基本的平面图形

基本的平面图形
本次课开始学习平面图形及其位置关系，通过在现实情境中理解线段、射线、直线等简单的平面图形，感受图形世界的丰富多彩，通过操作活动，了解两点确定一条直线等事实，积累操作活动经验．借助具体情境，了解两点之间的所有连线中、线段最短的性质；借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短；用圆规作一条线段等于已知线段，通过丰富的实例，进一步理解角的有关概念，认识角的表示；认识度、分、秒，利用它们之间的关系进行简单的运算.在现实情境中，进一步丰富对角与锐角、钝角、直角、平角、周角及其大小关系的认识；比较角的大小和估计一个角的大小；在操作活动中认识角的平分线，并画出一个角的平分线．
本次课学习内容是整个几何知识的基础．线段和角是最简单的图形，比较复杂的图形是由最简单的图形组成的，有关线段和角的概念、公理、性质等都是研究比较复杂的图形的基础，有关线段和角的画法、计算，也是有关复杂图形的画法，计算的基础．
重、难点知识归纳及讲解
1、线段的概念及表示方法
在几何中，有些概念不能用准确的语言来定义它，只能用直观、形象的语言来描述它，这些概念是不定义的原始概念，线段就是一个原始概念．
绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似地看作线段，线段有三个特征：一、线段是直的，二、线段有两个端点，是有界的，有长短，三、线段没有粗细．
线段用它的两个端点来表示．在几何中，通常用一个大写英文字母表示一个点，用 A、B表示两个端点的线段表示为线段AB或线段BA，字母是无序的．
线段还可以用一个小写英文字母表示，如线段a．
2、射线的概念及表示方法
将线段向一个方向无限延伸就形成了射线．手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看作射线．射线只有一个端点，向一方无限延伸，是无界的．
射线用它的端点和射线上另一个任意点来表示，且端点在前，如以 O表示射线的端点，M表示射线上的除O点外的任意一点，则这条射线就可表示为射线OM，字母是有序的．
3、直线的概念及表示方法
将线段向两个方向无限延伸就形成了直线．笔直的铁轨可以近似地看作直线，直线没有端点，向两方无限延伸，是无界的．
线段和射线也可以看作是直线的一部分．线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分；射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．
直线用直线上任意两个点来表示，如 A、B是直线上任意两点，则这条直线可表示为直线AB或直线BA，字母是无序的．
直线还可以用一个小写字母来表示，如直线 l．
4、直线的性质
经过两点有且只有一条直线．
这条性质包含两层含义：一是说经过两点有一条直线，肯定有，不是没有，即存在性；二是说经过两点只有一条直线，不会多，即惟一性．
这个性质可简单叙述为：两点确定一条直线，通常称为直线公理 .
5、线段的性质及两点之间的距离
两点之间的所有连线中，线段最短 .
这个性质可简单叙述为：两点之间线段最短，通常称为线段公理．
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．
距离是指线段的长度，是一个数值，而不是指线段本身，线段的长度可用刻度尺来度量，也可以借助于圆规来度量．
6、线段的中点
如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫做线段AB的中点．这时有AM=BM=AB或AB=2AM=2BM.
类似地，如果点C和点D把线段AB分成相等的三条线段AC、CD和DB，那么点C和点D叫做线段AB的三等分点．
7、两条线段大小的比较方法
比较两条线段的大小，有两种方法：
一种方法是利用直尺和圆规把两条线段放在同一条直线上，使得两条线段的其中一个端点重合，另一个
端点位于重合端点的同侧，根据另一个端点与重合端点之间距离的大小来确定两条线段的大小 .
另一种方法是用刻度尺分别量出两条线段的长度，再根据长度的大小来确定两条线段的大小 .
8、角的概念及表示方法
角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，这两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做角的边．
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，这条射线起始位置时的射线叫做角的始边，终止位置时的射线叫做角的终边，射线旋转时所经过的平面部分叫做角的内部．
角用几何符号“∠”表示，角的表示方法有三种：
一是由三个大写英文字母表示，如∠AOB，其中A、B分别为两边上的一点，写在两边，可以交换位置，O 是角的顶点，必须写在中间.
二是由一个大写英文字母表示，如∠O，O是角的顶点，这种表示方法是在顶点O处只有一个角时才能使用．
三是由一个阿拉伯数字或希腊字母表示，如∠1或∠α，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，并注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
9、角的度量单位及换算关系
把一个平角 180等分，每一份就是1°的角，1°的为1分，记为1′，1′的为1秒，记为1″．即：1°=60′，1′=60″．
在进行度、分、秒的有关计算时，要注意它们是 60进制，不同于我们习惯的十进制．
度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：
（1）对中（即顶点对中心）；（2）重合（即一边与刻度尺上的刻度线重合）；
（3）读数（即读出另一边所在线的读数）.
