直接积分法求非线性发展方程的行波解
非线性发展方程的精确解
其 中 ａ（ ＝１ … ， ，ｎ ｉ ， ）６ ≠０是待 定 常数 。 由（） （） ｌ 一
（） ５
，
㈦ ＝ ＝（） 一 罟 （）（（） ）２ ）２罟， 一 一 （ 。 ） ＝ ＝ 罟 ＋（ （） （ ３／ ）＝６ ）８ ）２， 罟 ２ ）２罟） 一（ ４ （ ＝ （ ＋ （ 罟 — 罟 一ｚ ￣
Ｋ Ｋ方 程 Ｂ
／ ＋“ ｚ ＋ 心 ＋ 黝 ＝０ ｄ ， “ ＋ａ 盯 ￡ （） １
其 中参 数 ａ 』， 都 为常数 。Ｋ Ｋ 方程 包含 了许 多著 名 的方 程 ， ， ９ Ｂ
（） Ｔ ｉ当 ＝０时 ， 可得到 Ｋｄ －ｕｇｒ方 程 Ｖ Ｂ ｒｅｓ
“ ｆ ＋ Ｚ Ｕ ＋ 口“ Ｃ
２ ［）开求 Ｋ 方 ． 法解Ｂ 程 用 展 Ｋ
对 方程 （ ） 行波 变换 １作
毒＝ ＋ ｃ 、 ｔ
令 （ ， ） ｔ ＝Ｕ（ ， ）则方 程 （ ） １ 可化作
ｃ Ｕ ＋ ＋ ａＵ ＋ Ｌ ＋ ７Ｕ （）＝０
（） ２
两 边 积分 可得
ｃ ，＋ 己 ｕ ＋ 口己 ＋ ， ＋ ｒＵ＂一 Ｂ ＝ ０，
Ｕ２ ＿ ２
，
－
印一 寸 ， ，
，
Ｇ
一
／ａ ｎ － ／
（）＋， 罟 ． ． ・ （） ． 罟 ＋． ． ， （ ＋・ ） ． ． ，
乜
㈦
Ｌ ＝ ７７ １（ ２ａ （ ） ＋ 一ｚｚ ） （ ＋ ＋ ） 专 …， 『 ＿
平 衡方 程 （） ３ 中 和 Ｕ 可确定 ＝３ ， 。所 以可 以设 Ｋ Ｋ方 程 的解 为 Ｂ
频散 的 系统 ， 即便 有 较大 的 Ｒ ｙ ｏｄ 数 ， 不一 定 足 以产 生不 规则 的湍 流运 动 ， 须考 虑 流动 的不 稳 定 性［ 因 ｅ ｎ ｌｓ 也 必 ，
数理方程第三章行波法与积分变换法-PPT课件
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2019/3/8
3
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d x a t 2 2 a
4 解的物理意义
u (,) x t ( x a t ) ( x a t ) a. 只有初始位移时，
2 2 u u 2 1 1 a , x ,t 0 2 2 t x u ( x ,0 ) 1 u ( x ,0 ) ( x ) , ( x ) , x 1 t 2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u ( x ,0 ) 0 , 0 , x 2 t x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d 1 x a t 2 2 a
u u u u u y y y
2 2 2 2 u u u u u u u u 2 2 2 y y y 2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围：
求解非线性微分方程精确行波解的代数法
求解非线性微分方程精确行波解的代数法
高敏
【期刊名称】《闽江学院学报》
【年(卷),期】2006(027)005
【摘要】给出了求解非线性微分方程精确行波解的代数法,利用此方法获得了非线性微分方程若干形式的精确行波解,并在计算机代数系统REDUCE上得以实现.【总页数】6页(P8-13)
【作者】高敏
【作者单位】闽江学院计算机科学系,福建,福州,350108
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.一类耦合非线性微分方程的精确行波解 [J], 吴丽萍;庞春平
2.首次积分法下非线性偏微分方程的精确行波解 [J], 刘开宇;党军杰
3.符号计算与非线性偏微分方程精确行波解 [J], 吴国成;夏铁成
4.非线性偏微分方程的精确行波解 [J], 王书敏;薛瑞梅;姚若侠
5.直接代数法构造非线性差分微分方程的新精确解 [J], 敖特根
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非线性波方程求解的新方法!
4 00） ! （ $ - #" ） （ - #. ） 很明显， 这是方程 （20） 的两类周期解： 椭圆正弦波解 和椭圆余弦波解 4 当 * $ 2 时， 因此， 同 6’ 7’ #$ >?’@ #， #$ 6%7@ #， 时可以得到
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一类非线性偏微分方程的改进的Jacobi椭圆函数精确解
１ 方 法 简述
为了 方便应 用 本文 中提 出的改进 方 法 ， 面列 出主要求解 步 骤 ： 下
步骤 １ 对 给定 的非 线性 偏微 分方 程 （ 不妨 假设 仅含有 两 个变 量 ｚ， ￡ ）
Ｆ（ ｔ ，‘， 矗， ， ， ）＝ ０ ，‘ ｚ Ｕ 口 扛 … ｆ ， （） １
方程（ Ｅ） ＮＥ ｓ的精确 解 尤其是 孤 立子 解起 的重 要作 用 引起 了越来 越 多 学 者 的兴 趣 ． 近年来 ， 多 数学 家 许 和 物理 学家 经过 不 懈 努 力 ， 现 了孤 立 子 理 论 中蕴 藏 着 一 系 列 构 造 精 确 解 的有 效 方 法 ， 反 散 射 方 发 如 法 Ｂｉｋｕ ｄ变 换 、 ｒｏ ｘ变 换［ 、 ｒｔ 换 。齐 次 平 衡 法［ Ｐ ｉｌｖ 析［ Ｔ ｎ ｕ、￣ ｌｎ ｃ Ｄａｂ ｕ ３ Ｈｉ ａ变 ‘、 ］ ｏ 、 ａ ｅｅ分 、 ａｈ方 法 及 ｎ 推 广 的 Ｔａ ｈ方法 等［ １ ． ｎ ７ ０ 随着各 种方 法 的出 现 ， 多新 的 、 有重 要 物理 意义 的解 不断被 发现 和应用 ． －］ 许 具 最 近 ， ｉ ｈｋ ｏ等人 提 出 了 Ｊｃｂ 椭 圆函数展 开法 ， 功地 求 出 了一大 类非线 性 演化方 程的一 系 ＬｕＳ ｉｕ ａｏ ｉ 成
方程 （ ） 如下 形式 的解 ： ５有
～ ＋ｌ＾十 ｓ Ｊｌ ｎ ‰．
所求 得 的 Ａ、 、。 ａ ａ 和 。的值代 入 （ ） ， 得如 下精 确解 ： ６中 可
第 一组解 ：
㈤
根据前 述 步骤 ３ ５将 （） 入 （） ， － ， ６代 ５ 中 得到 一个 关 于 Ｄ‘Ａ （＝Ｏ １ ．） ．（ ， ，． 的代 数方 程 （ ） 收集 关 Ｓ ・ 组 ． 于 ｎ Ａ （＝Ｏ１ ．） 同幂 次项 ， ｓ（ ｆ ， ’． 的 ・ 并且 令 它们 的 系数 为零 ， 得到 一 个关 于 Ａ、ｌａ ／ 、。和 ａ ａ 的超 定 非 线 性代 数方 程组 ． 使用 Ｍａ ｌ软 件包 “ ｈ ｒｅｓ求 解上 面 的超 定代 数方 程组 ， ｐｅ Ｃ ａｓｔ” 可得 Ａ、。ａ 、。和 ａ 。的值． 将
非线性NLS方程的新显式精确行波解_赵长海
南通大学学报（自然科学版）２００７年０引言随着非线性科学的飞速发展，物理学、化学、生物学以及通讯工程等领域的许多现象可以通过非线性方程这一数学模型予以简练而准确的描述，因而求解非线性方程一直是数学家和物理学家研究的重要课题．近年来已发展了许多求解这些非线性发展方程的方法，例如反散射法，齐次平衡法等［１－２］．文献［３］用三角函数法得到非线性发展方程的若干解，文献［４－５］用双函数法找到非线性发展方程的广泛孤波解．非线性ＮＬＳ方程在非线性光学、电磁学、超导超流、生物物理、高分子物理、等离子体理论中均有应用．如可从光纤中的群速度色散与非线性效应相平衡时的情况来导出ＮＬＳ．从麦克斯韦方程出发亦可直接建立ＮＬＳ．事实上ＮＬＳ是非线性调制波方程．本文借助Ｍａｔｈｅｒｍａｔｉｃａ软件，采用双函数法和吴文俊消元法［６］，获得了非线性发展方程ＮＬＳ的多组行波解．１非线性ＮＬＳ方程的行波解ＮＬＳ方程可写成非线性ＮＬＳ方程的新显式精确行波解赵长海（南通大学理学院，江苏南通２２６００７）摘要：给出一种求解非线性发展方程精确行波解的新方法———双函数法．借助计算机代数系统Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，利用双函数法和吴文俊消元法，获得ＮＬＳ方程的多组新的显式行波解，包括孤波解和周期解．关键词：双函数法；吴文俊消元法；ＮＬＳ方程；行波解中图分类号：Ｏ４１５文献标识码：ＡＮｅｗＥｘｐｌｉｃｉｔａｎｄＥｘａｃｔＴｒａｖｅｌｉｎｇＷａｖｅＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＮＬＳＮｏｎｌｉｎｅａｒＥｑｕａｔｉｏｎｓＺＨＡＯＣｈａｎｇ－ｈａｉ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＮａｎｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｔｏｎｇ２２６００７，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｙｐｅｒｂｏｌａｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇｅｘａｃｔｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｍａｎｙｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｈｙｐｅｒｂｏｌａｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄＷｕ－ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｉｎｃｌｕｄｅｎｅｗｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｒａｔｉｏｎａｌｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｕｓｅｄｈｅｒｅｃａｎａｌｓｏｂｅａｐｐｌｉｅｄｔｏｏｔｈｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｙｐｅｒｂｏｌａｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；Ｗｕ－ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎ收稿日期：２００７－０３－１９基金项目：南通大学自然科学基金项目（０６Ｚ００４）作者简介：赵长海（１９６４－），男，南通大学理学院副教授，主要从事非线性物理的研究．文章编号：１６７３－２３４０（２００７）０３－００１２－０４南通大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）第６卷第３期２００７年９月Ｖｏｌ．