05数学分析中_实数完备性
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190
代数学中是十分有用的,影响深远②.
定义 1 有理数列 {xn }称为是基本列,若 ∀ε > 0 , ∃N > 0 ,当 m, n > N 时,有
xm − xn < ε
(1)
定义 2 两个有理数基本序列 {xn }和 {xn′ }称为是等价的,若
( lim
n→∞
xn
−
xn′
)
=
0
(2)
将相互等价的基本列作为一类,称为一等价类.有理数 a 可表为基本列的极限,如
中开区间的个数是无限(有限)的,称 H 为 S 的一个无限开覆盖(有限开覆盖).
3 七个定理的环路证明
例 1 确界定理 ⇒ 单调有界定理.
证 不妨设数列 {an }是单调增有上界,由确界定理知具有上确界,记为α = sup{an },
显然α 就是其极限.事实上, ∀ε > 0 ,由上确界定义知, ∃aN ,使 aN > α − ε ,由单增性 知,当 n ≥ N 时,有
的点一一对应起来,充满全数轴,必须用别的方法.
方法之一是用无限小数,我们知道任何有理数都可表为无限循环小数,这样可以把无限
不循环小数定义为无理数.
一个无限不循环小数 x ,取其 n 位小数的不足近似值α n 与过剩近似值 β n ,α n 与 β n 均为
[ ] 有理数,且 β n − α n
=1 10 n
191
有且仅有一个成立;
(2)传递性:若 x < y , y < z ,则 x < z ; (3)与“+”相容性:若 x < y ,则 ∀z ∈ R ,有 x + z < y + z ; (4)与“·”相容性:若 x < y , z > 0 ,则 x ⋅ z < y ⋅ z . 公理 3(阿基米德(Archimedes)公理) ∀x > 0 , y > 0 , ∃n ∈ N ,使得 nx ≥ y .
{[ ]} 有限个区间覆盖,记之为[a2 , b2 ] ,如此下去便得一闭区间套
an , bn
∞ ,其中每一个区间
n=1
[ ] 不 能 被 H 中 有 限 个 开 区 间 所 覆 盖 . 由 闭 区 间 套 定 理 , 存 在 唯 一 的 点 ξ ∈ an , bn ,
n = 1,2, .由于 H 是 [a, b]的覆盖,故 ∃(α, β )∈ H ,使得ξ ∈ (α, β ) ,由保序性立得:当
2 重要概念
定义 1(确界)设 S ⊂ R ,若 ∃η ∈ R 满足: (1) ∀x ∈ R , x ≤ η ,即η 是 S 的上界; (2) ∀ε > 0 , ∃x0 ∈ S ,使得 x0 > η − ε ,即η − ε 不是η = sup S .
的一个“空隙”,称之为无理数,显然它是有序的,可定义其四则运算(可参见北京大学数学
系沈燮昌编写的《数学分析》,高等教育出版社,1986 年). 康托用有理数基本序列的等价类来定义实数,其方法虽没有分割法直观,但其思想在近
① 毕达哥拉斯(公元前约 580~约 500):古希腊数学家、唯心主义哲学家,其招收 300 门徒组织了一个“联 盟”,后称之为“毕达哥拉斯学派”,宣扬神秘宗教和唯心主义.在西方首次提出勾股定理,并把数的概念神 秘化,认为“万物皆数”,即数是万物的原型,也构成宇宙的“秩序”,这里的数指的是自然然及自然数之比, 即“有理数”,而且这种思想一直占统治地位,然而勾股定理的提出,导致这种理想的破灭,即以 1 为直角 边的等腰直角三角形的斜边长是多少?这一问题后来称之为“不可公度”问题,引起整个世界(哲学界和数 学界)的恐慌,称之为第一次数学危机,此问题直到十九世纪末才被解决.
{ } S = xn n = 1,2, ,则 S 为有界集.若 S 为有限集,则 S 中至少有一个元素在 {xn}中出现 { } 无限多次,取此构成一常数子列 xnk ,则它是收敛的,设其极限为 a,即 xnk = a ,由条件
戴德金分割法具有很强的直观性,其思想是:每个有理数在数轴上已有一个确定的位置,
假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段,那么全体有理数被分为左、右两个子集 A, B .如
果折断处是有理点,那么它不在左子集,就在右子集,这样分割就确定了一个有理数,即 A 的
最大数或 B 的最小数.如果 A 中没有最大数, B 中也没有最小数,这个分割就确定了直线上
显然 H 是 [a, ] [ b 的一个开覆盖,由有限覆盖定理知,存在有限个邻域覆盖 a, b],从而亦覆盖 了 S .由U (x, δ x )的性质立得 S 中只有有限个点,矛盾.
