高等数学一第二章极限与连续历年试题模拟试题课后习题
《高等数学一》第二章 极限与连续 历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)
第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）. A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）. A、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1. [单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个.[单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctanx【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=. [单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】x=1时，分母为0，无意义。
高数 练习与答案 第二章
第二章 极限与连续例1 对于数列}{n x ，若)(,),(,212∞→→∞→→-k a x k a x k k ，证明 )(,∞→→n a x n 证明：,0>∀ε因为),(,12∞→→-k a x k 所以存在正整数1K ，当1K k >时，有ε<--||12a x k （1）因为),(,2∞→→k a x k 所以存在正整数2K ，当2K k >时，有ε<-||2a x k （2）取}2,12m ax {21K K N -=，则当N n >时，（1）、（2）同时成立。
若1112},12{K K N n k n >-≥>-∈，ε<-||a x n 若222},2{K K N n k n >≥>∈，ε<-||a x n 所以,0>∀ε,N ∃当N n >时，ε<-||a x n 成立， 由定义得 )(,∞→→n a x n 。
例 2 设Λ,,21x x 是使不等式),2,1(,41)1(,101Λ=>-<<+n x x x n n n 成立的任何实数，证明：.21lim =∞→n n x 证明：因为,41)1(,≤-∈∀x x R x 因此,)1()1(1+-<-n n n n x x x x 又由 1<n x 知，,01>-n x 所以,1+<n n x x 故数列}{n x 单调递增维向量有上界1,故n n x ∞→lim 存在。
设,lim a x n n =∞→则由41)1(1>-+n n x x 知，a 必满足,41)1(≥-a a 于是必有,21=a 即.21lim =∞→n n x例3 .][lim nnx n ∞→解：因为,][nx nx nx ≤<-1即,][x nnx n x ≤<-1由夹逼定理可得.][lim x nnx n =∞→例4 .!!limn p np n ∑=∞→1解：因为 ,!)!1(2!)!1()!2)(2(!!1n n n n n n p n np +-<+-+--<<∑=所以 ,!)!(!!11211+-<<∑=n n n p np .!!lim 11=∑=∞→n p np n例5 利用定义证明34lim 5=+→x x 。
高等数学函数极限连续练习题及解析
高等数学函数极限连续练习题及解析第一篇：高等数学函数极限连续练习题及解析数学任务——启动——习题1一、选择题：(1)函数y=-x+arccosx+1的定义域是()2(A)x≤1;(B)-3≤x≤1(C)(-3,1)(D)xx<1⋂x-3≤x≤1(2)函数y=xcosx+sinx是()(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)奇偶函数(3)函数y=1+cos{}{}π2x的最小正周期是()(A)2π(B)(4)与y=π(C)4(D)1 2x2等价的函数是()(A)x;(B)(x)(C)x)(D)23x⎧x-1-1<x≤0(5)f(x)=⎨,则limf(x)=()x0<x≤1x→0⎩(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空题：(1)若f ⎪=⎛1⎫⎝t⎭5+2t2,则f(t)=_________,ft2+1=__________.t()⎧⎪1(2)φ(t)=⎨⎪sinx⎩π⎫⎛π⎫3，则φ⎛φ⎪=______。
⎪=______,π⎝6⎭⎝6⎭x>30,1]，则fx2的定义域为______，f(sinx)的定义域为x≤π(3)若f(x)的定义域为()______，f(x+a)(a>0)的定义域为___，f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域为______。
1-4x2(4)lim。
=__________12x+1x→-2(5)无穷小量皆以______为极限。
三、计算题(1)证明函数y=11sin在区间(0,1]上无界，但当x→+0时，这个函数不是无穷大。
xx(2)求下列极限(1)lim2x3+3x2+5x→∞7x3+4x2-1(3)lim(tanx)tan2xx→π(5)limex-1xx→0(7)lim+xsinx-1x→0x2arctanx(2)lim1-cos2x x→0xsinx(4)lim(1+2n+3n1n n→∞(6)limtanx-sinxx→0sin32x ⎛1(8)limx ex-1⎫⎪x→∞⎝⎪⎭(3)设f(x)=⎨⎧1-xx<0，求limf(x)。
高等数学作业集第2章极限与连续及答案
x+ x �
（4） 1 + x − 1 − x � x ， 1 阶，等价 x = x1/8 ，1/8 阶，
12．求下列极限 （1） lim
x →+∞
x sin x 2x + 3
x sin x 2x + 3 1 sin x lim = � 0 （无穷小与有界量的乘积） x →+∞ x (2 + 3 / x)
(1/ 2) n 4 4n +1 + 2n 4 + (1/ 2) n 4 + nlim →+∞ 解： = lim lim = = n →+∞ 3 ⋅ 4 n − 3n n →+∞ 3 − (3 / 4) n 3 − lim(3 / 4) n 3
n →∞
（3） lim ( n + 1 − n − n )
2 1/2
− 1 (3) cos( x 2 ) − 1 ,(4) tan( x3 )
x�
3 3 （4） tan( x ) � x [3 阶]； （3） x [1/2 阶]； （2） (1 + x 2 )1/2 − 1 � x 2 / 2 [2 阶]；
cos( x 2 ) − 1 � − x 4 / 2 [4 阶]
2 3 − x x2 2 3 − =1 + 0 − 0 =1 x x2
(5) lim
4 x3 + 3x 2 x →∞ 5 x 4 + 2 x
4 x3 + 3x 2 1 4 + 3(1/ x) 1 4 + 3(1/ x) 4 解: lim =lim =lim �lim =0 × =0 x →∞ 5 x 4 + 2 x x →∞ x 5 + 2(1/ x 3 ) x →∞ x x →∞ 5 + 2(1/ x 3 ) 5
关于高等数学函数极限与连续习题及答案
1、函数()12++=x xx f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =αβ，是∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xx y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<x e （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sin lim ∞→＝（ x ）．∵x x nx n xn n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sinlimsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f x x x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）．∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim 1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()xx f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim （ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→x x x 101lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ k e ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x xx x x 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa3、当0→x 时，1-x e 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
高等数学习题详解-第2章 极限与连续(精品范文).doc
【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。
(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。
(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。
(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。
(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。
(3) 正确。
(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。
*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。
高等数学：函数 、极限与连续习题含答案
1第一章函数、极限与连续一、选择题1．函数)(x f 的定义域为[]10，，则函数51()51(-++x f x f 的定义域是（）.A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,51B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,51C．⎦⎤⎢⎣⎡54,51D．[]1,02．已知函数()62+x f 的定义域为[)4,3-，则函数)(x f 的定义域是（）.A．[)4,3-B．[)14,0C．[]14,0D．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,293．函数211ln ++-=x xy 的定义域是（）.A．1≠x B．2-≥x C．2-≥x 且1≠x D．[)1,2-4．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．11)(+⋅-=x x x f ，1)(2-=x x g B．2)(π=x f ，x x x g arccos arcsin )(+=C．x x x f 22tan sec )(-=，1)(=x g D．1)(=x f ，x x x g 22cos sin )(+=5．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B．2)(,)(x x g x x f ==C．33341)(,)(-=-=x x x g x x x f D．xx x g x f 22tan sec )(,1)(-==6．若1)1(2-=-x x f ，则)(x f =（）.A．2)1(+x x B．2)1(-x x C．)2(+x x D．)1(2-x x 7．设xx f cos 2)(=，xx g sin 21)(⎪⎭⎫⎝⎛=，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，内成立（）.A．)(x f 是增函数，)(x g 是减函数B．)(x f 是减函数，)(x g 是增函数C．)(x f 和)(x g 都是减函数D．)(x f 和)(x g 都是增函数28．函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=（）.A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是偶函数，也是奇函数9．下列函数中（）是奇函数.A．1cos sin +-=x x y B．2xx a a y -+=C．2211x x y +-=D．)1)(1(+-=x x x y 10．函数x x x f sin )(2=的图形（）.A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称D．关于直线x y =对称11．下列函数中，（）是奇函数.A．2ln(1)x +B．)x C．sin x x D．x xe e-+12．若()f x 是奇函数，且对任意实数x ，有(2)()f x f x +=，则必有(1)f =（）.A．1-B．0C．1D．213．偶函数的定义域一定是（）.A．包含原点的区间B．关于原点对称 C.),(+∞-∞D．以上三种说法都不对14．若)(x f 是奇函数，)(x ϕ是偶函数，且)]([x f ϕ有意义，则)]([x f ϕ是（）.A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．奇函数或偶函数15．函数xx f 1sin )(=是其定义域内的什么函数（）.A．周期函数B．单调函数C．有界函数D．无界函数16．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，()x ϕ是单调减少，则[()]f x ϕ在(,)-∞+∞内（）.A．单调增加B．单调减少C．不是单调函数D．无法判定单调性17．函数xxe e y -+=的图形对称于直线（）.A．y x=B．y x=-C．0x =D．0y =318．下列函数中周期为π的是（）.A．xy 2sin =B．xy 4cos = C.xy πsin 1+= D.()2cos -=x y 19．下列函数是周期函数的是（）.A．)sin()(2x x f =B．xx f 1cos)(=C．xx f πcos )(=D．xx f 1sin)(=20．设1cos )(-=x x f 的定义域和周期分别为（）.A．πππ2,,22=∈+=T Z k k x B．ππ2,,2=∈=T Z k k x C．ππ=∈=T Z k k x ,,D．πππ=∈+=T Z k k x ,,221．下列结论不正确的是（）.A．基本初等函数在其定义域内是连续的B．基本初等函数在其定义区间内是连续的C．初等函数在其定义域内是连续的D．初等函数在其定义区间内是连续的22．下列说法正确的是（）.A．无穷小的和仍为无穷小B．无穷大的和仍为无穷大C．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D．收敛数列必有界23．下列说法不正确的是（）.A．两个无穷小的积仍为无穷小B．两个无穷小的商仍为无穷小C．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小D．在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小24．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（）无穷小.A．与β同阶不等价的B．与β等价的C．比β低阶的D．比β高阶的25．当0→x 时，4x x +是32x x +的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小26．当0→x 时，x x sin 2-是x 的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小但不等价D．等价无穷小27．设232)(-+=xxx f ，则当0=x 时，有（）.4A．)(x f 与x 是等价无穷小B．)(x f 是x 同阶但非等价无穷小C．)(x f 是比x 高阶的无穷小D．)(x f 是比x 低阶的无穷小28．设x x f -=1)(，31)(x x g -=，则当1→x 时（）.A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 是同阶但不等价的无穷小D．)(x f 与)(x g 是等价无穷小29．当0→x 时，与x 不是等价无穷小量的是（）.A．2sin xx -B．xx 2sin -C．3tan x x -D．xx -sin 30．当0→x 时，下列函数为无穷小量的是（）.A．x x sin B．xx sin 2+C．)1ln(1x x+D．12-x 31．当0→x 时，是无穷大量的有（）.A．xx 1sin 1B．xx sin C．2xD．xx 21-32．当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）.A．x x x x tan cos 2-B．21sin xx C．x x x sin 3+D．xx )1ln(2+33．下列等式正确的是（）.A．1sin lim=∞→x xx B．11sinlim =∞→xx C．11sinlim =∞→xx x D．11sin lim=∞→xx x 34．设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（）.A．1lim ()x f x →+必存在B．1lim ()x f x →必存在C．1lim ()x f x →-必存在D．1lim ()x f x →-必存在35．=→xx 102lim （）.A.0B．∞+C．∞D．不存在36．下列各式中正确的是（）.A.0cos lim0=→xxx B．1cos lim0=→xxx C．0cos lim=∞→xxx D．1cos lim=∞→xxx537．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（）.A．3sin 2x+B．32sin 2x-C．3cos 2x+D．3cos 2x -38．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（）.A．2B．21C．2-D．21-39．设x xx f )31()2(-=-，则=∞→)(lim x f x （）.A．1e-B．2e-C．3e-D．3e40．极限lim sinx x xπ→∞=（）.A．1B．πC．2eD．不存在41．当0x →时，1xe 的极限是（）.A．0B．+∞C．-∞D．不存在42．当5x →时，5()5x f x x -=-的极限是（）.A．0B．∞C．1D．不存在43．设x x x f 21)(-=，则=→)(lim 0x f x （）.A．1B．不存在C．2eD．2e-44．若0→x 时，kx x x ~2sin sin 2-，则=k （）.A．1B．2C．3D．445．若52lim22=-++→x bax x x ，则（）.A．1=a ，6=b B．1-=a ，6-=b C．1=a ，6-=b D．1-=a ，6=b 46．=+-∞→x x xx arctan 1lim （）.A．2πB．2π-C．1D．不存在647．=+→xx x )1ln(lim0（）.A．1-B．1C．∞D．不存在但非∞48．已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则b a ,的值是（）.A．8,2-==b a B．b a ,2=为任意值C．2,8=-=b a D．b a ,均为任意值49．=-+-+++∞→11)2(3)2(3lim n n nn n （）.A．31B．31-C．∞D．050．xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→的值等于（）.A．2eB．2e-C．1D．∞51．设xx g x3e 1)(2-=，当0≠x 时，)()(x g x f =，若)(x f 在0=x 处连续，则)0(f 的值是（）.A．0B．32-C．1D．3152．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,1sin 0,10,1e )(2x a x x x x x x f x 在点0=x 处连续，则常数=a （）.A．1-B．1C．2-D．253．若)(x f 在点0x 点连续，则=+→)2(sin lim 00h x f h （）.A．)2(sin 0h x f +B．)(sin 0x f C．)(sin 0x f D．不存在54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点有（）.7A．3个B．1个C．0个D．2个55．设0=x 是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1sin 0,00,11)(1x x x x x ex f x 的（）.A．跳跃间断点B．可去间断点C．第二类间断点D．连续点56．11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（）.A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点二、填空题57．函数xxx f -+=11ln21)(的定义域是_________．58．函数2ln arcsin +=x xy 的定义域为_________．59．函数xx y 1arctan3+-=的定义域是_________．60．设)(x f 的定义域[]1,0=D ，则)(sin x f 的定义域_________．61．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为_________．62．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为_________．63．设2(1)32f x x x +=-+，则f =_________．64．函数nn x a y 12)(-=的反函数是_________．65．函数)0(≠-++=bc ad dcx bax y 的反函数是_________．66．函数x y 3sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66ππx 的反函数是_________．867．函数3arccos2xy =的反函数是_________．68．______28153lim 233=+-++∞→n n n n n n ．69．_______43867lim 22=+-+∞→n n n n ．70．⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n 21...41211lim =_________．71．2)1(...321limnn n -++++∞→=_________．72．35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→=_________．73．_______lim 2210=+→x x x e．74．_______1lim432=-+++∞→nn n n n n ．75．_______43...21lim 2=++++∞→nn nn ．76．_______1!!sin lim=+∞→n n n ．77．=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 222...221lim _________．78.设012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x x ，则=a _________，=b _________．79．_______4421lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．80．_______2)2sin(lim22=---→x x x x ．81．_______63sin lim=∞→xxx ．982．m n x x x )(sin )sin(lim 0→（m n ,为正整数，且m n >）=．83．_______1cos 1lim 20=--→x e x x ．84．_______4tan 8arcsin lim0=→xxx ．85．_______81221lim 32=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．86．xxx x 30sin sin tan lim-→=．87．)1(lim 2x x x x -++∞→=．88．)1sin 1)(11(tan sin lim32-+-+-→x x xx x =．89．若2)1sin(1lim 21=--+→x ax x x ，则_________=a ．90．若0x →时函数tan sin x x -与nmx 是等价无穷小，则=m ，n =．91．当∞→x 时，函数)(x f 与21x是等价无穷小，则_______)(3lim 2=∞→x f x x ．92．当0→x 时，函数112-+ax 与x 2sin 是等价无穷小，则_______=a ．93．当∞→x 时，函数)(x f 与x4是等价无穷小，则_______)(2lim =∞→x xf x ．94．若1x →时，2(1)1mx x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是．95．11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x =_________．96．40)21(lim -→=-e x x kx ，则_________=k ．1097．nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→sin 1lim )(，则=')(x f ．98．4lim e a x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→，则_______=a ．99．_______1lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x ．100．