命题逻辑1

0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
说明：
1、自然语言里 ，“只要p, 就q”, “因为p, 所以q”, “p仅当q”,
“只有q才p”, “除非q才p”, “除非q, 否则非p” 等叙述方式都应 符号化为p→q 。 2、在数理逻辑中, p与q可以无任何内在联系 。
蕴涵联结词
例 将下列命题符号化 只要不下雨，我就骑车上班。 只有不下雨，我才骑车上班。 如果3+3＝6, 则雪是白的。 因为下雨了，所以我不骑车上班。 除非下雨，否则我骑车上班。 4是偶数仅当5是奇数。 只有4是偶数，5才是奇数。 除非 4是偶数，否则5不是奇数。 ┐p → q q → ┐p p→q p → ┐q ┐p → q 或 ┐q → p p→q q → p或 ┐ p → ┐q
例
（1） （2） （3）
用符号形式表示下列命题 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校。 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。 如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。
（4）
只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。
解 令p：明天早上下雨； q：明天早上下雪；
r：我去学校。
（1）（p∨q）→ ¬ r （2）（¬ ∧¬ p q）→r （3）¬ (p∧q）→r （4）r→（¬ ∧¬ q） p
定义 设p为命题, 复合命题“非p”(或“p的否定”) 称为p的否定式,记作┐p, 符号┐称作否定联结词
P 1
0
¬ P 0
1
例 设p：上海是一个城市；
q：每个自然数都是偶数。
则 ¬ p：上海不是一个城市; ¬ q：并非每个自然数都是偶数。
合取联结词(conjunction)
定义 设p,q为二命题, 复合命题“p并且q”(或 “p与q”)称为p与q的合取式, 记作p∧q, ∧ 称作合取联结词。
简单命题(原子命题)：简单的陈述句。 观察下面例子： 1、李力既是三好学生又是足球队员。 2、张平或者正在钓鱼或者正在睡觉。 3、如果明天天气晴朗，那么我们举行运动会。 4、12不是素数。 复合命题(compound statement)：由一个或几 个原子命题通过联结词联结而成的命题。
否定联结词(negation)
1.2 命题公式
命题公式的概念
命题常元 命题变元
命题公式
公式层次
命题公式的解释
公式的解释、成真赋值、成假赋值 真值表 公式类型
1.2 命题公式
一、 命题公式的概念
1. 命题常元 简单命题（命题逻辑的最基本的研究单位）称 为命题常元或命题常项，用一个英文字母表示。 2．命题变元 称真值可以变化的陈述句为命题变元或命题变 项，它是一个没有指定具体内容的英文字母。 说明： 命题变元不是命题。 一个命题变元当没有对其赋予内容时，它的真 值不能确定，一旦用一个具体的命题代入，它 的真值就确定了。
命题逻辑
命题符号化 命题公式的赋值 公式的等值
命题逻辑推理理论
公式的标准形式
1.1 命题符号化
命题相关概念 联结词 命题符号化
1.1 命题符号化
一、 命题(statement)的概念
命题：是能判断真假的陈述句。 命题的真值：作为命题的陈述句所表达的判断结果。 真值只取两个值：真(1)或假(0) 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 判断给定句子是否为命题分两步： 1、判定它是否为陈述句 2、判断它是否有唯一的真值
张晓静爱唱歌或爱听音乐
张静只能挑选202或203房间 王平要么选修法语要么选修德语 小米是湖南人或湖北人 解： p∨q (t∧┐u)∨(┐t∧u) (p∧┐q)∨(┐p∧q) p∨q 或(p∧┐q)∨(┐p∧q)
蕴涵联结词(implication)
定义 设p, q为二命题,复合命题“如果p, 则q” 称作p与q的蕴涵式, 记作p→q, →称作蕴涵 联结词。称p是蕴涵式的前件，称q是蕴涵 式的后件。 p q p→q
例
(┐p∧q)→r, (┐(p→┐q))∧((r∨s) ↔ ┐p)分别为3层和4层公式
二、公式的赋值
例
下列符号串是否为命题公式。 （1） p→(q∧pr）； 不是命题公式
（2）（p∨q）→（¬ （q∧r））
是命题公式
4. 公式层次
