m m m ==故

()()00mod ,f x m ≡

即0x 也适合（1）。

（ⅱ）设()()0mod i f x m ≡对模i m 的i T 个解为

()12,,

,mod i i i iT i x b b b m ≡

则同余式组（2）的解为下列诸同余式组

()()()121122mod ,mod ,

mod k t t kt k x b m x b m x b m ≡⎧⎪

≡⎪⎨

⎪

⎪≡⎩

（3） 的解，其中1,2,,,1,2,,.i i t T i k ==由孙子定理得，对于每一组12,,,k t t t ，同余式组（3）

对模m 恰有一解

()12

mod .k

t t t x x m ≡

由上节定理2得，

()12

mod ,1,2,

,,1,2,

,k

t t t i i x x m t T i k ≡==

为同余式（1）对模m 的所有不同的解，个数恰为12

.k TT T 故12

.k T TT T =

例1 解同余式

()()()430mod35,289f x f x x x x ≡=+++ （4）

解 同余式（4）等价于同余式组

()()()()

0mod 5,

0mod 7f x f x ≡⎧⎪⎨

≡⎪⎩ （5 ） 可以验证同余式组（5）的第一个同余式的解为

()1,4mod5.x ≡

同余式组（5）的第二个同余式的解为

()3,5,6mod7.x ≡

故同余式（4）有236⨯=个解。由孙子定理，可得同余式组

()()

12mod 5,

mod 7x b x b ≡⎧⎪⎨

≡⎪⎩ 为

()122115mod35,x b b ≡+

其中，121,4,3,5,6.b b ==于是可得同余式（4）的全部解为

()31,26,6,24,19,34mod35.x ≡

设m 的标准分解式为12

12

,k k m p p p αα

α=则同余式

()()0mod f x m ≡

与同余式组

()()()()()()

12120mod ,0mod ,

0mod k

k f x p f x p f x p ααα⎧≡⎪

⎪≡⎪⎨

⎪⎪≡⎪⎩

等价。

故应讨论同余式

()()

0mod f x p α≡ （6） 的解法。

易知，适合（6）的整数x 必适合

()()0mod .f x p ≡ （7）

下面考虑如何从同余式（7）的解求出同余式（6）的解。

定理2 设

()1mod x x p ≡ （8）

是同余式（7）的一个解，()1/|p f x '，则（8）恰好含有同余式（6）的一个解

()mod ,x x p αα≡

其中，()1mod .x x p α≡ 证 对α作数学归纳法。

（ⅰ）先证当2α=时，命题结论是正确的。 由（8）， 1,0,1,2,x x pt t =+=±

± （9）

将它代入

()()20mod f x p ≡

得

()()()()()

()

()(

)

211211112111110mod ,0mod mod .

k

k k f x pt p f x pt f x p x pt x kpt x p -+≡'+≡+≡+

但()()10mod ,f x p ≡故

()()

()111mod .f x t f x p p

'≡-

因()1/|,p f x '故对模p 恰有一解

()11mod t t p '≡

即

1122,0,1,2,

t t pt t '=+=±±

代入（9）得，（8）中满足()()

20mod f x p ≡的全部整数是

()

2112222,0,1,2,

x x p t pt x p t t '=++=+=±±

其中，211.x x pt '=+

故（8）恰好含有()()

20mod f x p ≡的一个解

()22mod ,x x p ≡

其中，()21mod .x x p ≡ 其中，()21mod .x x p ≡

假设定理结论对()13αα-≥成立，即（8）恰含有

()()10mod f x p α-≡

的一个解()

11mod x x p αα--≡，即（8）中满足()()

10mod f x p α-≡的全部整数是

1111,0,1,2,

x x p t t αααα----=+=±±

其中，()11mod .x x p α-≡代入（6）得

()()()11110mod f x p t f x p ααααα----'+≡

()()(

)

11111111mod k

k k x p t x kp t x p αααααααα--------+≡+

但()(

)1

10mod f x p

αα--≡，故

()()

()1111

mod .f x t f x p p αααα----'⋅≡-

又()11mod ,x x p α-≡故()()()11mod .f x f x p α-''≡而()1/,p f x '从而()1/,p f x α-'故