10、角的分类及其大小关系
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角；终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角；当一个角等于平角的一半时，这个角叫做直角；大于零角而小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角.
1周角=2平角=4直角=360° 1平角=2直角=180° 1直角=90°
0°<1锐角<90° 90°<1钝角<180°
锐角 <直角<钝角<平角<周角
11、角的大小比较方法
角的大小比较方法有两种：
一是度量法：用量角器分别量出两个角，比较其量得的度数的大小；
二是叠合法：将两角叠合起来，使两角的顶点和一边重合，由另一边的位置关系，确定角的大小.
12、角的平分线
从角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 .
如果射线 OC是∠AOB的平分线，那么有：
（1）∠BOC=∠AOC；（2）∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC；（3）∠AOC= ∠AOB或∠BOC= ∠AOB.
例 1、已知平面内的四个点A、B、C、D，过其中两个点画直线，可以画出几条？
例 2、如图中，能用字母表示的直线、射线、线段各有几条，分别是哪几条？
例 3、已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
例 4、如图，点C、D、E将线段AB分成2︰3︰4︰5四部分，M、P、Q、N分别是线段AC、CD、DE、EB的中点，且MN=21，求线段PQ的长.
例5、如图，∠AOE=90°，∠BOD=40°，求图中所有角的度数之和.
例 6、已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC的度数.
例 7、如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米），一学生从A处出发，以2千米/时的速度步行游览，每个景点逗留时间均为0.5小时.
（1）当他沿着路线A—D—C—E—A游览回到A处，共用了3小时，求CE的长.
（2）若此学生打算从A点出发后，步行速度与在景点的逗留时保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其他因素）.
课堂测试：
1、如图，下列说法不正确的是（）
A．直线m和直线l相交 B．射线NM和直线l相交
C．射线MN和直线l相交 D．直线MN和直线l相交
2、在直线l上有A、B、C、D四点，若图中的射线条数为m，线段条数为n，则m、n的关系是（）
A．m>n B．m=n C．m<n D．不能确定
3、在一条直线上已知四个不同点依次是A、B、C、D，那么到A、B、C、D的距离之和最小的点（）
A．可以是直线AD外的某一点 B．只能是B点或C点
C．只能是线段AD的中点 D．有无穷多个
4、已知线段AB，延长AB到C，使AC=2BC，反向延长AB到D，使AD=BC，那么线段AD是线段AC的（）
A． B． C． D．
5、点P与Q在线段AB上的中点同一侧，点P分AB为2︰3，点Q分AB为3︰4，若PQ=1cm，则AB的长为（）
A．5cm B．12cm C．22.5cm D．35cm
6、如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）
A．10个 B．15个 C．20个 D．25个
7、中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（）
A．90° B．75° C．82.5° D．60°
8、如图，在A、B两处观测到的C处的方位角分别是（）
A．北偏东60°，北偏西40° B．北偏东60°，北偏西50°
C．北偏东30°，北偏西40° D．北偏东30°，北偏西50°
9、如图，∠AOB=180°，射线OC绕O点旋转，下列说法不正确的是（）
A．当∠BOC为锐角时，∠AOC为钝角
B．当∠BOC为钝角时，∠AOC为锐角
C．当∠BOC变大时，∠AOC变小
D．∠BOC和∠AOC中一定是一个为锐角，另一个为钝角
10、如图，∠EMF=20°，∠PME=90°，MF是∠EMQ的角平分线，则∠PMQ等于（）
A．130° B．110° C．100° D．120°
【巩固练习】
1、三条互不重合的直线交点个数是__________.
2、在直线l上取两点M、N，使MN=10cm，再在l上取一点R，使MR=2cm，P、Q分别是MN、MR的中点，则PQ=__________.
3、5.32°=__________″；25920″=__________°；195′=__________°.
4、若以O为端点在∠AOB内部画10条不同的射线，连同射线OA、OB一起共可构成角的个数是__________.
5、一直线上有任意三点A、B、C，线段AC、BC的中点分别为M、N，若A、B、C三点的顺序变动时，MN的长度是否有变化？
6、如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为100km，A、C间的路程是40km，现在A、B之间设一个车站P，设PC之间的路程为xcm.
（1）用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和；
（2）若车站到三个村庄的路程之和为102km，问车站应设在何处？
（3）若要使车站到三个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？
7、钟表在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一直线？
8、如图，∠AOB=90°，∠AOM=∠MOC，∠BON=∠CON，求∠MON的度数.。