传热学-第三章.非稳态导热

)
n1
2sin(n ) cos(n x) n sin(n ) cos(n
)
en2a
此处Bn为离散面(特征值)
若令 n n
则上式可改写为：
( x,
e * 0
)
n1
n
2 sin n sin n cos
n
cos(
n
x
)
2 n
a 2
第三章 非稳态导热
24
μn为下面超越方程的根
ctg n
n h
h 为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
14
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过
hA
余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。
称 Vc 为时间常数，用 表示。
hA
c
第三章 非稳态导热
15
c
e 1 36.8%
0 0
Biv Fov
t t0 0 1 0
2
2 1
t
t t0 1 0 2 1
Bi
0 Bi
Bi 0
Bi 准则对无限大平壁温度分布的影响
第三章 非稳态导热
9
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参 数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将 这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象， 或物理过程的主要特征，并且没有量纲。
32
(2) 再根据公式(3-23)
绘制其线算图
(x, )
x
x
m ( )
cos(1 )
f (Bi, )
(3) 于是，平板中任一点的温度为
m
0 m 0
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用 （3－24）和（3－25）绘制出。
解的应用范围
书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第 三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却
hA
hV
A2
cV A V 2c
过余温度比
h(V A) a
(V
A)2 Biv Fov
Biv
h(V
A)
Fov
a
(V A)2
Fov 是傅立叶数
hA
e e Vc
Biv Fov
0
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
(x, y, )
(x, y, )
x0
x
x0 0
y0
第三章 非稳态导热
y
y0 0
34
利用以下两组方程便可证明
(x, y, ) (x, ) (y, )
a 2x
x 2
0 x (x,0) 1
(x, )
x0
x
x0 0
及
(x, ) x 2 x h( , )
其中
x
t(x, ) t f
0
( x, )
x
0 f ( F0 , Bi , )
注意：特征值 n 区别 特征数（准则数）
第三章 非稳态导热
26
2. 非稳态导热的正规状况
对无限大平板 F0 a 2
当 F0 0.2 取级数的首项，板中心温度， 误差小于1%
( x, 0
)
1
2sin 1 sin 1 cos
1
cos(1
e x ) 12F0
第三章 非稳态导热
37
§3-5 半无限大的物体
半无限大物体的概念
t
t
2t
a x2
tw
t tw
x 0
t t0
0
t0
x
引入过余温度 问题的解为
t tw
误差函数
e 2
x
4a y2dy erf ( x
0
0
无量纲变量 4a )
第三章 非稳态导热
38
误差函数：
书上P73表3-1给出了部分Bi数下的μ1值
第三章 非稳态导热
25
(x, 0
)
n1
2sin(n )cos(n x) n sin(n )cos(n
)
en2a
( x, 0
)
n1
2sin(n ) cos(n x) n sin(n ) cos(n
)
e( n
)2
a 2
因此 ( x, ) 是F0, Bi 和 x 函数，即
t0 t f
a 2 y
y 2
0 y ( y,0) 1
( y, )
y0
y
y0 0
( y, ) y 2 y h(2 , )
其中
y
t( y, ) t f
t0 t f
即证明了(x, ) ( y, ) 是无限长方柱体导热微分方程的
解，这样便可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函 数求解二维导热问题
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段)
导热过程的三个阶段
温度分布主要受初始温 度分布控制
温度分布主要取决于边 界条件及物性
非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
第三章 非稳态导热
4
5 热量变化
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
第三章 非稳态导热
第三章 非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . t f (r, )
2 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
第三章 非稳态导热
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t1
t0
第三章 非稳态导热
4 3
2
1 0
3
当 4 Vc 时， 1.83% 工程上认为=4 Vc / hA时
hA
导热体已达到热平衡状态
0
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ( ) hA(t( ) t ) hA
hA
hA0e Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q
0Φ( )d
hA
Vc0 (1 e Vc )
第三章 非稳态导热
F0
az
2
F0
az R2
30
3 正规热状况的实用计算方法－拟合公式法
对上述公式中的A，B，μ1，J0 可用下式拟合
12
(a
b Bi
)1
A a b( 1 ecBi )
B a cBi 1 bBi
J0 ( x ) a` b` x c` x2 d` x3
式中常数a ,b ,c ,d 见P75表3-3 a`,b`,c`,d`见P75表3-4
分析方法。此时，Bi ，温度分布只与时间有
关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
零维问题。
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时，t t 0
将其突然置于温度恒为 t 的流
体中。
第三章 非稳态导热
11
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
