坐标系与参数方程ppt课件

M0 下方或左方时，t<0.
定时检测
一、选择题
1.在极坐标系中,点 P(ρ0，θ0) (ρ0≠0)关于极点的对称
点的极坐标是
(A )
A.(－ρ0，θ0) C.(－ρ0，－θ0)
B．(ρ0，－θ0) D．(－ρ0，π＋θ0)
2.曲线的极坐标方程为 ρ＝2cos2θ2－1 的直角坐标方程
为
(B )
A.x2＋y－122＝14
2ρ0ρcos(θ－θ0)＋
2 0
－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为 r： ρ＝r ； (2)当圆心位于 M(a,0) ，半径为 a：ρ＝2acos θ ； (3)当圆心位于 M(a，π2)，半径为 a：_ρ_＝__2_a_s_i_n_θ____.
5．常见曲线的参数方程的一般形式
A.3，23π C.3，43π
B.3，π3 D.3，56π
2．极坐标方程 ρcos θ＝4 表示的曲线是( B ) A．一条平行于极轴的直线 B．一条垂直于极轴的直线 C．圆心在极轴上的圆 D．过极点的圆
3．参数方程x＝t＋1t (t 为参数)表示的曲线是( D ) y＝2
A．一条直线
B．两条直线
(1)直线过极点：_θ_＝__θ_0__和_θ_＝__π_－__θ_0___； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：_ρ_c_o_sθ__＝__a___； (3)直线过点 M(b，π2)且平行于极轴：_ρ_s_in_θ_＝__b___. 4．圆的极坐标方程
若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为 ρ2－
(2)由xx22＋＋yy22－＋44xy＝＝00，， 解得xy11＝＝00，， 或xy22＝＝－2，2. 即⊙O1、⊙O2 交于点(0,0)和(2,－2)，过交点的直线 的直角坐标方程为 y＝－x.
题型三 参数方程化普通方程
【例 3】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各
表示什么曲线：
x＝1＋12t，
(B )
A．ρcos θ＝－2
B．ρsin θ＝2
C．ρsin θ＝－2
D．ρ＝2sin θ
解析 ∵直线 x＝2 关于直线 y＝x 的对称直线是 y＝2，
θ θ
，
得 M 的直角坐标为(1，－ 3)；
N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3， 3)．
(2)∵kMN＝2－31＝ 3，kNP＝ 33－－20＝ 3， ∴kMN＝kNP，∴M、N、P 三点在一条直线上．
探究提高 为了使极坐标与平面上的点一一对应， 我们规定了 ρ≥0,0≤θ<2π，但极点坐标(0，θ)，它的 表示仍不唯一，点的极坐标形式化为直角坐标形式相 对比较容易，直接代入公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 计算 即可．
的参数方程为xy＝＝bascions
θ θ
(θ 为参数)；
双曲线xa22－by22＝1
的参数方程为xy＝＝batsaenc
φ φ
(φ 为参数)；
抛物线 y2＝2px 的参数方程为xy＝＝22pptt2 (t 为参数)．
基础自测
1．在极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对
称的点的极坐标为
(B )
及三角函数的方程组常利用平方关系 sin2θ＋cos2θ＝1 消参．同时要注意方程的等价性．
知能迁移 3 将下列参数方程化为普通方程：
(1)xy＝＝s1i－n θsi＋n c2oθs θ ；
(2)xy＝＝11＋6＋3kk2kk22
.
解 (1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ，得 y2＝2－x.
A．(x－1)2(y－1)＝1
B．y＝x(1(x－－x2)2)
C．y＝1－x x2＋1
D．y＝(1－1 x)2－1
解析 由 x＝1－1t ，解得 t＝1－1 x，
代入 y＝1－t2，得 y＝1－(1－1 x)2＝x(1(x－－x2)2).