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．101．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,10,0,2)(2x bx x a x x x x f 在),(+∞-∞内连续，则___________,==b a ．102．)(lim 2)sin 21()(031x f x x f x x→++=，求()=x f ．103．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．104．设2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则=)(x f ．105．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=010,1sin 1)(x x xx x f 的连续区间是．106．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,21ln 0,)(12x x x x a x f x 在0=x 处连续，则=a ．107.极限02sin 3lim[sin]x x x x x→+=．108.极限3sin 2lim[sin ]x xx x x→∞+=．109．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=-0,0,316sin )(3x a x x e x x f ax 在0=x 连续，则_______=a ．110．函数⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2,420,42,0,2)(2x x x x x x f 的间断点有_________个．111．函数653)(2+--=x x x x f 的第二类间断点是_________．112．函数)5)(32(86)(22-----=x x x x x x f 的间断点是．113．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x x x x f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则=a ．114．设⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0,20,0,)(2x b x x a x e x x f 在点0=x 处连续，则=a ，=b ．115．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,3sin )(x x x x x x f ，则点0=x 是)(x f 的第类间断点．116．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 则点0=x 是)(x f 的第类间断点；点1=x 是)(x f 的第类间断点．117．若函数=)(x ϕ，则函数)(x f 为奇函数这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>++=0, )( 0, 0 0 ),1ln()(2x x x x x x x f ϕ118．⎩⎨⎧<-≥=00 )(22x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.119．⎩⎨⎧>+≤-=0 10 1)(x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.三、计算题120．设函数1)1(2++=x x x f 0>x ，求)(x f ．121．设函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求)(x f ．122．设xx f -=11)(，求))((x f f ．123．设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ．124．已知x x g xx f -==1)(,1)(，求))((x g f ．125．设x x x f 2)1(2-=-，求)1(+x f ．126．求函数321)(2-+=x x x f 的连续区间．127．设函数)(x f 的定义域为)0,1(-，求函数)1(2-x f 的定义域．128．设x xx f +=12arccos )(，求其定义域．129．设)(x f 的定义域为[]1,0，求)(cos x f 的定义域．130．已知⎩⎨⎧≤<≤≤=+21,210,)1(2x x x x x ϕ，求)(x ϕ．131．设⎩⎨⎧<+≥+=0,40,12)(2x x x x x f ，求)1(-x f ．132．判断函数x x x f 32(32()(-++=的奇偶性．133．判断11-+=x x a a x y 的奇偶性．134．设)21121)(()(-+=x x f x F ，已知)(x f 为奇函数，判断)(x F 的奇偶性．135．求函数x x y 44sin cos -=的周期．136．求函数2cos sin x x y +=的周期．137．求函数x y 3sin 2=)66(ππ<<-x 的反函数．138．求函数)1ln(2-+=x x y 的反函数．139．xx x 3113sin lim +-∞→．140．633lim 6--+→x x x ．141．2203)1ln(lim x x x +→．142．x xx 4cos 12sin 1lim 4-+→π．143．2321lim 4--+→x x x ．144．123lim 221-+-→x x x x ．145．25273lim 33+-++∞→x x x x x ．146．)cos 3(11lim 32x x x x +++∞→．147．2021cos lim x x x -→．148．2021lim x ex x -→．149．3222......21lim nn n +++∞→．150．)3(lim 2x x x x -++∞→．151．xx x ln 1lim 21-→．152．20cos 1lim x x x -→．153．38231lim x x x +---→．154．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1...531311lim n n n ．155．n n 11lim +∞→．156．114sin lim 0-+→x xx ．157．)(lim 22x x x x x --++∞→．158．156223lim 22+-++∞→n n n n n ．159．nx mxx sin sin lim 0→．160．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x ln ln 1lim 1．161．145lim 1---→x xx x ．162．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11lim 31x x x ．163．xx x --→πππ1cos )(lim ．164．20cos 1lim x mx x -→．165．11sinlim -+∞→x x x x x ．166．)15(lim 323x x x x -+-∞→．167．)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→．168．28lim 38--→x x x ．169．n n n 31...9131121...41211lim ++++++++∞→．170．xx x x x 6sin 4cos lim ++∞→．171．)1(lim 2x x x x -+∞→．172．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→114sin lim 0x x x ．173．174lim 22++→x x x ．174．2220)1()41ln(lim x x e x -+→．175．115)2(5)2(lim ++∞→+-+-n n nn n ．176．xx e 1011lim +→．177．若123lim 22=-+-→x ax x x ，求a ．178．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，求a ，b ．179．已知),0()1(lim 2017∞≠≠=--∞→A n n n k k n ，求k 的值．180．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim .181．已知5312)(22+++-=bx x ax x f ，当∞→x 时，求a 和b 的值使)(x f 为无穷小量．182．当0→x ，比较函数22)(-+=x x e x f 与x 是否为同阶无穷小．183．已知82lim 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ，求a ．184．()xx x sec 32cos 1lim +→π．185．11212lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ．186．26311lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 187．xx x x 311lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→．188．21232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x ．189．xx x tan 2)(sin lim π→．190．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>+=0,sin 10,0,1sin )(x x x x p x q x x x f 在点0=x 处极限存在，求p 和q 的值．191．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点的个数．192．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点及其类型．193．判断函数xx x f 1cos)(=的间断点及其类型．194．设)(x f 在点0=x 处连续，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos 1)(2x a x x x x f ，求a ．195．求函数xxy sin =的间断点及类型．196．求函数)1()(22--=x x xx x f 的间断点．197．证明方程019323=+--x x x 至少有一个小于1的正根．198．判断函数122+=x y 的单调性．199．已知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>+--=0,110,0,1)1(2sin )(2x x x b x a e e x f x x x 在点0=x 处连续，求a 和b 的值．200．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在),(+∞-∞内连续，求a ．201．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x xx x x x x x f ，判断其间断点及类型．202．设xe xf x 1)(-=，判断其间断点及类型．203．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0)(,11x x x e x f x ，判断)(x f 的间断点及其类型．204．求曲线65222+-=x x x y 的渐近线．205．求xex f -+=1111)(的间断点并判断其类型．206．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++=<=0,)21ln(0,0,sin 1sin )(2x a xx x b x x x x x f ，求b a ,的值使其在),(+∞-∞内连续．207．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<-=-21,1,210,1ln )(1x e x x x xx f x ，（1）求)(x f 的定义域（2）判断间断点1=x 的类型，如何改变定义使)(x f 在这点连续？208．判断函数x x y ln +=在区间),0(+∞内的单调性．第一章函数、极限与连续1..54,51:15101510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤D x x 选C2.43<≤-x ，826<≤-x ，14620<+≤x 。
高等数学习题及解答(极限,连续与导数)
高等数学习题库淮南联合大学基础部2008年10月第一章 映射，极限，连续习题一 集合与实数集基本能力层次：1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }.2：证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。
即结论成立。
基本理论层次：习题二 函数、数列与函数极限基本能力层次1：解：2：证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay bx cy a+=-，所以 ()x f y = 所以命题成立3：（1）22x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥⎧⎫=⎨⎬<⎩⎭解：4：用极限定义证明： 1lim1n n n →∞-=(不作要求)证明：因为 ω∀ 有11|1|n n n ω--=<成立,只要1n ω>取N ＝[1ω]，则当n>N 时,就有11|1|n n nω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立5：求下列数列的极限（1）lim 3n n n →∞ （2）222312limn n n →∞+++（3）（4）n 解：（1） 233nn n n <,又2lim 03nn x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0（2）由于2223312(1)(21)111(1)(2)6n n n n n n n n n+++++==++又因为：1111lim (1)(2)63n n n n →∞++=,所以：2223121lim3n n n →∞+++ （3）因为：所以：（4） 因为：111n n≤≤+，并且1lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得1n =6：解：由于7：解：8：9：习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本理论层次1：解：同理：（3），（4）习题四无穷小的比较、函数的连续及性质基本理论层次1：（1）（2）2：第二章一元微分学及应用习题一导数及求导法则、反函数及复合函数的导数.基本理论层次21,1,,,,1()(1)(1)lim lim 1x a b x bx x f x f bx x ⎧+≥⎪⎨-+<⎪⎩-+-==-2222-ax 1.设f(x)=试求常数使f(x)在x=1处可导。
专升本高等数学一(函数、极限与连续)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（函数、极限与连续）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．函数y=的定义域是( )A．[一2，3]B．[一3，3]C．(一2，一1)∪(一1，3]D．(一3，3)正确答案：C解析：因为对于函数y应满足这三个不等式解的交集为一2＜x＜－1与一1＜x≤3．所以函数的定义域为(－2，－1)∪(－1，3]．知识模块：函数、极限与连续2．下列函数中是奇函数的为( )A．y=cos3xB．y=x2+sinxC．y=ln(x2+x4)D．y=正确答案：D解析：A、C为偶函数，B为非奇非偶函数，D中y(一x)==一y(x)，为奇函数，故选D．知识模块：函数、极限与连续3．函数f(x)=｜xsinx｜ecosx，在(一∞，+∞)上是( )A．有界函数B．偶函数C．单调函数D．周期函数正确答案：B解析：定义域(一∞，+∞)关于原点对称，且f(一x)=｜(一x)sin(一x)｜ecos(－x)=｜xsinx｜ecosx=f(x)，故函数f(x)在(一∞，+∞)上为偶函数．知识模块：函数、极限与连续4．极限等于( )A．2B．1C．D．0正确答案：D解析：因x→∞时，→0，而sin2x是有界函数；所以由无穷小的性质知，=0．知识模块：函数、极限与连续5．设=3，则a= ( )A．B．C．2D．不确定正确答案：A解析：．知识模块：函数、极限与连续6．= ( )A．0B．1C．∞D．不存在但不是∞正确答案：D解析：不存在，故选D．知识模块：函数、极限与连续7．若=5，则( )A．a=一9，b=14B．a=1，b=一6C．a=一2，b=0D．a=一2，b=一5正确答案：B解析：若(x2＋ax＋b)=0，因此4+2a+b=0，2a+b=一4，即b=一4－2a，故所以a=1，而b=一6．知识模块：函数、极限与连续8．设函数f(x)=则f(x)在( )A．x=0，x=1处都间断B．x=0，x=1处都连续C．x=0处间断，x=1处连续D．x=0处连续，x=1处间断正确答案：C解析：因为在x=0处，，因此f(x)在x=0处间断．在x=1处，=f(1)，因此，在x=1处连续，故选C．知识模块：函数、极限与连续9．函数f(x)=的间断点为( )A．x=一1B．x=0C．x=1D．不能确定正确答案：B解析：x=0处为分段点，≠f(0)，所以f(x)的间断点为x=0，故选B．知识模块：函数、极限与连续填空题10．设函数f(x)的定义域为[0，1]，g(x)=lnx一1，则复合函数f[g(x)]的定义域是_________．正确答案：[e，e2]解析：由函数f(x)的定义域为[0，1]知在f[g(x)]中g(x)∈[0，1]，即0≤lnx 一1≤11≤lnx≤2e≤x≤e2．知识模块：函数、极限与连续11．设f(x)=则f｛f[f(一3)]｝=_________．正确答案：4解析：f(一3)=0，f[f(一3)]=f(0)=2，f｛f[f(一3)]｝=f(2)=x2｜x=2=4．知识模块：函数、极限与连续12．若x→0时，(1一ax2)一1与xsinx是等价无穷小，则a=________．正确答案：一4解析：=1，故a=一4．知识模块：函数、极限与连续13．极限=________．正确答案：e－2解析：=e－2．知识模块：函数、极限与连续14．极限=________．正确答案：e－1解析：=e－1．知识模块：函数、极限与连续15．设f(x)=若f(x)在x=1处连续，则a=_______．正确答案：2kπ+，k=0，±1，±2，…解析：由=1．且f(1)=1，所以f(x)在x=1连续，应有1=sina，所以a=2kπ+，k=0，±1，±2，…．知识模块：函数、极限与连续16．设f(x)=，则补充定义f(0)=________时，函数f(x)就在点x=0处连续．正确答案：1解析：若f(x)在x=0处连续，则f(0)==1．知识模块：函数、极限与连续解答题17．设f(x)=+｜x－5｜，求．正确答案：．涉及知识点：函数、极限与连续18．求极限．正确答案：．涉及知识点：函数、极限与连续19．计算．正确答案：=一1．涉及知识点：函数、极限与连续20．求极限．正确答案：．涉及知识点：函数、极限与连续21．求极限．正确答案：=2．涉及知识点：函数、极限与连续22．求极限．正确答案：．涉及知识点：函数、极限与连续23．求极限(sinx)x．正确答案：此极限为0°型，所以涉及知识点：函数、极限与连续24．设f(x)=，当a，b取何值时，f(x)在(一∞，+∞)上连续．正确答案：f(x)=因为f(x)在(一∞，＋∞)上连续，所以f(x)在x=1及x=一1处连续，综上所述，解得a=0，b=1．涉及知识点：函数、极限与连续25．问a、b为何值时，函数f(x)=在点x=2和x=4处均连续．正确答案：由题意知涉及知识点：函数、极限与连续。
第二章 极限与连续 习题及答案
第二章 极限与连续一、填空 1、⎪⎭⎫⎝⎛+→x x x x x sin 11sinlim 0= 。
2、)arcsin(lim 2x x x x -++∞→= 。
3、nn n n 1sin)1()12(531lim3+-+++∞→ = 。
4、[]xx x 20)1ln(1lim ++→= 。
5、设()x f x 1lim →存在，且()()x f x x x f x 12lim 2→+=，则()x f x 1lim →= 。
6、设xx x k x 2)(lim -∞←-=xx x 2sin lim ∞→ ，则k= .7、设3)1sin(lim 221=-++→x bax x x ，则a = ,b = .8、当0→x 时，x x sin 1tan 1--+∽kx 41，则k = 。
9、如果函数()⎪⎩⎪⎨⎧=<<+-=010)11(1x ax xx x f x在其定义域上连续，则a = 。
10、函数23122+--=x x x y 的间断点为 ，其中可去间断点为 ，补充定义 使其连续。
二、选择1、下列命题正确的是（ ）A 、无限多个无穷小之和仍是无穷小。
B 、两个无穷大的和仍是无穷大C 、无穷大与有界变量（但不是无穷小）的乘积一定是无穷大。
D 、两个无穷大的积仍是无穷大。
2、已知xe xf 1)(=，则x =0是函数的（ ）A 、无穷型间断点B 、跳跃间断点C 、可去间断点D 、其它类型间断点3、x x ln arctan sin lim 0+→=（ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、不存在4、对于函数21x y -= )1,1(-∈x ，下列结论中不正确的是（ ） A 、是连续函数 B 、是有界函数C 、是有最大值和最小值D 、有最大值无最小值5、设)(x f 在（-+∞∞,）内有定义，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠==∞→00)1()(,)(lim x x x f x g a x f x则（ ）A 、0=x 必是)(x g 的第一类间断点B 、0=x 必是)(x g 的第二类间断点C 、0=x 必是)(x g 的连续点D 、)(x g 在点0=x 处的连续性与a 的取值有关6、函数)(x f 在0x x =点有定义是它在该点有极限的（ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、无关条件7、函数()()1121)(3++--=x x x x x f 在（ ）过程中为无穷大量A 、1→xB 、2→xC 、1-→xD 、∞→x8、若21)(lim0=→x ax f x ，则=→x bx f x )(lim 0（ ）A 、a b 2B 、ab21 C 、2ab D 、b a 29、若)0(0+x f 与)0(0-x f 均存在，则（ ） A 、)(lim 0x f x x →存在且等于)(0x fB 、)(lim 0x f x x →存在但不一定等于)(0x fC 、)(lim 0x f x x →不一定存在D 、)(lim 0x f x x →必不存在10、函数)1ln()(x x f +=在下列（ ）区间上有界 A 、（-1，0） B 、),0(+∞ C 、]0,1(- D 、（2，3） 三、计算1、nnnnnnn 1)54321(lim ++++∞→2、xx x x sin 1sinlim20→3、422lim 22----+→x x x x4、xxx x sin 3sin 5arcsin lim0-→5、设xxx f )31()2(-=-，)(lim x f x ∞→6、讨论函数()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=>+<≤---+=00021ln 10111)(222x x x x x x x x x f 在分断点的连续性7、xx e e xx x sin lim sin 0--→8、[]{}n n n n ln )2ln(lim -+∞→四、证明题1、试证明曲线12--=x xe y x 在0=x 与1=x 至少与x 轴有一个交点2、设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，且b b f a a f ><)(,)(，证明：存在),(b a ∈ξ使得ξξ=)(f应用实例银行复利的计算一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？解 按月存款和计算时，每月的利息为30011004121=⨯，记k x 为第k 月末时的养老金数，则由题意得1001=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=300111001002x233001110030011100100⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x13001110030011100100-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x5年末养老金为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=1)30011(30000300111300111100606060x （元） 当复利和存款按日计算时，记k y 为第k 天的养老金数，则每天的存款额为3651200=a ，每天的利率为365004=r 。
高等数学函数的极限与连续习题及答案
上式化简为
1a2
0，∴a1，
2
1b
12ab12abx1b212ablimlimlim
xxx1a∴1
a1，12ab0，b2
10、函数fx
的间断点是（x0,x1）．
11
xx2x2
11、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,）．
x4x3ax2sinx
2，则a（2）12、若lim．
xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx
a
xx21
logaxx21fx
3、当x0时，ex1是x的（c）
a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小
4、如果函数fx在x0点的某个邻域b．连续c．有界
5、函数fx1
1x在（c）条件下趋于.
