现代信号处理5_滤波器组基础2_2015
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k 0
M 1
严格互补型滤波器有利于信号的准确重建。
2.功率互补滤波器(Power complementary, PC)
M 1 k 0 M 1 k 0
H
k
k
(e ) c
j
2
H
( z) H k ( z) c
H ( z) H* ( z 1 )
将H(z)的系数取共轭，并用z-1代替z。若H(z)的系数是实的
i
n
n h(n) δ (n Mi l) z i
1 M 1 j 2π k(l n) /M n 1 h(n) e z M n M k 0 1 M 1 k kl H(zW ) W M M M k 0
M 1
M 2 H 0 (e ),
j
ห้องสมุดไป่ตู้
2
~
2
; H1 (e ),
j
2
~
M 通道滤波器组
H0 (e j ), Lowpass, / M ~ / M Hk (e j ) Hk [e j (2 / M ) ]
M 通道滤波器组
• 综合滤波器组的作用 – 去除插值后的镜像；实现真正的插值，重建原信号。 • ↓ M ：由于每一个子带信号的频带降为原来的1/M，所以 抽样频率可降低M倍；
•将信号按频带分解，分解为低通、一系列带通和高通信号。 按信号能量的分布，或按重要性，给以分别的处理。
M 4 3 H 0 (e ), ~ ; H1 (e ), ~ ; 4 4 4 4 3 5 5 7 j j H 2 (e ), ~ ; H 3 (e ), ~ ; 4 4 4 4
j j
k Hk ( z) H ( zWM ), k 0,1,, M 1
M 1 l 0
kl H k ( z ) z 1WM El ( z M ), k 0,1,, M 1
0 E0 ( z M ) H 0 ( z) 1 0 H ( z) 0 z 1 M 0 1 W E1 ( z ) ( M 1) M H M 1 ( z ) 0 0 z EM 1 ( z )
最大均匀抽取滤波器组
给定低通原型： H 0 ( z ) 移位生成：
j k H k ( z) H0 ( zWM ) j ( 2k / M )
k WM e j 2k / M
Hk (e ) H0[e
], k 0,1,, M 1
H0 ( z), H1 ( z),, H M 1 ( z) 最大均匀滤波器组
H ( z ) c z l El ( z M )
l 1 M 1
c, n 0 h( Mn) e0 (n) 0, others
M=3
第M带滤波器
如果将一个Mth滤波器接在一个L倍的插值器后，且L=M x(n) v(n) y(n)
L
h( n)
M 1 M l M Y ( z ) H ( z ) X ( z ) c z El ( z ) X ( z M ) l 1
M 1 k 0
' G ( zW ) H ( z ) c k k M 2 k 0
M 1
(2) 若G(z)是Mth滤波器
M 1 k 0
G( zW
k M
k M
) H k ( z) c
2 k 0
M 1
'
G( zW ) H ( zW )H ( zW ) Hk ( z)Hk ( z)
h( z)h( z) Mc c'
h( z )h( z ) H k ( z ) c '
2 k 0 M 1
H0(z)，H1(z)，…, HM-1(z)是功率互补的
G( z) H ( z)H ( z)
k k k G( zWM ) H ( zWM )H ( zWM ) H k ( z) H k ( z)
定理总结
E( z)E( z) c
G(z)是Mth滤波器
h( z)h( z) Mc E( z)E( z) c
半带滤波器的特点
• 通带与阻带的纹波必须相等；
H[e j ( / 2 ) ] H[e j ( / 2 ) ] 1,0 / 2
• 除n=0外，h(n)的所有偶序号项全为零。 • 若H(z)是非因果的、零相位的FIR滤波器，即h(n)=h(-n),h(n)的
单边最大长度为2J-1（J为整数），总长度为：
H k (e ) , k 1,2, , M 1 一般不以ω=0对称
频带在[0,2π]内均匀划分
j
如何得到实系数的均匀滤波器组？ 1.分别设计各个滤波器 2.采用余弦调制的方法 余弦调制滤波器组
jn 2M
h0 (n) h0 (n)e
h0 (n) h0 (n)e
jn 2M
M 1 k 0 k H ( zW M ) 1
1
令 M 2
H ( z ) H ( z ) 1
H (e j ) H (e j ( ) ) 1
H 0 ( z ) H ( z ), H1 ( z ) H ( z ),
半带滤波器H0(z)，H1(z)以及H0(z)+H1(z)的幅频特性
^
滤波器组的几个基本问题
• 失真问题
– 混迭失真：抽样频率不满足大于最高频率成分的M倍 – 幅度及相位失真： 滤波器组的频带在通带内不“平”，而其相频特 性不具有线性相位所致 – 编码,量化，传输所产生的误差
• 其他问题
– 每个滤波器是否要一 一设计？
– 每一路的滤波是否要逐一计算？
– 如何保证PR?
