第3章-离散傅立叶变换
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~ x(n)1N1X ~(k)ej2/Nk n NK0
利用正弦序列的周期性可求解系数 X~(k) 。
将上式两边乘以 ej(2/N)rn
求和
，并对一个周期
8
上式中[ ]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为
零,所以有 N1~ x(n)ej2NrnX ~(r)
n0
或写为
X ~(k)N 1~ x(n)ej 2 N kn n 0
第3章 离散傅立叶变换
▪ DFS ▪ DFS的性质 ▪ DFT ▪ DFT的性质
▪ 圆周卷积
▪ 利用DFT计算线性卷积 ▪ 频率域抽样
1
有限长序列的傅里叶分析
一、四种信号傅里叶表示
1. 周期为T0的连续时间周期信号
~ x(t) X(n0)ejn0t
n
X(n0)T 10
~ x(t)ejn0tdt
k 0
k 0
频谱特点:周期为N的离散谱
5
离散傅里叶级数（DFS）
为了便于更好地理解DFT的概念,先讨论周期序列及其离 散傅里叶级数（DFS）表示。
一个周期为N的周期序列,即
~ x(n)~ x(nkN ) ， k为任意整数，N为周期
周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而 复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连 续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散 的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。
T0
频谱特点: 离散非周期谱
2
2. 连续时间非周期信号
x(t)21 X(j)ejt d X(j) x(t)ejtdt
频谱特点: 连续非周期谱
3
3. 离散非周期信号
x [k ] ID[X T (e j )F 2 1 T X (e j )e jk d
X (ej )DT {x[k F ]} T x[k]e-jk
这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用 的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
12
DDFS的几个主要特性:
假设
都是周期为 N 的两个周期序列,各自的离
散傅里叶级~ x数(n为)、 : ~ y(n)
1）线性
X~(k)DFS~x(n) Y~(k)DFS~y(n)
a,b为任意常数
D a ~ x ( n F ) b ~ y ( n S ) a X ~ ( k ) b Y ~ ( k )
习惯上:记 WNej2/N,
11
则DFS变换对可写为
X~(k) N1~x(n)WNkn DFS~x(n) n0
~x(n)
1 N
N1 k0
X~(k)WNkn
IDFSX~(k)
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS变换对公式表明,一个周期序列虽然是无穷长 序列,但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内 信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以
对于复序列 其共轭序列
满足
~x n
~x *n
D~ x * F n S X ~ * k
证:
DFS~x*n N1~x*(n)WNnk
n0
(N1~x(n)WNnk)* X~* k n0
同理:
D~ x * F n S X ~ * k
16
进一步可得
DFRSe~ x{n}1DF[~ xSn~ x*n]
k
频谱特点: 周期为2的连续谱
4
4. 周期为N 的离散周期信号
~ x [ k ] ID { X ~ [ m ] F } N 1 S m N 0 1 X ~ [ m ] e j2 N m k N 1 m N 0 1 X ~ [ m ] W N m
X ~ [m ] D{ x F [k ]S } N 1 ~ x [k ]e -j2 N m k N 1 ~ x [k ]W N km
6
周期为N的正弦序列其基频成分为:
e1(n)ej2/Nn
K次谐波序列为: ek(n)ej2/Nk n
但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的, 这是与连续傅氏级数的不同之处,
即
e j2 /N (k N )n e j2 /N kn
因此
ekN(n)ek(n)
7
将周期序列展成离散傅里叶级数时,只需取 k=0 到 (N-1) 这N个独立的谐波分量,所以一个周期序列的离 散傅里叶级数只需包含这N个复指数，
2 1[X ~(k)X ~*(Nk)]
2
共轭偶对称分量
DR F ~ x n e S X ~ ek 1 2 [X ~ (k ) X ~ * (N k )]
共轭奇对称分量
DjI F m ~ x S n X ~ o k 1 2 [X ~ (k ) X ~ * (N k 17)]
4）周期卷积
0kN1
1) 可求 N 次谐波的系数
X~(k)
2） X~(k) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数
3） X~(k) 为周期序列,周期为N。
9
X~ (k mN ) N 1 ~x (n)e j2 / N (k mN )n n0 N 1 ~x (n)e j2 / N kn X~ (k ) n0
若 F ~(k)X ~(k)Y ~(k)
13
2）序列移位
D ID F~ xF (SX ~ n( Skm )l)ww N m N n~ xlkX ~(n (k))
证以因D 有为 ~ x F (n m S ) 及N 1 ~ x (n 都m 是)w 以N kN n为N 1 周 m ~ x 期(i)的w N k 函w iN 数k,m 所
•时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个 周期序列。
10
X ~(k)~ x(n)是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 变换对,这种对称关系可表为:
~ x(n )ID [X ~ F (k)S ]1N 1X ~ (k)ej2 /N nk
N n 0
X ~ (k)D[F ~ x(n S ) ]N 1~ x(n )ej2 /N kn n 0
n 0
i m
~x(n)
w
kn N
w mk N
N
1
m~x
(
i
)
w
ki N
im
w mk N
N
1
~x
(i
)
w
ki N
w mk N
X~ ( k )
i0
14
由于 ~x(n) 与 X~(k) 对称的特点,Fra Baidu bibliotek样可证明