a．x1 b．x10 c．x10
6、设函数fxsinx
x，则limx0fx（c）
a．１b．－１c．不存在∵sinx
6、如果～，则o．
1，是
∴limlim10，即是的同阶无穷小．
2xx2sin2sin1cosx11limlim2正确∵limx0x0x04x2x2x2
2正确∵lim
11limxlimsin0．x0xx0x0x
1错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0x8、limxsin
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
第一章函数与极限复习题
1、函数fxx2x31x1与函数gxx1相同．
错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴fxx2x31x1与gx函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gxx1
是不同的函数。
2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．
(完整版)《高等数学一》极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)
s in th ei r be i n g ar eg oo d f o r 第二章 极限与连续[单选题]1、若x 0时，函数f (x )为x 2的高阶无穷小量，则=（ ）A 、0B 、C 、1D 、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】 您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（ ）.A 、必要条件B 、充分条件C 、充要条件D 、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】 您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（ ）.i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s A 、B 、1C 、D 、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】 您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（ ）.A 、0B 、1C 、2D 、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】 您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o df or s （ ）.A 、0B 、∞C 、2D 、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】 您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]6、（ ）.A 、0 B 、∞ C 、2 D 、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】 您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（ ）.Allthingsintheirbeingaregoodfors A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）.A、B、Al l th i n gs in t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s oC 、D 、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】 您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]10、函数的间断点是（ ）.A 、x=6、x=-1B 、x=0、x=6C 、x=0、x=6、x=-1D 、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】 您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1.[单选题]11、设,则是的（ ）.thingsintheirbeingaregoodforso.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]a n d A l l t h i n g s i n t h ei r b e i n g a r e g o o d f o r s o .13、计算（ ）.A 、B 、C 、D 、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】 您未答题【答案解析】[单选题]14、（ ）.A 、1B 、﹣1C 、2D 、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】 您未答题【答案解析】[单选题]15、下列各式中正确的是（ ）.a n d Al l t h i n gs i n th e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o .A 、B 、C 、D 、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】 您未答题【答案解析】A ，当时，极限为，错误；B ，，错误；C ，，错误，D 正确.[单选题]16、函数的间断点个数为（ ）.A 、0B 、1C 、2D 、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 Cl l t i it i r b e i n g a r e g o o d f o r s o .【您的答案】 您未答题【答案解析】在x =0和x =1处，无定义，故间断点为2个.[单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（ ）A 、B 、C 、D 、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】 您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（ ）A 、0B 、1C 、不存在，但不是∞D 、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】 您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )n d Al l t h i n gs i n th e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o .A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、无穷间断点D 、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】 您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（ ）.A 、-1B 、2C 、1D 、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】 您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=.[单选题]21、（ ）.A 、B 、C 、D 、dA l l t h i n g s in t h e i r be i ng a r e g o o df o r s o .【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】 您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（ ）.A 、B 、C 、D 、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】 您未答题【答案解析】当x 趋近于0时，为有界函数，故极限存在.[单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（ ）.A 、B 、C 、D 、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 Ce a n dAl l th i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o .【您的答案】 您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]24、极限=( )A 、0B 、2/3C 、3/2D 、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】 您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A 、x=0B 、x=1C 、x=0，x=-1D 、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】 您未答题【答案解析】 x=1时，分母为0，无意义。
《高等数学一》第二章极限与连续历年试题模拟试题课后习题集(汇总)(含规范标准答案解析)
第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]6、（）.A、0B、∞C、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）. A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）.A、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]10、函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1.[单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）. A、B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确.[单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个. [单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，. [单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=. [单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]24、极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】x=1时，分母为0，无意义。
高等数学第二章习题.doc
第二章极限与连续第一节数列的极限一、观察下列数列｛%…｝的变化趋势，判断是否有极限？若有极限，写出其极限1、2、3^ x z/=lnn4、心=1 + (_1)“ 丄n二、利用数列极限的定义证明:、v 3n + l 3K lim --------- =—；n* 2/7 + 1 22.lim0.999_9=l三、设数列｛x I满足lim兀=01〃T8 n 证明:lim £H—>oo2/1-12〃（-1）〃第二节函数的极限一、填空题1、当x->2吋,y“T4,问当5取_时，只要Ov|兀-2|v5,必有卜-4|<0.001.丫2_12^当兀T8时，y = —------------- 1,问当z取__________ 时，只要\x\ > z,必有|y-l| <0.01.”+3二、用函数极限的沱义证明：三、试证:函数/（兀）当JVTX。
时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.四、讨论：函数0（兀）二包在兀T0时的极限是否存在?第三节极限的性质填空题1、 limx —» 2— 3 x-32. v x~l lim——XT 】- 1 3、 4、 5、 limHT8（〃 + l ）G +2）（〃 + 3）limx 2 sin —= “TO x / 】• COS X 6、 lim -----------XTZ x+ 厂 r .. 4x 4 - 2x 2 + x 7^ lim -------- ； ------z ） 32 + 2x8、 lim•Y T8（2兀一 3严（3兀+ 2严 二、求下列各极限2、 lim U + /?）2-x2 D h3、lim （— ------- 二）z \-x \-x 34、lim"Tv 2 + ijxlim （l + 丄 +第四节无穷大、无穷小一、填空题1、凡无穷小量皆以 _________ 为极限2、lim /（兀）=A是/（x） = A + Q _ 条件，（其中limo = 0）XT々）尤-»心3、在同一过程中，若/（兀）是无穷大，则 ____ 是无穷小.4^当XT O时，无穷小l-cosx与mx n等价，贝ij m = ____________ ,n ____ .i _L?r二、根据定义证明:当XT O时,函数丁 =匸2是无穷大，问兀应满足什么条件,x能使卜|〉104・三、证明函数y = -sin丄在区间（0,1］上无界，但当XT（）+时，这个函数不是无穷大. XX四、证明:当兀->0时，兀'一1与3兀2 -兀一2是同阶无穷小第五节极限的存在准则一、填空题-…sin 2x“ sin cox 1、 lim --------- =2、.hm ----------- =go sin 3x 3、cotx lim ------------ = 4、 lim x ・ cot 3x=XT O %XT O 5、 sinx lim =6> 1 lim(l +兀)* =XT8 2X大TO 1 + x 八]r7、 lim( )2r- 8、 lim(l — —Y =XToo %28X二、 求下列各极限1 — cos2x1、 lim -------------2、 lim(tanx),an2xgo xsmx4三、利用极限存在准则证明数列V2J2+V2J2+V2+V2,……的极限存在，并求出该 极限.3、 血(斗XT® x-a 4、 lim("d"T8 n * 1 )"第六节：连续函数及其性质填空题21、 ____________________________________ 指出尸 x j 在x = l 是第 ______ 类间断点；在x = 2是第 _____________________________ 类间断点.兀2 — 3x + 2 2、 _________________________________ 指出• J 在x = 0是第 ________ 类间断点；在x = l 是第 _____________________________ 类间断点；在x|(x 2 -1) x = -1是第 类间断点 3、limln(2cos2x) = _________ .61-®二、讨论函数 /(x)=lim —— 的连续性，若有间断点，判断其类型.三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点 则补充或改变函数的定义使它连续.X2、/(%)=——在XG R 上tanx4.1、 /(兀)=四.五、六、使x<0设f(x) = < 1 , X =()已知/(%)在x = 0处连续，试确定G和b ln(b + x + x ), x>0设Q>0，b>0,证明方程x = asinx + b，至少有一个不超过a^b正根若/（%）在［d,b］上连续，a<x l<x2<-'<x n<b则在［兀］，暫］上必有丁© = /（西）+ /（兀2）+ ……+ /（£）的值.复习题二一、选择题：X1、 函数/(X )= —在定义域为()1 + JT(A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且 ^</(x)<^ ；(D)有界，且—25—^52 •L1 +厂2、 当XTO 时，下列函数哪一•个是其它三个的高阶无穷小() (A) x 2 ；(B) 1-cosx ；(C) x-tanx ； (D) ln(l + x)3、设认冲则当()时有卿甞:當:二篇遗(A) m > /7 ；(B) m - n ； (C) m < n ；(D) m. n 任意取4、 设 f(x)= :U 则 limgO< X< 1XTO(A)-l ； (B)l ； (C)0 ；(D)不存在5、 (A)l ；(B)-l ； (C)0； (D)不存在.二、求极限:1、v 2/ + 〃 + l lim -------------- — “T8 (i-/?y 2、1曲"-2XT 3x-33、lim(l + ;r)AXT O 4、lim x(e x -1)XT81x arctan ------四、讨论函数/(x)= --------------- 的连续性，并判断其间断点的类型.• 71sin —x2x< x>\试确定a 的值使/(x)在x = l 连续•x X5、当 xHO 吋，limcos —cos — .............. cos — ........................................................................ ；2 • 丄 x sin — 6、lim / *f 如 2 — i三、设冇函数/(x) =sin ax.五、证明奇次多项式:P(兀)=兔兀2“+1+坷兀2”+..・+夠出(勺北0)至少存在一个实根.六、若/(x)在|0,2°］上连续，/(0)=/(2G),证明在|0卫］上至少存在一点g ,使。
第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)
第二章-极限与连续--基础练习题（含解答）第二章极限与连续基础练习题（作业）§2.1数列的极限一、观察并写出下列数列的极限：468,,极限为135711112．1,,,,,极限为023451．2,2n1n为奇数2n3．an极限为1n21n为偶数2n§2.2函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限：某1．lime某极限为零2．limtan某某2无极限3．limarctan某某极限为2ln某4．lim某0无极限，趋于某12某1,2二、设f(某)某某3,1某2，问当某1，某2时，f(某)的极限是否存在？某21,某2某12f(某)lim(2某1)3limf(某)lim(某某3)3；lim某1某1某1limf(某)3.某1某222limf(某)lim(某某3)53limf(某)lim(某1)3；某2某2某2limf(某)不存在。
某2三、设f某11e1某，求某0时的左、右极限，并说明某0时极限是否存在．某0limf某lim某011e11某1某0某0limf某lim某011elimf(某)不存在。
某0四、试讨论下列函数在某0时极限是否存在．1．绝对值函数f 某|某|，存在极限为零2．取整函数f某[某]不存在3．符号函数f某gn 某不存在§2.3无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由：1．某in1是无穷小量．某110；当某1时，某inin1不是无穷小量。
某某错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。
当某0时，某in2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。
3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。
经济数学(极限与连续习题及答案)——习题集资料文档