６Ｎｏ．３Ｓｅｐｔ．２００７ｉ!ｕ!ｔ＋!!２ｕ!ｘ２＋"ｕ２ｕ＝０（１）ＮＬＳ方程有通常只有线性方程才具有的形式为ｕ＝Ａｅｉ（ｋｘ－#ｔ）（２）的单波解．其中，Ａ、#和ｋ分别为振幅、园频率和波数．将式（２）代入方程（１）很快得到频散关系为#＝!ｋ２－"Ａ２（３）式（３）说明，非线性波的频散关系既与波数有关，又与振幅有关．由此求得群速度为ｃｇ≡ｄ#ｄｋ＝２!ｋ（４）因式（１）是根据式（２）得到的，所以式（３）可视为非线性ＮＬＳ方程（１）的最低阶的近似，相应式（２）是它的最低阶的解．因非线性ＮＬＳ方程通常表征非线性的调制作用，所以，我们通常求它的包络波形式解，即设解为ｕ＝$（%）ｅｉ（ｋｘ－#ｔ），%＝ｘ－ｃｇｔ（５）将式（５）代入方程（１）得到!ｄ２$ｄ%２＋ｉ（２!ｋ－ｃｇ）ｄ$ｄ%＋（#－!ｋ２）$＋"$３＝０（６）通常，我们要求$（%）是实函数形式，故要求ｄ$ｄ%前的复系数为零，而这恰好是式（４）的形式．又考虑式（３），我们设式（６）中$前的系数为#－!ｋ２＝－&（&＞０）（７）这样方程（６）就简化为－!ｄ２$ｄ%２＋&$－"$３＝０（８）１．１方法一由双函数法设方程（８）有如下形式的行波解$（%）＝ｎｉ＝１"ｓｉｎｈｉ－１#（Ｂｉｓｉｎｈ#＋Ａｉｃｏｓｈ#）＋Ａ０（９）并且通过平衡方程（８）线性最高阶导数项和非线性的次数易知ｎ为１，所以$（%）＝Ｂ１ｓｉｎｈ#＋Ａ１ｃｏｓｈ#＋Ａ０（１０）其中Ａ０，Ａ１，Ｂ１为待定系数，而ｄ$ｄ%可以有多种选法，令ｄ#ｄ%＝ｓｉｎｈ#（１１）将式（１０）、式（１１）代入式（８），并令其中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下线性方程组：&Ａ０－"Ａ０３－３"Ａ０Ａ１２＝０，－!Ｂ１＋&Ｂ１－３"Ａ０２Ｂ１－３"Ａ１２Ｂ１＝０，－３"Ａ０Ａ１２－３"Ａ０Ｂ１２＝０，－２!Ｂ１－３"Ａ１２Ｂ１－"Ｂ１３＝０，&Ａ１－３"Ａ０２Ａ１－"Ａ１Ｂ１２＝０，－６"Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，－２!Ａ１－"Ａ１３－３"Ａ１Ｂ１２＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超待定代数方程组得：Ａ０＝０，Ａ１＝０，Ｂ１＝±ｉ２#!$"$，!＝&；Ａ０＝０，Ｂ１＝０，Ａ１＝±ｉ２$!$"$，&＝－２!；Ａ０＝０，Ａ１＝Ｂ１＝±ｉ!$２$"$，－!＝２&．对式（１１）分离变量并且两边积分，积分常数取为零，得：ｓｉｎｈ#＝－ｃｓｃｈ%，ｃｏｓｈ#＝－ｃｏｔｈ%．于是方程（８）有如下形式解：（１）$（%）＝%ｉ２$!$"$ｃｓｃｈ%；（２）$（%）＝%ｉ２$!$"$ｃｏｔｈ%；（３）$（%）＝%ｉ!$２$"$ｃｓｃｈ%%ｉ!$２$"$・ｃｏｔｈ%．进一步由式（５）得：（１′）ｕ＝%ｉ２$!$"$ｃｓｃｈ%・ｅｉ（ｋｘ－#ｔ）；（２′）ｕ＝%ｉ２$!$"$ｃｏｔｈ%・ｅｉ（ｋｘ－#ｔ）；（３′）ｕ＝（%ｉ２$!$"$ｃｓｃｈ%%ｉ!$２$"$・ｃｓｃｈ%）ｅｉ（ｋｘ－#ｔ）．赵长海：非线性ＮＬＳ方程的新显式精确行波解・１３・南通大学学报（自然科学版）２００７年如令ｄ!ｄ"＝ｃｏｓｈ!（１２）将式（１０）、式（１２）代入式（８）中，并令其中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：#Ａ０－$Ａ０３－３$Ａ０Ａ１２＝０，－２%Ｂ１＋#Ｂ１－３$Ａ０２Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＝０，－３$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０Ｂ１２＝０，－２%Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０，－%Ａ１＋#Ａ１－３$Ａ０２Ａ１－$Ａ１３＝０，－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，－２%Ａ１－$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超待定代数方程组得：Ａ０＝０，Ａ１＝０，Ｂ１＝±ｉ２!%!$!，２%＝#；Ａ０＝０，Ｂ１＝０，Ａ１＝±ｉ２!%!$!，#＝－%；Ａ０＝０，Ａ１＝Ｂ１＝±ｉ%!２!$!，%＝２#．对式（１２）分离变量并且两边积分，积分常数取为零，得：ｓｉｎｈ!＝－ｃｏｔ"，ｃｏｓｈ!＝－ｃｓｃ"．于是方程（８）有如下周期解：（４）&（"）＝"ｉ２!%!$!ｃｏｔ"；（５）&（"）＝"ｉ２!%!$!ｃｓｃ"；（６）&（"）＝"ｉ%!２!$!ｃｏｔ""ｉ%!２!$!ｃｓｃ"．进一步由式（５）得：（４′）ｕ＝"ｉ２!%!$!ｃｏｔ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）；（５′）ｕ＝"ｉ２!%!$!ｃｓｃ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）；（６′）ｕ＝（"ｉ%!２!$!ｃｏｔ""ｉ%!２!$!ｃｓｃ"）ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）．１．２方法二由双函数法设方程（８）有如下形式的行波解&（"）＝Ｂ１ｓｉｎ!＋Ａ１ｃｏｓ!＋Ａ０（１３）令ｄ!ｄ"＝ｓｉｎ!（１４）将式（１３）、式（１４）代入式（８）中，并令其中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：#Ａ０－$Ａ０３－３$Ａ０Ａ１２＝０，－%Ｂ１＋#Ｂ１－３$Ａ０２Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＝０，３$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０Ｂ１２＝０，２%Ｂ１＋３$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０，#Ａ１－３$Ａ０２Ａ１－$Ａ１３＝０，－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，２%Ａ１＋$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０．利用消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超待定代数方程组得：Ａ０＝０，Ａ１＝０，Ｂ１＝±２!%!$!，%＝#；Ａ０＝０，Ｂ１＝０，Ａ１＝±ｉ２!%!$!，#＝－２%．对式（１４）分离变量并且两边积分，积分常数取为零，得：ｓｉｎ!＝ｓｅｃｈ"，ｃｏｓ!＝±ｔａｎｈ"．于是方程（８）有如下解：（７）&（"）＝"２!%!$!ｓｅｃｈ"；（８）&（"）＝"ｉ２!%!$!ｔａｎｈ"．进一步由式（５）得：（７′）ｕ＝"２!%!$!ｓｅｃｈ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）；（８′）ｕ＝"ｉ２!%!$!ｔａｎｈ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）．１．３方法三又由双函数法设方程（８）有如下形式的行波解・１４・!（"）＝Ｂ１ｆ（"）＋Ａ１ｇ（"）＋Ａ０（１５）若取ｆ（"）和ｇ（"）为修正的双函数如下：情况１：ｆ（"）＝１ｒ＋ｓｉｎｈ"，ｇ（"）＝ｃｏｓｈ"ｒ＋ｓｉｎｈ（"）．其中"为行波变量，ｒ为参数，可以调整波行的变化．则易知，ｇ２（"）＝ｆ２（"）＋（１－ｒｆ（"））２．又易知ｆ′（"）＝－ｆ（"）ｇ（"）ｇ′（"）＝－ｆ２（"）＋ｒｆ（"）－ｒ２ｆ２（"）（１６）将式（１５）、（１６）代入式（８）中，且令其中的常数以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：#Ａ０－$Ａ０３－３$Ａ０Ａ１２＝０，%Ａ１－３$Ａ０２Ｂ１－$Ａ１３＝０，ｒ&Ａ１＋２ｒ$Ａ１３－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，－&Ｂ１＋%Ｂ１＋６ｒ$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０２Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＝０，３ｒ&Ｂ１－３$Ａ０Ａ１２－３ｒ２$Ａ０Ａ１２＋６ｒ$Ａ１２Ｂ１－３$Ａ０Ｂ１２＝０，－２&Ａ１－２ｒ２&Ａ１－$Ａ１３－ｒ２$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０，－２&Ｂ１－２ｒ２&Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１－３ｒ２$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超代定代数方程组得：Ａ０＝０，Ｂ１＝０，ｒ＝±ｉ，Ａ１＝%!$!，&＝－２%．舍去和前面计算结果相似的答案，将以上结果代入式（１５）中，则方程（８）有如下孤立波解：’（"）＝"%!$!ｃｏｓｈ"（"ｉ＋ｓｉｎｈ"）．进一步由式（５）得：ｕ＝"%!$!ｃｏｓｈ"（"ｉ＋ｓｉｎｈ"）ｅｉ（ｋｘ－(ｔ）．情况２：ｆ（"）＝１ｒ＋ｓｉｎ"，ｇ（"）＝ｃｏｓ"ｒ＋ｓｉｎ（"）．其中"为行波变量，ｒ为参数，可以调整波行的变化．则易知，ｇ２（"）＝ｆ２（"）－（１－ｒｆ（"））２．又易知ｆ′（"）＝－ｆ（"）ｇ（"）ｇ′（"）＝－ｆ２（"）－ｒｆ（"）＋ｒ２ｆ２（"）（１７）将式（１５）、（１７）代入式（８）中，且令其中的常数以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：%Ａ０－$Ａ０３＋３$Ａ０Ａ１２＝０，%Ａ１－３$Ａ０２Ａ１＋$Ａ１３＝０，－ｒ&Ａ１－２ｒ$Ａ１３－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，&Ｂ１＋%Ｂ１－６ｒ$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０２Ｂ１＋３$Ａ１２Ｂ１＝０，－３ｒ&Ｂ１－３$Ａ０Ａ１２＋３ｒ２$Ａ０Ａ１２－６ｒ$Ａ１２Ｂ１－３$Ａ０Ｂ１２＝０，－２&Ａ１＋２ｒ２&Ａ１－$Ａ１３＋ｒ２$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０，－２&Ｂ１＋２ｒ２&Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＋３ｒ２$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超代定代数方程组得：Ａ０＝０，Ｂ１＝０，ｒ＝±１，Ａ１＝%!