复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算

一、主要内容:

复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求:

1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.

4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点:

复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议:

1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.

前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量

来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的模和

辐角来表示，设其模为r ，辐角为θ，则Z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0).

既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r=

三角形式

Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0)

复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式

①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+

i sin θ）

其中z r = θ为复数z 的辐角。

②非零复数z 辐角θ的多值性。

始边，向量oz →

所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）

③辐角主值

表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。

2π）的角θ叫辐角主值 02≤

定义：适合[0，

唯一性：复数z 的辐角主值是确定的，唯一的。

④不等于零的复数的模z r =是唯一的。

⑤z =0时，其辐角是任意的。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法） 这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 2）复数的向量表示 在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2（如图）

何量oz z 11→

对应于 何量oz z 22→

对应于

何量z z z z z 1221→

-=对应于 与复数z 2－z 1对应的向量为oz →

显然oz ∥z 1z 2

则arg z 1=∠xoz 1=θ1

arg z 2=∠xoz 2=θ2

arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义

主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化

如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]

如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→

显然积对应的辐角是θ1+θ2

< 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→

逆时针旋转θ2角模变为oz 1→

的r 2

倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →

。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→

顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2

所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →

。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

②除法 '=÷=

=-+-z z z z z r r i 12121

2

1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：

< 1 >θθ210>→

时顺时针旋转角２oz 。

< 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→

01oz 。

例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式: (1) Z 1=-2(cos θ+isin θ) (2) Z 2=cos θ-isin θ (3) Z 3=-sin θ+icos θ (4) Z 4=-sin θ-icos θ (5) Z 5=cos60°+isin30° 分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z 对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率. 解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z 1=Z(-cos θ-isin θ)

复平面上Z 1(-2cos θ,-2sin θ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cos θ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z 1=Z(-cos θ-isin θ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)] （2）由“加号连”知，不是三角形式

复平面上点Z 2(cos θ,-sin θ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式 “2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.

∴ Z 2=cos θ-isin θ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z 2=cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ) 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一. （3）由“余弦前”知，不是三角形式

复平面上点Z 3(-sin θ,cos θ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式

“+θ”将θ变换到第二象限.

∴Z 3(-sin θ,cos θ)=cos(+θ)+isin(+θ)

同理（4）Z 4=-sin θ-icos θ=cos(π-θ)+isin(π-θ)

（5）Z 5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos +isin )=(cos +isin )

小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题. 例2．求复数Z=1+cos θ+isin θ(π<θ<2π)的模与辐角主值.

分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.

解:Z=1+cos θ+isin θ=1+(2cos

2

-1)+2i .sin cos =2cos (cos +isin ) (1)

∵ π<θ<2π ∴ <<π, ∴cos <0