第一章状态空间表达式-第2讲

4. 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组。 5. 输出方程 在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函 数关系式。 6. 状态空间表达式 状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系 统完整的动态描述。
2
1.1 控制系统的状态空间表达式
状态变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方 程的阶数。 一般的，状态变量的个数等于系统储能元件的个数。 例题1-1，用图1-1所示的R-L-C网络电路，说明如何用 R L 状态空间表达是来描述这一系统。
+ -
K1 T1s 1
x3
K2 T2 s 1
x2
K3 T3 s
x1 y
k4
12
u
+ -
K1 T1
+ -
3 x

1 T1
x3
K2 T2
+ -
2 x

1 T2
1 x2 K 3 x
T3 s

x1 y
k4
K K s 1 K 1 s 1 Ts 1 T 1 1 s 1 T 1 1 s 1 T T
实现问题就是根据以上两个式子求出系统状态空间表达式。
Ax bu, y CT x x
20
实现问题存在的条件是 m n ，实现是非唯一的，但是只 要原系统传递函数中分子和分母没有零级点对消现象，则 n阶系统必有n个独立状态变量，必有n个一阶微分方程与 之等效，系统矩阵A的元素取值虽然各有不同，但是既为 同一系统的实现，其特征根必是相同的。
1 C1 1 2
1
L2
i4Leabharlann BaiduR2
C2 i2 i4 0 C2 u
uC2 L1i 1 L2i2 0
消去非独立变量 i3 ,i4 ，得到
4 状态空间表达式的建立（2） 系统状态空间表达式
实现
传递函数或运动方程式
问题：考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是 一个n阶线性常系数微分方程
0 0 x 0 a0
1 0 0 a1
0 0 0 1 0 x 0 u 0 1 an 1 1 0
u
0
+ -

xn

xn1
...
x4

x3

x2
状态表达式可表示为：
1 K 3 x2 T3 x 2 x2 T2 K 2 x3 T2 x 3 x3 T1 K1 K 4 x1 T1 K1 u T1 x y x1
2）含输入导数项：
y K ( u u) Ty
Y ( s ) K ( s 1) K 1 s K s 1 [ ] [ ] U (s) Ts 1 T s 1 s 1 T 1 1 s 1 1 1 s 1 T T T T
4.1 传递函数中没有零点时的实现 如果系统没有零点，则系统的微分方程为：
a0 y b0u y( n) an1 y( n1) ... a1 y
相应的系统的传递函数为： b0 y(s) W ( s) n u ( s) s an1s n1 ... a1s a0
控制系统的状态空间表达式
2010年 4月15日
1.状态变量及状态空间表达式
状态空间描述常用的基本概念： 1. 状态变量 足以完全表征运动状态的最小个数的一组变量。
x2 (t )、、 ... xn (t ) 表示，并把这 2. 状态矢量 如果n个状态变量 x1 (t )、 些状态变量看作是矢量 x (t ) 的分量，则 就称为状态矢量。 x2、 ...、xn为坐标轴所构成的n维空间。 3. 状态空间 以状态变量 x1、
,..., xn y ( n1)，于 可以选取n个状态变量为 x1 y,x2 y 是系统还可以表示为：
此时，可以选取状态变量为： 1 x2 x x1 y 2 x3 x x2 y 3 x4 x x3 y n a0 x1 a1 x2 ... an 1 xn u x ( n 1) xn y
a0 y bmu( m) bm1u( m1) ... b1u b0u y(n) an1 y( n1) ... a1 y
相应的传递函数为 b0u Y ( s) bmu ( m) bm1u ( m1) ... b1u W ( s) (n) a0 y U ( s) y an1 y ( n1) ... a1 y
i 根据电路定律可列写如下方程： u u C di 1 Ri L idt u 图1-1 R-L-C电路 dt C 1 电路输出量为 y uC idt R 1 1 x1 x1 x2 u C L L L 1）设状态变量 x1 i,x2 uC 则状态方程为 1 x 输出方程为 y x2 2 x1

x1
an1
+ +
an2
+ +
a3
a2
+ + +
a1
+
a0
+
...
+
其向量-矩阵形式为
T x Ax bu, y C x
x1 0 x 0 2 x ... , A ... xn 1 0 xn a0
K K x1 u (1 ) x1 u T T T T
2、二阶系统：
1）不含输入导数项：
Y (s) K K s 2 L: 2 2 2 U ( s ) T s 2 Ts 1 T 1 2 s 1 1 s 2 T T2 s 1 s 1 2 1 1 s K T 2 s 1 s 1 T 1 2 2 1 T 1 s T
1 1 2 i x ( x1 x2 ) C RC
1 R RC x1 L u 1 x2 0 RC
其向量-矩阵形式为：
x1 y 0 1 x2
由上可见，系统的状态空间表达式不具有唯一性。 选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式， 但它们都描述了同一系统。可以推断，描述同一系统 的不同状态空间表达式之间一定存在着某种线性变换 关系。 理论上讲，并不要求状态变量在物理上是一定可 以测量的量，但在工程实践上，仍以选取那些容易测 量的量作为状态变量为宜，因为在最优控制中，往往 需要讲状态变量作为反馈量。
6
要点：1.状态空间描述是时域法。注重系统的内在特性 （通过状态变量） 。 2.状态方程是向量微分方程，输出方程是向量代数 方程，联合描述了系统的动态特性。 3.系统的维数=状态变量的个数=一阶微分方程的个数 =储能元件的个数。 4.状态变量的不唯一，状态方程也不唯一。
状态空间表达式的系统方块图
方块图：
U (S ) K u T


