北京大学Black-Scholes-Merton模型2及作业
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
回忆Delta对冲 Delta is the ratio of the change in the price of a stock
option to the change in the price of the underlying stock： Delta 对冲：∆ 只标的股票+期权空头 无风险组合 连续时间： 投资组合瞬时无风险组合，连续调整
欧式看涨期权： 欧式看跌期权： 远期合约： • 美式期权？
14
利用风险中性定价公式定价
BSM微分方程中不含μ μ体现投资者们对风险的态度，对风险补偿的要求 衍生品的价格由无套利原则给出 在风险中性世界利用风险中性定价公式定价 如欧式看涨期权价格:
̂
̂: 2
注：本节以⋯ 表示风险中性世界中的 ⋯
12
Black-Scholes-Merton微分方程
组合在 时间内的变化量： ƒ ƒ S S
由无套利假设：
r t
→Black-Scholes-Merton微分方程
13
Black-Scholes-Merton微分方程
•满足BSM微分方程的f均可作为可交易衍生产品的 理论价格； •若某衍生品价格f=f(t,S)，则f满足BSM微分方程； • 不同的产品，定解条件不同：
11
Black-Scholes-Merton微分方程
股票价格离散形式
S S t S z
衍生品价格（若为f(t,S)）离散形式
ƒ
ƒ S
S
ƒ t
1 2
2ƒ S 2
2S
2
t
ƒ S
S
z
投资组合： 只股票+衍生品空头 组合价值： ƒ ƒ S S
2
T ~Φ 0,1
√
15
Black-Scholes公式
欧式期权定价公式
c S0 N (d1) K erT N (d2 ) p K erT N (d2 ) S0 N (d1)
ห้องสมุดไป่ตู้
其中
d1
ln(S0
/
K)
(r
T
2
/
2)T
d2
ln(S0 / K ) (r 2 / 2)T T
期权、期货及其他衍生产品
Black-Scholes-Merton模型
2013-05-10-15
1
Black-Scholes-Merton模型
/blæk ʃoʊlz/
如何对期权进行定价与对冲 促进金融工程领域的发展 与现实情况不完全相符 “Nevertheless, Black–Scholes pricing is widely used
2. Calculate the continuously compounded return in each interval as:
ui
ln
Si
Si1
3. Calculate the standard deviation, s , of the ui 4. The historical volatility estimate is: ˆ s
4
股票价格模型
~Φ
~Φ
,
, 2
：ST为对数正态分布
5
股票价格的对数正态分布性质
对数正态：
E(ST ) S0 eT var(ST ) S02e2T (e 2T 1)
6
期望收益率与收益率的期望
股票0到T的收益率（连续复利形式）： 收益率的分布： 收益率期望：
期望收益率 ： E(ST ) S0 eT
. (F. Black & M. Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities)
3
基本假设
无套利 无风险利率为常数，且允许以无风险利率进行借贷 交易连续进行；可交易任何数量的证券——不必整数也
不必正数 无交易费用和税收 标的股票在期权期限内不支付红利； 股票价格模型：漂移率为 波动率为 的几何布朗运动
9
利用历史数据估计波动率
选择合适的样本量n • n越大，包含信息越多，估计越精确 • 波动率随时间发生变化，久远的历史数据不适用
如何计量
• 例如观察区间为1天，若认为
，
• 研究结果表明交易时波动率大于休市时 • 估计波动率及计算期权期限时往往去掉休市时间
10
Black-Scholes-Merton微分方程
in practice”： easy to calculate 、 modeling the relationship of all the variables、explicitly、 robust
2
Before Black‐Scholes‐Merton
Most of the previous work on the valuation of options has been expressed in terms of warrants. For example, Sprenkle ( 1961), Ayres ( 1963), Boness ( 1964), Samuelson (1965), Baumol, Malkiel, and Quandt ( 1966), and Chen ( 1970) all produced valuation formulas of the same general form. Their formulas, however, were not complete, since they all involved one or more arbitrary parameters. Sprenkleʹs formula for the value of an option
7
波动率
当前股票价格S 50， 30%，则一周内
Δ
Δ Δ ，标准差为S √Δ =2.08
∼Φ
,
波动率：一年内收益率的标准差 度量股票收益的不确定性 考虑若 非常小，期间 的标准差约为
