复数的三角形式及乘除运算
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复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式,模与辐角的概念及几何意义,用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求:
1.熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化,会求复数的模、辐角及辐角主值. 2.深刻理解复数三角形式的结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3.能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围(最值).
4.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换,复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议:
1.复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁,相比之下,代数形式在这些方面显得有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示,即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示,复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示,也可以用复平面上的向量
来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的模和
辐角来表示,设其模为r ,辐角为θ,则Z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0).
既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r=
三角形式
Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0)
复数三角形式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角,不一定是辐角主值. 五、基础知识 1)复数的三角形式
①定义:复数z=a+bi (a,b ∈R )表示成r (cos θ+ i sin θ)的形式叫复数z 的三角形式。即z=r (cos θ+
i sin θ)
其中z r = θ为复数z 的辐角。
②非零复数z 辐角θ的多值性。
始边,向量oz →
所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π(k ∈z )
③辐角主值
表示法;用arg z 表示复数z 的辐角主值。
2π)的角θ叫辐角主值 02≤ 定义:适合[0, 唯一性:复数z 的辐角主值是确定的,唯一的。 ④不等于零的复数的模z r =是唯一的。 ⑤z =0时,其辐角是任意的。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。(求法) 这是复数计算中必定要解决的问题,物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算,尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容(也是解题术)复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法,辐角主值的确定是难点,也是关键存在,这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 2)复数的向量表示 在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2(如图) 何量oz z 11→ 对应于 何量oz z 22→ 对应于 何量z z z z z 1221→ -=对应于 与复数z 2-z 1对应的向量为oz → 显然oz ∥z 1z 2 则arg z 1=∠xoz 1=θ1 arg z 2=∠xoz 2=θ2 arg z (z 2-z 1)=arg z=∠xoz=θ 3)复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1) z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2) ①乘法:z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图:其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→ 显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→ 逆时针旋转θ2角模变为oz 1→ 的r 2 倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz → 。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→ 顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2 所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz → 。 为此,若已知复数z 1的辐角为α,z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 ②除法 '=÷= =-+-z z z z z r r i 12121 2 1212[cos()sin()]θθθθ (其中 z 2≠0) 除法对于辐角主要是“相减”(被除数的辐角一除数的辐角)依向量旋转同乘法简述如下: < 1 >θθ210>→ 时顺时针旋转角2oz 。 < 2 >θθ22时逆时针旋转角<→ 01oz 。 例1.下列各式是否是三角形式,若不是,化为三角形式: (1) Z 1=-2(cos θ+isin θ) (2) Z 2=cos θ-isin θ (3) Z 3=-sin θ+icos θ (4) Z 4=-sin θ-icos θ (5) Z 5=cos60°+isin30° 分析:由三角形式的结构特征,确定判断的依据和变形的方向.变形时,可按照如下步骤进行:首先确定复数Z 对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样,使变形的方向更具操作性,能有效提高解决此类问题的正确率. 解:(1)由“模非负”知,不是三角形式,需做变换:Z 1=Z(-cos θ-isin θ) 复平面上Z 1(-2cos θ,-2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角),余弦“-cos θ”已在前,不需再变换三角函数名称,因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z 1=Z(-cos θ-isin θ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)] (2)由“加号连”知,不是三角形式 复平面上点Z 2(cos θ,-sin θ)在第四象限(假定θ为锐角),不需改变三角函数名称,可用诱导公式 “2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限. ∴ Z 2=cos θ-isin θ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z 2=cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ) 考虑到复数辐角的不唯一性,复数的三角形式也不唯一. (3)由“余弦前”知,不是三角形式 复平面上点Z 3(-sin θ,cos θ)在第二象限(假定θ为锐角),需改变三角函数名称,可用诱导公式 “+θ”将θ变换到第二象限. ∴Z 3(-sin θ,cos θ)=cos(+θ)+isin(+θ) 同理(4)Z 4=-sin θ-icos θ=cos(π-θ)+isin(π-θ) (5)Z 5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos +isin )=(cos +isin ) 小结:对这类与三角形式很相似的式子,如何将之变换为三角形式,对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤,应能够很好地解决此类问题. 例2.求复数Z=1+cos θ+isin θ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多3个“1”,只有将“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos θ+isin θ=1+(2cos 2 -1)+2i .sin cos =2cos (cos +isin ) (1) ∵ π<θ<2π ∴ <<π, ∴cos <0