$!，&＝－２%．舍去和前面计算结果相似的答案，将以上结果代入式（１５）中，则方程（８）有如下孤立波解：’（"）＝±%!$!ｃｏｓ"（±１＋ｓｉｎ"）．进一步由式（５）得：ｕ＝±%!$!ｃｏｓ"（±ｉ＋ｓｉｎ"）ｅｉ（ｋｘ－(ｔ）．２结束语本文采用双函数法和吴消元法，获得了ＮＬＳ方程的多组孤波解，其中一些为复标量场中的解，丰富了ＮＬＳ方程解的结果，将有助于我们对ＮＬＳ方程所描述物理现象的进一步了解和研究．双函数法不仅可以用于求解一元非线性可积方程，而且可以用来求解非线性方程的各种解．其中双函数可以选择双曲函数，也可以选择三角函数等．参考文献：［１］ＡＢＬＯＷＩＴＺＭＪ，ＣＬＡＲＫＳＯＮＰＡ，Ｓｏｌｉｔｏｎ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＥｖｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄＩｎｖｅｒｓｅＳｃａｔｔｅｒｉｎｇ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９１．［２］ＷＨＩＴＨＡＭＧＢ．ＬｉｎｅａｒａｎｄＮｏｎｌｉｎｅａｒＷａｖｅｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ，１９７４．（下转第２２页）赵长海：非线性ＮＬＳ方程的新显式精确行波解・１５・南通大学学报（自然科学版）２００７年［３］阎振亚，张鸿庆，笵恩贵．一类非线性演化方程新的显式行波解［Ｊ］．物理学报，１９９９，４８（０１）：１－５．［４］郑赟，张鸿庆．一个非线性方程的显式行波解［Ｊ］．物理学报，２０００，４９（０３）：３８９－３９１．［５］赵长海，盛正卯．Ｚａｋｈａｒｏｖ方程的显式行波解［Ｊ］．物理学报，２００４，５３（０６）：１６２９－１６３４．［６］关霭云．吴消元法讲义［Ｍ］．北京：北京理工大学出版社，１９９４．（责任编辑：戴兵）Ａ!Ｘ＝ｂ－ＡＸＡ＊!ｙ＋!Ｓ＝Ｃ－Ｓ－Ａ＊ｙＳｐ（!ＸＳ＋Ｘ!Ｓ）＝!"Ｉ－Ｓｐ（ＸＳ!####"####$）（５）由文献［１］知，系统（５）有唯一解．定义４设#＞０，（Ｘ（$），ｙ（$），Ｓ（$））是系统（４）的解，则称集合（Ｘ（$），ｙ（$），Ｓ（$）│$＞０）为原始－对偶中心路径．定义５称Ｎ（%）＝｛（Ｘ，ｙ，Ｓ）∈Ｆ０（Ｐ）×Ｆ０（Ｄ）：‖ＸＳ－!"Ｉ‖≤%"，"＝Ｘ・Ｓｎ｝为中心路径邻域．半定规划原始－对偶路径跟踪法的算法基本框架如下．令%∈（０，１），给定初始点（Ｘ０，ｙ０，Ｓ０）∈Ｎ（%）和误差容限&＞０，令"０＝Ｘ０・Ｓ０ｎ．循环直到"ｋ≤&：１）取矩阵Ｐｋ∈Ｓ＋＋ｎ和中心参数!ｋ∈［０，１］；２）求解系统（５），其中Ｐ＝Ｐｋ，"＝"ｋ，!＝!ｋ，（Ｘ，ｙ，Ｓ）＝（Ｘｋ，ｙｋ，Ｓｋ），得到解（!Ｘｋ，!ｙｋ，!Ｓｋ）；３）取（Ｘｋ＋１，ｙｋ＋１，Ｓｋ＋１）＝（Ｘｋ，ｙｋ，Ｓｋ）＋’ｋ（!Ｘｋ，!ｙｋ，!Ｓｋ），其中’ｋ＞０满足（Ｘｋ＋１，ｙｋ＋１，Ｓｋ＋１）∈Ｎ（%）；４）取(ｋ＋１＝Ｘｋ＋１・Ｓｋ＋１ｎ，ｋ＝ｋ＋１，返回．结束．５结语半定规划作为线性规划的推广，许多性质和算法都可以从线性规划直接推广得到，它们都是线性函数的极值问题，且都是凸优化问题，也都是特殊的锥优化问题；而半定规划比线性规划更一般，其对偶理论比线性规划的对偶理论弱，但是很多非线性凸优化问题可以化归为半定规划来求解，另外线性规划的可行集一般是多面体，其边界是光滑的，而半定规划的可行集的边界一般是非光滑的，因此线性规划有简单易行且高效的单纯形法，而半定规划尚无直接的、适用的单纯形法．参考文献：［１］ＷＯＬＫＯＷＩＣＺＨ，ＳＡＩＧＡＬＲ，ＶＡＮＤＥＮＢＥＲＧＨＥＬ．Ｈａｎｄ－ｂｏｏｋｏｆｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：ＫｌｕｗｅｒＡｃａ－ｄｅｍｉｃＰｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，ＢｏｓｔｏｎＤｏｒｄｒｅｃｈｔ－Ｌｏｎｄｏｎ，２０００．［２］ＴＯＤＤＭＪ．Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．ＡｃｔａＮｕｍｅｒｉｃａ，２００１（１０）：５１５－５６０．［３］ＶＡＮＤＥＮＢＥＲＧＨＥＬ，ＢＯＹＤＳ．Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．ＳＩＡＭＲｅｖ．，１９９６（３８）：４９－９５．［４］ＨＥＬＭＢＥＲＧＣ．Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｈｏｍｅｐａｇｅ［ＥＢ／ＯＬ］．（２００５－０８－０４）［２００６－０５－０６］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｚｉｂ．ｄｅ／ｈｅｌｍ－ｂｅｒｇ／ｓｅｍｉｄｅｆ．ｈｔｍｌ．［５］ＫＡＲＭＡＲＫＡＲＮＫ．Ａｎｅｗｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ－ｔｉｍｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｃｏｍｉｎａｔｏｒｉｅａ，１９８４（４）：３７３－３９５．［６］ＮＥＳＴＥＲＯＶＹＥ，ＮＥＭＩＲＯＶＳＫＩＩＡＳ．Ｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔｐｏｌｙｎｏ－ｍｉａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎｃｏｎｖｅｘｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｍ］．ＳＩＡＭｐｕｂｌｉｃａ－ｔｉｏｎｓ，ＳＩＡＭ，ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ，ＵＳＡ，１９９４．［７］ＷＲＩＧＨＴＳＪ．Ｉｎｔｅｒｉｏｒ－ｐｏｉｎｔｍｅｔｈｏｄｓｏｎｌｉｎｅｈｏｍｅｐａｇｅ［ＥＢ／ＯＬ］．（１９９８－０６－０７）［２００６－０５－０６］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ－ｕｎｉｘ．ｍｃｓ．ａｎｌ．ｇｏｖ／ｏｔｃ／ＩｎｔｅｒｉｏｒＰｏｉｎｔ．（责任编辑：张燕）（上接第１５页）・２２・。
非线性代数方程(组)的解法
06
应用举例与算法实现
应用举例
经济学
非线性方程组在经济学中广泛应用于描述市场均衡、消费者行为等问题。例如，求解供需平衡价格时，可以通过构建 非线性方程组来表示供给和需求函数，进而求解市场均衡价格。
工程学
在机械、电子等工程领域，非线性方程组常用于描述系统的动态行为。例如，在控制系统中，通过建立非线性状态方 程来描述系统的状态变化，可以求解系统的稳定性、响应特性等问题。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，通过近 似计算雅可比矩阵或其逆矩阵来减少 计算量。常见的拟牛顿法有BFGS方 法、DFP方法等。程序设计时，需要 实现拟牛顿法的迭代过程，包括选择 合适的拟牛顿公式、更新近似矩阵等 步骤。
信赖域方法
信赖域方法是一种全局收敛的非线性 方程组求解算法，其基本思想是在每 次迭代中构造一个信赖域，然后在该 区域内寻找使目标函数充分下降的试 探步。程序设计时，需要实现信赖域 方法的迭代过程，包括构造信赖域、 求解子问题、更新信赖域半径等步骤 。
04
解析解法分离变量法源自01 适用于可将方程中的变量分离为两个或多个独立 函数的情况。
02 通过将方程两边同时积分，得到各变量的通解。 03 需要注意积分常数的确定，以及解的合理性验证。
行波法
01
适用于可化为行波形式的非线性方程。
02
通过引入行波变换，将原方程化为关于行波参数的常微分方 程。
03
步骤
1. 选定适当的坐标轴，将方程的变量表 示为坐标轴上的点。
等倾线法
定义：等倾线法是一种通过绘 制等倾线（即斜率相等的线） ，从而找出方程解的方法。
步骤
1. 将方程转化为斜率形式， 即 y' = f(x, y)。
3. 通过观察等倾线的交点、 切线等性质，可以判断方程 的解的存在性、唯一性等。
非线性数学物理方程的行波解
非线性偏微分方程行波解1直接积分法行波解形式：0()u x ct φξξξ= =-+代入偏微分方程得常微分方程。
这个过程简记为行波变换。
直接积分法指直接求解这个常微分方程。
例0()()()()0t x xx u uu u c αφξφξφξαφξ''''+-=⇒-+-=积分难计算：1用特殊形式的解试凑：exp()1exp()B a u a ξξ=+ vakhnenko 方程20t x x xx u u u u u +++=；fisher 方程(1)t x x u u u u αβ---= ()exp(())u i kx wt φξ=- Schrodinger 方程20t xx iu u u u αβ++=2椭圆函数在常微分方程求解中的应用。
2混合指数方法适用于多项式方程，非多项式方程需变换。
如sine-Gordon 方程sin xt u u =【1】具体步骤1.行波变换2.进行奇性分析：将p φξ-=代入,平衡方程中最高阶导数项与最高阶非线性项,计算出p 的值。
通常p 为正整数;若n 为有理数12/m m ,可令21m φϕ-=,若n 为负数,可设1φϕ-=。
3.为获得更多的解，引入变换+C φϕ=4.设1,exp()n nn a g g k φξ∞===∑是方程相应线性项部分的指数解（若无则为最低次非线性项构成方程的解），代入方程，得到递推关系。
解出n a 。
得到方程的解。
注：1.n a 的递推关系难解，可以设n a 是n 的多项式。
【2】2.第3步也可以这样假设2020,exp()n n i ii i i ni n n i ii i i n i a g a g g k b g b g φξ=-==-====∑∑∑∑，代入方程令g 前系数为0解出a ，b 。
【3】3齐次平衡法齐次平衡法已推广到寻找非线性发展方程的自Backlund 变换、相似约化、多孤子解等领域。
非线性偏微分方程
2
(3.4) (3.5)
∂u ∂ζ
+β
∂2 u ∂ζ
2
=0
(3.6)
+ 2 u2 − cu = A
1
(3.7)
βu2 + 6 u3 − 2 cu2 − Au = β 2
1
1
(3.8)
写成
1 2 1
u2 + r u = 0
(3.9) (3.10)
r u = 6β (u3 − 3cu2 − 6Au − 6β)
