东北师大附属中学高三一轮导学案：随机数与几何概型【B】

随机数与几何概型(学案)B

一、知识梳理：(必修3教材135-142页)

1、几何概型的概念:

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这种概率模型为几何概率模型,简称 .

2、几何概型的特点

（1）无限性：即在一次试验中，基本事件中的个数可以是；

（2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性。

因此，用几何概型求解概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”。即随机事件A的概率可以用“事件A所包含的基本事件所占的图形面积（体积或长度）”与“试验基本事件所占的图形面积（体积或长度）”之比来表示。

3、几何概率的计算公式：

设几何概型的基本事件空间可以表示成度量的区域错误！未找到引用源。,事件A所对的区域用A表示(A错误！未找到引用源。),则P(A)= .

4、几何概型与古典概型的区别与联系

共同点：。

不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有有限的，基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但是它们所占据的区域却是有限的，根据等或能性，这个点落在区域内的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关。

5、均匀随机数

在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率。一般地，利用计算机可计算器的rand（）函数就可以产生0—1之间的均匀随机数。

6、a-b之间的均匀随机数产生：利用计算机可计算器的rand（x）函数就可以产生0-1之间的均匀随机数x=rand（），然后利用伸缩和平移变换x= rand（）*（b-a）+a，就可以产生[a，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a-b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的。

6、均匀随机数的应用

（1）；

（2）

二、题型探究

[探究一]与长度有关的几何概型

例1：在区间[]1,1-上随机取一个数x ,cos 2x π的值介于0到12

之间的概率为 （ ） A ．13 B ．2π C ． 12 D ． 23

[探究二]与面积（体积）有关的几何概型

例2： ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为

（ ） A ．4π B ．14π- C ．8π D ．18π- 例3：假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，

问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？

[探究三]：会面问题中的概率： 例4：两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00之间各个时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定的时间内相见的概率。

2

3

3o

三、方法提升

1、随机数是均匀产生的，通过产生随机数可以替代大量的重复试验；

2、关于几何概型：

（1）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空

间的情形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”；

0← S →

（2）几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有

无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决

四、反思感悟：

五、课时作业

一、选择题

1.如图所示，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯

形，梯形的上、下底边分别为a 3，a 2

，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是( )

A.710

B.57

C.512

D.58

2.如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是

一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为

( )

A.12

B.32

C.13

D.14

3．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ( )

A.116

B.18

C.14

D.12

4．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12

的概率为 ( ) A.14 B.12 C. 34 D.78

5.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗

黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计

出阴影部分的面积约为 ( )

A.235

B.215

C.195

D.165

6.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为 ( )

A.18

B.14

C.12

D.34

二、填空题

7．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，

y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点

P 落入区域A 的概率为________．

8．向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________．

9．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为

910，那么

该台每小时约有________分钟的广告．

三、解答题

10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤6，0≤y ≤6.表示的区域为A ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

0≤x ≤6，x －y ≥0.表示的区域为B .

(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；

(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．

11．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .

(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；