194
例 5 聚点定理 ⇒ 柯西收敛准则.
证 设{xn }是 R 中任一数列,满足条件: ∀ε > 0 , ∃N > 0 , ∀n, m > N ,有
xn − xm < ε .
(3)
由此易证 {xn }是有界的(事实上,对 ε = 1, ∃N1 > 0, 当 n > N1 时,有 xn − xN1+1 < 1, 从
{ } 而 xn < xN1+1 + 1 , 取 M = max x1 , x2 , xN1 , xN1 + 1 , 则 xn ≤ M , n ≥ 1. ), 记
α − ε < aN ≤ an ≤ α , an −α < ε ,
193
即
lim
n→∞
a
n
=α
.
例 2 单调有界定理 ⇒ 闭区间套定理.
证 设{[an , bn ]}是一区间套,则 {an }单增有上界,由单调有界定理知 {an }有极限ξ ,且
an ≤ ξ , n = 1,2,
.由区间套的定义知
S ∩ U 0 (ξ , δ ) ≠ φ ,称ξ 是 S 的一个聚点.
定义 3〃
设S
⊂
R ,若存在彼此互异的点列 {xn } ⊂
S
,使得
lim
n→∞
x
n
=ξ
,称 ξ
为S
的
一个聚点.
定义 4 设 S ⊂ R , H 为开区间构成的集合.若 S 中任何一点都含在 H 中至少一个开
区间内,即 ∀x ∈ S , ∃I ⊂ H ,使 x ∈ I ,称 H 是 S 的一个开覆盖,或称 H 覆盖 S .若 H
公理 4(完备性公理)有上界非空数集必有上确界. 由此可定义:
定义 3 实数空间是这样的集合 R ,在其上定义了“+”、“·”运算,以及序关系“<”,满 足上述四组公理, R 中的元素称为实数.
二 实数基本定理
1 基本定理
定理 1(Dedekind 确界定理)任何非空数集 E ,若它有上界,则必有上确界;若有下界,
第五讲 实数的完备性
I 基本概念与主要结果
一 实数空间
1 无理数的定义 人类最先只知道自然数,由于减法使人类认识了负整数,又由除法认识了有理数,最后
由于开方与不可公度问题①发现了无理数,可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定
义.事实上,有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分.为了让实数与数轴上
(2)结合律: (x + y) + z = x + (y + z), (x ⋅ y)⋅ z = x ⋅(y ⋅ z);
(3)分配律: x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z ;
(4)两个特殊元素 0 与 1: ∀x ∈ R ,有 x + 0 = x , x ⋅1 = x ;
(5)每个 x ∈ R ,关于“+”的逆元 − x ,关于“·”的逆元 x −1 (此时 x ≠ 0 ),有
lim
n→∞
bn
=
ξ
,又 {bn }单减有下界,所以
bn ≥ ξ ,
n = 1,2, .此说明
an ≤ ξ ≤ bn , n = 1,2, .
下证ξ 是唯一的,设ξ1 变满足上式,即 an ≤ ξ1 ≤ bn , n = 1,2, ,则有
ξ1 − ξ ≤ bn − an → 0 ( n → ∞ ).
n 充分大时,α < an < bn < β ,即 [an , bn ] ⊂ (α, β ),这与 [an , ]bn 的构造相矛盾,故命题
为真.
例 4 有限覆盖定理 ⇒ 聚点定理.
证 设 S ⊂ R 是有界无限点集,则 ∃[a,b] ⊂ R ,a, b 为有限实常数,使得 S ⊂ [a, b].若 S 存在聚点,则该聚点必属于 [a, b](容易证明 [a, b]之外任何一点都不是 S 的聚点,因此只
则必有下确界. 定理 2(单调有界定理)单调有界数列必收敛.
定理 3(Cauchy 收敛准则)数列 {xn }收敛的充要条件是:∀ε > 0 ,∃N > 0 ,当 m, n > N
时,有 xm − xn < ε .