n i=0 k i xi
+ wt
(3.2)
n 是空间维数 k 是波矢 w 是频率 可将 NPDE 化为常微分方程（ODE） p u, uζ , uζ
ζ
,⋯ = 0
(3.3)
如对（3.3）直接积分与可直接积分求出通解 二、对 KDV 方程孤波解 KDV 方程 ut + uxx + βuxxx = 0 引入ζ = x − ct (3.4)代为 u−c 积分一次得 β 再乘 u 积分得
第一讲 概论
一、非线性偏微分方程（NPDE） 又称非线性数学物理方程又称非线性演化方程。它是描述现代诸多科学工程 领域如物理化学、生物，大气空间科学等中的非线性现象的数学模型。 二、方程的建立、分类 常微分方程 古典分类 分类 耗散结构 抛物型 双曲型 椭圆型 du = Lλ u + G(uλ ) dt 三、关于 NPDE 研究有重要科学意义及广泛应用背景。主要研究内容集中在两 个方面： 一是定性。主要研究解得存在性及状态。 二是定量。主要研究构建科学的精确解。 四、化繁为简 化偏微为常微 化高阶为低阶 化非线性为线性 第三讲 非线性偏微分方程行波解的直接积分法 一、思路：对 NPDE p u, ux
常见的几个偏微分方程的解法参考文献汇总
Boussinesq:0)(220=---xx xxxx xx tt u u u c u βα1. Jacobi 椭圆函数展开法 [2]刘式适,傅遵涛,刘式达,赵强.Jacobi 椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用[J].物理学报,2001(11):2068-2073. ；[29]闻小永.Boussinesq 方程的Jacobi 椭圆函数精确解[J].北京机械工业学院学报,2007(01):23-26.2. 三角函数法和吴文俊消元 [26]贺锋,郭启波,刘辽.用三角函数法获得非线性Boussinesq 方程的广义孤子解[J].物理学报,2007(08):4326-4330.3. 双函数法、吴文俊消元 [27]黄文华,张解放,盛正卯.Boussinesq 方程的新显式精确行波解[J].浙江大学学报(理学版),2003(02):145-149.4. 齐次平衡法、backlund 变换 [28]夏铁成,张鸿庆,李佩春.Boussinesq 方程精确解析解研究[J].大连理工大学学报,2003(04):393-396.5.推广的Tanh 法、Jacobi 椭圆函数、双曲函数 [30]高亮,徐伟,申建伟,唐亚宁.Boussinesq 方程新的显式行波解[J].西南民族大学学报(自然科学版),2006(01):54-59.6.试探方程法、齐次平衡法 [39]杨玉婷,崔泽建.用试探方程法求解Boussinesq 方程[J].重庆文理学院学报(自然科学版),2012,31(03):5-7.7.拓展的Jacobi 椭圆函数法 [44]钟太勇,钟远涛.用形变映射法求KdV 方程的显式精确行波解[J].江汉大学学报(自然科学版),2009,37(03):10-12.8.改进的试探函数法 [45]谢元喜,唐驾时.用改进的试探函数法求解Boussinesq 方程[J].安阳工学院学报,2005(06):73-76.9.形变映射法 [46]方建平.形变映射法构造非线性Boussinesq 方程的行波解[J].丽水师范专科学校学报,2003(02):12-15.Sine -Gordon 方程：0sin =+-u u u tt xx1. 直接积分法 [1]李志斌. 非线性数学物理方程的行波解[M]. 科学出版社, 2007.2. 混合指数方法. [1]李志斌. 非线性数学物理方程的行波解[M]. 科学出版社, 2007.3. F -展开法 齐次平衡法 [13]王明亮,聂惠,李向正.用F 展开法解Sine -Gordon 方程[J].河南科技大学学报(自然科学版),2005(01):79-82. ；[32]范建华,闫杰生.Sine -Gordon 方程的精确解[J].商丘职业技术学院学报,2004(06):11-13+21.4.扩展的sinh -Gordon 方程展开法 [95]杨先林,唐驾时.非线性演化方程的新Jacobi 椭圆函数解[J].动力学与控制学报,2011,9(02):147-151.5.双线性算子、齐次平衡 [99]杨琼芬,唐再良,罗守双.用双线性形式求得sine -Gordon 方程新的精确解[J].绵阳师范学院学报,2015,34(11):12-14+29.6.Jacobi 椭圆函数展开法 [100]沈水金.利用Jacobi 椭圆函数展开法求解特殊类型的方程[J].上海大学学报(自然科学版),2010,16(04):383-386.Fisher 方程：0)1(=---u u u u xx t βα1. 观察试凑法 [1]李志斌. 非线性数学物理方程的行波解[M]. 科学出版社, 2007.2. 指数函数法 [51]王军帽,张睿,张文亮,张苗,韩家骅.Exp 函数法与Fisher 方程新的精确解[J].安徽大学学报(自然科学版),2009,33(01):53-56. ； [52]张桂戌,李志斌,段一士.非线性波方程的精确孤立波解[J].中国科学(A 辑),2000(12):1103-1108.3.正切函数变换 [53]张宏.Fisher 方程的新孤波解[J].青海师范大学学报(自然科学版),2006(03):37-38+67.4.推广的tanh 函数法、复tanh 函数法、广义幂指函数法 [54]庄红波. 函数变换法求经典Fisher 方程的显示解[D].四川师范大学,2006.5.双函数法 [55]王军帽,张文亮,张苗,吴国将,韩家骅.一类非线性方程新的精确孤波解[J].安徽大学学报(自然科学版),2008(04):53-55.6.转化为复域的ODE [101]熊维玲,韩松,卢晓娟.Fisher 方程的行波解[J].广西科技大学学报,2014,25(04):5-13.7.同伦摄动 [102]谭璐芸.同伦摄动法在求解非线性偏微分方程中的应用[J].江西理工大学学报,2014,35(01):102-104.8.改进的tanh 函数法 [103]庄红波,张健,张斌儒.改进的tanh 函数法在一类Fisher 方程中的运用[J].四川文理学院学报,2011,21(02):11-13.9.待定系数法 [105]陶涛,张卫国,冯丽萍.一类Fisher 方程的行波解及行波波速[J].上海理工大学学报,2004(02):111-112.10.正切函数变换 [106]臧雪岩,张秀梅.Fisher 方程的新孤波解[J].沈阳电力高等专科学校学报,2004(01):16-17. 11.幂变换 [107]刘春平,张丹.Fisher 型方程的显式精确孤波解[J].数学物理学报,1999(S1):513-516. 12三角变换 [108]王心宜.关于Fisher 方程的孤波解[J].科学通报,1991(01):76.KP 方程：0)(2=++++yy xxxx xx x tx u u uu u u εγα1. 混合指数方法. [1]李志斌. 非线性数学物理方程的行波解[M]. 科学出版社, 2007.2.同伦分析法 [57]杨红娟,石玉仁,段文山,吕克璞.非线性演化方程孤立波的同伦分析法求解[J].物理学报,2007(06):3064-3069.3.改进的双曲正切法、吴文俊消元 [59]张英,李晓燕,姚若侠.用改进的双曲正切法求解KP 方程新的精确解[J].陕西师范大学学报(自然科学版),2013,41(05):1-4.4....新方法[60]姜东梅.KP 方程的精确行波解[J].北京联合大学学报(自然科学版),2008(03):69-71.5.双线性简化方法 [61]张增辉,董焕河.双线性简化方法求解两种孤子方程的新解[J].山东理工大学学报(自然科学版),2011,25(03):14-16.6.Hirota 双线性方法 [62]林麦麦,段文山,吕克璞.Hirota 方法求解KP 方程的多孤子解[J].西北师范大学学报(自然科学版),2004(03):26-30+34.7.齐次平衡法、Backlund 变换 [63]石玉仁,吕克璞,段文山,洪学仁,杨红娟,赵金保.KP 方程的Backlund 变换及其精确解[J].西北师范大学学报(自然科学版),2003(02):30-32.8.指数函数法 [71]刘玉堂,李富志.指数函数方法及其在非线性发展方程中的应用[J].计算机工程与应用,2009,45(02):68-70+105.。
首次积分法及其在非线性发展方程中的应用
Ｍａｌ 和吴 氏消元 法得到了变系数 Ａ Ｎ 方程 的一些 新的精确解 。 ｐｅ Ｎ Ｖ 关键词 ：首次积分法 ；变 系数 Ａ ＮＶ方程 ；延拓 ；对称 ；精确解 ；吴 氏消元法 Ｎ 中图分类号 ：０ ７ １５ 文献标识１ ：Ａ ｆ ｑ － Ｄ ： ．９ ９ ．ｓ． ７ — ０ ５２ １． ．０ ＯＩ ０３ ６ ／ｉ ｎ１ ４ ８ ８ ． ２０ ０ １ １ ｊｓ ６ ０ ４
行波 变 换 ，再 结合 常微 分系 统 的首 次积分 的 定义来
定义 】函数 Ｆ称为微分方程 ＝ｖ ） ∈ ： （ ， Ｕ的
首 次积分 ，如果它在 ｖ向量场 的方 向导数为零 ，即
Ｆ ＝ Ｉ０
ａ
＋Ｖ ２
（ １ ）
ａ
＋ … ＋
其 中在 局 部坐标 ， ， ， 中，此算 子 取形 式 …
ｓ ｌ ｔｏ ｏ ｕ ｉ ｎｓ
求 非 线 性 偏 微 分 方 程 的精 确 解 是 孤 立 子 理 论 中 的重要 内容 之一 。对 于 不 同类 型 的方 程 有不 同的 求 解 方法 ，如 ：Ｆ展开 法 ，ｔｎ 一 ａ ｈ函数法 ，三角 函数 法 ，指数 函数 法 ，李群 方法 ，齐 次平 衡 法【 ］ 。在 ｌ等 ２ ０ 年 ，冯 兆 生提 出 了用首 次积 分 方法 】 非 ０２ 求解
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｃｅ ｃ ， ｉｏ ｈ ｎ ｉ ｒ ｔ， ｉ ｃ ｅ ｇ Ｓ ａ ｄ ｎ ５ ０ ９ ｈｎ ） Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｍａｈ ｍａ ｃ ｉ ｅ Ｌａ ｅ ｅ ｇ ｉ Ｓ ｎ Ｕｎｖ ｓ ｙ Ｌ ａ ｈ ｎ ， ｈ ｎ ｏ ｇ２ ２ ５ ，Ｃ ｉａ ｅｉ ｏ
文章编 号：１ ７ ．０ ５２ １）４ ０ ０ — ５ ６ ４８ ８（０ ２０ — ０ １０
求非线性偏微分方程行波解的几种方法毕业论文答辩PPT
数学科学学院 2015级1班
答辩人：
导师：
目录
CONTENTS
绪论
研究方法与思路
研究结果与应用
研究总结
绪论
选题背景 研究意义 研究现状
背景
罗素观察到一种奇妙的水波有稳定的速度且波的形状不变,后来 著名的KdV方程解释了这种现象,并说明这是偏微分方程的特殊 解——行波解.这一结果一定程度地推动了流体力学的发展.
