基本的平面图形
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基本的平面图形
本次课开始学习平面图形及其位置关系,通过在现实情境中理解线段、射线、直线等简单的平面图形,感受图形世界的丰富多彩,通过操作活动,了解两点确定一条直线等事实,积累操作活动经验.借助具体情境,了解两点之间的所有连线中、线段最短的性质;借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短;用圆规作一条线段等于已知线段,通过丰富的实例,进一步理解角的有关概念,认识角的表示;认识度、分、秒,利用它们之间的关系进行简单的运算.在现实情境中,进一步丰富对角与锐角、钝角、直角、平角、周角及其大小关系的认识;比较角的大小和估计一个角的大小;在操作活动中认识角的平分线,并画出一个角的平分线.
本次课学习内容是整个几何知识的基础.线段和角是最简单的图形,比较复杂的图形是由最简单的图形组成的,有关线段和角的概念、公理、性质等都是研究比较复杂的图形的基础,有关线段和角的画法、计算,也是有关复杂图形的画法,计算的基础.
重、难点知识归纳及讲解
1、线段的概念及表示方法
在几何中,有些概念不能用准确的语言来定义它,只能用直观、形象的语言来描述它,这些概念是不定义的原始概念,线段就是一个原始概念.
绷紧的琴弦,人行横道线都可以近似地看作线段,线段有三个特征:一、线段是直的,二、线段有两个端点,是有界的,有长短,三、线段没有粗细.
线段用它的两个端点来表示.在几何中,通常用一个大写英文字母表示一个点,用 A、B表示两个端点的线段表示为线段AB或线段BA,字母是无序的.
线段还可以用一个小写英文字母表示,如线段a.
2、射线的概念及表示方法
将线段向一个方向无限延伸就形成了射线.手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看作射线.射线只有一个端点,向一方无限延伸,是无界的.
射线用它的端点和射线上另一个任意点来表示,且端点在前,如以 O表示射线的端点,M表示射线上的除O点外的任意一点,则这条射线就可表示为射线OM,字母是有序的.
3、直线的概念及表示方法
将线段向两个方向无限延伸就形成了直线.笔直的铁轨可以近似地看作直线,直线没有端点,向两方无限延伸,是无界的.
线段和射线也可以看作是直线的一部分.线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分;射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分.
直线用直线上任意两个点来表示,如 A、B是直线上任意两点,则这条直线可表示为直线AB或直线BA,字母是无序的.
直线还可以用一个小写字母来表示,如直线 l.
4、直线的性质
经过两点有且只有一条直线.
这条性质包含两层含义:一是说经过两点有一条直线,肯定有,不是没有,即存在性;二是说经过两点只有一条直线,不会多,即惟一性.
这个性质可简单叙述为:两点确定一条直线,通常称为直线公理 .
5、线段的性质及两点之间的距离
两点之间的所有连线中,线段最短 .
这个性质可简单叙述为:两点之间线段最短,通常称为线段公理.
两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离.
距离是指线段的长度,是一个数值,而不是指线段本身,线段的长度可用刻度尺来度量,也可以借助于圆规来度量.
6、线段的中点
如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,那么点M叫做线段AB的中点.这时有AM=BM=AB或AB=2AM=2BM.
类似地,如果点C和点D把线段AB分成相等的三条线段AC、CD和DB,那么点C和点D叫做线段AB的三等分点.
7、两条线段大小的比较方法
比较两条线段的大小,有两种方法:
一种方法是利用直尺和圆规把两条线段放在同一条直线上,使得两条线段的其中一个端点重合,另一个
端点位于重合端点的同侧,根据另一个端点与重合端点之间距离的大小来确定两条线段的大小 .
另一种方法是用刻度尺分别量出两条线段的长度,再根据长度的大小来确定两条线段的大小 .
8、角的概念及表示方法
角是由两条具有公共端点的射线组成的图形,这两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做角的边.
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形,这条射线起始位置时的射线叫做角的始边,终止位置时的射线叫做角的终边,射线旋转时所经过的平面部分叫做角的内部.
角用几何符号“∠”表示,角的表示方法有三种:
一是由三个大写英文字母表示,如∠AOB,其中A、B分别为两边上的一点,写在两边,可以交换位置,O 是角的顶点,必须写在中间.
二是由一个大写英文字母表示,如∠O,O是角的顶点,这种表示方法是在顶点O处只有一个角时才能使用.
三是由一个阿拉伯数字或希腊字母表示,如∠1或∠α,用这种方法表示角时,要在靠近顶点处加上弧线,并注上阿拉伯数字或小写希腊字母.
9、角的度量单位及换算关系
把一个平角 180等分,每一份就是1°的角,1°的为1分,记为1′,1′的为1秒,记为1″.即:1°=60′,1′=60″.
在进行度、分、秒的有关计算时,要注意它们是 60进制,不同于我们习惯的十进制.
度量角的工具是量角器,用量角器量角时要注意:
(1)对中(即顶点对中心);(2)重合(即一边与刻度尺上的刻度线重合);
(3)读数(即读出另一边所在线的读数).
