机械振动分析与应用作业一

机械振动分析与应用作业（一）

1．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。

2．研究振系自由振动的目的是什么？阻尼对系统的自由振动有何影响？

3．求图1-1所示两系统的等效刚度。

4．用能量法求图1-2所示均质圆柱体振荡的固有频率。

5．用视察法建立图1-3示链式系统的运动微分方程。

6．如图1-4所示扭转振动系统中，k1=k2=k t，J1=2J2=2J。求系统的固有频率和主振型。7．一长度为l、质量力M的刚杆铰接在铰纹点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图1-5所示。

设杆绕右绞点的惯性矩为ml2／3，偏离静平衡位置的摆角以θ标记，求：(a)小角度θ的方程式；(b)无阻尼固有频率计算公式；(c)临界阻尼表示方式。

图

1-1

图

1-2

图

1-3 图1-4 图1-5

参考答案

1．答：机械或结构或状态在平衡位置附近的往复运动，称为（机械）振动。

研究振动的目的：一是掌握机械振动的规律，利用振动为人类造福；二是设法减小振动的危害。

振动理论分析的一般过程是：对于已经存在的实际振系，首先根据规则将其离散化，建立其力学模型，然后利用动力学原理建立离散化模型的运动微分方程，并求得其解析解或数值解。最后根据方程解的形式分析振系的振动特性。

2．答：研究振系自由振动的目的是揭示振系固有的振动特性，即求出系统自由振动的固有频率和振型。

尽管阻尼对系统自由振动的固有频率影响较小（n d ωζω2

1-=）

，但阻尼对其振幅的影响却很大，它使系统自由振动的振幅按指数关系衰减。

3．解：如图所示，当O 点受力时，弹簧k 1和k 2所受载荷为F 1和F 2,则有：1bF

F a b

=

+ 2aF

F a b

=+，弹簧k 1和k 2由此产生的位移为x 1和x 2，则 )

(11b a k Fb x +=

)(22b a k Fa

x +=，

O 点位移为：22

121212()()()o a F b a x x x x a b a b k k =+-=+++

∴系统的等效刚度为：2

2

2

012

()e F a b k b a

x k k +==+ 4．解：系统的动能和势能分别为：

()()⎥

⎦⎤⎢⎣⎡+≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==+=+=

22

22

22222202212sin 2124

341212121θθθθθθa r k a x k U mr mr mr J x m V

由()0=+dt

U V d 得，()03422=++θθmr a r k ，故，()2

2

34mr

a r k n

+=ω 。

5．解：1）建立广义坐标，坐标原点在系统静平衡时各质量的位置。

2）由视察法得到系统的运动微分方程为：

[]{}[]{}[]{}{}0=++x K x C x

M 其中，

{}[]{}[]{}[]

121212,,,,,T T T

x x x x x x x x x ===

[][][]12331113342110,,0k k k k m c c M K C k k k m c c ++--⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

===⎢⎥⎢

⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 6.解：根据观察法可写出系统的惯量矩阵[]J 、刚度矩阵[]K

[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=J J

J J J 0020

021

，[]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--=t t t t

k k k k K 2 由此可知，系统的特征方程为：

0222

2

=----ωωJ k k k J k t t

t t

解得系统的固有频率为：J k 2222

1-=

ω；J

k 2222

2+=ω

系统在按同一频率振动时的振幅比为：

当1ωω=时，2222

11=-=t

t k J k ωμ

当2ωω=时，2222

2

2-=-=t

t k J k ωμ

系统的主振型为：⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221111

21μμB A 7.解：设θ为从静平衡位置摆动的角度。

（1）对铰支点ο，由动量矩定理得运动微分方程：03

1222=++θθθ

ka cl ml （2）无阻尼固有频率为：m k

l a ml ka n 33

122=

=

ω （3）临界阻尼为：mk al ka ml k m c e e c 33

2

312222=⋅==