5．直线 ρcos θ＝2 关于直线 θ＝π4对称的直线方程为
任意一点,它的直角坐标、极坐标分
别为(x， y)和(ρ，θ)，则
x＝ρcos θ y＝ρsin θ
ρ2＝x2＋y2
， tan
θ＝xy(x≠0)
3．直线的极坐标方程
若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α， 则它的方程为_ρ_s_in_(_θ_－__α_)_＝__ρ_0_si_n_(_θ_0－___α_) ___． 几个特殊位置的直线的极坐标方程
C ．一条射线
D．两条射线
4．设曲线的极坐标方程为 ρ＝2asin θ(a＞0)，则它表示
的曲线是
(D )
A．圆心在点(a,0)直径为 a 的圆
B．圆心在点(0，a)直径为 a 的圆
C．圆心在点(a,0)直径为 2a 的圆
D．圆心在点(0，a)直径为 2a 的圆
5．(2009·广东)若直线xy＝＝21＋－32tt， (t 为参数)与直线 4x＋ky＝1 垂直，则常数 k＝ -6 . 解析 直线xy＝＝12－＋23tt， 的普通方程为 3x＋2y－7＝0， k1＝－32.直线 4x＋ky＝1 的斜率 k2＝－4k，
知能迁移 4
求直线来自百度文库＝1＋45t y＝－1－35t
(t 为参数)被曲线
ρ＝ 2cosθ＋π4所截的弦长．
解
将方程xy＝ ＝1－＋145－t 35t
，ρ＝ 2cosθ＋π4分别化
为普通方程：3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0，
圆心 C12，－12，半径为 22，圆心到直线的距离 d ＝110，弦长＝2 r2－d2＝2 12－1100＝75.
ρ＝2cosθ＋π3，它们相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长． 解 由 ρ＝1 得 x2＋y2＝1， 又∵ρ＝2cosθ＋3π＝cos θ－ 3sin θ，
∴ρ2＝ρcos θ－ 3ρsin θ.∴x2＋y2－x＋ 3y＝0.
由xx22＋＋yy22＝－1x＋， 3y＝0，
得 A(1,0)，B－12，－ 23，
第十四编 系列 4 选讲
§14.1 坐标系与参数方程
基础知识 自主学习
要点梳理 1．极坐标系的概念
在平面上取一个定点 O 叫做 极点 ； 自点 O 引一条射线 OX 叫做极轴 ； 再选定一个长度单位、角度单位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方 向)，这样就建立了一个极坐标系．
设 M 是平面上任一点,极点 O 与点 M 的距离︱OM︱
(t 为参数)相交于 A、B 两
点，求线段 AB 的长．
思维启迪 利用直线的参数方程来求直线被圆锥
曲线所截弦长问题，计算量相对较小，解题时应注
意直线参数方程中参数 t 的几何意义．
解
x＝－3＋ 直线的参数方程为
23s，
y＝12s
又曲线xy＝＝tt－＋11tt ，
(t 为参数)
可以化为 x2－y2＝4，
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．极坐标方程与普通方程互化核心公式：
x＝ρcos θ y＝ρsin θ
.
2．过点 A(ρ0，α) 倾斜角为 θ0 的直线方程为 ρ＝ ρs0isnin(θ(α－－θθ0)0).特别地，①过点 A(a,0) (a>0)且垂直于极
轴的直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ＝a.②平行于极轴
(1)经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方
程为xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα (t 为参数)． 设 P是直线上 ,则 的 t表任 示一 有P 点 0向 P的线 数 . 段 量
(2)圆的参数方程
x＝rcos θ y＝rsin θ
(θ 为参数)．
(3)圆锥曲线的参数方程
椭圆xa22＋by22＝1
(1) y＝2＋
3 2t
(t 为参数)；(2)xy＝＝21＋＋tt2， (t 为参数)；
x＝t＋1t ， (3)y＝1t －t
(t
为参数)；(4)xy＝＝54csoins
θ， θ
(θ 为参数)．
解 (1)由 x＝1＋12t 得，t＝2x－2.
∴y＝2＋ 23(2x－2)． ∴ 3x－y＋2－ 3＝0，此方程表示直线． (2)由 y＝2＋t，得 t＝y－2，∴x＝1＋(y－2)2. 即(y－2)2＝x－1，方程表示抛物线．
B.x－122＋y2＝14
C．x2＋y2＝14
D．x2＋y2＝1
3．过点2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程是 (C )
A．ρcos θ＝4
B．ρsin θ＝4
C．ρsin θ＝ 2
D．ρcos θ＝ 2
4．曲线的参数方程是x＝1－1t (t 是参数，t≠0)， y＝1－t2
它的普通方程是
(B )
且过点 A(a,0)(a>0)的直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝a.
