高中数学核心素养之数学运算能力培养

数学学习与研究2019.8

高中数学核心素养之数学运算能力培养

◎沈瑜敏

（江苏省苏州市吴江中学，江苏

苏州215200）

【摘要】数学的运算能力是高中数学三大能力之一，运算能力的好与坏是影响数学成绩的一个重要因素，在现今高考题量大，

时间紧张的情况下，学生是否具有扎实的运算能力显得特别的重要．高中学生只有掌握必要的运算能力，才能梳理出正确的解题思路，才能省出宝贵的时间去探究新题，

寻求新的策略与方法．【关键词】高中数学；运算能力

在多年的教学实践中发现，在每一次的高考中，有80%以上的试题都是要通过运算才能得到，很多的学生会出现“会但是不对，对了又不全”，很多学生将其归结为“粗心”，笔者认为，这是一个运算习惯的问题，更是一个运算能力的问题．数学运算能力是新课程目标之一，

也是现代人必须拥有的一项基本素养，如何提高学生的数学运算能力也是高中数学的教学重要任务之一．

数学运算是所有数学最基本活动形式，它同时也是演绎推理的一种形态，是我们得到数学结论的重要途径，在形成数学核心素养的过程中，

能够让同学们进一步提升数学运算的能力，

借助运算方法有效地去解决实际生活中的问题；通过运算还能促进学生数学思维的发展，

从而培养学生养成勤思考问题的习惯．但是，

在实际教学和教研活动中发现，

许多的学生和教师对这种现象感到很是无奈，笔者总结一下可能存在这样一些原因．

一、学生在学习过程中敷衍

近些年，学生越来越喜欢接受现代教学方法，对传统教学不感兴趣，

学生喜欢只动脑、不动手，不愿意运算，害怕运算，

甚至懒得运算，即使是遇到非常简单的运算都想依靠计算器．不少学生只注重解题思路和过程却忽视了运算技巧．在做课外作业的时候学生抄袭现象是非常严重的，这些都影响着学生的学习效果．在做数学题的时候，

会出现这样的现象：好学生是设计师，

只写过程不计算；学困生们是技术人员，

专门进行计算器操作．这样导致那些所谓基础好的学生只会写运算过程，但运算不准确错误百出；学困生不仅不知道过程如何书写，

也不会运算．二、教师在教学中对教材的把握不正确

新的教学方式与传统教学接轨，教师学会了新课改和高效课堂的上课模式，

将其生搬硬套，注重了形式，淡化了结果．其实仅仅关注了学生表面上课堂反应很积极、课堂氛围非常好，学生对知识内容的掌握并不困难，但细节运算上还不能过关，

因此，在课堂练习得到的答案并不正确，让教师空欢喜了一场．因此，

我们应该采用教学尝试法，在教学的过程中慢慢积累经验，形成一套具有自己风格的教学方法．

在高三实际课堂教学中，我们不仅要对学生解题思路和方法的点拨，还要根据班级中每个同学的实际情况，去帮助他们在实时运算过程中突破的薄弱环节，

养成良好的解题习惯，促进高中生数学运算能力的发展和提升，八个考点的试题一直是我们数学高考的难点，

它的难度并不在仅需要几何条件的代数化，

而在于运算，如何巧妙地简化解析几何的运算就是一种能力，下面是笔者在教学过程中的一些尝试：

（一）开拓运算求解的视野

在我们习题教学的过程中需要多进行一题多解，一题多变，

可以激发学生学习数学的兴趣，开阔学生的思维，让学生勇于去探索数学的解题规律，从具体的实际问题的解决提升到理性的认识，进行科学的推广，从而提高运算的能力和解题能力．

例1在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=20，前n 项和为

S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时S n 取得最大值，最大值为多

少？

解法一

利用数列的性质．

a 1=20，S 10=S 15，10ˑ20+10ˑ92d =15ˑ20+15ˑ14

2

d ，ʑd =－

53，a n =－53n +65

3

，ʑa 13=0，即当n ≤12时，a n ＞0，n ≥14时，a n ＜0，ʑ当n =12或13时，S n 取得最大值，且最大值S 12=S 13=12ˑ20+

12ˑ11

2

ˑ－5()

3=130．解法二

利用函数知识求解．

a 1=20，S 10=S 15，10ˑ20+10ˑ92d =15ˑ20+15ˑ14

2

d ，ʑd =－

5

3

．又ȵS n =20n +

n ·（n －1）

2

·－

5()

