直接积分法求非线性发展方程的行波解

其 中 Ａ 为积分 常数． ｚ １ ２ 令 ＝ ／ 一 ， ｂ一一ｆ 一 ｙ 。 ，
（） ３ 即为
一
而 ｒ １ 此时解 （ ） 化为 一 ， ９退
＋ ６５ ｉ 一 Ａ． （） ４
式 （ ） 以 ， ４乘 再关 于 变量 积 分一次 ， 得
收稿 日期 ：０ ９０ －０ ２ ０ －９３ ．
法来 求 解 非 线 性 发 展 方 程 的行 波 解 ． 关 键 词 ： 圆函 数 ； 圆 积 分 ； 立 波 解 ； 接 积 分 法 椭 椭 孤 直
中 图分 类 号 ： ７ ． ９ Ｏ１５ ２ 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言
以应 用为 目的 ， 以物理 力 学 等其 他 学科 问 或 题 为背景 的微分 方 程 的研 究 ， 不仅 是 传统 应 用 数
ｑ ａｉｎ［］ Ｐ ｙ ｅ Ａ） １９ （９ ） １２１２ ｕｔ ｓＪ ． ｈ ｓＬ ｔ ｏ ｔ（ ，９ ５ １９ ：６—７ ． ［３Ｆ Ｚ ２ ＡＮ ＥＧ． ＨＡＮＧ Ｈ Ｑ ． ｈ ｏ ｏ ｅ ｅｕ ａ ｎｅ Ｔ ｅｈ ｍ ｇｎｏ ｓｂｌ ｃ ａ
） （ ２ ＝
义 ， 方程
。 一 ．㈣ 一 ）
对 （ ） 分 ， 涉 及 椭 圆积 分 问题． ５积 将 由椭 圆 函数定
学 中的一个最 重 要 的 问题 ， 也是 当代数 学 的一个 重要 组成部分 ． 目前 微 分 方程 研 究 的 主体 是 非线
性偏微 分方程 ， 多 意 义 重大 的 自然科 学 和工 程 很 技术 问题都可 归为非 线性 偏微 分方 程． 近年 来 ， 人 们提 出和发展 了求解非 线 性偏微 分方 程的有 效方
“ ＋ 一 一ｆ ｕ） ｌ 。 （ 一 一 ＝ ０ （ ） １
其 中 乒 ， ，。 ｊ 满足 ５
＋ ＋ ＝ ３ ／ ２ ） ａ （１，
。
＋ｊ 。 ＇ ＝ ３ ｌ ， ｊ Ｉ ＋ ５ ： 。 Ａ／ ， Ｉ ５ ３ １／． 一 。＝ ｆ ７ １ ｌ ．
本 文采用直 接 积 分 法 ， 求解 一 类 非 线 性发 展 方 程 ， 获得 了非 线性 发展 方程 的精确 行波解 ． 并
（ 。一 ［ ２（ 一 九） 一 ）， ）／ ６ ８ ，） ｌ 一 ｚ声 （ （ 一 ］ ３ ，（） Ｉ
１ 主要 结论
用 直接积 分法求 解 非线性 发展 方程
的 ｍａ ｌ ｐｅ实现［ ， 用 这 些 方 法求 解 了许 多 非线 ６并 ３
性方程 ．
（－３ ＋Ｏ］） Ｙ Ｙｚ．，（ ｘ ） Ｔｒ７ （ ） ，
其 中 。 为任 意 常数 ，ａｏ ｉ 圆余 弦函数 的模 数 Ｊ ｃｂ 椭
ｒ 取作
ｒ ￣（ ｌ ｙ ） （ —ｙ ） 一 ／ — ３／ ｌ ３ ． 假定 厂（）有三 个 实 根 ： ， ， 不妨 设 ≤ 九（ ≤ 。 ， 方程 （ ） 改写为 ： ）则 ５可
（‘ ） 一的 一・ｊ Ｙ（ ） ，
Ａ ＞ ０ Ｙ ≤ ２ Ｙ ，３ ≤ ｌ 的解 可 表 示 为
Ｙ— Ｙ 十 （ — Ｙ）ｒ ２ ｌ ２ ｃｌ
Ａ
－ －
一ａ Ｙ， ）
（） ６