研究 现状
研究现状
随着科学技术的发展,前人提出了许多描述非线性现象的偏微分方 程,涉及生物学、物理学以及力学等等领域.例如1895年,数学家 Korteweg研究浅水波运动,提出著名的KdV方程,再到其他科学家 提出的Schrodinger方程、BBM方程等等.
相关研究人员们已经提出了一些方法去寻找非线性偏微分方程的 行波解比如Tanh函数法、反散射变换法、Darboux变换法、辅助 函数法等.但到目前为止,求行波解没有普适的解法.
研究结果与应用
首次积分法的应用 齐次平衡法的应用 雅可比椭圆函数的应用
PHi-four方程的行波解 1
首次积论分文法总的结应用
PHi-four方程的行波解 1
首次积论分文法总的结应用
mKdV方程的行波解 2
首次积论分文法总的结应用
mKdV方程的行波解 2
首次积论分文法总的结应用
mKdV方程的行波解 1
研究思路与方法
预备基 本方法
了解首次积分 法,齐次平衡法, 雅可比椭圆函 数展开法的理 论依据,并分别 提取总结求解 步骤.
应用
应用这些方法 求具有实际应 用背景的非线 性偏微分方程 的行波解.
优缺点 分析
非线性波方程求解的新方法
非线性波方程求解的新方法3付遵涛 刘式适 刘式达(北京大学物理学院,北京 100871)(2002年5月10日收到;2003年5月23日收到修改稿) 从Legendre 椭圆积分和Jacobi 椭圆函数的定义出发,得到了新的变换,并把它用于非线性演化方程的求解.用三个具体的例子,如非线性K lein-G ordon 方程、Boussinesq 方程和耦合的mK dV 方程组,说明了具体的求解步骤.比较方便地得到非线性演化方程或方程组的新解析解,如周期解、孤子解等.关键词:Jacobi 椭圆函数,非线性方程,周期解,孤子解PACC :0340K3国家自然科学基金(批准号:40175016)和国家教育部博士点基金(批准号:2000000156)资助的课题.11引言在非线性波动方程的求解中,Jacobi 椭圆函数起到了十分重要的作用[1—4],我们把Jacobi 椭圆函数展开方法[1—4]应用到非线性演化方程的求解,得到了新的解析解.下面,从新的角度认识Legendre 椭圆积分和Jacobi 椭圆函数在非线性方程求解的重要作用.我们知道,第一类Legendre 椭圆积分定义为θ(<)=∫<11-m 2sin 2φd φ,(1)其中0<m <1称为模数.若令y =sin φ,τ=sin <则得到Jacobi 椭圆正弦函数的定义θ(τ)=∫τ=sin <1(1-y 2)(1-m 2y 2)d y ≡sn -1τ,(2)即τ=sn θ=sin <.(3) 若令y =cos φ,τ=cos <,则由(1)式得到Jacobi 椭圆余弦函数的定义θ(τ)=∫1τ=cos <1(1-y 2)(m ′2+m 2y 2)d y≡cn -1τ,(4)即τ=cn θ=cos <,(5)其中m ′称作余模数,而且有m ′2+m 2=1.事实上,由(1)式得到d <d θ=1-m 2sin 2<,(6)其基本解是sin <=sn θ,cos <=cn θ.(7) 同样,第三类Legendre 椭圆积分定义为θ(<)=∫<1m2-sin 2φd φ.(8)若令y =cos φ,τ=cos <,则由(8)式得到第三类Jaco 2bi 椭圆函数的定义θ(τ)=∫1τ=cos <1(1-y 2)(y 2-m ′2)d y ≡dn -1τ,(9)即τ=dn θ=cos <.(10)事实上,由(8)式得到d <d θ=m 2-sin 2<,(11)其基本解是cos <=dn θ,sin <=m sn θ.(12)(6)和(11)式可以看作两个基本变换,这两个变换可以用于非线性方程的求解中,简化求解过程.下面,用三个具体的例子进行说明,分别是非线性K lein 2G ordon 方程、Boussinesq 方程和耦合的mK dV 方程组.第53卷第2期2004年2月100023290Π2004Π53(02)Π0343206物 理 学 报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.53,N o.2,February ,2004ν2004Chin.Phys.S oc.21非线性K lein 2G ordon 方程非线性K lein 2G ordon 方程为u tt -c 20u xx +αu -βu 3=0,(13)我们寻求它的行波解为u =u (ξ),ξ=k (x -ct ),(14)其中k 和c 分别为波数和波的传播速度.从而有k 2(c 2-c 2)d 2u d ξ2+αu -βu 3=0.(15) 将u (ξ)展开为下列三角函数的级数:u (ξ)=∑nj =1sin j -1ω(a j sin ω+b j cos ω)+a 0,(16)其中ω满足(6)式:d ωd ξ=1-m 2sin 2ω,(17)从而有d 2ωd ξ2=-m 2sin ωcos ω.(18)这样,在(16)式中,选择适当的n 使得非线性波动方程(13)中的非线性项和最高阶导数项平衡,即可得到方程的形式解,具体的求解步骤可参看文献[1—4].这里,可以得到n =1,因此,方程(13)的形式解为u =a 0+a 1sin ω+b 1cos ω.(19)注意到d 2u d ξ2=(a 1cos ω-b 1sin ω)d 2ωd ξ2-(a 1sin ω+b 1cos ω)d ωd ξ2=-(1+m 2)a 1sin ω-b 1cos ω+2m 2b 1cos ωsin 2ω+2m 2a 1sin 3ω.(20)u 3=(a 30+3a 0b 21)+3(a 20+b 21)a 1sin ω+(3a 20+b 21)b 1cos ω+6a 0a 1b 1cos ωsin ω+3a 0(a 21-b 21)sin 2ω+(3a 21-b 21)b 1cos ωsin 2ω+(a 21-3b 21)a 1sin 3ω.(21)这样,(19)式代入(15)式得到[αa 0-β(a 30+3a 0b 21)]+[-k 2(c 2-c 20)(1+m 2)a 1+αa 1-3β(a 20+b 21)a 1]sin ω+[-k 2(c 2-c 2)b 1+αb 1-β(3a 20+b 21)b 1]cos ω+[-6βa 0a 1b 1]cos ωsin ω+[-3βa 0(a 21-b 21)]sin 2ω+[2k 2(c 2-c 20)m 2b 1-β(3a 21-b 21)b 1]cos ωsin 2ω+[2k 2(c 2-c 20)m 2a 1-β(a 21-3b 21)a 1]sin 3ω=0.(22)令三角函数各幂次方的系数为零,则得到关于展开系数的方程组αa 0-β(a 30+3a 0b 21)=0,(23)-k 2(c 2-c 20)(1+m 2)a 1+αa 1-3β(a 20+b 21)a 1=0,(24)-k 2(c 2-c 20)b 1+αb 1-β(3a 20+b 21)b 1=0,(25)-6βa 0a 1b 1=0,(26)-3βa 0(a 21-b 21)=0,(27)2k 2(c 2-c 20)m 2b 1-β(3a 21-b 21)b 1=0,(28)2k 2(c 2-c 20)m 2a 1-β(a 21-3b 21)a 1=0.(29)由(23)—(29)式得到解的两种情况:1)a 1≠0,b 1=0:a 0=0,a 1=±2m 2α(1+m 2)β,k2=α(1+m 2)(c 2-c 20),(30) 2)b 1≠0,a 1=0:a 0=0,b 1=±2m 2α(2m 2-1)β,k2=α(1-2m 2)(c 2-c 20).(31)结合(6),(7),(17)和(19)式得到方程(13)的两种解:u 1=a 1sin ω=±2m 2α(1+m 2)β×sn ±α(1+m 2)(c 2-c 20)(x -ct ), (32)u 2=b 1cos ω=±2m 2α(2m 2-1)β×cn ±α(1-2m 2)(c 2-c 20)(x -ct ). (33)很明显,这是方程(13)的两类周期解:椭圆正弦波解和椭圆余弦波解.当m →1时,sn ξ→tanh ξ,cn ξ→sech ξ,因此,同时可以得到u 3=±αβtanh ±α2(c 2-c 20)(x -ct ),(34)443物 理 学 报53卷u4=±2αβsech±-α(c2-c2)(x-ct)(35)两类孤子解.若(17)式中ω满足(11)式,即dωdξ=m2-sin2ω,(36)从而有d2ωdξ2=-sinωcosω.(37)方程的形式解仍然为(19)式,类似,把(19)式代入(15)式,并考虑到(36)式,则可以得到方程(13)的另一类解:3)b1≠0,a1=0:a0=0,b1=±2α(2-m2)β,k2=α(m2-2)(c2-c2).(38)结合(11),(12),(36)和(19)式得到方程(13)的解u5=b1cosω=±2α(2-m2)β×dn±α(m2-2)(c2-c2)(x-ct). (39)很明显,这是方程(13)的另一类周期解:第三类椭圆函数解.当m→1时dnξ→sechξ,因此,同时可以得到孤子解为(35)式.31Boussinesq方程的解Boussinesq方程形式为u tt-c20u xx-αu xxxx-β(u2)xx=0,(40)求其行波解,把(14)式代入(40)式得到(c2-c20)d2udξ2-αk2d4udξ4-βd2u2dξ2=0,(41)方程积分两次得到(c2-c20)u-βu2-αk2d2udξ2=A,(42)其中A为积分常数.把(16)式代入(41)式得到方程(40)的形式解为u=a0+a1sinω+b1cosω+a2sin2ω+b2cosωsinω.(43)这里,取ω满足变换(36)式(满足(17)式的可以类似求解).