3

解题技巧与方法

数学学习与研究2019.8

=－56n 2+1256n =－

56

n －

25

(

)

2

2

+

3125

24

．ȵn ∈N *

，ʑ当n =12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12=S 13=130．

对同一个题目我们在讲授过程中采用不同的解题方法，一定会涉及更为宽广的数学知识面以及开拓的数学思想，

能从更多的角度和层次去揭示知识点之间的种种联系，优化和促进学生对数学知识结构的认知和理解、分析能力的提升．

（二）解题过程要善于归纳策略

其实高考的数学试卷解答是有策略的，看到一道题，解答时学生能马上想到是什么，

让考生立马能够生成解题方案，也就是第一想法．为什么需要策略？因为80%的高考题是稳定的、

基础的、考查学生运算的速度和准度．没有策略，就不会有很好的速度，当我们在实施第一方案遇到困难时，我们应该实施怎样的解题策略呢？请看下面：

例2

设双曲线中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，两

条渐近线分别是l 1，

l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，

l 2于A ，B 两点，已知|→OA |、|→AB |、|→

OB |成等差数列，且→BF 与→FA 同向．

（1）求双曲线的离心率；

（2）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求该双曲线的方程．

解

本题第一问比较难，若考虑坐标进行运算，就要联

立双曲线的渐近线方程和直线AB 的方程，

求出A ，B 的坐标，

才能求出|→OA |，|→AB |，|→

OB |，再利用三者成等差数列的条件来解，这样运算显然非常的烦琐、复杂．

其实，只要知道了双曲线渐近线的斜率也就能推导出它的离心率，所以可以将双曲线的离心率转化为求渐近线的斜率，

故只要求出tan ∠AOF．ȵtan ∠AOF =|→AF |

|→OA |根据角平分线的性质可知．

ȵtan ∠AOF =|→

AF ||→OA |=|→FB ||→ OB |=|→AF |+|→

FB |

|→OA |+|→ OB |=|→

AB ||→OA |+|→ OB |=12，ʑ

b a =1

2

．ʑc 2a 2=a 2+b 2

a 2

=1+14，ʑe =槡5

2

．

将问题稍稍进行转化，就可以利用初中平面几何的知识解答，从而避免复杂烦琐的坐标运算．这可以有效地帮助

我们在解决解析几何问题时最优化选择什么方法解题，特别是在实施实际的运算过程中，当遇到困难障碍的时候，就能快速地调整运算的方法．

（三）重视变式教学在运算中的作用

现今变式教学在数学教学中非常常见，形成知识的过程中对问题的设计、

基本概念的辨析，公式和定理的推广，习题和例题的引申中，我们都可以运用变式进行教学，适当地采用变式教学，

能够非常好地激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识，锻炼学生的思维能力．

例3求函数f （x ）=ln x +2x －6的零点的个数．变式1求函数f （x ）=

x 2+2x －3，x ≤0，

－2+ln x ，x {

＞0

的零点个

数．

解析

函数f （x ）有零点 方程f （x ）=0有根 函数

f （x ）的图像与x 轴有交点，

由f （x ）=0得

x ≤0，x 2+2x {

－3=0

或

x ＞0，－2+ln x =0{

，

解得x =－3或x =e 2

．

变式2已知函数f （x ）=ax sin x －

2

3

（a ∈R ）在0，π[]2上的最大值为π－3

2

．（1）求函数f （x ）的解析式；

（2）判断函数f （x ）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．

解析

（2）仍然按照函数f （x ）在给定范围有零点 方

程f （x ）=0有根 函数f （x ）的图像与x 轴有交点，将f （x ）=0做一变形为sin x =

32x ，即转化为y =sin x 与y =3

2x

的图像在（0，π）上的交点的问题，通过数形结合我们不难发现sin

π

2＞32π

，则函数应该有两个零点，即在0，π()

2，

π2

，()π内各有唯一一个零点，用函数的零点存在性定理就可以顺利解决本题．

在变式教学中对教师要求非常高，教师必须精心设计问题情境，使得每一种变式都能变得流畅，变得有梯度，通过题目的变式来引导学生去分析、

发现、解决问题．当然在运算过程中的疏漏和错误是不可避免的，遇到这种情况时，教师不能训斥学生，也不能一讲到底，讲授的过程中要充分调动学生的学习关注力、兴趣，启发、引导学生寻找错误的原因．只有关注到学生的运算观念、

习惯、态度、自信心，才能真正激活学生头脑中已经拥有的运算经验，发展学生的思维，让学生扎实、稳健地走向高考胜利的彼岸．