微微对偶不等式

&&# &! & &!( ##
'.! .!5! & .#)
!! "&# $&! $ & $&!%.! %.!5! % & %.##% 其中%#%!&%! 是#%!%&%! 的一个排列'
! 是同序两行矩阵%" 是! 的乱序矩阵%# 叫作! 的全
反序矩阵'
!%"%# 间有如下不等式关系
("!#%(""#%("##% 即
&"! &"" &"!
! #



'&$! &$" &$!)
*!*
微微对偶不等式及其应用
其中 !的第!%"%&%$ 行的数%还分别是 ! 的第!%"%&%$
行的数%只是改变了排列次序'我们称 ! 是同序矩阵%!是!
的乱序矩阵'
( 不等式就是
记作
!的列积和 $ ! 的列积和%
!
!
!
" " " &*.* % &*.%* % &*.!5*'
*##
*##
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!!若&"&.%"%#"%%"$#%!%&%!#%则
)"!#$ )""#$ )"##%
即
!
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# # # "&* ,.*#$ "&* ,.%*#$ "&* ,.!5*#'
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*%*
微微对偶不等式及其应用
上面已证("!#%(""#%)"!#$)""#%下面类似地证明
阵%都叫作 ! 的乱序矩阵%其中有一个矩阵%每行都从左到
右'由小到大地排列%这个矩阵叫作 ! 的同序矩阵'若矩阵 !
的乱序阵可经行行交换或列列交换变出 ! 的同序矩阵%则这
个矩阵叫作 ! 的可同序矩阵'显然%! 的列积和或列和积与
! 的行行交换或列列交换无关'
下面的等式显然成立'
!!微微对偶不等式
("!#$("!#%!)"!#% )"!#' !!这就是说%!可经过有限次 -保乱规.的改造到 !%且 保向!
("!#$("!#$ & $("!1##("!#% )"!#% )"!#% & % )"!2## )"!#' 得证'
注意%证明中-&+.%/$0.必须用 &%"%#%但当 $ $" 时%不必用&%"%#'因此%当 $ $"时%( 不等式中&%"的非负 条件可以取消'在) 不等式中%虽然-1+2%3$4.不必用&%" %#%但要涉及另一个因子的符号%因此%在 ) 不等式中%一般 来说%不宜取消&%"的非负性条件'所以%在两行矩阵中%如无 特别申明%总是不加非负条件去研究( 不等式%而附加非负
其余&-%$&-%' 令
&!%&&+%$&+.$&!"&&+"% &+&!%%&&$%$/$0$&+&!%"&&$"% !!&!%&&&&+%$1+2$&!"&&&&+"% !!&+&!%%&&&&$%$3$4$&+&!%"&&&&$"% 则
*#*
微微对偶不等式及其应用
*"*
(""%&%"###!"&$(""&%"##% )""%&%"###!"&$)""&%"##' !!! 的有限个乱序矩阵的列积和中%必有一个最大者%就 是 ! 的同序矩阵的列积和'! 的有限个乱序矩阵的列和积 中%必有一个最小者%就是 ! 的同序矩阵的列和积' 设 !$"&%"#中%每一个&%"%#%则微微对偶不等式即为 ("! 的乱序矩阵#$("! 的可同序矩阵#% )"! 的乱序矩阵#% )"! 的可同序矩阵#'
("!#$("!#' !!) 不等式就是
!的列和积 % ! 的列和积% 记作
)"!#% )"!#' 为了应用方便起见%我们对一般矩阵再作一些说明'设
&&!! &!" & &!!(
&"! &"" & &"!
!#
%
((
(
'&$! &$" & &$!) 可简记为 !$"&%"#$%!'
! 中每行的数在该行任意交换位置%可排出"!)#$ 个矩
'!证明
若 !是! 的可同序矩阵%则 ("!##("!#%!)"!## )"!#'
否则%可令 !中有%*"%使得 &*%+&*"!"* #!%"%&%+#% &*%$&*"!"* #+,!%+,"%&%$#'
则可经 !改造出!$"&%"#%其中 &*%#&*"*&*"#&*%!"* #!%"%&%+#'
$'
为了便于理解记 忆 和 应 用 微 微 对 偶 不 等 式我 们 考 虑
$%! 个 数 排 成 的 两 个 矩 阵 &%! $&%" $ $&%!%$!
"$
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!!可令 " 中有子矩阵
"&*$&6%.%*$.%6#%在 "
'.%* .%6)
中把.%*与.%6换位%其余不动%这样把 " 改造成另一个"%则
!(""#5(""## "&*.%6 ,&6.%*#5 "&*.%* ,&6.%6#
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ຫໍສະໝຸດ Baidu因此
!微微对偶不等式
!内容和形式
!!微微对偶不等式是指以下两个不等式
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分别简称为 ( 不等式和) 不等式'此处#$&%!$&%"$
$&%!&%!&%" &%!是&%!&%"&%! 的任意排列%$!"
条件去研究 ) 不等式%下面不再一一强调'
!!微微对偶不等式
*$*
'!两行的情形
设
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