定义 (1)若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式 (2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： (a) A＝┐B, B是n层公式； (b) A＝B∧C, 其中B, C分别为i层和j层公 式, 且n＝max(i, j)； (c) A＝B∨C, 其中B, C的层次及n同(b)； (d) A＝B→C, 其中B, C的层次及n同(b)； (e) A＝B ↔ C, 其中B, C的层次及n同(b)； (3)若公式A的层次为k, 则称A是k层公式。
四、 离散数学课程的主要内容
第一部分 数理逻辑 包括命题逻辑和一阶逻辑 第二部分 集合论 包括集合、二元关系和函数 第三部分 代数系统 包括代数系统的一般概念、几 类典型的代数系统 第四部分 图论 包括图的基本概念、几种特殊的图
离散数学课程的主要内容可以分为相对独立的四个部分：
五、 参考书目
1. 《离散数学题解》 屈婉玲等编 清华大学出版社 高等教 2. 《离散数学学习指导与习题解析》耿素云等 育出版社
3. 《Leabharlann Baidu散数学》 孙吉贵等编 高等教育出版社
4. 《离散数学学习指导与习题解答》孙吉贵等 育出版社 5. 《离散数学学练考》王海艳 清华大学出版社 高等教
6. 《离散数学——习题与解析》胡新启等 版社
清华大学出
7. 《离散数学》 姜泽渠等编 重庆大学出版社
六
教学要求
1. 准备好课堂笔记本，记录课堂进度，做好课堂 练习。 2. 作业使用统一的单页纸书写，于下次课前由学 委收齐后交上来。 3. 上课迟到以旷课论, 缺勤达到一定次数不得参 加期末考试。 4. 作业未按时交或非独立完成，一次扣除平时成 绩5分。
例
用符号形式表示下列命题
（1）我们不能既划船又跑步。 （2）如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。 （3）假如上午不下雨，我去看电影，下雨就在家里看书。
（4）如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。
解 （1） ¬ (p∧q） （2） p→（q↔r） （3）（¬p → q）∧（p→r） （4）（p∧¬ q）→（r∨s）
要学好这门课程，首先必须充分认识到这门课程的 上述特点，需要做到以下几点： 1、注重课堂效率，熟读教材。准确理解各个概念和定理 的含义（结合多个例子来理解），必要的推理过程要看懂、 理解（它可以帮助你熟悉和深刻理解定理的含义）。 2、独立思考，做好习题。仅靠熟读教材并不能将书上的 知识变成你自己的知识，在熟读教材的基础上，必须通 过大量练习，独立思考来真正获取知识。 3、注重抽象思维能力的训练。数学与其他学科相比较具 有较高的抽象性，而离散数学的抽象性特点更为显著，它 有着大量抽象的概念和抽象的推理，要学好这门课程必须 具有较好的抽象思维能力，才能深入地掌握课程内容。
3. 命题公式
命题公式是由0、1、命题常元、命题变元以及命题 联结词、括号等组成的符号串。 定义 （命题公式的递归定义）
（1） 0，1，命题常元是命题公式； （2） 命题变元是命题公式； （3） 如果A是命题公式，则¬ A是命题公式； （4） 如果A和B是命题公式，则（A∨B）， （A∧B）,(A→B）,(A↔ B）也是命题公式； 有限次地利用上述（1）—（4）而产生的符号串是命题公式， 又称为合式公式，简称公式。
离散数学
distinct mathematics
主讲教师
姚 敏
E-mail:371698479@qq.com
课 程 说 明
一、离散数学课程的地位和作用
离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散 量的结构及相互关系的学科，在计算机理论研究及 软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用，是计 算机科学与技术专业的一门核心基础课程。
命题联结词
以上定义了五种最基本、最常用、也是 最重要的联结词┐, ∧, ∨, →, ↔ , 将它们组 成一个集合{┐, ∧, ∨, →, ↔}, 称为一个联 结词集。其中┐为一元联结词, 其余的都是 二元联结词。 联结词可以嵌套使用, 在嵌套使用时, 规 定如下优先顺序： ( ), ┐, ∧, ∨, →, ↔, 对 于同一优先级的联结词, 先出现者先运算。
第一部分
数理逻辑
