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一元二次方程知识点复习及习题
考点1: 一元二次方程的概念
一元二次方程：只含有一个未知数，米知数的最高次数是2,且系数不为0, 这样的方程叫一元二次方程.
一般形式：ax2 + bx+c=0(a#0)。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2: —元二次方程的解法
1.直接开平方法：对形如(x+a) 2=b 的方程两边直接开平方而转化为两个
一元一次方程的方法。

X+a=± j
x, =-a+ 4b x2 =-a- 4b
2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2 + bx+c=0(k关0)的一般步骤是：①化
为一般形式；②移项，将常数项移到方程的衣边；③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
化原方程为(x+a) 2=6的形式；⑤如果b彡0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0,则原方程无解.
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推
导出來的.一元二次方程的求根公式是4ac>0)。

步骤：
①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值，当b2—4ac^0
时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解
法.理论根据：若ab=0,则a=0或b=0。

步骤是：①将方程右边化为0;②将方程左边分解为W个一次因式的乘积；③令每个因式等于0,得到W个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5. 一元二次方程的注意事项：
⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a#0. 项，即不是一元二次方程.
(2) 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a, b,
c 的值；②若b 2-4ac<0,则方程无解.
练习：
x 2 + 5x + 6 x 2 + x — 2 x 2 - 5x + 6 x 2 + 5x - 6 -5x - 6
x 2 -4x-12 x 2 + 2x - 63 x" — 8x + 15
x 2 4- 12x + 32 2x 2 + 7x + 3 x 2 + lOx + 9 x 2 — 3x — 10 x 2 -2x-15
2x 2 — 7x + 3 2x 2 — 7x + 6 2x 2 — 7x + 6
3x~ 4- 7x — 6 5x~ + 6x — 8 3x 2 - 5x + 2 6x 2 - 5x - 25 6x — 3x — 2
一 7x + 3
因当a=0时，不含有二次
(3) 利用因式分解法解方程吋，方程两边绝不能随便约去含冇未知数的代数式.如 —2(x+4)2 =3 (x+4)屮，不能随便约去x+4。

(4) 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练 掌握，解一元二次方程的一般顺序是：幵平方法一因式分解法一公式法.
6. —元二次方程解的情况 ⑴b 2—4 ac 彡0 ^方程有W 个不和等的实数根；
(2)b 2-4ac=0«方程有两个相等的实数根；
⑶b 2—4ac 彡方程没宥实数根。

解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根” “没有实数根” 时，往往首先考虑用b 2—4ac 解题。

主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

考点3:根与系数的关系:韦达定理
对于方程 ax 2+bx+c=0(aT^0)来说，xl+x2 =
解题小诀窍：当一元二次方程的题H 中给出一个根让你求另外一个根或未知系数 时，可以用韦达定理。

二、 经典考题剖析：
【考题1 一1】(2009、青岛，6分)已知方程5x 2+kx — 10=0—个根是一5，求它 的另一个根及k 的值. 三、 针对性训练：
1、 下列方程中，关于x 的一元二次方程是()
A.3(x+1)2 =2(x + l)
B.4 +丄一 2 = 0
C.ax 2 + + c = 0
D.x 2 + 2x = x 2 -i 2、 若：1^+3与2x_4
互为相反数，则x 的值力()II
A. | B 、2 C 、±2 D, ±|
3、用配方法解下列方程吋，配方有错误的是（）
A.x2-2x-99=0 化为(x-l)2=100
B. x2+8x+9=0 化为(x+4)2=25
，7、2 81
(/ ——) =
C. 2t2-7t-4=0 化为 4 16
r 2
、
2_1C ()’ ------------ )=— D. 3y2-4y-2=0 化为 3 9
4、关于X 的一元二次方程⑽+ 1）x2 + x + /n2_2/n -3 = 0
的一个根为x=0，则m 的值为（）
A. m=3 或 m=—1
B. m=—3 或 m=l
C. m=— 1 5、（2009济南）若xl ，x2是方程x2 — 5x+6=0的两个根，则xl+x2的值是（）
6、（2009眉山）若xl ,x2是方程x2 — 3x-l=0的两个根，则x i 七的值为（）
7、（2009潍坊）若xl , x2是方程x2 —6x+k —1=0的两个根，且彳+4=24, 则k 的值
为（）
A.8
B. -7
C.6
D.5
8、 （2009成都）若关于x 的方程kx 2 — 2x —1=0有两个不相等的实数根，则k 的
取值范围是（）
A.k 〉一 1
B.k 〉一1 且 k 关 0
C.k<l
D. k< l 且 k^O 9、 已知一元二次方程x 2 +2x — 8=0的一根是2,则另一个根是 ________________ .
10、 （2009泰安）若关于x 的方程一x 2 + （2k+l ） x+2 — k 2=0有实数根，则k 的
D. m= —3 A.l
B.5 C •一 5 D.6
A.3
B.-3
C.3 D-3
取值范围是_______
11、解方程：⑴恥-3）2=32; ⑵ 3 7（），-1） = 2（），-1）;
(3) 3(4x2 -9)-(2x-3)=0; (4)x2 -6x+8=0
k
12、（2009鄂州）关于x的方程kx2 +（k+2）x4- 4 =o冇两个不相等的实数根，（1）
求k的取值范围；
（2）是否存在实数k使方程的叫个实数根的倒数和等于0?若存在求山k的值;
不存在说明理由。

