数理方程-分离变量法

第八章 分离变量法

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,02

2

222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数

分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。

分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。

叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。 特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。 （2）物理上 由叠加原理作保证。 例：有界弦的自由振动

1.求两端固定的弦的自由振动的规律

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,02

2222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =

这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。

第二步：代入方程

（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）

)()()()(2t T x X a t T x X ''=''

变形得

)

()

()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。由于x, t 是相互

独立的变量，上式必然等于同一常数。

方程左边为关于x 的函数，方程右边为关于t 的函数，只有当左右两边都等于常数的时候才成立 令其为λ-（得到的两个常微分方程形式比较标准）

0)()(=+''x X x X λ 0)()(2=+''t T a t T λ

得到两个常微分方程 第三步：代入边界条件

得到：0)()0(=t T X 0)()(=t T l X ，由于是t>0得值，)(t T 是一个范围内不固定的值， 所以0)0(=X 0)(=l X

常微分方程含λ，λ未知，需要对λ进行讨论

0)()(=+''x X x X λ，0)0(=X 0)(=l X

特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程子一定条件下的求解问题。 特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 第四步：确定特征值并得到它的特征函数 分情况讨论：

1）λ<0时, 特征方程为02

=+λR ,特征根为：λ-±=R

得通解为x

x

Be Ae

x X λλ--

-+=)(（A 、B 为待定系数）

把定解条件0)0(=X 0)(=l X 代入通解x

x

Be Ae x X λλ--

-+=)(

得到A+B=0

0=+--

-l

l

Be Ae

λλ

于是A=B=0⇒x

x

Be Ae x X λλ--

-+=)(即)(x X =0

则)()(),(t T x X t x u ==0，零解无意义 即λ<0时，定解问题无解。 2）λ=0时, 0)()(=+''x X x X λ 有B Ax x X +=)( A=B=0⇒x

x

Be Ae

x X λλ--

-+=)(即)(x X =0

则)()(),(t T x X t x u ==0，零解无意义 3）λ>0时, 0)()(=+''x X x X λ 令2

βλ=（β为非零实数）

特征方程为02

=+λR ,特征根为虚数：λ-±=R i

通解为x B x A x X ββsin cos )(+=（A 、B 为待定系数）

把定解条件0)0(=X ，0)(=l X 代入通解x B x A x X ββsin cos )(+=

0)0(=X 得到A =0，即x B x X βsin )(= 0)(=a X 得到0sin =l B β

在B ≠0的情况下，有l βsin =0，即l

n n π

β=（n=1,2,3，…注意n ≠0，若n =0，则β=0，0=λ而β为非零实数）

现在就完成了用分离变量法求解X （x ）的部分，得到特征值为2

2

)(l

n n n πβλ==，所对应的特征函数为：x l

n B x X n πsin

)(= 下面求解关于t 的常微分方程

0)()(=+''t T t T λ，将2

)(

l

n n πλ=代入 0)()(2

2

22

=+''t T l

n a t T n n π，这种情况的通解与0)()(=+''x X x X λ的λ>0的情况相同。 即l

at

n D l at n C t T n

n

n ππsin cos )('+'= （ n=1,2,3，…） 至此都求出来了与)()(t T x X n n ，所以定解问题的n 个特解（这n 个特解均满足边界条件）为：

)()(),(n n t T x X t x u n ==x l

n l at n D l at n C n n π

ππsin )sin cos

(+ （ n=1,2,3，…） 根据叠加原理，特解的叠加仍是方程的解，所以得到通解

)),(),(1

∑==n

i n t x u t x u

=

∑=+n

i n n x l

n l at n D l at n C 1

sin )sin cos

(π

ππ（ n=1,2,3，…） 其中n n D C 、为待定系数（利用初始条件)()

0,(),()0,(x t

x u x x u ψϕ=∂∂=求解） 第五步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数

∑=+=n

i n n x l

n l at n D l at n C t x u 1

sin )sin cos

(),(π

ππ )0,(),(0x u t x u t ==