把(43)式代入(42)式得到[(c2-c20)a0-β(a20+b21)-2αk2m2a2-A]+[(c2-c20)a1-β(2a0a1+2b1b2)+αk2(1+m2)a1]sinω+[(c2-c20)b1-2βa0b1+αk2m2b1]cosω+[(c2-c20)b2-β(2a0b2+2a1b1)+αk2(1+4m2)b2]cosωsinω+[(c2-c20)a2-β(2a0a2+a21-b21+b22)+4αk2(1+m2)a2]sin2ω+[-β(2a1b2+2a2b1) -2αk2b1]cosωsin2ω+[-β(2a1a2-2b2b1)-2αk2a1]sin3ω+[-2βa2b2-6αk2b2]cosωsin3ω+[-β(a22-b22)-6αk2a2]sin4ω=0.(44)令三角函数各幂次项的系数为零,得到展开系数的代数方程(c2-c2)a-β(a20+b21)-2αk2m2a2-A=0,(45)(c2-c2)a1-β(2a0a1+2b1b2)+αk2(1+m2)a1=0,(46)(c2-c2)b1-2βa0b1+αk2m2b1=0,(47)(c2-c2)b2-β(2a0b2+2a1b1)+αk2(1+4m2)b2=0,(48)(c2-c2)a2-β(2a0a2+a21-b21+b22)+4αk2(1+m2)a2=0,(49) -β(2a1b2+2a2b1)-2αk2b1=0,(50) -β(2a1a2-2b2b1)-2αk2a1=0,(51) -2βa2b2-6αk2b2=0,(52) -β(a22-b22)-6αk2a2=0.(53)由(45)—(53)式得到方程(40)的两种解:1)a1=b1=b2=0:a0=c2-c202β+2αk2(1+m2)β,α2=-6αk2β.(54) 2)a1=b1=0,b2≠0:a0=c2-c202β+αk2(1+4m2)2βa2=-3αk2β,b2=±i3αk2β,i=- 1.(55)结合(11),(12),(36)和(43)式得到方程(40)的解u1=a0+a2sin2ω=c2-c202β5432期付遵涛等:非线性波方程求解的新方法+2αk 2(1+m 2)β-6αk2βm 2sn 2[k (x -ct )]=c 2-c22β+2αk 2(1-2m 2)β+6αk2βm 2cn 2[k (x -ct )]=c 2-c 22β+2αk 2(m 2-2)β+6αk2βdn 2[k (x -ct )],(56)u 2=a 0+a 2sin 2ω+b 2cos ωsin ω=c 2-c 22β+αk 2(1+4m 2)2β-3αk2βm 2sn 2[k (x -ct )]±i 3αk2βm sn[k (x -ct )]dn[k (x -ct )].(57)当m →1时,同时可以得到孤子解u 3=c 2-c 202β+4αk 2β-6αk 2βtanh 2[k (x -ct )]=c 2-c22β-2αk2β+6αk2βsech 2[k (x -ct )],(58)u 4=c 2-c 22β+5αk 22β-3αk 2βtanh 2[k (x -ct )]±i 3αk2βtanh[k (x -ct )]sech[k (x -ct )].(59)41耦合mK dV 方程组的解耦合mK dV 方程形式为u t +α0v x +αu 2u x +βu xxx =0,v t +α1(uv )x +α2vv x =0,(60)求其行波解,即u =u (ξ),v =v (ξ),ξ=k (x -ct ).(61)把(61)式代入方程组(60)并积分一次-cu +α0v +α3u 3+βk 2d 2ud ξ2=C ,-cv +α1uv +α22v 2=C 2.(62)设(60)式的展开解为u (ξ)=∑n 1j =1sin j -1ω(a j sin ω+b j cos ω)+a 0,v (ξ)=∑n 2j =1sin j -1ω(A j sin ω+B j cos ω)+A 0.(63)(63)式代入(62)式可得到n 1=n 2=1,即形式解为u (ξ)=a 1sin ω+b 1cos ω+a 0,v (ξ)=A 1sin ω+B 1cos ω+A 0.(64)当ω满足(17)式时,(64)式代入(62)式得到方程(60)的两类周期解:1)a 1≠0,b 1=0:a 0=0,a 1=±6m 2(c α2+2α0α1)(1+m 2)αα2, A 0=2cα2,A 1=-2α1α2a 1,B 1=0,k2=-c α2+2α0α1(1+m 2)βα2.(65) 2)b 1≠0,a 1=0:a 0=0,b 1=±6m 2(c α2+2α0α1)(2m 2-1)αα2, A 0=2cα2,A 1=0,B 1=-2α1α2b 1,k2=c α2+2α0α1(2m 2-1)βα2,(66)即周期解为u 1=a 1sin ω=±6m 2(c α2+2α0α1)(1+m 2)αα2×sn ±-c α2+2α0α1(1+m 2)βα2(x -ct ),v 1=A 0+A 1sin ω=2cα2 2α1α26m 2(c α2+2α0α1)(1+m 2)αα2×sn ±-c α2+2α0α1(1+m 2)βα2(x -ct );(67)u 2=b 1cos ω=±6m 2(c α2+2α0α1)(2m 2-1)αα2×cn ±c α2+2α0α1(2m 2-1)βα2(x -ct ),v 2=A 0+B 1cos ω=2cα2 2α1α26m 2(c α2+2α0α1)(2m 2-1)αα2×cn ±c α2+2α0α1(2m 2-1)βα2(x -ct ).(68)相应的孤子解为u 3=±3(c α2+2α0α1)αα2×tanh ±-c α2+2α0α12βα2(x -ct ),643物 理 学 报53卷v 3=2cα2 2α1α23(c α2+2α0α1)αα2×tanh ±-c α2+2α0α12βα2(x -ct );(69)u 4=±6(c α2+2α0α1)αα2×sech ±c α2+2α0α1βα2(x -ct ),v 4=2cα2 2α1α26(c α2+2α0α1)αα2×sech ±c α2+2α0α1βα2(x -ct ).(70)当ω满足(36)式时,(64)式代入(62)式得到方程(60)的另一类周期解:3)b 1≠0,a 1=0:a 0=0,b 1=±6(c α2+2α0α1)(2-m 2)αα2,A 0=2cα2,A 1=0,B 1=-2α1a 2b 1,k2=c α2+2α0α1(2-m 2)βα2,(71)即u 5=b 1cos ω=±6(c α2+2α0α1)(2-m 2)αα2×dn ±c α2+2α0α1(2-m 2)βα2(x -ct ),v 5=A 0+B 1cos ω=2cα2 2α1α26(c α2+2α0α1)(2-m 2)αα2×dn ±c α2+2α0α1(2-m 2)βα2(x -ct ),(72)其对应的孤子解为(70)式.51结 论在非线性问题中,对非线性演化方程的求解和定性分析占有很重要的地位.已经发展了很多比较系统的求解方法和分析手段,如Jacobi 椭圆函数展开法[1—4],齐次平衡法[5—9],双曲正切函数展开法[10—12],试探函数法[13,14],非线性变换法[15,16],和sine 2cosine 方法[17].这些方法也求得了非线性波方程的周期解、冲击波解或孤立波解[1—32].本文注意了Jacobi 椭圆函数和三角函数的转换,既简化了求解过程,又能够得到周期解和孤子解,这样便于复杂方程的求解.[1]Liu S K,Fu Z T ,Liu S D and Zhao Q 2001Acta Phys .Sin .502068(in Chinese )[刘式适、付遵涛、刘式达、赵 强2001物理学报502068][2]Liu S K,Fu Z T ,Liu S D and Zhao Q 2002Acta Phys .Sin .5110(in Chinese )[刘式适、付遵涛、刘式达、赵 强2002物理学报5110][3]Liu S D ,Fu Z T ,Liu S K and Zhao Q 2002Acta Phys .Sin .51718(in Chinese )[刘式达、付遵涛、刘式适、赵 强2002物理学报51718][4]Liu S K,Fu Z T ,Liu S D and Zhao Q 2002Acta Phys .Sin .511923(in Chinese )[刘式适、付遵涛、刘式达、赵强2002物理学报511923][5]W ang M L 1995Phys .Lett .A 199169[6]W ang M L ,Zhou Y B and Li Z B 1996Phys .Lett .A 21667[7]Y ang L ,Zhu Z and W ang Y 1999Phys .Lett .A 26055[8]Fan E G and Zhang H Q 1998Acta Phys .Sin .47353(in Chinese )[范恩贵、张鸿庆1998物理学报47353][9]Fan E G and Zhang H Q 2000Acta Phys .Sin .491409(in Chi 2nese )[范恩贵、张鸿庆2000物理学报491409][10]Y ang L ,Liu J and Y ang K 2001Phys .Lett .A 278267[11]Parkes E J and Du ffy B R 1997Phys .Lett .A 229217[12]Fan E G 2000Phys .Lett .A 277212[13]Otwinowski M ,Paul R and Laidlaw W G 1988Phys .Lett .A 128483[14]Liu S K,Fu Z T ,Liu S D and Zhao Q 2001Appl .Math .Mech .22326[15]Hirota R 1973J .Math .Phys .14810[16]K udryashov N A 1990Phys .Lett .A 147287[17]Y an C 