概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第六章

1、样本均值
1 n
X n k1 Xk
它反映了总体X 取值的平均值的信息，常用来估计EX
2、样本方差
S2
n11kn1(Xk
X)2
1n (
n1 k1
X2k
nX2)
h
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3、样本标准差
S S2 n11i n1(Xi X)2
4、样本k 阶原点矩 它反映了总体 k 阶矩的信息。
Ak 1 ni n1Xik
第六章
样本及抽样分布 一 、随机样本 二 、抽样分布
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例如 某厂生产一型号的合金材料， 用随机的方法选取 100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：
1、估计这批合金材料的强度均值是多少?
(参数的点估计问题）
2、强度均值在什么范围内？
(参数的区间估计问题）
3、若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这
批材料是否合格？
(参数的假设检验问题）
我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验。
下面首先引入一些数理统计中的基础知识。
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Байду номын сангаас一节
随机样本
一 、总
体
二 、样
本
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第六章
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一 、总 体
一个统计问题总有它明确的研究对象。
研究对象的某项数量指标值的全体称为总体。
总体中每个研究对象(元素)称为个体(样品)。 例如：测试矿大全体男生的身高；
且 EX k EX Dk X D X 2 k 1 ,2 , ,n .
EX1 nkn 1EkX1 nn
D Xn 1 2kn 1DkX n 1 2n2n2
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(2) E (S2)2.
EE[sn211(k n 1X E[2kn1nX 1k2n)1](X kn 11XE)[2k]n 1X2knX2]
=n1 -1(Kn =1E(X2k)-nE(X2))
1 ( n (2 2) n( 2
n1 K1
n
2 ))
2
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下面介绍几种常用的统计量的分布 统计量的分布称为抽样分布。
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二、几种常用的分布
(一 2 分布
)1. 定义 设
(X1,X2, ,Xn)
定义 为了准确地进行判断，对抽样有所要求：
① 代表性：样本的每个分量 分布函数；
X 与总体X 有相同的 i
② 独立性：
X1,X2,
,X为相互独立的随机变量， n
满足以上条件的样本
(X1,X2, ,Xn)称为来自总体
X 的容量为n 的一个简单随机样本（简称样本）。
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样本的一次具体实现
例如 总体 X~N(,2), X1,X2,,Xn是一个样本，
则 2X1X2 X2 nX12
n
Xk
均为统计量。
k1
h
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X 12X 2 ,X 1 2/ 2当 , 2 未知时，
当 , 2 已知时，其为统计量。
均不是统计量。
下面介绍几种常用的统计量
设 X1,X2,,Xn 是来自总体X 的一个样本，
X1,X 的2,联 合,分X 布n律。
解: 总体 X ~(), 其分布律为
P{Xk}ke k0,1,2,
k!
于是 X1,X2, ,Xn的联合分布律为
n
P { X 1 k 1 , X 2 k 2 , , X n k n } P{Xi ki} i1
n
n
ki
n
(
ki
e ) en
ki
i1
bk n1in1(xi x)k, k1,2
统计量是样本的函数，它是一个随机变量.
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例1 设总体X 的数学期望为
E(X),D (X)2
其样本为 X 1 ,X 2 , ,X n ,求 E ( X ) ,D ( X ) ,E ( S 2 ) .
(1)EX,
2
DX .
证 1、 由于
n
X1,X2,,Xn 是独立同分布的随机变量，
n1 ()
i1 ki!
i1 ki!
e n i 1
n
k i!
i1
h
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例2 设总体X~N(,2),求样本 X1,X2, ,Xn的联合密度函数。
解: 由已知,总体X的密度函数为
f(x) 1 e(x22)2
2
于是 X1,X2, ,Xn的联合分布律为
n f (xi)
i1
n
i1
1 e(x2i2)2
(x1,x2, ,xn)称为样本值。
联合分布函数为
F(x1,x2,
联合概率密度为
n
,xn) F(xi) i1
f(x1,x2,
联合分布律为
n
,xn) f(xi) i1
n
P { X 1 x i1 ,X 2 x i2 , ,X n x in } P X x ik
k 1
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例1 设总体 X ~，(求样) 本
总体
有限总体 无限总体
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总体可以用一个随机变量 X 及其分布来描述。
例如，研究某批灯泡的寿命时， 灯泡的寿命是我们所关心的指标.
这批灯泡中每个
此总体就可以用随机变量X 或其分布函数
F(x)P{Xx}
F ( x ) 表示.
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二 、样 本
样本：在总体中抽取的部分个体。
样本容量：样本中所含个体的数目n 。
其它
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第二节
抽样分布
一 、统计量的定义及常用的统计量 二 、几种常用的分布 三 、正态总体统计量的分布
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第六章
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一、统计量的定义及常用的统计量
由样本值去推断总体情况，
需要对样本值进
行“加工”，
这就要构造一些合适的依赖于样本
的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信
息集中起来。
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量。它是完全由样本决定的量.
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定设义1 X1,X2,,Xn是来自总体X 的一个样本，
g(X1,X2, ,Xn)为一实值连续函数，
其不包含任何
未知参数，则称
g(X1,X2, ,Xn)为一个统计量。
g(x1,x2,,xn)为 g(X1,X2, ,Xn)的观测值。
注： g(X1,X2, ,Xn)仍为随机变量。
g(x1,x2,,xn) 是一个数。
2
(2 ) e 2
n 2
212i n1(xi)2
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例3 设总体X的密度函数为
(1)x, 0x1
f(x) 0,
其它
求样本 X1,X2, ,Xn的联合密度函数.
解: 样本X1,X2, ,Xn的联合密度函数为
n
f (xi)
i1
(1)n(i n1xi), 0xi 1,i1,2, ,n
0，
k1,2, ,n.
5、样本k 阶中心矩
Bk1 ni n1(Xi X)k k1,2,
可见
XA1, S2nn1B2
它们的观察值分别为：
x
1 n
n i 1
xi
h
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s2n1 1i n1(xix)2n1 1[i n1xi2nx2]
s
1n n1i1
(xi
x)2
ak
1 n
n i1
xik,
k 1,2