代数运算及其性质

逆元的唯一性定理
▪ 设代数系统<A,＊> ,A中存在幺元e, 且每一个元素都有左逆元．如果＊ 是可结合的二元运算，那么，这个 代数系统中任何一个元素的左逆元 必定也是该元素的右逆元，且每个 元素的逆元是唯一的．
例：设A是集合，S是A的函数全体，对于函数 的复合运算来说，单位元是恒等函数A，而 只有双射才是可逆的。
可用运算符表示,即x*y=z∈A。
例1
在实数集上定义二元运算*，x,y∈R，x*y=y 则 2*3= 0.5*(-1 )= 50*0= 0*50=
例2
在Z+上定义运算*，+，x,y∈Z+ x*y=x,y的最 大公约数，x+y=x,y的最小公倍数 则 6*8= 6+8= 12*15= 12+15=
（6）求一个数的相反数分别是整数集合，实 数集合，有理数集合上的一元运算。
（7）求一个数的倒数是非零有理数，非零实 数集上的一元运算但其不是非零整数集上的 运算。
2.运算表
在有限集上可以将结果一一列出来定义运算， 简便明了的方法是画出运算表。
例:设A ={1，2} P（A）={Φ，{1}，{2}，{1，2}}
在P（A）上的运算∪和的运算表如下:
运算的封闭性
*是A上的运算, B A ,x,y∈B，x*y∈B， 称*对B是封闭的。
封闭性主要是对子集而言，*是A上运算， BA，考虑*对B是否封闭。
例：减法是自然数集N上的运算， x,y∈N， 可能x-yN 称减法在N上不是封闭的。
例：除法是非零实数集上的二元运算,但在其子集非 零整数集却不是封闭的。
例：矩阵乗法是n阶方阵集合Mn(R)上的运算,Mn(R)的 子集Nn(R)=非奇异矩阵全体，矩阵乗法对Nn（R） 是封闭的。因两个非奇异矩阵的乗积仍是非奇异矩 阵，但两个非奇异矩阵的加法未必是非奇异的。因 而加法在Nn（R）上不是封闭的。
运算律
(1)交换律：设◦是A上的二元运算，如果x,y∈A，均有x◦y=y◦x
（右零元） 若元素θ既是左零元，又是右零元，则称θ是
A中关于运算◦的一个零元。
例
实数集上加法运算（R，＋） 实数集上乘法运算（R，×） 对于幂集P（A）上的∪运算（P（A），∪） 而对于幂集P（A）上的∩运算（P（A），∩）
零元的唯一性定理
设*是集合A上的二元运算，θL，θr分别是 运算*的左零元和右零元，则有θl=θr=θ， 且θ是A上唯一的零元
逆元
定义：设*是集合A上的二元运算，eA是运算*的
单位元，xA，如果yA，使得x*y=e，
y*x=e，则称y是x的逆元，记y=x-1， 如果x的逆元存在，则称x是可逆的。 例：Z上的加法运算， 则逆元就是相反数， 而对N上的加法运算， 只有0存在逆元是0
逆元的唯一性定理
▪ 设代数系统<A,＊> ,A中存在幺元e, ＊是可结合的二元运算，如果A中元 素x存在关于运算＊的左逆元和右逆 元，那么，该左逆元必定也是该元 素的右逆元，即是该元素的逆元。
数学的三大特点
▪ 根据前苏联科学院出版的一本名为“数学--
-它的内容、方法、和意义”具世界影响的
书的提法，数学的三大特点也是它的三大优
点是：
①
精确性;
②
抽象性;
③ 应用的广泛性.
原书还特别强调:抽象性是应用广泛性的基础.
我们要深刻理解数学的抽象性这个特点和优
点.