第二章 函数的极限与连续习题 2－11.写出下面数列的前5项，并观察当n —>∞时，哪些数列有极限，极限为多少? 哪些数列没有极限.{}{}{}{}{}{}{}211(1) 1 (2) 21(3) (4) (1)11(1)(5) sin (6) 2n n n nn n n n n n x x n n x x nn x x n π⎧⎫-⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭-⎧⎫==-⎨⎬+⎩⎭⎧⎫+-⎪⎪⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭解 （1）3231,1615 ,87 ,43 ,21 有极限 , 极限为 1.(2)524,415 ,38 ,23 ,0 没有极限. (3)64,53 ,42 ,31 0, 有极限 , 极限为 1. (4) －1, 2, －3, 4, －5 没有极限.(5)5sin,4sin ,3sin ,2sin ,sin πππππ, 有极限 , 极限为 0 . (6) 0, 1, 0 , 1, 0 没有极限 . 2. 用极限的定义证明：(1) 若k >0，则 1lim0kn n →∞=n 212(2) lim313n n →∞+=+解 (1) 因为对任给的ε> 0，要使不等式110(0)k kk n n ε-=<>11().k n ε>即便可所以对任给的ε> 0, 取正整数 N =11[()]1kε+ , 则当n >N 时, 就恒有 10k n ε-<故由数列极限的定义知, 1lim0kn n →∞=.(2) 因为对任给的ε > 0, 不妨设10ε<3<，要使不等式2121ε31393n n n +-=<++11(3) 9εn >-即便可.所以对任给的ε> 0, 取正整数N = 11[(3)]19ε-+, 则当n > N 时, 就 恒有 212313n n ε+-<+故由数列极限的定义知,3213n 12n lim=++∞>-n .3. 设 120.9,0.99,,0.999,lim .nn n n x x x x →∞===求如果要使x n 与其极限之差的绝对值小于 0.0001 , 问n 应满足什么条件?解 因为0.999,lim 1, 0.0001,nn n n x x ε→∞===由则取要使110.000110000n x -<=110.999910000n x >-=只要便可.所以n > 4 .4. 设数列｛x n ｝有界，且lim 0, lim 0.n n n n n y x y →∞→∞==证明证 因为数列｛x n ｝有界, 所以存在正整数M > 0, 使得nx < M,又因为0lim =∞→n n y , 则对任给的M ε> 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时, 就恒有0n y M ε-<所以对任给的ε> 0, 存在正整数N , 使得当n >N 时, 就恒有n n n n x y x y M Mεε=<⋅=故由数列极限的定义知, .0lim =∞→n n n y x5. 设数列｛x n ｝收敛, 求证数列｛x n ｝必定有界.解 由数列｛x n ｝收敛, 设Ax n n =∞→lim .因为对于任意ε > 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时的一切x n , 就恒有 n x A ε-<即n A x A εε-<<+所以对任给的ε > 0,取正数{}12max ,,,,,,N M x x x A A εε=+-使得当n > N 时 ,就恒有 n x M <故数列｛x n ｝必定有界.习题 2－21. 用极限的定义证明 ：2324(1) lim(31)8 (2) lim 4223(3) lim 2 (4) lim 20x x x x x x x x x x →→-→∞→-∞--==-++==解 (1)因为对任给的ε> 0, 要使不等式|(3 x – 1) – 8| =|3(x – 3)| < ε只要取正数δ= ε3就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε3,使得当0 < | x – 3|<δ时, 就恒有|(3x – 1) – 8| < ε故由极限定义知 3lim(31)8x x ->-=.(2)因为对任给的ε > 0, 要使不等式244242ε2x x x x -+=-+=+<+只要取正数δ= ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε, 使得当0<|x + 2|<δ时, 就恒有244ε2x x -+<+ 故由极限定义知 224lim 42x x x →--=-+.(3)因为对任给的ε> 0, 要使不等式2332εx x x +-=<,则 |x |> 3ε, 只要取正数M = 3ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数M =3ε, 使得当| x | > M 时, 就恒有232εx x +-<故由极限定义知 23lim2x x x ->∞+=.(4)因为对任给的ε> 0 (不妨设0<ε<1), 要使不等式ln 202, ln 2x x x εε-=<<即ln ln 2M ε=只要取正数就可以了.所以对任给的ε>0,取正数2ln ln ε=M , 使得当x <-M 时, 就恒有20x ε-<故由极限定义知 lim 20xx ->-∞=.2*. 当x →-2时，x 2 →4. 问δ等于多少，在0<|x + 2|<δ时, 有| x 2 - 4|< 0.003 ?解 因为当x →-2时，x -2 →-4, 取 ε= 0.003, 要使不等式| x 2 - 4|=| x + 2| | x – 2 |< ε设21x +<, 即有 -3< x <-1, -5< x -2 <-3所以当2x -< 5时，取0.0035δ==0.0006, 有240.003x ε-<=.3*. 当x —>∞ 时，102x →-. 问M 等于多少时，在|x |> M 时, 有100.012x -<-?解 因为当x —>∞ 时，要使不等式100.012x -<-2100, 102.x x ->>只要便可 即M = 102.4. 设函数1, 0() 0, 01, 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 讨论当x —> 0时，f (x )的极限是否存在.解 00lim ()lim (1)1x x f x x --→->=-=-因为00lim ()lim (1)1lim ()lim ()lim ()x x x x x f x x f x f x f x ++-+→->→→->=+=≠即故 不存在.5. 证明函数f (x ) = x | x |, 当x →0时极限为零.22, 0(), 0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩解 因为--2020lim ()lim ()0lim ()lim 0lim ()0.x x x x x f x x f x x f x ++→→→→→=-====即故6* . 利用定义证明：0, 11lim , 01x x a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 证 因为当a >1时，对任意ε> 0，不妨设0<ε<1, 要使110x x a a ε-=<1ln ln x a ε->只要取正数便可.所以对于0<ε<1，1ln 0,,ln M x M a ε->>取=当时就恒有10xa ε-<即 1limx x a →+∞=.又因为当0< a < 1时，令11b a =>时，由上述可得1 lim 0x x b →+∞=于是 1lim limx xx x b a →+∞→+∞==+∞故由极限定义知0, 11lim, 01xx a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 7.设函数21, 2()2, 2x x f x x k x ⎧+≥=⎨+<⎩, 问当k 取何值时，函数f (x )在x —> 2时的极限存在. 解 2lim (), ,x f x ->因为要使存在必须左右极限存在且相等222lim (1)5lim (2)4 1.x x x x k k k ->->+==+=+=＋－即解得故 2lim () 5.x f x ->=8. 求(),()x xf x x x x ϕ==当x —> 0时的左、右极限，并说明它们在 x —> 0时的极限是否存在.解 1 , 0(), 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩因为不存在lim () lim101 , 0()1, 0x x f x x x x ϕ→→==>⎧=⎨-<⎩即而习题 2－31. 1. 求下列极限：3222010203031222042412(1)(1) lim (2)lim 2(2)(23)31(3) lim (4) lim()1(13)112((5) lim[ ] (6 ) limx n x x n h x x x n x x nx x x x x n x n n n→→∞→∞→→∞→-++++-+------++++222) (7) x x h x h →→-解 322200424424(1)lim lim 2.22x x x x x x x x x x →→-+-+==++22102010202030303012(1)(1)1(2) lim=lim=.2223(1)(2)(2)(23)2(3) lim lim .1(13)3(3)n n x x n n n n n x x x x x x →∞→∞→∞→∞+++------==-- 233112122222313(1)(4) lim()lim111(2)(1)lim1.(1)(1)1212 (5) lim[]lim1(1)1lim .22 (6) lim x x x n n n h x x x x x x x x x x n nn n n n n n n →→→→∞→∞→∞-++-=---+-==-++++++++=+=⋅=22200022200()2lim lim(2)2.(1 (7) lim1(1) lim(1 2.(8) h h x x x x x x h x xh h x h x h h x x →→→→→→→→+-+==+==-+=-+=-=4x x →→===2. 求下列数极限：n n n n n n 1(1)(1) lim111(3) lim[]1223(1)(1) 0.1(1)(2) lim 0.nnnn n n →∞→∞→∞→∞→∞+-+++⨯⨯⨯+==+-=解111(3) (1)1n n n n =-⨯++因为111lim[]1223(1)11111lim[(1)()()]22311lim(1) 1.1n n n n n n n n →∞→∞→∞+++⨯⨯⨯+=-+-++-+=-=+故2. 2. 设 22lim()51x x ax b x →∞--+=--, 求常数a, b 的值.解 222(1)()2lim ()lim 511x x x a x b a x bax b x x →∞→∞--++---+==---由1051, 6.a a b a b -=⎧⎨+=-⎩==-得故3. 3. 若常数k 使233lim 222-++++-→x x k kx x x 存在, 试求出常数k 与极限值. 解 2222233lim lim (2)02x x x kx k x x x x →-→-++++-=+-由己知存在,且 22lim (33)150 15.x x kx k k k →-+++=-==所以得22222315183(2)(3)limlim2(2)(1)3(3)lim 1.1x x x x x x x x x x x x x →-→-→-++++=+-+-+==--则5. 求下列函数的极限：12100(1)1ln(1) (1) lim(2) limln(1)nx x x x x xx x →→∞+--+++解1(1) (1) , 1,n nx t x t +==-令当0x →时, 1t →, 则11201122210109102910(1)1111limlimlim .1(1)(1)11ln (1)ln(1)(2) lim lim 11ln(1)ln (1)112ln ln(1)2 lim lim 1110ln ln(1)nn n n x t t x x x x x t t x nt t t t x x x x x x x x x xx x x x x x --→→→→∞→∞→∞→∞+---===--+++-+-+=+++++-++==+++291011ln(1)/ln 1110ln(1)/ln 15xx x xx x-++++=6 .求下列曲线的渐近线：3222122(1) (2) 232(3) 2 (4) 21xx x y y x x x x x y y x --==+---==-解 332(1) (3)(1)23x x y x x x x ==+-+-3321133233lim lim (3)(1)231;lim lim(3)(1)233;x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-→-==∞+-+-===∞+-+-=- 因为 所以是铅垂渐近线 因为 所以是铅垂渐近线 323222lim lim 1(23)23 lim[]lim 223232.x x x x y x x x x x x x xx x x x x y x →∞→∞→∞→∞==+--+-==-+-+-=- 又因为 且所以是斜渐近线2222222222121102 (2) lim 121;2(lim lim (2)(1)222lim lim 221,2. (3) lim 21 lim 2x x x x x xxx x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x -→∞→→→-→--→∞→-=--=-+==∞-+----==∞----=-===∞因为 所以是水平渐近线 又因为 且所以是铅垂渐近线因为 且所1,0.y x ==以是水平渐近线是铅垂渐近线212(4) lim211.2x xx x →=∞-=因为 所以是铅垂渐近线2221lim lim (21)22(21)11lim[]lim lim 2122(21)4241124x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞==----===---=+又因为且 所以是斜近渐近线.7. 已知 2200012000lim 0,,.x x x x b a b x a →+++-=≠-求的值解 2200012000limx x x x b x a →+++-=-由己知存在习题 2－41. 1. 利用极限存在准则，计算下列各题:22221111(1)lim[] (1)(2)()(2)limn n n n n n n →∞→∞+++++++解2222111111(1)4(1)(2)()n nn n n n n ≤++++≤+++因为 222211lim lim 041111lim[]0.(1)(2)() (2)1sin1,n n n nn n n n n n n →∞→∞→∞==++++=+++-≤≤≤≤且 所以因为则有lim lim lim 0.n n n →∞→∞→∞===所以 2.求下列极限：0022021sin (1) lim (2) lim cot 2sin 22(3) lim (4) lim sin tan 3sin(1)(5) lim (6) li 1x x x x x kxx xxx x x x x x →→→→∞→--01cos msin sin (7) lim (8) lim 2sin 2x n nx n xx x x xx ππ→→→∞-- 解 00sin sin (1) lim lim .x x kx kxk k x kx →→==0021(2) lim cot 2lim.2tan 22x x x x x x →→==0022222221112000sin 2sin 2322(3) lim lim .tan 32tan 333222(4) lim sin lim 2sin / 2.sin(1)sin(1)(5) lim lim lim(1) 2.112sin s 1cos 2(6) lim lim2lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→∞→∞→→→→→→=⋅⋅===--=⋅+=---==20in 22sin cos22sin 112 lim cos .2222x x x x x x x x →=⋅=00sin()sin sin (7) limt lim lim = 1.(8) lim 2sin lim sin /.222x t t n n n n n n t x tx x t tx x xx x ππππ→→→→∞→∞+-=-=--== 3.求下列极限：2123sec 03(1) lim (1) (2) 121 (3) lim () (4) lim ()23 (5) lim (1cos ) (6) lim x x x x xx x xx x xx x x x x π+→∞→→∞→∞→→++-++2112cot0(12sin) (7) lim(14) (8) lim(13tan )xxxxx x x x x -→→+-+解 3133333(1) lim (1) lim (1)(1).xx x x e x x x ⋅+→∞→∞+=++=11(3)330222(2) lim(13)lim(13)].11(3) lim () lim (1) .x x x x x x x x x x x e x e x x ---→→→→∞→∞=-=-=+=+=2223113()2()232222133sec cos 1121132(4) lim ()lim ()lim (1)lim (1)323221213 lim (1)lim (1).22(5) lim(1cos ) lim(1cos )x x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x xe e e x xx x ππ-→∞→∞→∞→∞⋅⋅--⋅----→∞→∞→→--==-⋅+++=-⋅+=⋅=+=+223112sin 22sin 011(44)440132cot 233tan 022000.(6) lim(12sin)lim(12sin).(7) lim(14) lim(14).(8) lim(13tan )lim(13tan).1001 4.lim ()5xx xx xx x xx xx x x xx x x x c x e x x e x x e x x e x e x →→-⋅---→→⋅→→+→∞=+=+=-=-=+=+=+=-已知,.c 求解 220001001lim()5x x x x +→∞+-由510062200010065201210061001 lim (1)lim ()552012.x x x x x c x x x e e c -⋅-→∞→∞+=+⋅--===故习题 2－51.下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量？3211(1) (2) 1(2) (4) ln(1)x x y y x x y e y x --==-==+解 （1）因为 301lim x x →=∞,所以当0x →时，31y x =是无穷大量. 又因为 31lim 0x x →∞=，所以当x →∞时，31y x =是无穷小量. （2）因为21111lim lim 11x x x x x →-→--==∞+-，所以当1x →-时,21 1x y x -=-是无穷大量. 又因为 211lim lim 011x x x x x →∞→∞-==+-，所以当x →∞时，21 1x y x -=-是无穷小量. （3）因为lim x x e -→-∞=∞，所以当x →-∞时,xy e -=是无穷大量. 又因为lim 0x x e -→+∞=，所以当x →+∞时,x y e -=是无穷小量. （4）因为1lim ln(1)lim ln(1)x x x x +→+∞→-+=∞+=∞或，所以当x →+∞,1, ln(1)x y x +→-=+时或时是无穷大量.又因为0limln(1)0x x →+=，所以当0 , ln(1)x y x →=+时是无穷小量.2．当0x →时，指出关于x 的同阶无穷小量、高阶的无穷小量、等价的无穷小量.22211,sin ,cos 1,(1),sin .2xx x e x ---解 因为01lim2x x →→==所以当0x +→时，与x1-；又因为 2200sin sin lim lim 0x x x x x x →→==200cos 1lim lim 02x x x x x x →→-=-= 所以当0x +→时，比x 高阶的无穷小量有2sin x ，2sin x ，cos 1x -；又因为 2001(1)122lim lim 12xx x e xx x →→-=⋅=所以当0x →时，与x 等价的无穷小量有21(1)2xe -.3.把下列函数表示为常数(极限值)与一个当x —>∞时的无穷小量之和的形式.3333(1)() (2) ()121x x f x f x x x ==-+解 （1）因为33lim 11x x x →∞=-,所以3331() 111x f x x x ==+--. （2）因为 33311lim lim 0 22142x x x x x →∞→∞-==++且 所以311()242f x x =-+. 4．证明： 当x —>0 时，(1) e x -1 ∽ x ； (2) arcsin x ∽ x .解 （1）100011lim 1lim lim 1ln(1)ln(1)x x x x x te t t e x t t →→→-=-==++令.（2）00arcsin limarcsin lim 1sin x t x tt x x t →→==令.5．