法． 齐 次 平 衡 法 如 卜 ，双 曲 正 切 函 数 展 开 法 ，ａｏ ｉ 圆 函数 展 开 法嘲 ， 。 Ｊ ｃｂ 椭 叫］ 以及各 种 算 法
代 入方程式 （ ） 并 关 于变量 积 分一 次 ， １， 得
一 ｃ ＋ ／ — 一 。 。 ２ 一 一 Ａ， （ ） ３
ｃ ｃ ｒ （ ｘｔ ］ ９ －＋ ， ）
其 中模数 ｒ 一 ＿ ＝ ， 为常数．
适 当选 取积 分常 数 Ａ 和Ｂ， 可使得 一 九 ＝ ０ 从 ，
３ ２
当
甘 Байду номын сангаас 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
ｙ ＼： ＝
第２ ４卷
即
ｓｅ 。
Ｉ Ｉ
Ｏ
３ 结 束 语
一 １
时 Ｉ Ｉ
，
直接积分 法是 非线性 偏微分 方程求解 的重要
方法 ， 很多类 型 的方 程都 可 以 通过 这种 方 法 得到
当 卢＝ ０时 ，
ｕ（ ｘ，）一 ６ ｓ ｃ 。 ａ ｅ ｈ
精 确解 ．
］
Ｊ
（
ｚ— ｃ ＋ ）１ ｔ ．
参考文 献 ：
［３ ＷＡ Ｌ Ｓ ｌａｙｗａｅｓｌｔ ｎｆｒＢ ｕｓ ｅｑ １ ＮＧ Ｍ ． ｏｉ ｒ ｖ ｏｕｉ ｏ ｏ ｓｉ ｓ ｔ ｏ ｎ
ｓｃ ｅｈ
的行波解 ， 中 ａ ， 为参 数． 其 ， ） ，
假定 （ ） １ 有行 波解 ［ ］ 将 ，
＝
当口 ｚ＞ ０时 ， ２ ， ６ ，１ 由（ ） （） （）的 Ｊ ｃ ｂ 椭 圆余 弦 ａｏｉ
波解 为
ｕ ｘ ｆ ＋ （ （ ，）＝ ＇ 一 ）ｎ ｌ ｃ２
（） ２
（ ） 一 — ｃ 岛 ， ｔ＋
第 ２ 第 ２期 ４卷
２１ ０ ０年 ３月
甘 肃 联合 大 学 学报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＧａ ｓ ｉｎ ｅＵｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｎ ｕＬａ ｈ ｉｅｓｔ Ｎａ ｕａ ｉｎ ｅ ） ｏ ｙ Ｓ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ２ １２ ．
Ｍ ａｒ ２０ ． １０
文章 编 号 ：１７ －９Ｘ（００ ０ —０ １０ ６ ２６ １ ２ １ ）２０ ３ －２
直接 积 分 法 求非 线性发 展 方程 的行 波 解
薛春 荣
（ 南 师 范 学 院 数学 系 ， 西 渭 南 ７ ４ ０ ） 渭 陕 １０ ０ 摘 要 ： 过非 线 性 发展 方程 的孤 立 波 等 问题 的 研 究 ， 用 一 种 最 直 接 ， 洁 和 行 之 有 效 的方 法— — 直 接 积 分 通 采 简
）－ｃ （ ］。 ＝ ｓ２ ｚ ＋ ）１ ｑ －ｈ 一 ．） ｅ （
，
资助 项 目 ： 渭南 师 范 学 院 研究 生 专 项 基 金 （７ Ｋ ０ ６资 助 ． ０Ｙ Ｚ ０）
作者简介 ： 薛春荣（９８）女， 韩城人 ， １７一， 陕西 渭南师范学 院讲师 ， 硕士研究生 。 主要从事偏微分方程及其应用的研究．