代数系统的概念
▪ 代数系统也称代数结构,简称代数. ▪ 代数通常有三个组成部分: ① 一个集合（研究对象）,称为代数的载体; ② 定义在载体上的若干运算; ③ 载体的若干特异元素(如下面将介绍的幺元
例
(Z,+)是群, 但(Z+,+)不是群, 其不存在单位元,且每个元素也不存在逆元,只
是半群。
(N,+) 存在单位元, 除0以外,每个数均不存在逆元,wk.baidu.com只是半群，也是独异点。
群的性质(一)
定理:设(G,*)是群,则 (1)aG,(a-1)-1=a (2)a,bG,(a*b)-1=b-1*a-1 (3)aG,an*am=am+n (第一指数律) (4)aG (an)m=amn (第二指数律) 其中an=a*a*……*a(n个)
el◦x=x（或x◦er=x） 则称el（er）是A中关于运算◦的一个左单位 元（右单位元） 若元素e既是左单位元，又是右单位元，则称 e是A中关于运算◦的一个单位元，也称幺元。
例
实数集上加法运算 0是单位元； 乘法运算 则1是单位元； 对于幂集P（A）上的∪运算 是单位元， 而∩运算 则A是单位元。 Mn（R）上的矩阵加法运算，零矩阵是单位元而乘法 运算，单位矩阵是单位元。
证明:(1)因a*a-1=e, a-1*a=e, ( a-1)-1=a 即两式说明了a-1的逆元是a。 (2)(ab)*(b-1*a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e (注:在不混淆情况下,有时a*b简
写成ab) (b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1eb=b-1b=e (ab)-1= b-1 a-1 (3),(4)是因为结合律
运算律
（3）幂等律：x∈A，x*x=x,称*在A上成立幂 等律。 如果存在x∈A，使x*x=x，称x为*的幂等元。 显然*在A中成立幂等律x∈A，x是幂等元。 例：集合的∩，∪，逻辑运算∧，∨成立幂 等律。实数中的加法，乗法不成立幂等律.对 加法，0是幂等元;对乗法,1是幂等元。
（4）分配律：设◦和*是A上的两个二元运算， 如对x,y，z均有 x*（y◦z）=（x*y）◦（x*z）
称◦在A上是可交换的，或说◦在A上成立交换律。 (2)结合律：设◦是A上二元运算,如x,y，z∈A，均有 （x◦y)◦z=x◦（y◦z）称运算◦在A上是可结合的，或称◦ 在A上成
立结合律 例：实数中的加法乗法是可交换的，也是可结合的，但减法不
是可交换的，也不是可结合的。矩阵的乗法成立结合律，但 不成立交换律，集合的∩，∪，⊕均是可交换的，也是可结 合的。
例
四元群。设G={e,a,b,c} 运算*表如下 * eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
①xG,x*x=e ②xG,x*e=e*x=x ③x,yG,如 xe,ye,x*y=y*x=Z其中Ze,x,y,z均不相等。
由此可知①G存在单位元e,②运算封闭③*存在结合律④G的每个元 素均存在逆元,逆元是其本身。⑤G存在交换律(这不是群的要求) 称(G,*)为四元群
例1
(1) (Z+,+), (Z,+), (N,+), (Z+,x), (N,x),(Q,x) 等是半群。R+表 示正实数集合,(R+,+),(R+,x)是半群。
(2) (Mn(R),+)是半群,+为n阶矩阵的全体 Mn(R)上的矩阵加 法。
(3)(P(A),)是半群。
举例说明不是半群的代数系统 （R，－），（R，/）
元运算，但除法不是Z上的运算，因0不能作分 母，且相除结果不一定是整数，即在Z上可能 没有结果。 (3法)设是MMN（n（RR））是上n的阶二实元矩运阵算的。全体，因而矩阵乘 (4)集合的交，并，对称差是幂集上的二元运算， 补是幂集上的一元运算。
（5）合取，析取，蕴含，等价、异或是命题 公式集合上的二元运算，而否定是一元运算。
n元运算
集合上的n元运算定义为函数:
f:AnA.