定理 4(Bolzano-Weierstrass 致密性定理)有界数列必有收敛子列. 定理 5(Weierstrass 聚点定理)有界无穷点集至少有一个聚点. 定理 6(Cantor 区间套定理)任何闭区间套必有唯一的公共点. 定理 7(Heine-Borel 有限覆盖定理)闭区间上的任一开覆盖,必存在有限子覆盖. 说明:定理 1~6 属于同一类型,它们都指出:在一定条件下,便有某一种“点”的存在.这 种点分别是:确界(点)、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点.定理 7 属于另一类型,它 是前六个定理的逆否形式,不论用前 6 个定理来分别证明定理 7,还是用定理 7 分别证明前 6 个定理,都可用反证法来证明,而前 6 个定理都可以直接推出.
( (2) lim n→∞
bn
−
an
)
=
0
;
则称 {[an , bn ]}为闭区间套,简称区间套.
定义 3 设 S ⊂ R ,若 ∃ξ ∈ R ,使ξ 的任何邻域U (ξ , δ ) 均含有 S 中无穷多个点,称ξ
为 S 的一个聚点.
定义 3' 设 S ⊂ R ,ξ ∈ R ,若ξ 的任何去心领域内都含有 S 中异于ξ 的点,即
需证明:若 S 不存在聚点,则矛盾.
[ ] 事 实 上 , 假 设 S 不 存 在 聚 点 , 即 a, b 中 任 一 点 都 不 是 S 的 聚 点 , 由 聚 点 定 义,
∀x ∈ [a, b],∃δ x > 0 ,使得U (x, δ x )中只含有 S 中有限个点,记 H = {U (x, δ x ) x ∈ [a, b]},
若 ∃ξ ∈ R ,满足:
(1) ∀x ∈ S ,有 x ≥ ξ ;
(2) ∀ε > 0 , ∃x0 ∈ S ,有 x0 < ξ + ε ; 则称ξ 是 S 的下确界,记作ξ = inf S .
即:上确界是最小的上界,下确界是最大的下界.
定义 2 设闭区间列 {[an , bn ]}具有如下性质:
(1) [an , bn ] ⊃ [an+1, bn+1 ], n = 1,2,3, ;
x + (− x) = 0 , x ⋅ x −1 = 1
公理 2(全序公理)与“+”、“·”运算相容的全序公理
(1) ∀x, y ∈ R ,下列三种关系 x< y,x = y,x > y
② 从古至今,数学的发展大致经历了五个时期: (1)萌芽时期(公元前 600 年以前); (2)初等数学时期(公元前 600 年到 17 世纪中叶):欧氏几何、算术、初等代数、三角等; (3)变量数学时期(17 世纪中叶到 19 世纪 20 年代):微积分的建立、解析几何、运动观点等; (4)近代数学时期(19 世纪 20 年代到 20 世纪 40 年代);(日前大学中的主要数学课程) (5)现代数学时期(20 世纪 40 年代以来):显著特点:计算机的广泛应用.
{ } 常数列
a
∞ n=1
.这样可以认为:一个等价类与一个实数对应,当此序列对应的不是有理
数时,称之为无理数.
此定义的实质是:让每个基本列(有理数)都有极限,这样保证了极限运算的封闭性,
称这种性质为完备性.
2 实数空间的定义
公理 1 (域公理) ∀x, y, z ∈ R ,有 (1)交换律: x + y = y + x , x ⋅ y = y ⋅ x ;
即ξ1 = ξ .
例 3 闭区间套定理 ⇒ 有限覆盖定理.
[ ] 证 设 H 为 a, b 的一个无限开覆盖,假设定理结论不成立,即不能用 H 中有限个开区
间覆盖 [a, b].将 [a, ]b 等分成两个子区间,则其中至少有一个半区间不能被 H 中有限个区间
[ ] [ ] 覆盖,记之为 a1, b1 ,将 a1, b1 等分成两个小区间,则其中至少有一个半区间不能被 H 中
→ 0 ( n → ∞ ), xn ∈ α n , β n
.可见以无限不循环小数定义无
理数等价于承认:以有理数为端点的闭区间套,必有且仅有唯一的公共点,此乃区间套定理,
即承认它是正确的.
历史上引进无理数的传统方法有两种:戴德金(Dedekind)分割法和康托(Cantor)的有 理数列的基本序列法.