10、角的分类及其大小关系
一条射线绕它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角;终边继续旋转,当它又和始边重合时,所成的角叫做周角;当一个角等于平角的一半时,这个角叫做直角;大于零角而小于直角的角叫做锐角;大于直角而小于平角的角叫做钝角.
1周角=2平角=4直角=360° 1平角=2直角=180° 1直角=90°
0°<1锐角<90° 90°<1钝角<180°
锐角 <直角<钝角<平角<周角
11、角的大小比较方法
角的大小比较方法有两种:
一是度量法:用量角器分别量出两个角,比较其量得的度数的大小;
二是叠合法:将两角叠合起来,使两角的顶点和一边重合,由另一边的位置关系,确定角的大小.
12、角的平分线
从角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线 .
如果射线 OC是∠AOB的平分线,那么有:
(1)∠BOC=∠AOC;(2)∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC;(3)∠AOC= ∠AOB或∠BOC= ∠AOB.
例 1、已知平面内的四个点A、B、C、D,过其中两个点画直线,可以画出几条?
例 2、如图中,能用字母表示的直线、射线、线段各有几条,分别是哪几条?
例 3、已知线段AB=8cm,在直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点,求线段AM的长.
例 4、如图,点C、D、E将线段AB分成2︰3︰4︰5四部分,M、P、Q、N分别是线段AC、CD、DE、EB的中点,且MN=21,求线段PQ的长.
例5、如图,∠AOE=90°,∠BOD=40°,求图中所有角的度数之和.
例 6、已知一条射线OA,若从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=60°,∠BOC=20°,求∠AOC的度数.
例 7、如图是某风景区的旅游路线示意图,其中B、C、D为风景点,E为两条路的交叉点,图中数据为相应两点间的路程(单位:千米),一学生从A处出发,以2千米/时的速度步行游览,每个景点逗留时间均为0.5小时.
(1)当他沿着路线A—D—C—E—A游览回到A处,共用了3小时,求CE的长.
(2)若此学生打算从A点出发后,步行速度与在景点的逗留时保持不变,且在最短时间内看完三个景点返回A处,请你为他设计一条步行路线,并说明这样设计的理由(不考虑其他因素).
课堂测试:
1、如图,下列说法不正确的是()
A.直线m和直线l相交 B.射线NM和直线l相交
C.射线MN和直线l相交 D.直线MN和直线l相交
2、在直线l上有A、B、C、D四点,若图中的射线条数为m,线段条数为n,则m、n的关系是()
A.m>n B.m=n C.m<n D.不能确定
3、在一条直线上已知四个不同点依次是A、B、C、D,那么到A、B、C、D的距离之和最小的点()
A.可以是直线AD外的某一点 B.只能是B点或C点
C.只能是线段AD的中点 D.有无穷多个
4、已知线段AB,延长AB到C,使AC=2BC,反向延长AB到D,使AD=BC,那么线段AD是线段AC的()
A. B. C. D.
5、点P与Q在线段AB上的中点同一侧,点P分AB为2︰3,点Q分AB为3︰4,若PQ=1cm,则AB的长为()
A.5cm B.12cm C.22.5cm D.35cm
6、如图,必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有()
A.10个 B.15个 C.20个 D.25个
7、中午12时15分时,钟表上的时针和分针所成的角是()
A.90° B.75° C.82.5° D.60°
8、如图,在A、B两处观测到的C处的方位角分别是()
A.北偏东60°,北偏西40° B.北偏东60°,北偏西50°
C.北偏东30°,北偏西40° D.北偏东30°,北偏西50°
9、如图,∠AOB=180°,射线OC绕O点旋转,下列说法不正确的是()
A.当∠BOC为锐角时,∠AOC为钝角
B.当∠BOC为钝角时,∠AOC为锐角
C.当∠BOC变大时,∠AOC变小
D.∠BOC和∠AOC中一定是一个为锐角,另一个为钝角
10、如图,∠EMF=20°,∠PME=90°,MF是∠EMQ的角平分线,则∠PMQ等于()
A.130° B.110° C.100° D.120°
【巩固练习】
1、三条互不重合的直线交点个数是__________.
2、在直线l上取两点M、N,使MN=10cm,再在l上取一点R,使MR=2cm,P、Q分别是MN、MR的中点,则PQ=__________.
3、5.32°=__________″;25920″=__________°;195′=__________°.
4、若以O为端点在∠AOB内部画10条不同的射线,连同射线OA、OB一起共可构成角的个数是__________.
5、一直线上有任意三点A、B、C,线段AC、BC的中点分别为M、N,若A、B、C三点的顺序变动时,MN的长度是否有变化?
6、如图,A、B、C是一条公路上的三个村庄,A、B间的路程为100km,A、C间的路程是40km,现在A、B之间设一个车站P,设PC之间的路程为xcm.
(1)用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和;
(2)若车站到三个村庄的路程之和为102km,问车站应设在何处?
(3)若要使车站到三个村庄的路程总和最小,问车站应设在何处?
7、钟表在7时到7时10分之间的什么时刻,时针与分针成一直线?
8、如图,∠AOB=90°,∠AOM=∠MOC,∠BON=∠CON,求∠MON的度数.。