2021年丢番图方程整数解方法

求不定方程整数解的常用方法

欧阳光明（2021.03.07）

不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括：

(1)分离整数法

此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.

例1 求不定方程02

5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为

因为y 是整数，所以

2

3+x 也是整数. 由此

x+2=1，-1，3，-3，即

x=-1，-3，1，-5，

相应的.0,2,0,4=y

所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).

(2)辗转相除法

此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：

第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);

第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;

第三步，用辗转相除法解不定方程.

例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.

解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.

用辗转相除法求特解:

从最后一个式子向上逆推得到

所以

则特解为

通解为

或改写为

(3)不等式估值法

先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.

例3 求方程11

11=++z y x 适合z y x ≥≥的正整数解.

解 因为

所以

所以

即

所以

所以.32==z z 或

当2=z 时有

所以

所以

所以42≤〈y

所以;46,43或相应地或===x y y

当3=z 时有

所以

所以

所以.3;3,3==≤x y y 相应地

所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x

(4)逐渐减小系数法

此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.

例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.

解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.

有10737〈，用y 来表示x ，得

则令

由4<37,用m 来表示y ,得 令.4,4

t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为

注解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.

对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.

(5)分离常数项的方法

对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.

例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.

解 原方程等价于

因为

所以

所以原方程的通解为.,32851Z t t

y t x ∈⎩⎨

⎧+=-= (6)奇偶性分析法

从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.

例6 求方程32822=+y x 的正整数解.

解 显然y x ≠,不妨设

因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.

则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且

所以

代入原方程得

同理，令

2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且

于是，有

再令

得

此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且

取,5,4,3,2,13=v 得相应的

所以，只能是.4,533==v u

从而

结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18

(7)换元法

利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.

例7 求方程7

111

=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7

111=+y x 可化为

整理得

相应地

所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56

(8)构造法

构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.

例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且b

c a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.

解 由题意得⎩⎨⎧==++ac

b c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程

因为

因,0≠a

若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时

若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a

若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时 综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9

316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或

(9)配方法