考点：一元二次方程的应用
一、考点讲解：
1.构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：
（1）与几何图形宥关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；
⑵冇关増长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续堉长（降低）两次得到
新数据，常见的等量关系是a（l±x） 2=b,其屮a表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率），b表示后来的数据。

注意：所得解中，增讼率不为负，降低率不超过1。

⑶经济利润问题：总利润=（单件销售额一单件成木）X销售数量；或者，总利润=
总销售额一总成本。

⑷动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法
把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。

2.注重解法的选择与验根：在具体问题中耍注意恰当的选择解法，以保证解题过
程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.
二、经典考题剖析：
【考题1】（2009、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，
开辟一个面税力130平方米的花圃（如图1—2—1）,打算一面利用长为15 米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花岡的长和宽.
解：设与墙相接的两边长都为*米，则另一边长为米，
依题意得x（33—2x）= ,3° , ..■■■■
-_]3 | _____
2x2-33x+130 = 0 x i =1°々一Y 图i-2-i
又•.当又丨=10时（33-2x） = 13
当时，（33-2X）=20>1513
V —
••• _2不合题意，舍去..^=1°
答：花岡的长为13米，宽为10米.
【考题2】（2009、襄焚）为了改善敁民住房条件，我市计划用米来两年的吋间, 将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）
A.9%
B.10%
C. 11%
D.12 %
解：设年堉长率为根据题意得
10（1+X）2=12.1,
解得xl=0.1，x2=—2.1.
因为増长率不为负，所以x=0.1。

故选D。

【考题3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10 元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，H销售景将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元, 同时又耍使顾客得到实惠，那么每千克放涨价多少元？
解：设每T克水果应涨价x元，依题意，得
（500-2Ox）（10+x） =6000.
整理，得x2—15x+50 二0.
解这个方程，x,=5, x2 =10.
要使顾客得到实惠，应取x=5.
答：每千克应涨价5元..
点拨：①此类经济问题在设未知数吋，-•般设涨价或降价为未知数；②应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况.
【考题4】如图，在△ ABC巾，ZB=90°, AB=5, BC=7,点P从A点开始沿AB边向点B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动.
(1)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，APBQ的面积等于
4?
(2)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过儿秒钟，PQ的氏度等于5?
解：(1)设经过x秒钟，APBQ的面积等于4, 则由题意得AP=x，BP=5—x，BQ=2x, 由2B P*BQ=4,得2 (5-x) • 2x=4,
解得，Xj=l, X2=4.
当x=4时，BQ=2x=8>7=BC,不符合题意。

故x=l
(2)由BP2+BQ2=52得(5—x) 2+ (2x) 2=5\
解得xl=O (不合题意)，x2=2.
所以2秒后，PQ的长度等于5。

三、针对性训练：
1.小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上
商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0. 5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了儿瓶？
2. 合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件， 每
件盈利40元。

为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施， 扩大销售量，增加盈利，尽快减少厍存。

经市场调查发现：如果每件童装降 价4元，那么平均每天就可多售出8件。

要想平均每天在销售这种童装上盈 利1200元，那么每件童装应降价多少？
3. 在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路， 余
下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少？
4. 小红的妈妈前年存了 5000元一年期的定期储蓄，到期后CJ 动转存.今年到期 扣
除利息税(利息税为利息的20%),共取得5145元.求这种储蓄的年利率. (精确到0.1%)
5. 如图12-3, AABC 中，ZB=90° ,点P 从A 点开始沿AB 向点B 以lcm/s 的速度移
动，点Q 从B 点丌始沿BC 边向C 点以2cm/s 的速度移动。

(1)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经几秒钟，使AABQ 的面积等于8cm2? (2)
如果P 、Q 分别从A 、B 同吋出发，并且P 到B 后又继续在BC 边上前进，Q 以C 后又继续在AC 边上前进，经几秒钟，使APCQ 的面积等于12.6 cm2。

丄
解：依题意，得：2 (6-x) • 2x=8
解这个方程得:xl=2, x2=4
即经过2s,点P 到距离B 点4cm 处，点Q 到距离B 点4cm 处；经过4s ，点P
到距20m
32m
离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处。

故本小题有两解。

(2)设经过x秒，点P移动到BC上，且有CP= (14-x) cm，点Q移动到CA上, 且
命名CQ= (2x-8) cm,过Q作QD丄CB于D。

•••△CQD ⑺ ACAB，
_QD_=AB_6(2x-8)
2x-8~7c ,即QD= 10 o
丄6(2x-8)
依题S，得：2 (14-x)* 10=12.6，
解这个方程得：xl=7, x2=ll
经过7s,点P在BC距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使SA PCQ=12.6cm2
经过1 Is,点P在BC距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，••• 14〉0,点Q已超出CA范岡，此解不存在。

故木题只有一解。