h
A(t
t
)
J
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
第三章 非稳态导热
18
4 Biv Fov 物理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周 围介质的温度。
第三章 非稳态导热
28
考察热量的传递 Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
若令Q为 [ 0, ] 内所传递热量
Q
cV [t0
t(x, )]dV
1
Q0
cV (t0 t )
0
--时刻z的平均过余温度
e
1 v
dv
v
0
2 sin 1 1 sin 1 cos 1
(
第三章 非稳态导热
无量纲 时间
19
5 集总参数法的应用条件 采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
Biv
h( V
A)
0.1M
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的
无限大平板
对半径为R 的
无限长圆柱
对半径为R 的
球
M 1 M1
2 M 1
3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
-
Vc
dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：
d hA d Vc
第三章 非稳态导热
12
d hA d Vc
积分
0
d
hA
Vc
0
d
ln hA
t t
hA
e Vc
0
Vc
0 t0 t
其中的指数：
2 1
F0
) sin 1 1
第三章 非稳态导热
29
对无限大平板，长圆柱体及球：
0
及 可用一通式表达
0
A exp( 12 F0
) f ( 1 y )
0 A exp( 12 F0 )Bi
此处
无限大平板
y
x
长圆柱体及球 y x R
Bi h
Bi
hR
此处的A，B及函数 f ( 1y见) P74表3-2
4 R3
3
4R 2
R 3
第三章 非稳态导热
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
20
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ=const
a=const
因两边对称，只研究半块平壁
第三章 非稳态导热
h=const
21
此半块平板的数学描写：
导热微分方程 初始条件 边界条件
t a 2 t ( 0 x , 0 ) x2
(0, 0
)
m ( 0
)wk.baidu.com
1
2sin 1 sin 1 cos
1
e12F0
第三章 非稳态导热
27
( x, 0
)
1
2sin 1 sin 1 cos
1
cos(1
e x ) 12F0
(0, 0
)
m ( 0
)
1
2sin 1 sin 1 cos
1
e12F0
(x, )
x
m ( ) cos(1 )
与时间无关
第三章 非稳态导热
35
(x, y, ) (x, )P1( y, )P2 (x, y, z, ) (x, )P1( y, )P2(z, )P3
( v , ) R
0
( x, ) 0
22
21
2l
23
(x, y, ) (x, )P( y, )c
第三章 非稳态导热
36
限制条件： （1） 一侧绝热，另一侧三类 （2） 两侧均为一类 （3） 初始温度分布必须为常数
0
7x
(3) Bi数对温度分布的影响
Bi r h rh 1 h
无量纲数
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻
当 Bi 0时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
？
？
第三章 非稳态导热
0 Bi
8
Bi 准则对温度分布的影响
0
21 3
t t0 0
第三章 非稳态导热
31
3 正规热状况的实用计算方法－线算图法 诺谟图
以无限大平板为例，F0>0.2 时，取其级数首项即可
(x, ) 0
1
2sin 1 sin 1 cos
1
e12F0
cos(1
x
)
f
x (Fo, Bi, )
三个变量，因此，需要分开来画
(1)先画
m f (Fo, Bi) 0
第三章 非稳态导热
分子动力学模拟
第三章 非稳态导热
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。
(1) 问题的分析
tf
如图所示，存在两个换热环节： h
a 流体与物体表面的对流换热环节
rh 1 h
b 物体内部的导热 r
(2) 毕渥数的定义：
Bi r h rh 1 h
第三章 非稳态导热
t
tf
h
0
x
t
tf h
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数， 比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似 的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义， 以及定义式中各个参数的意义。
第三章 非稳态导热
10
§3-2 集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
第三章 非稳态导热
16
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时
间常数 ( Vc / hA) 小。
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的
（微细热电偶、薄膜热电阻）
第三章 非稳态导热
5
6 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f (x, y, z, ) ; Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法 分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
t t0 0
t 0 x 0 x
(对称性)
t x
h(
t
t
)
x
第三章 非稳态导热
22
引入变量－－过余温度
令
( x, ) t( x, ) t
上式化为：
a 2
x 2
0
0
x
0 x , 0 0
x0
h x
x
第三章 非稳态导热
23
用分离变量法可得其分析解为：
( x, 0
过程，并且F0>0.2
第三章 非稳态导热
33
§3-4 二维及三维问题的求解
考察一无限长方柱体(其截面为 21 22 的长方形)
t(x, y, ) t f
t0 t f
0
2 2
a( )
x2 y2
tf
21
0 1
(x, y, )
22
x 1 h(1, y, ) x
(x, y, ) y 2 h(x,2 , ) y