代数学中是十分有用的,影响深远②.
定义 1 有理数列 {xn }称为是基本列,若 ∀ε > 0 , ∃N > 0 ,当 m, n > N 时,有
xm − xn < ε
(1)
定义 2 两个有理数基本序列 {xn }和 {xn′ }称为是等价的,若
( lim
n→∞
xn
−
xn′
)
=
0
(2)
将相互等价的基本列作为一类,称为一等价类.有理数 a 可表为基本列的极限,如
中开区间的个数是无限(有限)的,称 H 为 S 的一个无限开覆盖(有限开覆盖).
3 七个定理的环路证明
例 1 确界定理 ⇒ 单调有界定理.
证 不妨设数列 {an }是单调增有上界,由确界定理知具有上确界,记为α = sup{an },
显然α 就是其极限.事实上, ∀ε > 0 ,由上确界定义知, ∃aN ,使 aN > α − ε ,由单增性 知,当 n ≥ N 时,有
的点一一对应起来,充满全数轴,必须用别的方法.
方法之一是用无限小数,我们知道任何有理数都可表为无限循环小数,这样可以把无限
不循环小数定义为无理数.
一个无限不循环小数 x ,取其 n 位小数的不足近似值α n 与过剩近似值 β n ,α n 与 β n 均为
[ ] 有理数,且 β n − α n
=1 10 n
191
有且仅有一个成立;
(2)传递性:若 x < y , y < z ,则 x < z ; (3)与“+”相容性:若 x < y ,则 ∀z ∈ R ,有 x + z < y + z ; (4)与“·”相容性:若 x < y , z > 0 ,则 x ⋅ z < y ⋅ z . 公理 3(阿基米德(Archimedes)公理) ∀x > 0 , y > 0 , ∃n ∈ N ,使得 nx ≥ y .
{[ ]} 有限个区间覆盖,记之为[a2 , b2 ] ,如此下去便得一闭区间套
an , bn
∞ ,其中每一个区间
n=1
[ ] 不 能 被 H 中 有 限 个 开 区 间 所 覆 盖 . 由 闭 区 间 套 定 理 , 存 在 唯 一 的 点 ξ ∈ an , bn ,
n = 1,2, .由于 H 是 [a, b]的覆盖,故 ∃(α, β )∈ H ,使得ξ ∈ (α, β ) ,由保序性立得:当
2 重要概念
定义 1(确界)设 S ⊂ R ,若 ∃η ∈ R 满足: (1) ∀x ∈ R , x ≤ η ,即η 是 S 的上界; (2) ∀ε > 0 , ∃x0 ∈ S ,使得 x0 > η − ε ,即η − ε 不是η = sup S .
的一个“空隙”,称之为无理数,显然它是有序的,可定义其四则运算(可参见北京大学数学
系沈燮昌编写的《数学分析》,高等教育出版社,1986 年). 康托用有理数基本序列的等价类来定义实数,其方法虽没有分割法直观,但其思想在近
① 毕达哥拉斯(公元前约 580~约 500):古希腊数学家、唯心主义哲学家,其招收 300 门徒组织了一个“联 盟”,后称之为“毕达哥拉斯学派”,宣扬神秘宗教和唯心主义.在西方首次提出勾股定理,并把数的概念神 秘化,认为“万物皆数”,即数是万物的原型,也构成宇宙的“秩序”,这里的数指的是自然然及自然数之比, 即“有理数”,而且这种思想一直占统治地位,然而勾股定理的提出,导致这种理想的破灭,即以 1 为直角 边的等腰直角三角形的斜边长是多少?这一问题后来称之为“不可公度”问题,引起整个世界(哲学界和数 学界)的恐慌,称之为第一次数学危机,此问题直到十九世纪末才被解决.
{ } S = xn n = 1,2, ,则 S 为有界集.若 S 为有限集,则 S 中至少有一个元素在 {xn}中出现 { } 无限多次,取此构成一常数子列 xnk ,则它是收敛的,设其极限为 a,即 xnk = a ,由条件
戴德金分割法具有很强的直观性,其思想是:每个有理数在数轴上已有一个确定的位置,
假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段,那么全体有理数被分为左、右两个子集 A, B .如
果折断处是有理点,那么它不在左子集,就在右子集,这样分割就确定了一个有理数,即 A 的
最大数或 B 的最小数.如果 A 中没有最大数, B 中也没有最小数,这个分割就确定了直线上
显然 H 是 [a, ] [ b 的一个开覆盖,由有限覆盖定理知,存在有限个邻域覆盖 a, b],从而亦覆盖 了 S .由U (x, δ x )的性质立得 S 中只有有限个点,矛盾.