1/ M k M
M 1 k 0 1/ M k H ( z W M ) 1
M 1
r / M M 1
如果 c 1 / M
M 1 k 0
j ( 2k / M ) H e 1
半带滤波器
H ( z) c z 1El ( z 2 )
e1 (n) h(2n 1)
h(n) h0 (n) h0 (n) 2h(n) cos( (2k 1)n hk (n) 2h(n) cos[ ] 2M
n
2M
)
正交镜像滤波器组
H1 (e ) H0[e
j j ( )
]
Quadrature mirror filter bank，QMFB
第M带滤波器
N=2(2J-1)+1=4J-1
• 半带滤波器的h(n)有近一半的值为零，可以有效减少计算量。
互补性滤波器
1.严格互补滤波器
M 1 k 0 n0 H ( z ) cz k
Mth滤波器是严格互补的，半带滤波器也是严格互补的。 但严格互补型滤波器并不一定是Mth滤波器或半带滤波器。
X ( z ) H 0 ( z ) X ( z ) H M 1 ( z ) X ( z ) H k ( z ) X ( z )cz n0
k 0 n
k n kl h(n)(zW ) W M M
1 El ( z ) M
M 1 k 0
k kl H ( zW ) W M M M 1 k 0
1 E0 ( z ) M
M 1 k 0
k H ( zW M)c
令 c 1/ M
k H ( zW M ) 1
M 1 l 1
z
l
(z )
M
El ( z )
n
n e ( n ) z , el (n) h( Mn l ) l
er (n) h(Mn r ) h(n r ) z H ( z)
r
1 Er ( z ) M
z kr 1/ M k G ( z W ) W H ( z W r M M) M k 0 k 0 1 M 1 1/ M k E ( z ) H ( z W 0 M)c 令 r0 M k 0
y(Mn) cx(n)
第M带滤波器-定理
若H(z)是一个Mth滤波器，则
k H(zW M) 1 k 0 M 1
el(n) h(Mn l) h(n)δ (n Mi l),l 0,1, , M 1,n (, )
El(z)
n
n e (n) z l
k H0 ( z) H ( z), H k ( z) H ( zWM ), k 0,1,, M 1
M 1 k 0 j ( 2k / M ) H e 1
M th滤波器在均匀移位后频率特性的和为常数。 另外，M th 滤波器中有不少的零值点，有利于高效计算。
另一证法： H ( z ) E0 ( z M )
H k ( z) H ( z 1 )
定理
给定一转移函数H(z)，其多相表示为
H ( z ) z El ( z )
l M l 0
M 1
再令
G( z) H ( z)H ( z) ，当且仅当G(z)是一Mth滤波器时，
E0 ( z),, EM 1 ( z) 是功率互补的。
证明：
均匀滤波器组通过下列方式得到： 令 hk (n) h0 (n)e
j 2 kn M
, k 1,2,, M 1
k H k ( z) H0 ( zWM )
H k (e j ) H0[e j (2k / M ) ]
hk (n), k 1,2,, M 1 一般是复序列
• ↑ M ：恢复原来的抽样频率，使重建后的信号和原信号有
相同的抽样频率。 • 又抽取又插值的作用 – 达到按信号能量分布给以不同处理的目的，如编码； – 抽取后的信号可能要传输很远距离才重建。