例
实数集R上取负元:f(x)=-x 是一元运算;
实数集R上的加法:f(x,y)=x+y; 乘法:f(x,y) =xy 是二元运算
运算符
通常用◦，*，·，+，×来表示二元运算，称 为运算符
若f是A上的二元运算，即A×A→A的函数。 x,y∈A，f（x,y）=z∈A
独异点
定义:设(G,*)是半群,且二元运算*还满足： 存在eG, 则称(G,*)是独异点。
群
定义:设(G,*)是半群,且二元运算*还满足。 （1） 存在eG, （2） xG,x-1G,设x* x-1=x-1*x=e,即每个
元素均存在逆元，则称(G,*)是群。 即群（G,*）满足 ①运算*满足确定性,封闭性。 ②*存在结合律 ③G中存在单位元 ④G中每个元素存在逆元
,零元,逆元等),称为代数常数.(对有些代数 可以不含或不考虑代数常数)
代数运算
代数运算的定义： 设A是非空集合,f是A×A→A的一个函数， 则称f为A上的一个二元代数运算,简称二元 运算 若f是A→A的一个函数，则称f为A上的一个 一元代数运算,简称一元运算。 类似可定义n元运算。（注意封闭性）
例：Mn（R）上矩阵乘法，单位元是单位矩阵， 而逆元就是逆矩阵，当A是非奇异矩阵时，才 可逆。
练习
* 浅色
浅 浅色
色
深 色
深色
深色 深色 深色
代数系统
定义:设A是非空集合, f1,f2,…,fm是定义在A上的 一元或二元运算,由A和f1,…,fm组成的系统称为 一个代数系统或代数结构,记作(A,f1,…,fm), A 为该代数系统的定义域,当A为有限集时,称为有 限代数系统,当A为无限集时称为无限代数系统。
例
例1:（Z,+）是群, 单位元是0,逆元是相反数。 同样(Q,+),(R,+)也是群。
例2:(R+,x)是群, 单位元是1,逆元是倒数。
例
例3:(Mn(R),+)是群,单位元是零矩阵,逆元是负矩阵。 例4:(Mn(R),•)不是群,存在单位元是单位矩阵n,逆元是逆矩阵,
但有的方阵是不存在逆矩阵。 如果Mn(R)的子集Sn(R)=所有可逆矩阵的全体,则(Sn(R), •)
是群,其运算封闭 ,且每个矩阵均存在逆矩阵。 例50:,(1Z+66,5+=6)0,其,2+中64Z=6=0{,30+,16,32=,30,4,15,}5单位元是
群互。为逆元,2,4互为逆元,3的逆元是3,0的逆元是0,(Z6,+6)是 例6:(P(A),),P(A)是A的幂集,是对称差运算。
因BP(A),B=B=B, BB= 所以单位元是,每个元素的逆元就是其本身。
证明：∵eL是左单位元，则eL*er=er ∵er是右单位元，则eL*er=eL ∴eL=er且记为e，则e是单位元
如e也是A上关于*的单位元，则 e=e*e=e∴单 位元是唯一的
代数系统中的特殊元素：零元
定义:设◦是A上二元运算， 若存在元素θl（或θr）A，使得xA，均有
θl◦x=θl （或x◦θr=θr） 则称θl（θr）是A中关于运算◦的一个左零元
和 （y◦z）*x=（y*x）◦（z*x） 则称*对◦在A上成立分配律。
例：实数乘法对加法成立分配律，但加法对乘 法不成立分配律。
（5）吸收律：x,yA,x*（x◦y）=x， x◦（x*y）=x，称◦和*满足吸收律。
代数系统中的特殊元素：单位元
定义:设◦是A上二元运算， 若存在元素el（或er）A，使得xA，均有
例：
实数集R上定义运算a,bR，a*b=a， 则不存在左单位元，s.t.bR，el*b=b， 而aR，bR， b*a=b，a是右单位元 即R中任意数均是右单位元，故R中不存在单位
元。
定理1(唯一性）
设*是集合A上的二元运算，eL，er分别是运算* 的 是A左上单唯位一元的和单右位单元位元，则有el=er=e，且e
例:记A为命题公式的全体,∧,∨是两个运算,因而(A,∧,∨) 是代数系统,称为逻辑代数。
说明:1、代数系统要求运算的确定性。2、代数系统 要求运算的封闭性 3、集合相同,定义运算不同,也 是不同的代数系统。4、每个代数系统,有各自成立 的运算律,只有成立的运算律才能使用。
半群
定义:设(G,*)是一个代数系统, *是G上的二元运 算, 如果*在G上成立结合律, 则称(G,*)为 半群。
例3
在实数R上的除法运算
这不是代数运算，因0不能作除数，运算的存 在性不满足。
例4
在R上求平方根运算（作为一元运算）
它不是一个代数运算。-9不存在平方根，存 在性不满足。9有两个平方根，3，-3，唯一 性不满足。
但在R+上求平方根运算是一个一元运算。
例
(1)自然数集合上的乘法是N上的二元运算 (2)整数集合Z上的加法、乘法、减法是Z上的二
说明:①代数系统就是集合上赋于代数结构—— 运算。有资格称为A上的运算要求运算有” 存在性”和”唯一性”。
②代数系统是一个总称,具体运算符合某些律, 就产生了代数系统的分类。例如群、环、域, 布尔代数等。
例:Mn(R)在矩阵的加法和乘法下构成代数系统记作 (Mn(R),+,。)
例:集合的∩,∪是运算,因而(P(A),∪,∩)构成代数系统, 称为集合代数。