1996Phys .Lett .A 22477[18]Li Z B and Pan S Q 2001Acta Phys .Sin .50402(in Chinese )[李志斌、潘素起2001物理学报50402][19]Zhang J F1998Acta Phys .Sin .471416(in Chinese )[张解放1998物理学报471416][20]Y an Z Y and Zhang H Q 1999Acta Phys .Sin .481962(in Chi 2nese )[闫振亚、张鸿庆1999物理学报481962][21]Y an Z Y,Zhang H Q and Fan E G 1999Acta Phys .Sin .481(in Chinese )[闫振亚、张鸿庆、范恩贵1999物理学报481][22]X ia T C ,Zhang H Q and Y an Z Y 2001Chin .Phys .10694[23]Li Z B and Y ao R X 2001Acta Phys .Sin .502062(in Chinese )[李志斌、姚若霞2001物理学报502062][24]Lu K P ,Shi T R ,Duan W S and Zhao J B 2001Acta Phys .Sin .502074(in Chinese )[吕克璞、石太仁、段文山、赵金保2001物理学报502074]7432期付遵涛等:非线性波方程求解的新方法[25]Zhang J F1999Chin.Phys.8326[26]P orubov A V1996Phys.Lett.A221391[27]P orubov A V and Velarde M G1999J.Math.Phys.40884[28]P orubov A V and Parker DF1999Wave Motion2997[29]Y an Z Y and Zhang H Q1999Acta Phys.Sin.481957(in Chi2nese)[闫振亚、张鸿庆1999物理学报481957][30]H ong W and Jung Y D1999Phys.Lett.A257149[31]W ang M L and W ang Y M2001Phys.Lett.A287211[32]Zhang J F and Chen F Y2001Acta Phys.Sin.501648(in Chi2nese)[张解放、陈芳跃1999物理学报501648]A new method to construct solutions to nonlinear wave equations3Fu Zun-T ao Liu Shi-K uo Liu Shi-Da(School o f Physics,P eking Univer sity,Beijing 100871,China)(Received10M ay2002;revised manuscript received23M ay2003)AbstractFrom the definition of Legendre elliptic integration and Jacobi elliptic function,new trans formations are obtained and ap2 plied to construct the exact solutions of nonlinear wave equations.The nonlinear K lein-G ordon equation,Boussinesq equation and the coupled mK dV equations are taken as three exam ples to illustrate the detailed steps in obtaining exact solutions.There new analytical solutions such as periodic solutions and soliton solutions are derived for these nonlinear ev olution equation(or equations).K eyw ords:Jacobi elliptic function,nonlinear wave equation,periodic solution,soliton solutionPACC:0340K3Project supported by the National Natural Sciences F oundation of China(G rant N o.40175016)and the D octorate Programs F oundation of M inistry of Edu2 cation of China(G rant N o.2000000156).843物 理 学 报53卷。
7数学与物理非线性方程行波解
数学与物理非线性方程行波解【摘要】目前，随着科学的大力发展，线性科学理论也得到了不断地完善，从而使得人们对于非线性理论的关注程度也在不断地加深，而且又由于非线性现象无处不在，就更加的带动了非线性科学研究的发展，从而去有效的解决数学与物理中的非线性方程，所以在本文中，主要就是从集中数学与物理的非线性方程的解法进行探究，在加深认识的基础上去更好的进行非线性方程的波解。
【关键词】数学与物理；非线性方程；行波解目前，随着线性科学理论的不断完善，人们对非线性科学的研究也越来越重视，这主要是由于在现实生活中，越来越多的现象用线性理论已经无法进行有效的解答，这就使得非线性科学逐渐的成为了研究中的重点。
而且随着时代的发展，非线性科学的研究已经取得了极大的发展，其中的典型理论就是孤分子理论[1]，它在非线性科学的所扮演的角色也越来越重要。
而且近年来，随着对孤分子的深入研究，对于数学与物理非线性方程的行波解的研究也极大的引起了相关学者的关注。
在本文中，主要就是对数学与物理非线性方程行波解的各种解法进行探究，不断的从理论以及实践中去完善对孤分子理论的研究。
1.数学与物理非线性方程解法的相关概述在人类所处的大自然界的相关活动中，大多数的现象都必须通过非线性理论才能得到有效的解释，所以对于自然界中所出现的各种现象，学者都会去不断地需找一种合适的属性和或物理模型来进行深入的研究，进而从模型中得到解答这些现象的非线性方程。
而且目前随着非线性科学的快速发展，使得越来越多的非线性模型应运而生，但是对于这些模型进行解释仍然面临着较大的困难，所以为了能更好的去解释自然界中所产生的各种现象，从而去制定相应的解决措施，促使越来越多的数学家以及物理学家不断地去对这些模型的解法进行研究，而这些方程的出现则对自然现象的解释提供了坚实的基础。
2.数学与物理非线性方程的各种解法2.1反散射方法在1976年，人们发现了反散射方法，这种方法主要是利用量子力学中的方程中的正散射与反散射之间的关系，经过对GLM线性方程的求解而得出了KDV方程的解，经过这次后，将反散射方法逐渐的精制成更简练、更精确的数学形式，通在此基础上进行了极大的推广，逐渐的使反散射方法成为了解孤分子方程的一种系统有效的行波解，但是要有效的通过反散射方法进行非线性方程的求解就必须事先找出所求非线性方程的Lax表示。
首次积分法下非线性偏微分方程的精确行波解
关 于非 线性 偏 微分 方 程行 波解 的 探讨 在研 究 非
法 ［ 、 可 比 椭 圆 函 数 展 开 法［ 力、ｓ ｅｃ ｓｎ ２ 雅 ］ ｔ 一 ｉ －ｏｉｅ ｎ
线 性 物理 现 象 中起 着 非 常 重 要 作 用 、 线 性 波 动现 非 象 出现 在各 种科 学 和工 程 领域 ， 流体 力 学 、 离 子 如 等 体物 理 、 学 纤 维 、 光 生物 、 体 物理 、 学动 力 学 、 固 化 化 学 物 理 和地球 化 学 等． 线 性波 的 色散 、 散 、 非 耗 扩散 、 反 应 和对 流 现 象 在 非 线 性 波 动 方 程 中是 非 常 重 要 的 ， 的精确 行 波解 可 以帮 助人 们发 现 新 的现 象． 新 为 此 ， 过 去 的几 十年 里人 们 做 了大 量工 作 ， 出 了许 在 提
Ｌ Ｕ ｉ ｕ 。 ＡＮＧ Ｊ ｎｊ Ｉ Ｋａ ｙ ｔ Ｄ — ｕ － ｅ ｉ
（ ｏｌｇ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓａ ｄ Ｅ ｏ ｏ ｔｉ － ｎ ｎ Ｕｎｖ Ｃ ａ ｇ ｈ ， ｎ ｎ ４ ０ ８ ， ｈ ｎ ） Ｃ ｌ ｅ ｈ ｍａｉ ｎ ｃ ｎ ｍｅｒ ｓ Ｈｕ ａ ｉ 。 