x(n) x(n) Perfect Reconstruction(PR)
^
x(n) cx(n n0 ) Perfect Reconstruction(PR)
现代信号处理 (Modern Signal Processing)
2015
主要内容
• 滤波器组的基本概念
• 滤波器组的种类及有关滤波器
• 半带滤波器设计
• 多抽样率系统简介
滤波器组的基本概念
一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或 有着共同的相加后的输出。
分析滤波器组
综合滤波器组
分析滤波器组的作用
h( z ) Λ( z) E( z )
W是M阶DFT矩阵，WW MI
E( z)E( z) c h( z)h( z) E( z)Λ( z)WWΛ( z)E( z) M E( z)E( z)
DFT矩阵
1 1 2 j M 1 e 2 j 2 M W 1 e 2 j ( M 1) M 1 e e e e
c n 0 e0 (n) h(2n) 0 others
半带滤波器
H ( z) 1 z 3 , E1 ( z) z 1
半带滤波器可以是因果的， 是实的，也可以是复的。
H ( z) z 1 z 1 , E1 ( z) 1 z 也可以是非因果的，可以 H ( z) 1 jz , E1 ( z) j
j 2 j 2 M j 2 4 M
1
2 ( M 1) 2 M
e 2 j 2 ( M 1) M e 2 j ( M 1)( M 1) e M
2 j ( M 1) M
1
DFT(X) WX
WW MI
(1) 若E(z)是功率互补的，则
k M k M
h( z)h( z) Mc c'
E( z) Λ1 ( z)W1h( z)
E( z) Λ1 ( z)W1h( z)
h( z )h( z ) E( z )E( z ) h( z ) W Λ Λ ( z ) W h( z ) c M
1 1 1 1
E(z)功率互补
M 1
严格互补型滤波器有利于信号的准确重建。
2.功率互补滤波器(Power complementary, PC)
M 1 k 0 M 1 k 0
H
k
k
(e ) c
j
2
H
( z) H k ( z) c
H ( z) H* ( z 1 )
将H(z)的系数取共轭，并用z-1代替z。若H(z)的系数是实的
i
n
n h(n) δ (n Mi l) z i
1 M 1 j 2π k(l n) /M n 1 h(n) e z M n M k 0 1 M 1 k kl H(zW ) W M M M k 0
M 1
M 2 H 0 (e ),
j
ห้องสมุดไป่ตู้
2
~
2
; H1 (e ),
j
2
~
M 通道滤波器组
H0 (e j ), Lowpass, / M ~ / M Hk (e j ) Hk [e j (2 / M ) ]
M 通道滤波器组
• 综合滤波器组的作用 – 去除插值后的镜像；实现真正的插值，重建原信号。 • ↓ M ：由于每一个子带信号的频带降为原来的1/M，所以 抽样频率可降低M倍；
•将信号按频带分解，分解为低通、一系列带通和高通信号。 按信号能量的分布，或按重要性，给以分别的处理。
M 4 3 H 0 (e ), ~ ; H1 (e ), ~ ; 4 4 4 4 3 5 5 7 j j H 2 (e ), ~ ; H 3 (e ), ~ ; 4 4 4 4
j j