194
例 5 聚点定理 ⇒ 柯西收敛准则.
证 设{xn }是 R 中任一数列,满足条件: ∀ε > 0 , ∃N > 0 , ∀n, m > N ,有
xn − xm < ε .
(3)
由此易证 {xn }是有界的(事实上,对 ε = 1, ∃N1 > 0, 当 n > N1 时,有 xn − xN1+1 < 1, 从
{ } 而 xn < xN1+1 + 1 , 取 M = max x1 , x2 , xN1 , xN1 + 1 , 则 xn ≤ M , n ≥ 1. ), 记
α − ε < aN ≤ an ≤ α , an −α < ε ,
193
即
lim
n→∞
a
n
=α
.
例 2 单调有界定理 ⇒ 闭区间套定理.
证 设{[an , bn ]}是一区间套,则 {an }单增有上界,由单调有界定理知 {an }有极限ξ ,且
an ≤ ξ , n = 1,2,
.由区间套的定义知
S ∩ U 0 (ξ , δ ) ≠ φ ,称ξ 是 S 的一个聚点.
定义 3〃
设S
⊂
R ,若存在彼此互异的点列 {xn } ⊂
S
,使得
lim
n→∞
x
n
=ξ
,称 ξ
为S
的
一个聚点.
定义 4 设 S ⊂ R , H 为开区间构成的集合.若 S 中任何一点都含在 H 中至少一个开
区间内,即 ∀x ∈ S , ∃I ⊂ H ,使 x ∈ I ,称 H 是 S 的一个开覆盖,或称 H 覆盖 S .若 H
公理 4(完备性公理)有上界非空数集必有上确界. 由此可定义:
定义 3 实数空间是这样的集合 R ,在其上定义了“+”、“·”运算,以及序关系“<”,满 足上述四组公理, R 中的元素称为实数.
二 实数基本定理
1 基本定理
定理 1(Dedekind 确界定理)任何非空数集 E ,若它有上界,则必有上确界;若有下界,
第五讲 实数的完备性
I 基本概念与主要结果
一 实数空间
1 无理数的定义 人类最先只知道自然数,由于减法使人类认识了负整数,又由除法认识了有理数,最后
由于开方与不可公度问题①发现了无理数,可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定
义.事实上,有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分.为了让实数与数轴上
(2)结合律: (x + y) + z = x + (y + z), (x ⋅ y)⋅ z = x ⋅(y ⋅ z);
(3)分配律: x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z ;
(4)两个特殊元素 0 与 1: ∀x ∈ R ,有 x + 0 = x , x ⋅1 = x ;
(5)每个 x ∈ R ,关于“+”的逆元 − x ,关于“·”的逆元 x −1 (此时 x ≠ 0 ),有
lim
n→∞
bn
=
ξ
,又 {bn }单减有下界,所以
bn ≥ ξ ,
n = 1,2, .此说明
an ≤ ξ ≤ bn , n = 1,2, .
下证ξ 是唯一的,设ξ1 变满足上式,即 an ≤ ξ1 ≤ bn , n = 1,2, ,则有
ξ1 − ξ ≤ bn − an → 0 ( n → ∞ ).
n 充分大时,α < an < bn < β ,即 [an , bn ] ⊂ (α, β ),这与 [an , ]bn 的构造相矛盾,故命题
为真.
例 4 有限覆盖定理 ⇒ 聚点定理.
证 设 S ⊂ R 是有界无限点集,则 ∃[a,b] ⊂ R ,a, b 为有限实常数,使得 S ⊂ [a, b].若 S 存在聚点,则该聚点必属于 [a, b](容易证明 [a, b]之外任何一点都不是 S 的聚点,因此只
则必有下确界. 定理 2(单调有界定理)单调有界数列必收敛.
定理 3(Cauchy 收敛准则)数列 {xn }收敛的充要条件是:∀ε > 0 ,∃N > 0 ,当 m, n > N
时,有 xm − xn < ε .