8
利用历史数据估计波动率
1. Take observations S0, S1, . . . , Sn at intervals of years
option to the change in the price of the underlying stock： Delta 对冲：∆ 只标的股票+期权空头 无风险组合 连续时间： 投资组合瞬时无风险组合，连续调整
欧式看涨期权： 欧式看跌期权： 远期合约： • 美式期权？
14
利用风险中性定价公式定价
BSM微分方程中不含μ μ体现投资者们对风险的态度，对风险补偿的要求 衍生品的价格由无套利原则给出 在风险中性世界利用风险中性定价公式定价 如欧式看涨期权价格:
̂
̂: 2
注：本节以⋯ 表示风险中性世界中的 ⋯
12
Black-Scholes-Merton微分方程
组合在 时间内的变化量： ƒ ƒ S S
由无套利假设：
r t
→Black-Scholes-Merton微分方程
13
Black-Scholes-Merton微分方程
•满足BSM微分方程的f均可作为可交易衍生产品的 理论价格； •若某衍生品价格f=f(t,S)，则f满足BSM微分方程； • 不同的产品，定解条件不同：
11
Black-Scholes-Merton微分方程
股票价格离散形式
S S t S z
衍生品价格（若为f(t,S)）离散形式
ƒ
ƒ S
S
ƒ t
1 2
2ƒ S 2
2S
2
t
ƒ S
S
z
投资组合： 只股票+衍生品空头 组合价值： ƒ ƒ S S
2
T ~Φ 0,1
√
15
Black-Scholes公式
欧式期权定价公式
c S0 N (d1) K erT N (d2 ) p K erT N (d2 ) S0 N (d1)
ห้องสมุดไป่ตู้
其中
d1
ln(S0
/
K)
(r
T
2
/
2)T
d2
ln(S0 / K ) (r 2 / 2)T T
期权、期货及其他衍生产品
Black-Scholes-Merton模型
2013-05-10-15
1
Black-Scholes-Merton模型
/blæk ʃoʊlz/
如何对期权进行定价与对冲 促进金融工程领域的发展 与现实情况不完全相符 “Nevertheless, Black–Scholes pricing is widely used
2. Calculate the continuously compounded return in each interval as:
ui
ln
Si
Si1
3. Calculate the standard deviation, s , of the ui 4. The historical volatility estimate is: ˆ s
4
股票价格模型
~Φ
~Φ
,
, 2
：ST为对数正态分布
5
股票价格的对数正态分布性质
对数正态：
E(ST ) S0 eT var(ST ) S02e2T (e 2T 1)
6
期望收益率与收益率的期望
股票0到T的收益率（连续复利形式）： 收益率的分布： 收益率期望：
期望收益率 ： E(ST ) S0 eT
. (F. Black & M. Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities)
3
基本假设
无套利 无风险利率为常数，且允许以无风险利率进行借贷 交易连续进行；可交易任何数量的证券——不必整数也
不必正数 无交易费用和税收 标的股票在期权期限内不支付红利； 股票价格模型：漂移率为 波动率为 的几何布朗运动
9
利用历史数据估计波动率
选择合适的样本量n • n越大，包含信息越多，估计越精确 • 波动率随时间发生变化，久远的历史数据不适用
如何计量
• 例如观察区间为1天，若认为
，
• 研究结果表明交易时波动率大于休市时 • 估计波动率及计算期权期限时往往去掉休市时间
10
Black-Scholes-Merton微分方程
in practice”： easy to calculate 、 modeling the relationship of all the variables、explicitly、 robust
2
Before Black‐Scholes‐Merton
Most of the previous work on the valuation of options has been expressed in terms of warrants. For example, Sprenkle ( 1961), Ayres ( 1963), Boness ( 1964), Samuelson (1965), Baumol, Malkiel, and Quandt ( 1966), and Chen ( 1970) all produced valuation formulas of the same general form. Their formulas, however, were not complete, since they all involved one or more arbitrary parameters. Sprenkleʹs formula for the value of an option
7
波动率
当前股票价格S 50， 30%，则一周内
Δ
Δ Δ ，标准差为S √Δ =2.08
∼Φ
,
波动率：一年内收益率的标准差 度量股票收益的不确定性 考虑若 非常小，期间 的标准差约为
8
利用历史数据估计波动率
1. Take observations S0, S1, . . . , Sn at intervals of years