k Hk ( z) H ( zWM ), k 0,1,, M 1
M 1 l 0
kl H k ( z ) z 1WM El ( z M ), k 0,1,, M 1
0 E0 ( z M ) H 0 ( z) 1 0 H ( z) 0 z 1 M 0 1 W E1 ( z ) ( M 1) M H M 1 ( z ) 0 0 z EM 1 ( z )
最大均匀抽取滤波器组
给定低通原型： H 0 ( z ) 移位生成：
j k H k ( z) H0 ( zWM ) j ( 2k / M )
k WM e j 2k / M
Hk (e ) H0[e
], k 0,1,, M 1
H0 ( z), H1 ( z),, H M 1 ( z) 最大均匀滤波器组
H ( z ) c z l El ( z M )
l 1 M 1
c, n 0 h( Mn) e0 (n) 0, others
M=3
第M带滤波器
如果将一个Mth滤波器接在一个L倍的插值器后，且L=M x(n) v(n) y(n)
L
h( n)
M 1 M l M Y ( z ) H ( z ) X ( z ) c z El ( z ) X ( z M ) l 1
M 1 k 0
' G ( zW ) H ( z ) c k k M 2 k 0
M 1
(2) 若G(z)是Mth滤波器
M 1 k 0
G( zW
k M
k M
) H k ( z) c
2 k 0
M 1
'
G( zW ) H ( zW )H ( zW ) Hk ( z)Hk ( z)
h( z)h( z) Mc c'
h( z )h( z ) H k ( z ) c '
2 k 0 M 1
H0(z)，H1(z)，…, HM-1(z)是功率互补的
G( z) H ( z)H ( z)
k k k G( zWM ) H ( zWM )H ( zWM ) H k ( z) H k ( z)
定理总结
E( z)E( z) c
G(z)是Mth滤波器
h( z)h( z) Mc E( z)E( z) c
半带滤波器的特点
• 通带与阻带的纹波必须相等；
H[e j ( / 2 ) ] H[e j ( / 2 ) ] 1,0 / 2
• 除n=0外，h(n)的所有偶序号项全为零。 • 若H(z)是非因果的、零相位的FIR滤波器，即h(n)=h(-n),h(n)的
单边最大长度为2J-1（J为整数），总长度为：
H k (e ) , k 1,2, , M 1 一般不以ω=0对称
频带在[0,2π]内均匀划分
j
如何得到实系数的均匀滤波器组？ 1.分别设计各个滤波器 2.采用余弦调制的方法 余弦调制滤波器组
jn 2M
h0 (n) h0 (n)e
h0 (n) h0 (n)e
jn 2M
M 1 k 0 k H ( zW M ) 1
1
令 M 2
H ( z ) H ( z ) 1
H (e j ) H (e j ( ) ) 1
H 0 ( z ) H ( z ), H1 ( z ) H ( z ),
半带滤波器H0(z)，H1(z)以及H0(z)+H1(z)的幅频特性
^
滤波器组的几个基本问题
• 失真问题
– 混迭失真：抽样频率不满足大于最高频率成分的M倍 – 幅度及相位失真： 滤波器组的频带在通带内不“平”，而其相频特 性不具有线性相位所致 – 编码,量化，传输所产生的误差
• 其他问题
– 每个滤波器是否要一 一设计？
– 每一路的滤波是否要逐一计算？
– 如何保证PR?