利用等价替换原理, 计算下列极限：sin 2002000sin 31(1) lim (2) limsin tan 52ln(123)(3) lim (4) limsin()arcsin 2(5)lim(6) lims (sin )xx x x x n mx x x x e x xx x x x x x x →→→→→→-+-233in 235(7) lim(8) lim42tan x n xx x x x x→+-+解 （1）因为当0x →时，sin 33,sin ,tan 5522x xx x x x所以 00sin 336limlim 5sin tan 5522x x x x x x x x x x →→⋅==⋅⋅.（2）因为当sin 2sin 0,12xxx e →-时 所以sin 201sin 1limlim22xx x ex xx →→-==.（3）因为当220,ln(123)23x x x x x →+--时所以 22000ln(123)23lim lim lim(23)2x x x x x x x x x x →→→+--==-=. （4）因为当0,sin 22x x x →时所以x x →→=20021)1)lim lim 41x x x x x x →→===++.（5）因为当0,sin ,sin n nx x x x x →时 所以 000, sin lim lim 1, (sin ), nnm mx x n m x x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨⎪∞<⎩.（6）因为当0,arcsin 22,sin x x x x x →时所以 00arcsin 22limlim 2sin x x x xx x →→==.（7）因为当230,,x x x x →时都是比更高的无穷小所以 233002352lim lim 12tan 2tan x x x x x x x x x →→+-==+.(8)因为当3433,2n n n n n →∞--limlim0.n n ==所以6. 设x —>0 时, 函数122(1)1cos 1kx x +--与为等价无穷小量，求常数k 的值.解 因为 12220021(1)12lim lim 11cos 12x x kxkx k x x →→+-==-=--所以 k = －1.*7. 求下列函数的极限：)tan 1ln(cos sin 1lim )1(20x xx x x +-+→ 11(2)lim ()x x x x a b →+∞-)]11ln(sin )31ln([sin lim )3(x x xx +-+∞→解 0x →(1)x→=因为222210,1cos ,ln(1tan )tan 2x xx x x x →-+当时所以2201sin cos limlim ln(1tan )2x x x x xx x →→+-=+2001cos sin 113limlim 24242x x x x x x →→-=+=+=.(2)111111(1)(1)lim ()limlim11x x x xx xx x x a b a b x a b x x →+∞→+∞→+∞-----==11(1)(1)limlim11xxx x a bx x →+∞→+∞--=-因为当1,0x x →+∞→时,11111ln ,1ln xx a a b bx x --11lim()ln ln lnxxx ax a b a b b →+∞-=-=所以31(3)lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x →∞+-+31sin ln(1)sin ln(1)limlim 11x x x x x x →∞→∞++=-因为当x →∞时,333sinln(1)ln(1)x xx ++111sin ln(1)ln(1)x xx ++31lim [sin ln(1)sin ln(1)]31lim lim 31 2.11x x x x x xx x x x →∞→∞→∞+-+=-=-=所以习题 2－61.求函数 xy +=1 在x = 3, ⊿x = -0.2时的增量⊿y . 解 因为()()y f x x fx ∆=+∆-=3,0.2,2x x y =∆=-∆== 由所以2.利用连读函数的定义，证明下列函数在 x = 0 点的连续性.21(1)()1()21arctan , 10, 0(3)() (4) () 1, 01 0, 0x f x f x x x xx x f x f x xx x x x +=+=-⎧⎧-<<≠⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≤<=⎩⎩解 (1)因为(0)(0)1y f x f ∆=+∆-=lim lim 1)0()10.x x y f x x ∆→∆→∆=-==+=且所以 在处连续(2)因为21(0)(0)121x y f x f x ∆+∆=+∆-=+∆-2020001lim lim (1)110211()0.210, (0)0,lim ()lim (1)1,lim ()lim 11lim ()()0x x x x x x x x y x x f x x x x f f x f x f x f x x --++∆→∆→→→→→→∆+∆=+=-+=∆-+==-===-=-===且所以在处连续 (3)因为在 时且所以 不存在,故在不连续.0000,(0)1,arctan lim ()lim arctan lim 1tan x x t x f x tf x t x x t ---→→→===== (4)因为在时且00lim ()lim (1)1lim ()1(0)arctan , 10() 0.1, 01x x x f x x f x f xx f x x x x x ++→→→=-===⎧-<<⎪==⎨⎪-≤<⎩所以 在处连续3. 求下列函数的间断点, 并指出间断点的类型. 若是可去间断点，则补充定义，使其在该点连续.221(1)() (2) ()ln(21)(1)x x f x f x x x x -==--1, 11arctan , 0(3)()2, 10 (4) () 0, 01 sin , 02x x x f x x x f x xx x x x -⎧≤-⎪⎧⎪≠⎪=+-<≤=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪<≤⎩ 解(1)0,1,1() ,x x x f x ==-=因为在处没有定义() 0,1,1. f x x x x ==-=所以在处间断而0000(1)lim ()lim 1(1)(1)(1)lim ()lim 1(1)(1)x x x x x x f x x x x x x f x x x x --++→→→→-==---+-==-+ 故 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.又因为 11(1)1lim ()lim (1)(1)2x x x x f x x x x →→-==-+所以 x = 1是()f x 的可去间断点，补充定义1(1)2f =.又因为111(1)lim ()limlim (1)(1)(1)x x x x x xf x x x x x x →-→-→--===∞-++所以x = -1是()f x 的无穷间断点.(2) 因为1x =在处()f x 没有定义, 且111lim ()limln(21)x x f x x →→==∞-所以x = 1是()f x 的无穷间断点.(3)因为(1)1,f -=且11111 lim ()lim 1,lim ()lim (2)1x x x x f x xf x x --++→-→-→-→--===+=则1lim ()(1) 1.x f x f →-=-=所以x = 1是()f x 的连续点.(0)2, lim ()lim (2)21 lim ()lim sin0x x x x f f x x f x x x --++→→→→==+===又因为且所以 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.0000(4)(0)0,1lim ()lim arctan21lim ()lim arctan 2x x x x f f x x f x x ππ--++→→→→===-==因为且 所以0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点. 4.讨论下列函数的连续性，并作出函数图形.2211(1)()lim(0) (2) () lim11nnnn n x f x x f x xx x →∞→∞-=≥=++解 (1) 因为1, 011()lim0, 11n n x f x x x →∞≤≤⎧==⎨>+⎩（函数图形见图2－1）且11(1)1,lim ()1,lim ()0x x f f x f x -+→→===所以x = 1是()f x 的间断点.图2－122 , 11 (2)()lim0 , 11 , 1nnn x x xf x x x x x x →∞⎧<⎪-=⋅==⎨+⎪->⎩因为（函数图形见图2－2） 1111(1)0lim ()lim ()1 lim ()lim 1x x x x f f x x f x x --++→-→-→-→-±==-===-且1111lim ()lim 1 lim ()lim ()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=- 图2－211lim (),lim ()x x f x f x →-→所以都不存在.因此x = 1，x = -1是()f x 的跳跃间断点.5.已知2, 01() 2, 1ln(1), 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩,问当 a , b 为何值时,()f x 在 x =1 处连续.解 因为(1)2,f =且21111lim ()lim () lim ()lim ln(1)ln(1)x x x x f x ax b a bf x bx b --++→→→→=+=+=+=+若函数()f x 在x = 1处连续，则必须 1lim ()2x f x →=.即 2ln(1)2a b b +=⎧⎨+=⎩解之，得223,1a e b e =-=-. 6.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求 )(lim ),(lim ),(lim 32x f x f x f x x x -→→→.解 因为323223333()(3)(2)6x x x x x x f x x x x x +--+--==+-+-所以()(,3)(3,2)(2,),f x -∞-⋃-⋃+∞的连续区间是且3200331lim ()lim (3)(2)2x x x x x f x x x →→+--==+-322223233333lim ()lim (3)(2)(3)(1)338lim ()lim lim (3)(2)(3)(2)5x x x x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x →→→-→-→-+--==∞+-+-+--===-+-+-7.设函数()f x 在[a , b ]上连续，且(),()f a a f b b <>,证明在(a , b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ) = ξ.证 [][] ()(),(),,(),F x f x x f x a b F x a b =-设由已知在上连续则在上(),(),()()0,()()0f a a f b b F a f a a F b f b b <>=-<=->连续.又因为所以故由零值定理知，在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0， 即 ()f ξξ=.8.设函数()f x 在[a , b ]上连续，12n a x x x b <+++<, 求证在(a , b )内至少有点ξ,使n x f x f x f f n )()()()(21+++=ξ证 因为()f x 在[a , b ]上连续，则1()[,]n f x x x 在上也连续.由最大最小值定理知，1()[,]n f x x x 在上存在最小值m ,最大值M ，取12()()()((),1,2,,),n i f x f x f x C m f x M i n nm C M +++=≤≤=≤≤则由介值定理知, 在(a , b )内至少有点ξ,使12()()()()n f x f x f x f C nξ+++==.9. 证明方程331x x -=至少有一个根介于1和2之间.证 设3()31F x x x =--,由于F （x ）在[1，2]内连续，且(1)30,(2)10F F =-<=>由零值定理知，在（1，2）内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0. 即 331ξξ-=.故方程331x x -=在[1，2]内至少有一个根.综合习题二1.选择填空：(1) 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) .① 必要条件 ② 充分条件 ③ 充要条件 ④ 无关条件(2) 当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. ① tan2 x②x③ 1ln(12)2x + ④ x (x +2)(3) 设0, 0(), lim (), 0x x e x f x f x ax b x →⎧≤=⎨+>⎩若存在, 则必有( ) .① a = 0 , b = 0 ② a = 2 , b = －1③ a = －1 , b = 2 ④ a 为任意常数, b = 1(4)若31169x x→=--,则f (x) = ( ) .①x+1 ②x+5③(5) 方程x4–x– 1 = 0至少有一个实根的区间是( ) .①(0,1/2) ②(1/2, 1)③(2, 3) ④(1, 2)(6)函数10()lnxf xx-=+的连续区间是( ) .①(0, 5) ②(0, 1)③(1, 5) ④(0, 1)∪(1,5)解（1）①;（2）③;（3）④;（4）③; （5）②;（6）④.2.计算题：3sin()3(1) lim (2)lim12cos sin(3) 12(1)](4) lim0)x xxxnxaxe ex xn naαβππ+→→→∞→---++-+++->2300cot222tan sin(5)lim (6)limsin11(7)lim(cos) (8) lim(1)4(9)lim1x xx n x nxxx xxxn nxx→→→→∞→∞-++⎛⎫-⎪⎪-⎝⎭(10)lim[ln ln(2)]nn n n→∞-+解333sin()sin()sin()333(1) lim= lim lim112cos2(cos)2(cos cos)23x x xx x xx x xπππππππ→→→---=---33001112sin()cos()cos()1232323lim lim11124sin()sin()sin()232323(1)(1)(2) lim limsin sin0,1,1,sinx xx x x xx xx xx x xx x xe e e ex xx e x e x x xππαβαβαβππππππαβ→→→→-⋅--===+⋅-+----=→--因为当时所00lim lim.sinx xx xe e x xx xαβαβαβ→→--==-以(3) 12(1)]1lim2limnn nnn n→∞→∞++-+++-====3200(4) lim lim limlimlimtan sin tan1cos(5) lim limsinx a x a x axax ax xx x x xxx x+++++→→→→→→→-=-=-=--=⋅22001lim.22(6) limlimtan sin1tan1cos1lim lim.2(1cos)21cos2xxxx xx xx xx x x xx x x x→→→→→=⋅==--==⋅⋅=--221cot(cos1)cot cos100(7)lim(cos) =lim(1cos1)x xx xx xx x⋅⋅--→→+-因为222001cos112lim lim2tanx xxxx x→→--==-21cot2lim(cos).xxx e-→=所以22111()11221111(8) lim(1)lim(1)nn nn n nn nn nn n⋅⋅++→∞→∞++=++因为211lim()1nnn n→∞⋅+=211lim(1).nnen n→∞++=所以2222414(9)lim=lim111xxx xx xxx→∞→∞⎛⎫-⎪⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭-⎪⎝⎭2212222(1)(1)lim (1)lim (1) =lim =1111(1)(1)lim (1)lim (1) 1.(10)lim [ln ln(2)]lim ln()21 lim ln 2(1)x x x xx x x x x x xx x n n n n nx x x x x x x xe e e en n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞--→∞→∞→∞-+-+-+-+⋅==⋅-+=+==+22lim ln(1)ln 2.n n e n →∞-+=-=-2. 1. 设 10sin , 02() , , lim ()(1), 0x x x x x f x a f x ax x →⎧<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩试求使得存在.解00sin 1lim ()lim 22x x x f x x --→→==因为 10000 lim ()lim (1) lim ()lim ()1,ln 2.2a x x x x x a f x ax e f x f x e a +-+-→→→→=+====-则所以 即 3. 2. 作出函数()lim 1txtx t x e f x e →+∞+=+的图形，并指出间断点.解 由已知可得1, 0()lim , 01tx tx t x x e f x x x e →∞≥⎧+==⎨<+⎩ 则函数图形见图2－3.00 lim ()0lim ()1x x f x f x -+→→=≠=因为 0().x f x =所以是的跳跃间断点5. 求函数tan 32(3)x y x x =-的可去间断点. 图2－3 解 因为tan 32(3)x y x x =-在x = 0，x = 3处无意义,所以x = 0，x = 3都是函数f (x )的间断点.但00tan 331lim lim 2(3)2(3)2x x x x x x x x →→==--- 故 x = 0是f (x )的可去间断点.而 3tan 3lim 2(3)x x x x →=∞- 故 x = 3是f (x )的无穷间断点.6.设f (x )在点 x = x 0 处连续且 f (x 0)> 0, 试证在x 0 的某个邻域内有f (x )> 0.证 由已知f (x )在点 x = x 0 处连续，则00lim ()()x x f x f x →=.取00()0,0,02f x x x εδδ=>∃><-<使得时，恒有00()(),()()f x f x f x f x εεε-<→-<-< 故 0000()()()()()022f x f x f x f x f x ε>-=-=>. 7. 设本金为p 元，年利率为r, 若一年分为n 期, 存期为t 年, 则本金与利息之和是多少 ? 现某人将本金p = 1000元存入果银行, 规定年利率为 r = 0.06, t = 2, 请按季度、月、日以及连续复利计算本利和，并作出你的评价.解 依题意，第一期到期后的利息为本金×利率=r p n ⨯ 第一期到期的本利和是本金＋利息=(1)r r p p p n n +⨯=+若按总利计算，第二期到期的本利和为 2(1)(1)(1)r r r r p p p n n n n+++⨯=+第n 期到期后的本利和为 (1)n r p n +存期若为t 年（事实上有t n 期），到期后的本利和为 (1)tnr p n + （*）由题设p = 1000 ，r = 0.06, t = 2,（1） （1） 一年分为四季，取n = 4带入得（*）式，得2480.061000(1)1000 1.0151126.494⨯⨯+=⨯≈（2） （2） 一年分为12个月，取n =12带入得（*）式，得 212240.061000(1)1000 1.0051127.1612⨯⨯+=⨯≈（3） （3） 一年分为365天，取n = 365带入得（*）式，得 23657300.061000(1)1000 1.0001643841127.49365⨯⨯+=⨯≈（4） 连续取息就是在（*）式中令n →+∞，得 20.120.060.120.060.06lim 1000(1)1000lim [(1)] 10001127.50nn n n n ne ⨯→+∞→+∞⨯+=⨯+=⨯≈ 结论是：用复利计算时，按季、月、日以及连续复利计算所得结果相差不大.8.证明方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +. 证 设()sin F x x a x b =--，显然F （x ）在[0，a b +]上连续，(0)0(0)()sin()[1sin()]0F b b F a b a b a a b b a a b =-<>+=+-+-=-+≥又则若()F a b +=0，则a b +为方程F （x ）= 0的正根;若()F a b +>0，则由零值定理，至少有一点(0,)a b ξ∈+使得F （x ）= 0，即sin a b ξξ=+.。