定理 4(Bolzano-Weierstrass 致密性定理)有界数列必有收敛子列. 定理 5(Weierstrass 聚点定理)有界无穷点集至少有一个聚点. 定理 6(Cantor 区间套定理)任何闭区间套必有唯一的公共点. 定理 7(Heine-Borel 有限覆盖定理)闭区间上的任一开覆盖,必存在有限子覆盖. 说明:定理 1~6 属于同一类型,它们都指出:在一定条件下,便有某一种“点”的存在.这 种点分别是:确界(点)、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点.定理 7 属于另一类型,它 是前六个定理的逆否形式,不论用前 6 个定理来分别证明定理 7,还是用定理 7 分别证明前 6 个定理,都可用反证法来证明,而前 6 个定理都可以直接推出.
( (2) lim n→∞
bn
−
an
)
=
0
;
则称 {[an , bn ]}为闭区间套,简称区间套.
定义 3 设 S ⊂ R ,若 ∃ξ ∈ R ,使ξ 的任何邻域U (ξ , δ ) 均含有 S 中无穷多个点,称ξ
为 S 的一个聚点.
定义 3' 设 S ⊂ R ,ξ ∈ R ,若ξ 的任何去心领域内都含有 S 中异于ξ 的点,即
需证明:若 S 不存在聚点,则矛盾.
[ ] 事 实 上 , 假 设 S 不 存 在 聚 点 , 即 a, b 中 任 一 点 都 不 是 S 的 聚 点 , 由 聚 点 定 义,
∀x ∈ [a, b],∃δ x > 0 ,使得U (x, δ x )中只含有 S 中有限个点,记 H = {U (x, δ x ) x ∈ [a, b]},
若 ∃ξ ∈ R ,满足:
(1) ∀x ∈ S ,有 x ≥ ξ ;
(2) ∀ε > 0 , ∃x0 ∈ S ,有 x0 < ξ + ε ; 则称ξ 是 S 的下确界,记作ξ = inf S .
即:上确界是最小的上界,下确界是最大的下界.
定义 2 设闭区间列 {[an , bn ]}具有如下性质:
(1) [an , bn ] ⊃ [an+1, bn+1 ], n = 1,2,3, ;
x + (− x) = 0 , x ⋅ x −1 = 1
公理 2(全序公理)与“+”、“·”运算相容的全序公理
(1) ∀x, y ∈ R ,下列三种关系 x< y,x = y,x > y
② 从古至今,数学的发展大致经历了五个时期: (1)萌芽时期(公元前 600 年以前); (2)初等数学时期(公元前 600 年到 17 世纪中叶):欧氏几何、算术、初等代数、三角等; (3)变量数学时期(17 世纪中叶到 19 世纪 20 年代):微积分的建立、解析几何、运动观点等; (4)近代数学时期(19 世纪 20 年代到 20 世纪 40 年代);(日前大学中的主要数学课程) (5)现代数学时期(20 世纪 40 年代以来):显著特点:计算机的广泛应用.
{ } 常数列
a
∞ n=1
.这样可以认为:一个等价类与一个实数对应,当此序列对应的不是有理
数时,称之为无理数.
此定义的实质是:让每个基本列(有理数)都有极限,这样保证了极限运算的封闭性,
称这种性质为完备性.
2 实数空间的定义
公理 1 (域公理) ∀x, y, z ∈ R ,有 (1)交换律: x + y = y + x , x ⋅ y = y ⋅ x ;
即ξ1 = ξ .
例 3 闭区间套定理 ⇒ 有限覆盖定理.
[ ] 证 设 H 为 a, b 的一个无限开覆盖,假设定理结论不成立,即不能用 H 中有限个开区
间覆盖 [a, b].将 [a, ]b 等分成两个子区间,则其中至少有一个半区间不能被 H 中有限个区间
[ ] [ ] 覆盖,记之为 a1, b1 ,将 a1, b1 等分成两个小区间,则其中至少有一个半区间不能被 H 中
→ 0 ( n → ∞ ), xn ∈ α n , β n
.可见以无限不循环小数定义无
理数等价于承认:以有理数为端点的闭区间套,必有且仅有唯一的公共点,此乃区间套定理,
即承认它是正确的.
历史上引进无理数的传统方法有两种:戴德金(Dedekind)分割法和康托(Cantor)的有 理数列的基本序列法.