1/ M k M
M 1 k 0 1/ M k H ( z W M ) 1
M 1
r / M M 1
如果 c 1 / M
M 1 k 0
j ( 2k / M ) H e 1
半带滤波器
H ( z) c z 1El ( z 2 )
e1 (n) h(2n 1)
h(n) h0 (n) h0 (n) 2h(n) cos( (2k 1)n hk (n) 2h(n) cos[ ] 2M
n
2M
)
正交镜像滤波器组
H1 (e ) H0[e
j j ( )
]
Quadrature mirror filter bank，QMFB
第M带滤波器
N=2(2J-1)+1=4J-1
• 半带滤波器的h(n)有近一半的值为零，可以有效减少计算量。
互补性滤波器
1.严格互补滤波器
M 1 k 0 n0 H ( z ) cz k
Mth滤波器是严格互补的，半带滤波器也是严格互补的。 但严格互补型滤波器并不一定是Mth滤波器或半带滤波器。
X ( z ) H 0 ( z ) X ( z ) H M 1 ( z ) X ( z ) H k ( z ) X ( z )cz n0
k 0 n
k n kl h(n)(zW ) W M M
1 El ( z ) M
M 1 k 0
k kl H ( zW ) W M M M 1 k 0
1 E0 ( z ) M
M 1 k 0
k H ( zW M)c
令 c 1/ M
k H ( zW M ) 1
M 1 l 1
z
l
(z )
M
El ( z )
n
n e ( n ) z , el (n) h( Mn l ) l
er (n) h(Mn r ) h(n r ) z H ( z)
r
1 Er ( z ) M
z kr 1/ M k G ( z W ) W H ( z W r M M) M k 0 k 0 1 M 1 1/ M k E ( z ) H ( z W 0 M)c 令 r0 M k 0
y(Mn) cx(n)
第M带滤波器-定理
若H(z)是一个Mth滤波器，则
k H(zW M) 1 k 0 M 1
el(n) h(Mn l) h(n)δ (n Mi l),l 0,1, , M 1,n (, )
El(z)
n
n e (n) z l
k H0 ( z) H ( z), H k ( z) H ( zWM ), k 0,1,, M 1
M 1 k 0 j ( 2k / M ) H e 1
M th滤波器在均匀移位后频率特性的和为常数。 另外，M th 滤波器中有不少的零值点，有利于高效计算。
另一证法： H ( z ) E0 ( z M )
H k ( z) H ( z 1 )
定理
给定一转移函数H(z)，其多相表示为
H ( z ) z El ( z )
l M l 0
M 1
再令
G( z) H ( z)H ( z) ，当且仅当G(z)是一Mth滤波器时，
E0 ( z),, EM 1 ( z) 是功率互补的。
证明：
均匀滤波器组通过下列方式得到： 令 hk (n) h0 (n)e
j 2 kn M
, k 1,2,, M 1
k H k ( z) H0 ( zWM )
H k (e j ) H0[e j (2k / M ) ]
hk (n), k 1,2,, M 1 一般是复序列
• ↑ M ：恢复原来的抽样频率，使重建后的信号和原信号有
相同的抽样频率。 • 又抽取又插值的作用 – 达到按信号能量分布给以不同处理的目的，如编码； – 抽取后的信号可能要传输很远距离才重建。
x(n) x(n) Perfect Reconstruction(PR)
^
x(n) cx(n n0 ) Perfect Reconstruction(PR)
现代信号处理 (Modern Signal Processing)
2015
主要内容
• 滤波器组的基本概念
• 滤波器组的种类及有关滤波器
• 半带滤波器设计
• 多抽样率系统简介
滤波器组的基本概念
一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或 有着共同的相加后的输出。
分析滤波器组
综合滤波器组
分析滤波器组的作用
h( z ) Λ( z) E( z )
W是M阶DFT矩阵，WW MI
E( z)E( z) c h( z)h( z) E( z)Λ( z)WWΛ( z)E( z) M E( z)E( z)
DFT矩阵
1 1 2 j M 1 e 2 j 2 M W 1 e 2 j ( M 1) M 1 e e e e
c n 0 e0 (n) h(2n) 0 others
半带滤波器
H ( z) 1 z 3 , E1 ( z) z 1
半带滤波器可以是因果的， 是实的，也可以是复的。
H ( z) z 1 z 1 , E1 ( z) 1 z 也可以是非因果的，可以 H ( z) 1 jz , E1 ( z) j
j 2 j 2 M j 2 4 M
1
2 ( M 1) 2 M
e 2 j 2 ( M 1) M e 2 j ( M 1)( M 1) e M
2 j ( M 1) M
1
DFT(X) WX
WW MI
(1) 若E(z)是功率互补的，则
k M k M
h( z)h( z) Mc c'
E( z) Λ1 ( z)W1h( z)
E( z) Λ1 ( z)W1h( z)
h( z )h( z ) E( z )E( z ) h( z ) W Λ Λ ( z ) W h( z ) c M
1 1 1 1
E(z)功率互补