ｈ ｎ ｓ ａ Ｈｕ ａ １ ０ ２ Ｃ ｉａ ｅ ｏ Ｍａ ｃ ｃ Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｃｏ ｓｄ ｒｎ ｈ ａ ｙ ｍ ｏ ｅ ｓ ｏ ｏ ｌ ｅ ｒ ｐ ｒ ｉ ｌｄ ｆ ｅ ｅ ｔ ｌ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｅ ｉｔｎ ｎ ｐ ｙ ｉ ｓ ｎ ｉ ｅ ｉ ｇ ｔ ｅ ｍ ｎ ｄ ｌ ｆｎ ｎ ｉ ａ ａ ｔａ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｑ ａ ｉ ｎ ｘ ｓ ｉ ｇ ｉ ｈ ｓｃ ｎ ａ ａ ｄ ｏ ｈ ｒ ｆ ｌ ｓ ｈ ｘ ｓ ｅ ｃ ｆｅ ａ ｔｔ ａ ｅ ｌ ｇ ｗａ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓｏ ｑ ａ ｉ ｎ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ． Ｂ ｔ ｏ ｕ ｉ ｇ ｎ ｔ ｅ ｉ ｄ ，ｔ ｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｘ ｃ ｒ ｖ ｌ ｎ ｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆ ｕ ｔ ｓｗａ ｒ ｐ ｓ ｄ ｅ ｉ ｅ ｏ ｙ ｉ ｒ ｄ ｃｎ ｎ ａ ｗａ ｅ ｖ ｒａ ｌ ｎ ｓ ｎ ｈ ｉｓ ｎ ｅ ｒ ｌ ｍｅ ｈ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｆ ｃ ｍ ｍｕ ａ ｉ ｅ ａ ｇ ｂ ａ ｗｅ ｖ ａ ｉ ｂ ｅ ａ ｄ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｆｒ ｔ ｉ ｔ ｇ ａ ｔ ｏ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒｎ ｈ ｏ ｙ ｏ ｏ ｔ ｔｖ ｌ ｅ ｒ ， ｈ ｖ ｂ ａ ｎ ｄ ｔ ｅ ｅ ａ ｔ ｔ ａ ｅ ｌ ｇ ｓ ｌ ａ ｙ ｗａ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｆ ｒ ｔ ｏ ｌ ｅ ｒ ｅ ｏ ｕ ｉ ｎ ｅ ｕ ｔｏ ｓ Ｉ ａ ａ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ ｈ ｘ ｃ ｒ ｖ ｌｉ ｏ ｉ ｒ ｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ＷＯ ｎ ｎ ｉ ａ ｖ ｌ ｔ ｑ ａ ｉ ｎ ． ｔ ｈ ｓ ｎ ｔ ｎ ｏ ｍ ａ ｙ ａ ｖ ｎ ａ ｅ ｖ ｒ ｏ ｈ ｒｔ ａ ｉ ｏ ａ ｅ ｈ ｉ ｕ ｓ ｔｉ ｉｅ ｔａ ｄ ｃ ｎ ｉ ｅ ｔａ ｓ ｈ ｗｓｔ ａ ｈ ｉｓ ｔ － ｎ ｄ ａ ｔ ｇ ｓ ｏ ｅ ｔ ｅ ｒ ｄ ｔ ｎ ｌ ｃ ｎ ｑ ｅ 。ｉ ｓｄ ｒ ｃ ｎ ｏ ｃｓ ．Ｉ ｌ ｏ ｓ ｏ ｈ ｔ ｅｆｒ ｔ ｎ ｅ ｉ ｔ ｔ ｉ ｇ ａ ｅ ｈ ｄ ｉ ｎ ｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｍ ｅ ｈ ｄ ｗｉｈ ｇ ｅ ｔ ｐ ｔ ｎ ｉｌ ｅ ｉ ｄ ｎ ｏ ｒｌ ｍ ｔ ｏ ｓａ ｆｅ ｔｖ ｔ ｏ ｔ ｒ ａ ｏ ｅ ｔａ ｓ ｗｈ ｎ ｆｎ ｉ ｇ ｃ ｍｐ ｅ ｏ ｉａ ｙ ｗａ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｏ ｌｘ ｓ ｌ ｒ ｖ ｏｕ ｉｎ ｆ ｔ ｔ ｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｈ ｏ ｌ ａ ｑ ａ ｉｎ ． ｎ Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｌ ｅ ｒ ｄ ｆ ｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ； ｒ ｖ ｌ ｎ ｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ；ｆｒ ｔｉ ｔ ｇ ａ ｅ ｈ ｄ ｙ ｗｏ ｄ ：ｎ ｎ ｉ ａ ｉ ｒ ｎ ｉ ｌ ｕ ｔ ｓ ｔ ａ ｅ ｌ ｇ ｗａ ｅ ｓ ｌ ｔ ｓ ｉｓ ｎ ｅ ｒ ｌｍ ｔ ｏ ｎ ｆ ｅ ｏ ｉ ｏ
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代 入方程式 （ ） 并 关 于变量 积 分一 次 ， １， 得
一 ｃ ＋ ／ — 一 。 。 ２ 一 一 Ａ， （ ） ３
ｃ ｃ ｒ （ ｘｔ ］ ９ －＋ ， ）
其 中模数 ｒ 一 ＿ ＝ ， 为常数．
适 当选 取积 分常 数 Ａ 和Ｂ， 可使得 一 九 ＝ ０ 从 ，
法来 求 解 非 线 性 发 展 方 程 的行 波 解 ． 关 键 词 ： 圆函 数 ； 圆 积 分 ； 立 波 解 ； 接 积 分 法 椭 椭 孤 直
中 图分 类 号 ： ７ ． ９ Ｏ１５ ２ 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言
以应 用为 目的 ， 以物理 力 学 等其 他 学科 问 或 题 为背景 的微分 方 程 的研 究 ， 不仅 是 传统 应 用 数
第 ２ 第 ２期 ４卷
２１ ０ ０年 ３月
甘 肃 联合 大 学 学报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＧａ ｓ ｉｎ ｅＵｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｎ ｕＬａ ｈ ｉｅｓｔ Ｎａ ｕａ ｉｎ ｅ ） ｏ ｙ Ｓ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ２ １２ ．
）－ｃ （ ］。 ＝ ｓ２ ｚ ＋ ）１ ｑ －ｈ 一 ．） ｅ （
，
资助 项 目 ： 渭南 师 范 学 院 研究 生 专 项 基 金 （７ Ｋ ０ ６资 助 ． ０Ｙ Ｚ ０）
作者简介 ： 薛春荣（９８）女， 韩城人 ， １７一， 陕西 渭南师范学 院讲师 ， 硕士研究生 。 主要从事偏微分方程及其应用的研究．
（‘ ） 一的 一・ｊ Ｙ（ ） ，
Ａ ＞ ０ Ｙ ≤ ２ Ｙ ，３ ≤ ｌ 的解 可 表 示 为
Ｙ— Ｙ 十 （ — Ｙ）ｒ ２ ｌ ２ ｃｌ
Ａ
－ －
一ａ Ｙ， ）
（） ６
法． 齐 次 平 衡 法 如 卜 ，双 曲 正 切 函 数 展 开 法 ，ａｏ ｉ 圆 函数 展 开 法嘲 ， 。 Ｊ ｃｂ 椭 叫］ 以及各 种 算 法
其 中 Ａ 为积分 常数． ｚ １ ２ 令 ＝ ／ 一 ， ｂ一一ｆ 一 ｙ 。 ，
（） ３ 即为
一
而 ｒ １ 此时解 （ ） 化为 一 ， ９退
＋ ６５ ｉ 一 Ａ． （） ４
式 （ ） 以 ， ４乘 再关 于 变量 积 分一次 ， 得
收稿 日期 ：０ ９０ －０ ２ ０ －９３ ．
本 文采用直 接 积 分 法 ， 求解 一 类 非 线 性发 展 方 程 ， 获得 了非 线性 发展 方程 的精确 行波解 ． 并
（ 。一 ［ ２（ 一 九） 一 ）， ）／ ６ ８ ，） ｌ 一 ｚ声 （ （ 一 ］ ３ ，（） Ｉ
１ 主要 结论
用 直接积 分法求 解 非线性 发展 方程
当 卢＝ ０时 ，
ｕ（ ｘ，）一 ６ ｓ ｃ 。 ａ ｅ ｈ
精 确解 ．
］
Ｊ
（
ｚ— ｃ ＋ ）１ ｔ ．
参考文 献 ：
［３ ＷＡ Ｌ Ｓ ｌａｙｗａｅｓｌｔ ｎｆｒＢ ｕｓ ｅｑ １ ＮＧ Ｍ ． ｏｉ ｒ ｖ ｏｕｉ ｏ ｏ ｓｉ ｓ ｔ ｏ ｎ
ｓｃ ｅｈ
的 ｍａ ｌ ｐｅ实现［ ， 用 这 些 方 法求 解 了许 多 非线 ６并 ３
性方程 ．
（－３ ＋Ｏ］） Ｙ Ｙｚ．，（ ｘ ） Ｔｒ７ （ ） ，
其 中 。 为任 意 常数 ，ａｏ ｉ 圆余 弦函数 的模 数 Ｊ ｃｂ 椭
ｒ 取作
ｒ ￣（ ｌ ｙ ） （ —ｙ ） 一 ／ — ３／ ｌ ３ ． 假定 厂（）有三 个 实 根 ： ， ， 不妨 设 ≤ 九（ ≤ 。 ， 方程 （ ） 改写为 ： ）则 ５可
ｑ ａｉｎ［］ Ｐ ｙ ｅ Ａ） １９ （９ ） １２１２ ｕｔ ｓＪ ． ｈ ｓＬ ｔ ｏ ｔ（ ，９ ５ １９ ：６—７ ． ［３Ｆ Ｚ ２ ＡＮ ＥＧ． ＨＡＮＧ Ｈ Ｑ ． ｈ ｏ ｏ ｅ ｅｕ ａ ｎｅ Ｔ ｅｈ ｍ ｇｎｏ ｓｂｌ ｃ ａ
的行波解 ， 中 ａ ， 为参 数． 其 ， ） ，
假定 （ ） １ 有行 波解 ［ ］ 将 ，
＝
当口 ｚ＞ ０时 ， ２ ， ６ ，１ 由（ ） （） （）的 Ｊ ｃ ｂ 椭 圆余 弦 ａｏｉ
波解 为
ｕ ｘ ｆ ＋ （ （ ，）＝ ＇ 一 ）ｎ ｌ ｃ２
（） ２
（ ） 一 — ｃ 岛 ， ｔ＋
） （ ２ ＝
义 ， ） 分 ， 涉 及 椭 圆积 分 问题． ５积 将 由椭 圆 函数定
学 中的一个最 重 要 的 问题 ， 也是 当代数 学 的一个 重要 组成部分 ． 目前 微 分 方程 研 究 的 主体 是 非线
性偏微 分方程 ， 多 意 义 重大 的 自然科 学 和工 程 很 技术 问题都可 归为非 线性 偏微 分方 程． 近年 来 ， 人 们提 出和发展 了求解非 线 性偏微 分方 程的有 效方
Ｍ ａｒ ２０ ． １０
文章 编 号 ：１７ －９Ｘ（００ ０ —０ １０ ６ ２６ １ ２ １ ）２０ ３ －２
直接 积 分 法 求非 线性发 展 方程 的行 波 解
薛春 荣
（ 南 师 范 学 院 数学 系 ， 西 渭 南 ７ ４ ０ ） 渭 陕 １０ ０ 摘 要 ： 过非 线 性 发展 方程 的孤 立 波 等 问题 的 研 究 ， 用 一 种 最 直 接 ， 洁 和 行 之 有 效 的方 法— — 直 接 积 分 通 采 简
３ ２
当
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
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第２ ４卷
即
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３ 结 束 语
一 １
时 Ｉ Ｉ
，
直接积分 法是 非线性 偏微分 方程求解 的重要
方法 ， 很多类 型 的方 程都 可 以 通过 这种 方 法 得到
“ ＋ 一 一ｆ ｕ） ｌ 。 （ 一 一 ＝ ０ （ ） １
其 中 乒 ， ，。 ｊ 满足 ５
＋ ＋ ＝ ３ ／ ２ ） ａ （１，
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＋ｊ 。 ＇ ＝ ３ ｌ ， ｊ Ｉ ＋ ５ ： 。 Ａ／ ， Ｉ ５ ３ １／． 一 。＝ ｆ ７ １ ｌ ．