ID X ~ ( k F l) w S N n ~ x ( ln )
15
3）共轭对称性
利用正弦序列的周期性可求解系数 X~(k) 。
将上式两边乘以 ej(2/N)rn
求和
，并对一个周期
8
上式中[ ]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为
零,所以有 N1~ x(n)ej2NrnX ~(r)
n0
或写为
X ~(k)N 1~ x(n)ej 2 N kn n 0
第3章 离散傅立叶变换
▪ DFS ▪ DFS的性质 ▪ DFT ▪ DFT的性质
▪ 圆周卷积
▪ 利用DFT计算线性卷积 ▪ 频率域抽样
1
有限长序列的傅里叶分析
一、四种信号傅里叶表示
1. 周期为T0的连续时间周期信号
~ x(t) X(n0)ejn0t
n
X(n0)T 10
~ x(t)ejn0tdt
k 0
k 0
频谱特点:周期为N的离散谱
5
离散傅里叶级数（DFS）
为了便于更好地理解DFT的概念,先讨论周期序列及其离 散傅里叶级数（DFS）表示。
一个周期为N的周期序列,即
~ x(n)~ x(nkN ) ， k为任意整数，N为周期
周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而 复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连 续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散 的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。
T0
频谱特点: 离散非周期谱
2
2. 连续时间非周期信号
x(t)21 X(j)ejt d X(j) x(t)ejtdt
频谱特点: 连续非周期谱
3
3. 离散非周期信号
x [k ] ID[X T (e j )F 2 1 T X (e j )e jk d
X (ej )DT {x[k F ]} T x[k]e-jk
这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用 的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
12
DDFS的几个主要特性:
假设
都是周期为 N 的两个周期序列,各自的离
散傅里叶级~ x数(n为)、 : ~ y(n)
1）线性
X~(k)DFS~x(n) Y~(k)DFS~y(n)
a,b为任意常数
D a ~ x ( n F ) b ~ y ( n S ) a X ~ ( k ) b Y ~ ( k )
习惯上:记 WNej2/N,
11
则DFS变换对可写为
X~(k) N1~x(n)WNkn DFS~x(n) n0
~x(n)
1 N
N1 k0
X~(k)WNkn
IDFSX~(k)
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS变换对公式表明,一个周期序列虽然是无穷长 序列,但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内 信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以
对于复序列 其共轭序列
满足
~x n
~x *n
D~ x * F n S X ~ * k
证:
DFS~x*n N1~x*(n)WNnk
n0
(N1~x(n)WNnk)* X~* k n0
同理:
D~ x * F n S X ~ * k
16
进一步可得
DFRSe~ x{n}1DF[~ xSn~ x*n]
k
频谱特点: 周期为2的连续谱
4
4. 周期为N 的离散周期信号
~ x [ k ] ID { X ~ [ m ] F } N 1 S m N 0 1 X ~ [ m ] e j2 N m k N 1 m N 0 1 X ~ [ m ] W N m
X ~ [m ] D{ x F [k ]S } N 1 ~ x [k ]e -j2 N m k N 1 ~ x [k ]W N km
6
周期为N的正弦序列其基频成分为:
e1(n)ej2/Nn
K次谐波序列为: ek(n)ej2/Nk n
但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的, 这是与连续傅氏级数的不同之处,
即
e j2 /N (k N )n e j2 /N kn
因此
ekN(n)ek(n)
7
将周期序列展成离散傅里叶级数时,只需取 k=0 到 (N-1) 这N个独立的谐波分量,所以一个周期序列的离 散傅里叶级数只需包含这N个复指数，
2 1[X ~(k)X ~*(Nk)]
2
共轭偶对称分量
DR F ~ x n e S X ~ ek 1 2 [X ~ (k ) X ~ * (N k )]
共轭奇对称分量
DjI F m ~ x S n X ~ o k 1 2 [X ~ (k ) X ~ * (N k 17)]
4）周期卷积
0kN1
1) 可求 N 次谐波的系数
X~(k)
2） X~(k) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数
3） X~(k) 为周期序列,周期为N。
9
X~ (k mN ) N 1 ~x (n)e j2 / N (k mN )n n0 N 1 ~x (n)e j2 / N kn X~ (k ) n0
若 F ~(k)X ~(k)Y ~(k)
13
2）序列移位
D ID F~ xF (SX ~ n( Skm )l)ww N m N n~ xlkX ~(n (k))
证以因D 有为 ~ x F (n m S ) 及N 1 ~ x (n 都m 是)w 以N kN n为N 1 周 m ~ x 期(i)的w N k 函w iN 数k,m 所
•时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个 周期序列。
10
X ~(k)~ x(n)是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 变换对,这种对称关系可表为:
~ x(n )ID [X ~ F (k)S ]1N 1X ~ (k)ej2 /N nk
N n 0
X ~ (k)D[F ~ x(n S ) ]N 1~ x(n )ej2 /N kn n 0
n 0
i m
~x(n)
w
kn N
w mk N
N
1
m~x
(
i
)
w
ki N
im
w mk N
N
1
~x
(i
)
w
ki N
w mk N
X~ ( k )
i0
14
由于 ~x(n) 与 X~(k) 对称的特点,Fra Baidu bibliotek样可证明
ID X ~ ( k F l) w S N n ~ x ( ln )
15
3）共轭对称性