专升本高等数学一(函数、极限与连续)模拟试卷2(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（函数、极限与连续）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．函数y=的定义域是( )A．x≥3B．x≤一2C．[一3，4]D．｛x｜一3≤x≤一2｝∪｛x｜3≤x≤4｝正确答案：D解析：由题意知x2一x一6≥0，解得x≤一2或x≥3，一1≤≤1，解得一3≤x≤4，取两者交集得｛x｜一3≤x≤一2｝∪｛x｜3≤x≤4｝，故选D．知识模块：函数、极限与连续2．函数y=f(x)的图像关于原点对称，则下列关系式成立的是( ) A．f(x)+f(一x)=0B．f(x)一f(一x)=0C．f(x)+f－1(x)=0D．f(x)一f－1(x)=0正确答案：A解析：因为y=f(x)的图像关于原点对称，所以f(一x)=一f(x)，即f(x)+f(一x)=0，故选A．知识模块：函数、极限与连续3．设函数f(x)=1+3x的反函数为g(x)，则g(10)= ( )A．一2B．一1C．2D．3正确答案：C解析：f(x)=1+3x 的反函数为g(x)，从而g(x)的定义域即为f(x)的值域，所以由1+3x=10=x=2，g(10)=2．知识模块：函数、极限与连续4．设函数f(x)在(一1，0)∪(0，1)内有定义，如果极限存在，则下列结论中正确的是( )A．存在正数δ，f(x)在(一δ，δ)内有界B．存在正数δ，f(x)在(一δ，0)∪(0，δ)内有界C．f(x)在(一1，1)内有界D．f(x)在(一1，0)∪(0，1)内有界正确答案：B解析：由函数的定义域为(一1，0)∪(0，1)，从而函数的有界性只能在定义域(－1，0)∪(0，1)内考虑，由于极限存在，由函数极限局部有界性可知存在正数δ，使f(x)在(一δ，0)∪(0，δ)内有界．知识模块：函数、极限与连续5．下列极限中正确的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因为第一重要极限的结构形式为=1，式中“□”可以是自变量x，也可以是x的函数，而□→0，表示当x→x0(x→∞)时，必有□→0，即□是当x→x0(x→∞)时的无穷小量，所以A、B、D不正确，故选C．知识模块：函数、极限与连续6．= ( )A．eB．1C．e－1D．一e正确答案：C解析：=e－1．知识模块：函数、极限与连续7．当x→0时，与x等价的无穷小量是( )A．B．ln(1+x)C．D．x2(x+1)正确答案：B解析：对于选项A，是比x低阶的无穷小；对于选项B，=1，故x→0时ln(1＋x)是与x等价的无穷小；对于选项C，=是与x同阶但非等价的无穷小；对于选项D，=0，故x→0时x2(x+1)是比x高阶的无穷小．知识模块：函数、极限与连续8．下列极限存在的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：对于选项A，当x→0－时，震荡无极限，当x→0＋时，也震荡无极限；对于选项C，当x→1时2x一2→0，→∞极限不存在；对于选项D，当n→∞时n(n+1)→∞极限不存在；而=1，故选B．知识模块：函数、极限与连续9．设f(x)=为连续函数，则a= ( )A．0B．1C．2D．任意值正确答案：B解析：f(x)为连续函数，则f(x)在x=2处连续，故有=1=a．知识模块：函数、极限与连续10．函数f(x)=xcos在点x=0处为( )A．跳跃间断点B．第二类间断点C．可去间断点D．无穷间断点正确答案：C解析：=0，所以f(x)在x=0处为可去间断点，故选C．知识模块：函数、极限与连续填空题11．函数y=的反函数是_________．正确答案：y=解析：x≤0时，y=x2+1，值域为[1，+∞)，其反函数为y=一，x∈[1，+∞)，x＞0时，y=，值域为(一2，1)，其反函数为y=，x∈(一2，1)，所以原函数的反函数为y=知识模块：函数、极限与连续12．设f(x)=则f[f(x)= _________．正确答案：x解析：f(x)=[*]，将x=f(x)代入得：f[f(x)]=[*]=x．知识模块：函数、极限与连续13．=________．正确答案：0解析：x→∞时，sin→0，｜1－cosx｜≤2，所以=0．知识模块：函数、极限与连续14．=________．正确答案：x解析：=x．知识模块：函数、极限与连续15．当x→0＋时，是x_________阶的无穷小．正确答案：低解析：是x的低阶无穷小．知识模块：函数、极限与连续16．设f(x)=，则f(x)的间断点为x=_________．正确答案：0解析：f(x)=，可知f(x)在x=0处无意义，故其间断点为x=0．知识模块：函数、极限与连续17．函数y=的间断点是x=________，其为第________类间断点．正确答案：0，二解析：=+∞，故x=0为函数的第二类间断点．知识模块：函数、极限与连续解答题18．求极限．正确答案：．涉及知识点：函数、极限与连续19．计算．正确答案：型，使用洛必达法则．．涉及知识点：函数、极限与连续20．求极限x[ln(x+1)一lnx]．正确答案：=lne=1．涉及知识点：函数、极限与连续21．求极限．正确答案：=e．涉及知识点：函数、极限与连续22．求极限．正确答案：由于x→0时，xcotx=→1，故原极限为型，所以涉及知识点：函数、极限与连续23．求极限．正确答案：=1＋0=1．涉及知识点：函数、极限与连续24．设f(x)=在x=0连续，试确定A，B．正确答案：欲使f(x)在x=0处连续，应有2A=4=B＋1，所以A=2，B=3．涉及知识点：函数、极限与连续25．证明方程x5＋3x3一3=0在(0，1)内至少有一个根．正确答案：令f(x)=x5+3x3一3，f(0)=一3＜0，f(1)=1＞0，由连续函数的零点定理可知至少存在一点c∈(0，1)使得f(c)=0，即方程x5+3x3一3=0在(0，1)内至少有一个根．涉及知识点：函数、极限与连续。
高等数学-极限与连续(习题)Word版
第二章 极限与连续习题2-11、观察下列数列的变化趋势,判别哪些数列有极限,如有极限,写出它们的极限. (1)nn a x 1= )1(>a ； 有. 0lim =∞→n n x .(2) nx n n 1)1(1--=； 有. 0lim =∞→n n x .(3) n x n n 1)1(--=； 无.(4) 2sin πn x n =； 无. (5) 11+-=n n x n ； 有. 1lim =∞→n n x . (6) nn x )1(2-=； 无.(7) nx n 1cos =； 有. 1lim =∞→n n x .(8) nx n1ln =. 无.2、设9.01=u ,99.02=u ,个n n u 999.0,=,问 (1) ?lim =∞→n n u(2) n 应为何值时,才能使n u 与其极限之差的绝对值小于0001.0？ 解：(1) 显然,n n u 1011-=,可见1lim =∞→n n u ；(2) 欲使41010001.0101|1|=<=-n n u ,只需5≥n 即可.3、对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=1}{n n x n ,),2,1( =n ,给定(1)1.0=ε;(2)01.0=ε;(3)001.0=ε时,分别取怎样的N ,才能使当N n >时,不等式ε<-|1|n x 成立,并利用极限定义证明此数列的极限为1.解：欲使ε=<+=-+=-k n n n n x 1011111|1|,只需110->k n .(1)若给定1.0=ε,此时1=k ,取91101=-=N 即可;(2)若给定01.0=ε,此时2=k ,取991102=-=N 即可; (3)若给定001.0=ε,此时3=k ,取9991103=-=N 即可; 下面证明1lim =∞→n n x . 欲使ε<<+=-n n x n 111|1|,只需ε1>n .0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<-|1|n x ,所以 1lim 1lim==+∞→∞→n n n x n n.4、用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？(1)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越小,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nx n 11+=,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越小,但a x n n =≠=∞→01lim .(2)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越接近于0,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nx n 11+=,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越接近于0,但a x n n =≠=∞→01lim .(3)设数列}{n x ,0>∀ε,N ∃,当N n >时,有无穷多个n x 满足ε<-||a x n ,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nn x )1(-=,1=a ,显然0||2=-a x k ,),2,1( =k ,那么0>∀ε,1=∃N ,当N n >时,有无穷多个n x ,满足ε<-||a x n , 但显然n n x ∞→lim 不存在.(4)设数列}{n x ,若对0>∀ε,}{n x 中仅有有限个n x 不满足ε<-||a x n ,则a x n n =∞→lim .解：结论正确.0>∀ε,假设仅有k n n n x x x ,,,21 不满足ε<-||a x n ,于是取+∈=N },,,max {21k n n n N ,那么当N n >时,ε<-||a x n ,所以a x n n =∞→lim .5、用极限性质判别下列结论是否正确,为什么？ (1)若}{n x 收敛,则k n n n n x x +∞→∞→=lim lim (k 为正整数)；解：结论正确.显然}{k n x +是}{n x 的子数列,故n n k n n x x ∞→+∞→=lim lim .(2)有界数列}{n x 必收敛；解：结论错误.例如取nn x )1(-=,虽然}{n x 有界,但显然}{n x 发散.(3)无界数列}{n x 必发散；解：结论正确. 因收敛数列必有界,那么无界数列必发散.(4)发散数列}{n x 必无界.解：结论错误.例如取nn x )1(-=,虽然}{n x 发散,但显然}{n x 有界.6、利用数列的“N -ε”分析定义证明下列极限： (1) 01lim2=∞→n n ；分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-nn x n 11|0|2,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-nn x n 11|0|2,所以 0lim 1lim 2==∞→∞→n n n x n .(2) 321312lim=++∞→n n n ；分析：0>∀ε,欲使ε<<+=-++=-n n n n x n 1)13(3132131232, 只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有 ε<<+=-n n x n 1)13(3132,所以 32lim 1312lim ==++∞→∞→n n n x n n .(3) 1)311(lim =-∞→nn ；分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-nn x n 131|1|,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-n n x n 131|1|,所以 1lim )311(lim ==-∞→∞→n n n x n .(4) 0sin lim=∞→nnn .分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-n n n x n 1sin |0|,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可. 证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-n n n x n 1sin |0|,所以 0lim sin lim ==∞→∞→n n n x nn.7、若0lim =∞→n n u ,证明0||lim =∞→n n u ,并举例说明,如果数列|}{|n u 有极限,但数列}{n u 未必有极限.证明：因0lim =∞→n n u ,有0>∀ε,+∈∃N N ..t s N n >时,ε<-|0|n u ,于是 ε<-=-|0|0||n n u u , 所以0||lim =∞→n n u .而若取nn u )1(-=,显然1||lim =∞→n n u ,但显然}{n u 没有极限.8、对于数列}{n x ,若a x k →-12,)(∞→k ,a x k →2,)(∞→k ,证明a x n →,)(∞→n .证明：因0lim 12=-∞→k k x ,有0>∀ε,+∈∃N1N ..t s 1N k >时,ε<--||12a x k ,又因0lim 2=∞→k k x ,对0>ε,+∈∃N 2N ..t s 2N k >时,ε<-||2a x k ,取+∈=N }2,2m ax {21N N N ,当N n >时,若12-=k n ,有1122221N N N n k =≥>+=,ε<-=--||||12a x a x k n , 若k n 2=,有222222N N N n k =≥>=,ε<-=-||||2a x a x k n ,总之,当N n >时,ε<-||a x n ,所以a x n →,)(∞→n .习题2-21、用极限定义证明： (1) 12)25(lim 2=+→x x ；分析：0>∀ε,欲使ε<-=-|2|5|12)(|x x f ,只需5|2|ε<-x 即可.证明：0>∀ε,取05>=εδ,当δ<-<|2|0x 时,恒有ε<-=-|2|5|12)(|x x f , 所以 12)(lim )25(lim 22==+→→x f x x x .(2) 424lim22-=+--→x x x ； 分析：0>∀ε,欲使ε<+=--|2||)4()(|x x f ,只需ε<+<|2|0x 即可. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<--<|)2(|0x 时,恒有ε<+=+-=--+-=--|2||4)2(|)4(24|)4()(|2x x x x x f ,所以 4)(lim 24lim222-==+--→-→x f x x x x .(3) 8)13(lim 3=-→x x .分析：0>∀ε,欲使ε<-=-|3|3|8)(|x x f ,只需3|3|ε<-x 即可.证明：0>∀ε,取03>=εδ,当δ<-<|3|0x 时,恒有ε<-=-|3|3|12)(|x x f , 所以 8)(lim )13(lim 33==-→→x f x x x .2、用极限定义证明： (1) 656lim=+∞→xx x ；分析：0>∀ε,欲使ε<=-x x f 5|6)(|,只需ε5||>x 即可. 证明：0>∀ε,取05>=εK ,当ε5||>x 时,恒有ε<=-x x f 5|6)(|,所以 6)(lim 56lim ==+∞→∞→x f xx x x .(2) 0sin lim=+∞→xxx .分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-xx x x f 1sin |0)(|,只需21ε>x 即可.证明：0>∀ε,取012>=εK ,当K x >时,恒有ε<≤-x x f 1|0)(|,所以 0)(lim sin lim ==∞→+∞→x f xxx x .3、当2→x 时,42→=x y ,问δ等于多少,则当δ<-<|2|0x 时,001.0|4|<-y ？(提示：因为2→x ,所以不妨设31<<x ).解：欲使|2||4)2(||2||2||4||4|2-⋅+-=-⋅+=-=-x x x x x y3101001.0|2|5|2|)4|2(|=<-≤-+-≤x x x ,只需0002.01051|2|3=⋅<-x 即可.因此,取0002.0=δ,当δ<-<|2|0x 时,有001.0|4|<-y .4、设⎩⎨⎧≥-<=.3 ,13,3,)(x x x x x f 作)(x f 的图形,并讨论3→x 时, )(x f 的左右极限(利用第1题(3)的结果).解：(1) )(x f 的图形.(2) 令x x g =)(,13)(-=x x h ,已知3lim )(lim 33==→→x x g x x ,8)13(lim )(lim 33=-=→→x x h x x ,于是3)(lim 3=-→x g x ,8)(lim 3=+→x h x .显然,当3<x 时,)()(x g x f =,于是3)(lim )(lim 33==--→→x g x f x x ；当3>x 时,)()(x h x f =,于是8)(lim )(lim 33==++→→x h x f x x .5、证明||)(x x f =,当0→x 时的极限为零. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<<||0x 时,恒有ε<=-=-||0|||0)(|x x x f , 所以 0)(lim ||lim 0==→→x f x x x .6、函数xx x f ||)(=,回答下列问题： (1)函数)(x f 在0=x 处的左右极限是否存在？ 答：)(x f 在0=x 处的左右极限是均存在.这是因为：1)1(lim lim )(lim 000-=-=-=---→→→x x x xxx f ；11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x xx f .(2)函数)(x f 在0=x 处是否有极限？ 答：)(x f 在0=x 处是没有极限.这是因为：)(lim 11)(lim 0x f x f x x +-→→=≠-=.(3)函数)(x f 在1=x 处是否有极限？ 答：)(x f 在1=x 处有极限.这是因为：11lim lim )(lim 111===---→→→x x x x xx f ；11lim lim )(lim 111===+++→→→x x x x xx f . 由于1)(lim )(lim 11==+-→→x f x f x x ,故1)(lim 1=→x f x .7、证明A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0.证明:“必要性”A x f x x =→)(lim 0⇒0>∀ε,0>∃δ..t s δ<-<||00x x 时,ε<-|)(|A x f ,从而,当 δ<-<00x x 时, ε<-|)(|A x f ； 也有,当 δ<-<x x 00时, ε<-|)(|A x f , 所以 A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0.“充分性” A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0⇒ 0>∀ε,0,21>∃δδ ..t s当 100δ<-<x x 时, ε<-|)(|A x f ； 当 200δ<-<x x 时, ε<-|)(|A x f ,取0},m in{21>=δδδ,当δ<-<||00x x 时,有ε<-|)(|A x f , 所以 A x f x x =→)(lim 0.8、设)0()(lim ≠=+∞→A A x f x ,证明当x 充分大时2|||)(|A x f >. 证明:因)0()(lim ≠=+∞→A A x f x ,对于02||0>=A ε,0>∃K , 当K x >时, 2|||)(|0A A x f =<-ε. 所以2||2|||||)(||||))((||)(|A A A A x f A A x f A x f =->--≥-+=.习题2-31、根据定义证明：(1) 1-=x y 为当1→x 时的无穷小；证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<-<|1|0x 时,恒有ε<-=|1|||x y ,所以1-=x y 为当1→x 时的无穷小.