3．圆心在点 A(ρ0，α)半径为 r 的圆方程为 r2＝ρ2＋ρ20－ 2ρρ0cos(θ－α)．
失误与防范
1．在曲线方程之间的互化时，要做到互化准确，不 重不漏，保持转化后形式的纯粹性与完备性．
2．直线的参数方程：xy
又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]，∴y2＝2－x，x∈[0,2]． (2)由yx＝2k，得 k＝2yx，
然后代入 x＝1＋3kk2， 化简整理得：4x2＋y2－6y＝0 (y≠6)．
题型四 参数方程的应用
【例 4】 (10 分)过点 P(－3,0)且倾斜角为 30°的直
线和曲线xy＝＝tt－＋11tt ，
将直线的参数方程代入上式，
得 s2－6 3s＋10＝0.
设 A、B 对应的参数分别为 s1，s2， ∴s1＋s2＝6 3，s1s2＝10. AB＝|s1－s2|＝ (s1＋s2)2－4s1s2＝2 17.
(s 为参数)， 2分
4分 6分 8分 10 分
探究提高 直线参数方程的标准形式是xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα.， 其中参数 t 有明显的几何意义．|t|表示直线任一点 P(x，y)到定点 P0(x0，y0)的距离．
∵两直线垂直，
∴k1·k2＝－1.∴k＝－6.
题型分类 深度剖析
题型一 点的极坐标与直角坐标的互化 【例 1】 在极坐标系中，已知三点 M2，－π3、
N(2,0)、P2
3，π6.
(1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标；
(2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上．
解
(1)由公式xy＝＝ρρcsions
∴|AB|＝
1＋122＋0＋ 232＝ 3.
即线段 AB 的长为 3.
探究提高 由于在直角坐标系中,对圆的研究已经很
彻底,因此涉及圆的问题,把极坐标形式的方程转化为
直角坐标形式的方程在直角坐标系中解决相关问题．
知能迁移 2 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)求⊙O1 和⊙O2 的直角坐标方程； (2)求经过⊙O1、⊙O2 交点的直线的直角坐标方程． 解 以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直 角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (1)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由 ρ＝4cos θ 得 ρ2＝4ρcos θ， 所以 x2＋y2＝4x. 即 x2＋y2－4x＝0 为⊙O1 的直角坐标方程， 同理 x2＋y2＋4y＝0 为⊙O2 的直角坐标方程．
(3)由x＝t＋1t
①
y＝1t －t
②
∴①2－②2 得，x2－y2＝4，方程表示双曲线．
(4)xy＝＝54csoins
θ θ
sin ，得
cos
θ＝x4 θ＝5y
① ②
①2＋②2，得1x62＋2y52 ＝1 表示椭圆．
探究提高 把参数方程化为普通方程，关键是“消
参”，若方程组中含有一次方程常用代入法消参，涉
叫做点 M 的 极径，记为___ρ__；以极轴 OX 为始边，
射线 OM 为终边的∠xOM 叫做点 M 的 极角 ，记为
__θ__.有序数对(ρ,θ)称为点 M 的极坐标,记作M(ρ,θ).
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x 轴
正半轴作为极轴,且在两坐标系中取
相同的长度单位. 设 M 是平面内的
知能迁移 1 在极坐标系中,求点 P2，π3和
Q2
3，56π的中点坐标．
解 点 P2，π3化为直角坐标形式为(1， 3)，
点 Q2
3，56π化为直角坐标形式为(－3，
3)，
∴P、Q 中点的直角坐标为(－1, 3),∴ρ＝2,θ＝23π.
∴P、Q 的中点极坐标为2，23π.
题型二 曲线的极坐标方程 【例 2】若两条曲线的极坐标方程分别为 ρ＝1 与
x0 y0
t t
cos sin
（t为参数），
其中 M 0(x0,y0)为直线 l上的定点，角θ为直线 l的倾
斜角，参数 t的几何意义：t= M 0M ，即直线上从已
知点 M 0 到点 M (x,y)的有向线段 M 0 M 的数量,当点 M(x，y)在点 M0 上方或右方时，t>0；当点 M 在点