E (S ) 1 1 S x1 x
1 T


Y (S )
一路 一路
y
Y (S ) S 1 E (S ) Y (S ) E (S )
由状态变量图可写出方程式：
1 x 1 K x1 u T T
1 x1 y x1 x
y cx
2）选择状态变量 x1 i,x2 idt 则有
1 x1 y 0 C x2
R 1 x L x 2 1
1 1 x 1 LC L u x2 0 0
方块图： U ( S )
K T2

S 1 2 1 1 S T
1 T2
S
1
Y (S )
U (S )
u
K T2



S

1
x2
S
1
x1
Y (S )
y
2 T

1 T2
2）含输入一阶导数项：
1 与前一项比 s 换成
2 1 Y ( s) K ( s 1) K s s 2 2 2 2 1 2 1 U ( s) T s 2 Ts 1 T 1 s 1 2 s 2 1 s 1 2 s 2 T T T T
1 S
x1


x
c
③
u
K S 2 a1 S a0
x
u
a0 K S 2 a1 S a0 a0
x
u
K a0

a0 S
1
1 S a1
x
u
K a0

a0 S ( S a1 )
x
1
1 S
u
K a0


a0
1 S
x
a1
1
3.2从系统机理出发建立状态空间表达式 一般常见的控制系统，可以根据物理规律，建立系统 的状态方程。 例1-5 电路网络如下所示，输入量为电流源，并指定一电容C1和 C2上的电压作为输出，求出系统的状态空间表达式。 有四个储能元件，故选择四个状态变量 uC1 ,uC2 ,i1,i2 即
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例1-2，系统的三阶微分方程为
a0 x bu x a2 x a1 x
u b
+ -
x
-

x x3

x2 x

x x1
a2
a1
a0
例1-3，系统的状态空间表达式为
1 x2 x 2 x3 x
3 6 x1 3 x2 2 x3 u x y x1 x2
1 1 idt Ri,x2 idt 则 3）选择状态变量 x1 C C di x1 x2 Ri,L x1 u dt
di 1 R 1 x 2 R x ( x1 x2 ) ( x1 u ) dt RC L
y x2
R 1 x1 RC L x 2 1 RC
则该系统的模拟结构图绘制如下
u b
+ -

2
2 x3 x

1 x2 x

x x1
y
3
6
3 状态空间表达式的建立（1）
3.1从系统方块图出发建立状态空间表达式 在系统模拟结构图的基础上，把每个积分器的输出选作 i；直接写出系统的状态 状态变量 xi, 其输出便是相应的 x 方程和输出方程 例1-4 系统方块图如下所示，求出系统的状态 空间表达式。
uC1 x1,uC2 x2 ,i1 x3 ,i2 x4
i3
a
+
C2 uC2
i1 R1 L1
b
+ -
i2
uC1 C1
c
对该电路分别利用节点法和支路 i 法列写电流和电压方程如下： C2 0 uC1 L1i i i3 i1 C2u 1 R1i3 0 2 R2i4 0 uC L2i i i 0 Cu
可以用方块图表示系统信号传递的关系。对于上面表 示的系统，其方块图可表示如下
u
b
+ +
x

A
x
CT
y
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
模拟结构图的必要性：采用模拟结构图来反映系 统和状态变量之间的信息传递关系，对建立系统 的状态空间表达式很有帮助。 模拟结构图的绘制步骤：1.积分器的数目应等于 状态变量数，将他们画在适当的位置；2.每个积 分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据 所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器 和比例器；3.用箭头将这些元件连接起来。
c

C
3
其向量-矩阵形式为：
R x1 L x 2 1 C
简记为： x
Ax bu
1 1 L x1 L u x2 0 0
x1 y 0 1 x2
方块图：
U (S )

K T2



u
S

1
x2
S
x 1 1

Y (S )
y
2 T

1 T2
①一阶惯性环节：
u
1 Sa
x
ax u x ax u x
u

x

1 S
x
a
②
u
sd sc
环节
x
Sd d c 1 S c S c
u
d c


1 x