(2) xx y 1cos =为当0→x 时的无穷小. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<-<|0|0x 时,恒有ε<≤||||x y ,所以xx y 1cos =为当0→x 时的无穷小.2、根据定义证明：函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大,问x 应满足什么条件,能使410||>y ？(1)分析：0>∀K ,欲使K x x x y >-≥+=2||121||,只需21||0+<<K x 即可. 证明：0>∀K ,取021>+=K δ,当δ<<||0x 时,恒有 K x x x x y >-≥+=+=2||12121||,所以 ∞==+→→y xxx x 00lim 21lim .(2) 欲使K y =>410||,取10002121014=+=δ,则x 满足100021||0<<x 即可.3、利用有界量乘无穷小依然是无穷小求下列极限： (1) xx x 1sinlim 20→. 解：因0lim 0=→x x ,11sin≤x)0(≠x ,有)1(o x =(无穷小),)1(1sin O x=(有界), )0(→x ,则)1()1()1()1(1sin 2o O o o x x ==,)0(→x , 所以01sin lim 20=→xx x .(2) xxx arctan lim∞→.解：因01lim =∞→x x ,2arctan π≤,有)1(1o x=(无穷小),)1(arctan O x =(有界), )(∞→x ,则)1()1()1(arctan o O o x x ==,)(∞→x , 所以0arctan lim =∞→xxx .4、函数x x y sin =在区间),0(+∞内是否有界?又当+∞→x 时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)取22ππ+=k x ,则22)22sin()22(ππππππ+=++=k k k y , ,2,1=k ,可见, 函数x x y sin =在区间),0(+∞内无界.(2)取πk x =,则0)sin(==ππk k y , ,2,1=k ,可见,当+∞→x 时,函数x x y sin =不是无穷大.4’、函数xx y 1sin =在区间),0(+∞内是否有界?又当+∞→x 时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)当0>x 时,11||1sin ||1sin=≤≤x x x x x x , 可见, 函数x x y 1sin =在区间),0(+∞内有界.(2)因函数xx y 1sin =在区间),0(+∞内有界,可见,当+∞→x 时,函数x x y sin =不是无穷大.习题2-41、填空题：(1)已知b a ,为常数,3122lim2=-++∞→n bn an n ,则=a 0 ,=b 6 ;解：由于2122lim 1221lim 30022a n n nb a n bn an n n n =-++=-++=⨯=∞→∞→,有0=a . 而2122lim 122lim 122lim 32b nn b n bn n bn an n n n =-+=-+=-++=∞→∞→∞→,有6=b .(2)已知b a ,为常数,1)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ,则=a 1 ,=b -1 ; 解：由于a xba xb ax x x x x x x x -=--+=--+==∞→∞→∞→1)11(lim )1(1lim 1lim 022, 有1=a .而b b x b x x x b ax x x x x x -=-=--+=--+=∞→∞→∞→)1(lim )1(lim )1(lim 12 有1-=b .(3)已知b a ,为常数,21lim 1=-+→x bax x ,则=a 2 ,=b -2 .解：由于0201)1(lim )(lim 11=⋅=-+-=+=+→→x bax x b ax b a x x ,有a b -=.而21lim 1lim 11=-+=--=→→x bax x a ax a x x ,有2-=b2、求下列极限：(1) 4304031413lim 143lim 222=++=++=++∞→∞→nn n n n n n .(2) 510)2(501)52)(2(5)52(1lim )2(5)2(5lim 11=⨯-++=--+-+=-+-+∞→++∞→n nn n n nnn . (3) 340131121101311311211211lim 31313112121211lim1122=--⋅--=--⋅--=++++++++++∞→∞→n n n n n n . (4) )1221(1lim )1231(lim 222nn n n n n n n n n n -+++=-+++∞→∞→1)221(lim )121(211lim =⨯=-+⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n . (5) ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n1)111(lim )]111()3121()2111[(lim =+-=+-++-+-=∞→∞→n n n n n .(6)2110111111lim1lim)1(lim =++=++=++=-+∞→∞→∞→nn n nn n n n n n . 3、求下列极限：(1) 443lim 222---→x x x x .解：由于0423242434lim 22222=-⨯--=---→x x x x ,所以∞=---→443lim 222x x x x .(2) )33(lim 33lim )(lim2203220330h xh x h h xh h x h h h x h h h ++=++=-+→→→ 22230033x x x =+⋅+=.(3) 3001003431153lim 43153lim 2222=++++=++++=++++∞→∞→xx x x x x x x x x . (4)503020503020503020532)15()23()32(lim )15()23()32(lim =++-=++-∞→∞→xx x x x x x x (5) 221)12)(11(lim 2=⋅=-+∞→xx x .(6) 0004000724132lim724132lim 5454253=++++=++++=++++∞→∞→xx x x x x x x x x x . (7) )13)(1)(1()1()3(lim 113lim121x x x x x x x x x x x ++-+-+--=-+--→→ 42)1113)(11(2)13)(1(2lim1-=++-+-=++-+-=→x x x x .(8) 22121311211lim )131(11lim )1311(lim x x x x x x x x x x x x x ++-+⋅-=++--=---→→→ 1111)21(1)2(lim 221-=+++-=+++-=→x x x x .(9) 11lim )1/()1()1/()1(lim 11lim 2121111++++++=----=------→→→ n n m m x n m x n m x x x x x x x x x x xnm n n m m =++++++=----1111112121 .(n m ,是自然数).(10) )1)(1)(1()1)(1)(1(lim11lim3323323131+++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x 321111111lim)1)(1()1)(1(lim33233213322331=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x x x .(11) x x x x x x x x x x 1)651)(1(lim 1)31)(21)(1(lim 200-+++=-+++→→6060116)6116(lim 220=⨯+⨯+=++=→x x x .(12) xx x x x x x x x x x +-+--+=--++∞→+∞→)1)(2()1)(2(lim ))1)(2((lim 21)11)(21(21lim )1)(2(2lim +-+-=+-+-=+∞→+∞→xx x x x x x x x211)01)(01(01=+-+-=.4、求下列极限：(1) 223)3(3lim -+→x xx x ;解：由于0333)33(3)3(lim 22223=⨯+-=+-=→x x x x ,所以∞=-+→223)3(3lim x x x x .(2)432lim 3++∞→x x x ;解：由于001002143lim 243lim 243lim 33233=++=++=++=++∞→∞→∞→xx xx x x x x x x , 所以∞=++∞→432lim3x x x .(3))325(lim 2+-∞→x x x ;解：由于000503251lim 3251lim 222=+-=+-=+-∞→∞→xx x x x x x ,所以∞=+-∞→)325(lim 2x x x .5、设A x f x x =→)(lim 0,)(lim 0x g x x →不存在,证明)]()([lim 0x g x f x x +→不存在.证明：反证.假设B x g x f x x =+→)]()([lim 0,则)(lim )]()([lim )]()()([lim )(lim 0x f x g x f x f x g x f x g x x x x x x x x →→→→-+=-+=A B -=,可见)(lim 0x g x x →存在,这与条件)(lim 0x g x x →不存在冲突,所以)]()([lim 0x g x f x x +→不存在.习题2-51、求下列极限：(1)52151255sin 522sin 2lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=⋅⋅=→→xx x xx x x x .(2)2112122sin 22cos lim2cot lim 00=⨯=⋅=→→xx x x x x x .(3)212)sin 2(lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200=⨯=⋅=⋅=-→→→xxx x x x x x x x x .(4)x x txtxx x n t n nn n=⋅===∞→=∞→1)sin (lim 2sin2lim 21,(x 为不等于零的常数).(5)01111sin 1sin 1lim sin sin lim 00=+-=+-=+-→→xx x xx x x x x x . (6)xx xx xx x x x x x x x x cos 2sin 2sin limcos )cos 1(sin lim sin tan lim3203030⋅=-=-→→→2112111122sin 21cos 1sin lim 220=⨯⨯⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=→x x x x x x .(7)tta t t a t a a x a x t t ax t a x 22cos2sin 2lim sin )(sin lim sin sin lim 00+=-+====--→→-=→ a t a t t t t cos )2cos(lim 22sinlim 00=+=→→.(8))3cos(21sin limcos 21)3sin(lim 033ππππ+-====--→-=→t t x x t x t x t t tt t t t t sin 3cos 1sin lim)3sin sin 3cos (cos 21sin lim 00+-=--=→→ππ 3313101sin 3)2(2sin 2sin lim sin 3cos 1sin lim 2200=⨯+⨯=+⋅=+-=→→tt t t t t tt t t t t .(9))22tan(lim 2)1(tanlim 2tan)1(lim 0011tt t t xx t t xt x ππππ-=-====-→→-=→πππππ2sin cos 2limcot 2lim2cotlim 002=⋅======→→=→uu u u u tt u u tu t .2、求下列极限：(1)ee t t t xtt tt x t xx 1)01(1)1()1(lim 1)1(lim )21(lim 10110212=+=++=+===-→--→-=-∞→.(2)et t xtt t t xt xx 1)1(lim 1)1(lim )22(lim 1010220=+=+===-→-→-=→.(3)211)11()11(lim )11(lim e e e xx x x x xx x x ==+-=+-∞→∞→.(4)11])11()11[(lim )11(lim )11(lim 2=⋅=+-=-===-+∞→+∞→=+∞→e et t t xt t t t t xt xx .(5)111])11()11[(lim 1)11(1lim )1(lim 222=⋅=+-=-=-∞→∞→∞→eex x x x x x x x x x x x .(6)33103tan 3cot 2])1(lim [)1(lim )tan 31(lim 22e t t x t t t t xt xx =+=+=====+→→=→.(7)3213ln 233sin lim3)21ln(lim 233sin 3)21ln(2lim3sin )21ln(lim 02102100=⨯=+=⋅+=+→→→→e xx x xx x x x x x x xx xx x .(8)2ln 2)21ln(2lim )21ln(lim ]ln )2[ln(lim 2==+=+=-+∞→∞→∞→e nn n n n n nn n n .3、利用极限存在准则证明：(1) 1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n . 证明：由于πππππ+≤++++++≤+2222222)1211(n n n n n n n n n n ，而111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n ππ, 111lim lim 222=+=+∞→∞→nn n n n ππ, 所以1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n .(2)设},,,m ax {21m a a a A =,),,2,1,0(m i a i =>,则有 A a a a n nm n n n =+++∞→ 21lim.证明：由于n n n n n m n n nn m A mA a a a A A =≤+++≤=21，而A A m A m A n n n n =⋅==∞→∞→1lim lim , 所以A a a a n n m n n n =+++∞→ 21lim .(3)设21=x ,12-+=n n x x , ,3,2=n ,证明数列}{n x 存在极限并求之.证明：①显然221<=x ,假设21<-n x ,有22221=+<+=-n n x x , 因此,20<<n x , ,3,2,1=n ；②由于11222x x x =>+=,假设1->n n x x ,有n n n n x x x x =+>+=-+1122因此,}{n x 为单调递增数列；③由①②知, 数列}{n x 必存在极限. ④假设a x n n =∞→lim ，显然有20≤≤a ，且a x x a n n n n +=+==-∞→∞→22lim lim 1，即022=--a a ，得2=a (1-=a 舍去), 所以2lim =∞→n n x .(4)数列21=x ,)1(211nn n x x x +=+的极限存在. 证明：①显然121≥=x ,而11221)1(211=⋅⋅⋅≥+=+nn n n n x x x x x , ②由于0121121221)1(21221=⋅-≤-=-=-+=-+n n n n n n n n n x x x x x x x x x , 即n n x x ≤+1,因此,}{n x 为单调递减数列；③由①②知,21≤≤n x , ,3,2,1=n ,因此数列}{n x 的极限必存在.4、某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？ 解：设0A 为发行时每份债券的价格,年利率为%5.6=r ,10=k 年后每份债券一次偿还本息1000=k A 元,若以连续复利计算利息,则krk e A A 0=,即065.01001000⨯=eA ,得05.5521000065.0100==⨯-eA (元).习题2-61、当0→x 时,下列各函数都是无穷小,试确定哪些是x 观的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？ (1) x x +2；解：因为1)1(lim lim020=+=+→→x x xx x x , 所以x x x ~2+,)0(→x .(等价无穷小)(2) x x sin +； 解：因为211)sin 1(lim sin lim00=+=+=+→→x xx x x x x ,所以)(2x O x x =+,)0(→x . (同阶无穷小)(3) x x sin -； 解：因为011)sin 1(lim sin lim00=-=-=-→→x xx x x x x ,所以)(2x o x x =+,)0(→x . (高阶无穷小)(4) x 2cos 1-；解：因为0102)sin sin 2(lim sin 2lim 2cos 1lim0200=⋅⋅===-→→→x xx x x x x x x x , 所以)(2x o x x =+,)0(→x . (高阶无穷小)(5) x tan ； 解：因为111)cos 1sin (lim tan lim00=⋅=⋅=→→xx x x x x x ,所以x x ~tan ,)0(→x .(等价无穷小)(6) x 2tan . 解：因为221)2cos 222sin (lim 2tan lim00=⋅=⋅=→→xx x x x x x ,所以)(2tan x O x =,)0(→x . (同阶无穷小)2、证明当0→x 时,有： (1) x x ~arctan ；证明：因为111sin cos lim tan lim arctan lim 00arctan 0========→→=→tt t t t x x t t x t x ,所以x x ~arctan ,)0(→x .(2) 221~1sec x x -； 证明：因为1)2(2sin lim 2sin 22limcos )cos 1(2lim 211sec lim2202202020==⋅=-=-→→→→xxx x x x x xx x x x x ,所以221~1sec x x -,)0(→x .(3) 221~1sin 1x x x -+； 证明：因为1101121sin 1sin 2lim 211sin 1lim 020=++⋅=++⋅=-+→→x x x xxx x x x , 所以221~1sin 1x x x -+,)0(→x .(4) 222~11x x x --+.证明：因为101012112lim 11lim2202220=-++=-++=--+→→xx x x x x x , 所以222~11x x x --+,)0(→x .3、利用等价无穷小的性质,求下列极限：(1) 11lim 2121lim cos 11sin 1lim 02200===--+→→→x x x xxx x x . 其中：221~1sin 1x x x -+,221~cos 1x x -,)0(→x .(2) 22lim 2lim tan )1(2sin lim 02020==⋅=-⋅→→→x x x x x x x x e x . 其中：x x 2~2sin ,x e x ~1-,22~tan x x )0(→x .(3) 52)52(lim 52lim 5sin )21ln(lim000-=-=-=-→→→x x x x x x x .其中：x x 2~)21ln(--,x x 5~5sin ,)0(→x .(4) 21cos 21lim cos 21lim cos sin cos 1lim sin sin tan lim 02202030===-=-→→→→x x x xx x x x x x x x x x . 其中：221~cos 1x x -,x x ~sin )0(→x .(5) 2121lim 21lim sin cos 1lim )tan 1sin 1(1lim 022000===-=-→→→→x x x x x xx x x x x x . 其中：221~cos 1x x -,x x ~sin )0(→x .