数理逻辑是用数学方法研究思维规律的一门学科。 所谓数学方法是指:用一套数学的符号系统来描述和处理 思维的形式与规律。因此, 数理逻辑又称为符号逻辑。数 理逻辑和计算机的发展有着密切的联系，为机器证明、 自动程序设计、逻辑电路等计算机应用和理论研究提供 了必要的理论基础。 德国的哲学家和数学家莱布尼茨被认为是数理逻辑 的创始人，他提出表意的符号语言和思维演算的思想。 从17世纪70年代莱布尼茨数理逻辑思想的提出，一 直到19世纪末20世纪初，由于德国的弗雷德、英国的罗 素等人的工作，逻辑演算得以建立，这是数理逻辑的基 础，也就是离散数学中要介绍的命题逻辑和谓词逻辑。
析取联结词(disjunction)
定义 设p,q为二命题, 复合命题“p或q”称为p 与q的析取式, 记作p∨ q, ∨称作析取联结词。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
说明：
自然语言中的“或”具有二义性，用它联结的 命题在符号化时要区分相容或和排斥或。
析取联结词
例 将下列命题符号化
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1
说明：
1、“既……又……”、“不但……而且……”、“虽 然……但是……”、“一面……一面……”等联结而成 的复合命题一般符号化为合取式。 2、命题中出现“与”、“和”不一定就用∧联结词。
合取联结词
例 将下列命题符号化 李平既聪明又用功 李平虽然聪明但不用功 李平不但聪明而且用功 李平不是不聪明而是不用功 李文和李武是兄弟 王芳和陈兰都是好学生 兰色和黄色可以调成绿色 兰色和黄色都是常用颜色 小李一边吃苹果一边看电视 p∧q p ∧ ┐q p∧q ┐ ┐ p ∧ ┐q r p∧q s p∧q p∧q
三、命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化，基本 步骤如下： 1、从语句中分析出各原子命题，将它们符号化； 2、使用合适的命题联结词，把原子命题逐个联结起 来，组成复合命题的符号化表示。
例
（1） （2） （3） （4） 用符号形式表示下列命题 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校。 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。 如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。 只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。
例 判断下列语句是否是命题 （1）空气是人生存所必需的。 （2）请把门关上。 （3）南京是中国的首都。 （4）你吃饭了吗？ （5）x=3。 （6）啊，真美呀！ （7）明年春节是个大晴天。 （8）这句话是假话。
著名的理发师悖论——理发师给不给自己刮胡子
“我只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子！”
二、逻辑联结词(logical connectives)
1、离散数学为计算机专业的后继课程如数据结构、操作系 统、数据库原理、编译原理、网络和算法设计、人工智能等 课程提供必要的数学基础。 2、通过该课程的学习可以提高学生的抽象思维、严格的逻 辑推理以及综合归纳分析能力。 3、为学生今后从事计算机科学和技术理论研究，软、硬件 开发和应用提供有力的工具，增强学生使用离散数学知识分 析问题与解决实际问题的能力。
等价联结词(equivalence)
定义 设p, q为二命题,复合命题“p当且仅当q” 称作p与q的等价式, 记作p ↔ q, 称作等价 联结词。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↔q 1 0 0 1
命题符号化练习：
1、经一事长一智，不经一事不长一智。 2、黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数。
二、离散数学课程的特点
离散数学课程是应计算机科学和技术发 展的需要，综合了现代数学的多个分支而形 成的。其特点是以离散量为研究对象，内容 丰富，涉及面较宽。因此概念多、定理多、 推理多并且内容较为抽象。但由于它是为学 生后继专业知识的学习做必要的数学准备， 因此它研究的内容均比较基础。
三、如何学好离散数学