(6) 22lim )(21lim cos 1lim 22022020m m x mx x mx x x x ===-→→→. 其中：0≠m 时,2)(21~cos 1mx mx -,)0(→x ,而0=m 时,0)(21cos 12==-mx mx .4、证明无穷小的等价关系具有下列性质： (1) αα~(自反性)； 证明：因11lim lim==αα,所以αα~.(2) 若βα~,则αβ~(对称性)； 证明：已知βα~,因1111lim lim===βααβ,所以αβ~.(3) 若βα~,γβ~,则γα~(传递性). 证明：已知βα~,γβ~,因111lim lim )lim(lim=⋅=⋅=⋅=γββαγββαγα, 所以γα~习题2-71、研究下列函数的连续性,并画出函数图形：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=.1 ,1,11 ,,1 ,1)(2x x x x x f 解：显然,函数)(x f 在)1,(--∞,)1,1(-以及),1(+∞连续.由于)(lim 11lim )(lim 1211x f x x f x x x -++-→-→-→=-≠==,则)(x f 在1-=x 间断；由于)(lim 1)1(lim )(lim 1211x f f x x f x x x +--→→→====,则)(x f 在1=x 连续.总之,函数)(x f 在)1,(--∞,),1(+∞-连续,在1-=x 间断.(2) ⎩⎨⎧≤<-≤≤=.21,2,10 , )(2x x x x x f 解：显然,函数)(x f 在)1,0[,]2,1(连续. 由于1lim )(lim 211==--→→x x f x x ,有)(lim )1(112)2(lim )(lim 111x f f x x f x x x -++→→→===-=-=,则)(x f 在1=x 连续.总之,函数)(x f 在]2,0[连续.2、确定常数b a ,使下列函数连续：(1) ⎩⎨⎧>+≤=.0 ,,0 , )(x a x x e x f x解：显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续.由于1lim )(lim 00===--→→e e x f x x x ,a a a x x f x x =+=+=++→→0)(lim )(lim 00,欲使)(x f 在0=x 连续,只需)0(1)(lim )(lim 0f x f x f x x ===-+→→,即1=a . 因此,仅当1=a 时,函数)(x f 在),(+∞-∞连续.(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=.0 ,sin ,0 ,2 ,0 ,)31ln()(x xax x x bxx x f 解：显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续.由于bb bx x bx x x f x x x x 33lim 3lim )31ln(lim )(lim 0000-=-=-=-=----→→→→,)0(≠b ,⎪⎩⎪⎨⎧==≠=⋅==+++→→→.0 ,0,0 ,)sin (lim sin lim )(lim 000a a a a axax a x ax x f x x x , 欲使)(x f 在0=x 连续,只需)0(2)(lim )(lim 0f x f x f x x ===+-→→,有 23==-a b , 即2=a , 23-=b . 因此,仅当2=a ,23-=b 时,函数)(x f 在),(+∞-∞连续.3、下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类型,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.(1) 65422+--=x x x y , 2=x ,3=x ；解：32)3)(2()2)(2()(-+=--+-==x x x x x x x f y , 2≠x .①由于4322232lim )(lim 22-=-+=-+=--→→x x x f x x ,)(lim 4322232lim )(lim 222x f x x x f x x x -++→→→=-=-+=-+=, 可见, 2=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点. 欲使)(x f 在2=x 连续,只需定义4)2(-=f 即可.②由于∞=-+=→→32lim )(lim 33x x x f x x ,可见, 3=x 是函数)(x f y =的无穷间断点,属第二类间断点.(2) xxy sin =, πk x =,),2,1,0( ±±=k ； 解：xxx f y sin )(==, πk x ≠,),2,1,0( ±±=k .①由于1sin lim )(lim 00==--→→xxx f x x ,)(lim 1sin lim )(lim 000x f x xx f x x x -++→→→===, 可见, 0=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点. 欲使)(x f 在0=x 连续,只需定义1)0(=f 即可.②由于∞==-→→xxx f k x k x sin lim )(lim ππ,),2,1( ±±=k可见,πk x =,),2,1( ±±=k 是函数)(x f y =的无穷间断点,属第二类间断点.(3) xy 1cos3=, 0=x ； 解：xx f y 1cos )(3==, 0≠x .显然函数)(x f y =有界, 由于xx f x x 1cos lim )(lim 300→→=不存在,可见, 0=x 是函数)(x f y =的振荡间断点,属第二类间断点.(4) ⎩⎨⎧>-≤-=.1 ,54,1 ,12x x x x y 1=x .解：⎩⎨⎧>-≤-==.1 ,54,1 ,12)(x x x x x f y由于1)12(lim )(lim 01=-=--→→x x f x x , )(lim 13)52(lim )(lim 111x f x x f x x x -++→→→=≠-=-=,可见,1=x 是函数)(x f y =的跳跃间断点,属第一类间断点.4、求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解：21)3)(2()3)(1(633)(22223--=+-+-=-+--+=x x x x x x x x x x x x f ,3-≠x .显然,函数)(x f 在)3,(--∞,)2,3(-以及),2(+∞连续.5821lim )(lim 233-=--=-→-→x x x f x x ,∞=--=→→21lim )(lim 222x x x f x x , 2121lim )(lim 200=--=→→x x x f x x .5、求下列极限： (1) 33020)32(lim 32lim22020=+⋅-=+-=+-→→x x x x x x . (2) 00)2(cos )]42[cos()2cos lim ()2(cos lim 3333434===⋅==→→ππππx x x x . (3) 2)1(2211111lim e e t e t t -=--=--⨯---→. (4) ππππ222sin sin lim 2==→x x x .6、求下列极限： (1) 1lim lim 0011=====→=∞→e e e t t xt x x . (2) )]21cos[ln(lim )]121cos[ln(lim 2012t t x x t x t x -+===-+→=∞→ 10cos )]0021cos[ln()]}21(lim cos{ln[220==-⨯+=-+=→t t t .(3) )1ln(lim 1lim )1(lim lim 010020t t xe x e e x e e t e t x x x x x x x x x +-====-=-=-→-=→→→ 1ln 1)1ln(1lim 10-=-=+-=→e t tt .(4) 202022)1(cos 4lim )]1(cos 1ln[4lim cos ln 4040lim )(cos lim x x x x x x x x x x x e e e x --+→→→→=== 2)2(lim 24lim 0220--⋅-===→→e e e x x x x .7、讨论函数x nx n n e ex x x f ++=∞→1lim )(2的连续性,若有间断点,判别其类型.解：①当0<x 时,x x x e ex x x f x nxnn =+⋅+=++=∞→0101lim )(22； 当0>x 时,2221001lim )(x x x ex xe x f x nxnn =++⋅=++=--∞→, 所以⎩⎨⎧>>=.0 ,,0 ,)(2x x x x x f ②显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续,在0=x 点间断点.③由于0lim )(lim 00==--→→x x f x x , )(lim 0lim )(lim 0200x f x x f x x x -++→→→===, 可见,0=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点.习题2-81、试证下列方程在指定区间内至少有一个实根：(1) 0135=--x x ,在区间)2,1(；证明：显然]2,1[13)(5C x x x f ∈--=,由于03)0(<-=f ,025)2(>=f ,由零点定理知,)2,1(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即01325=--ξξ,所以方程 0135=--x x 在)2,1(内至少有一个根ξ.图形> plot(x^5-3*x^2-1,x=1..2);(2) 2-=x e x ,在区间)2,0(.证明：显然]2,0[2)(C x e x f x∈--=,由于01)0(<-=f ,03)2(2>-=e f , 由零点定理知,)2,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即02=--ξξe ,所以方程 2-=x e x 在)2,0(内至少有一个根ξ.图形> plot(exp(x)-x-2,x=0..2);2、设)(x f 在],[b a 上连续,且b d c a <<<,证明在],[b a 内必存在一点ξ使)()()()(ξf n m d nf c mf +=+,其中n m ,为自然数.证明：若n m ,全为零,则结论显然成立；若n m ,不全为零,因],[)(b a C x f ∈,知)(x f 在],[b a 上存在最小值和最大值βα,, 令)()(d f nm n c f n m m +++=λ,由于 ββαα=++≤+++≤++=nm m m d f n m n c f n m m n m m m )()( 即βλα≤≤,又因],[)(b a C x f ∈,则必],[b a ∈∃ξ..t s λξ=)(f ,即)()()()(ξf n m d nf c mf +=+.3、设函数)(x f 在]2,0[a 上连续,且)2()0(a f f =,证明在],0[a 内至少存在一点ξ,使)()(a f f +=ξξ.证明：若)()0(a f f =,则结论显然成立；若)()0(a f f ≠,已知]2,0[)(a C x f ∈,显然],0[)()()(a C a x f x f x F ∈+-=,由于)]2()()][()0([)()0(a f a f a f f a F F --=0)]()0([)]0()()][()0([2<--=--=a f f f a f a f f ,由零点定理知,),0(a ∈ξ..t s 0)(=ξF ,即)()(a f f +=ξξ.4、一个登山运动员从早晨7:00开始攀登某座山峰,在下午7:00到达山顶,第二天早晨7:00再从山顶沿着原路下山,下午7:00到达山脚,试利用介值定理说明,这个运动员必在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点.证明：用)(x f 和)(x g 表示第一天和第二天运动员在时刻x )197(≤≤x 时距山脚的距离,显然]19,7[)(),(C x g x f ∈,假设山顶距山脚的距离为0>s ,那么,有0)19()7(==g f ,而s g f ==)0()19(,显然]19,7[)()()(C x g x f x F ∈-=,由于0)]19()19()][7()7([)19()7(2<-=--=s g f g f F F ,由零点定理知,)19,7(∈ξ..t s 0)(=ξF ,即)()(ξξg f =,说明运动员必在这两天的相同时刻ξ经过登山路线的同一地点,此时距山脚的距离为)(ξf .友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。
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第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]6、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）.A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]10、函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1. [单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.A、B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确.[单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个. [单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=.[单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]24、极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】 x=1时，分母为0，无意义。
x=0时，分子的指数分母为0，无意义。
[单选题]26、极限（）．A、－∞B、0C、1D、＋∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P48～50．（2015年4月真题）[单选题]27、函数的所有间断点为（）．A、x＝0，x＝1B、x＝0，x＝2C、x＝1，x＝2D、x＝0，x＝1，x＝2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考查间断点，由定义可知答案为D。
参见教材P64．（2015年4月真题）[单选题]28、设函数f（x）＝2x2，g（x）＝sin x，则当x→0时（）．A、f（x）是比g（x）高阶的无穷小量B、f（x）是比g（x）低阶的无穷小量C、f（x）与g（x）是同阶但非等价的无穷小量D、f（x）与g（x）是等价无穷小量【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】当x→0时，sin x和x是等价无穷小量，2x2是x的高阶无穷小量．所以选择A．参见教材P59～61。
（2014年4月真题）[单选题]29、设函数在x＝2处连续，则（）．A、a＝1，b＝4B、a＝0，b＝4C、a＝1，b＝5D、a＝0，b＝5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】在x＝2点连续，那么在这一点左右极限相等，且等于该点函数值．所以有3x2－4＋a＝b＝x＋2，解得a＝0，b＝4，选B．参见教材P63～64。
（2014年4月真题）[单选题]30、若函数在x＝0处连续，则常数k＝（）．A、1B、2C、3D、4【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】在x＝0点连续，因此因此选择D．参见教材P63～64。
（2014年10月真题）[单选题]31、函数的间断点的个数为（）．A、1B、2C、3D、4【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】解得x＝±1．因此选择B．参见教材P64。
（2014年10月真题）[单选题]32、设函数，则为（）。
A、不存在B、0C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】。
参见教材P48。
[单选题]33、当时，下列变量为无穷小量的是（）。
A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当时，，，，。
参见教材P59。
[单选题]34、极限=（）.A、-2B、0C、2D、﹢∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P48。
[单选题]35、函数的所有间断点是（）.A、0B、-1C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】根据间断点的定义可知，均是函数的间断点。
参见教材P64。
[单选题]36、极限=（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】等于最高次项的系数之比。
故选B。
[单选题]37、极限的所有间断点为（）.A、x=-1B、x=2C、x=2D、x=2，x=3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当x=2，x=3时，f(x)没有意义，所以极限的所有间断点为2，3。
故选D。
[单选题]38、极限（）.A、0B、C、D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】等于最高次项的系数之比。
故选C。
参见教材P52。
[单选题]39、函数的全部间断点为（）.A、x=－1及x=4B、x=－1及x=－4C、x=1及x=－4D、x=1及x=4【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】当x=1，x=－4时，f(x)没有意义，所以函数的全部间断点为x=1，x=－4。
故选C。
参见教材P64。
[解答题]40、极限=_________．【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题【答案解析】[解答题]41、极限_________.【从题库收藏夹删除】【正确答案】 1【您的答案】您未答题【答案解析】。
[解答题]42、讨论函数在x=0处的连续性．【从题库收藏夹删除】【正确答案】，，所以在x=0处连续。
【您的答案】您未答题[解答题]43、设求.【从题库收藏夹删除】【正确答案】故【您的答案】您未答题[解答题]44、计算【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题[解答题]45、证明方程在区间(0,1)内必有根.【从题库收藏夹删除】【正确答案】设则在[0,1]上连续，当时，当时，即根据零点定理：存在，使得即在区间(0,1)内必有根.【您的答案】您未答题[解答题]46、设，在内连续，求的值.【从题库收藏夹删除】【正确答案】要使在内连续，则保证在和点连续，在处，所以，在处，所以.【您的答案】您未答题[解答题]47、计算极限【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题[解答题]48、计算【从题库收藏夹删除】【正确答案】此题是0/0型，所以用洛必达法则上下求导得到此题还可以用等价替换来做【您的答案】您未答题[解答题]49、求a的值，使得函数f(x)=在x=0处连续.【从题库收藏夹删除】【正确答案】，所以当时函数f(x) 在x=0处连续.【您的答案】您未答题[解答题]50、求极限．【从题库收藏夹删除】【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P55～58．（2015年4月真题）[解答题]51、求常数a的值，使函数在x＝0处连续．【从题库收藏夹删除】【正确答案】a＝1【您的答案】您未答题【答案解析】当x≠0时，当x＝0时，f(x)＝a．由于函数在x＝0处连续，所以a＝1．参见教材P63～64．（2015年4月真题）[解答题]52、求极限．【从题库收藏夹删除】【正确答案】－3【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P59～61．（2015年4月真题）[解答题]53、求极限．【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P48～50。