7第七章7-1非正弦周期函数的傅里叶级数展开式

k 1

f (t ) a0 [ a k cos(kt ) bk sin(kt )]
k 1

(7-1)
其中：
2π / T 2π f
1 T a0 f (t )dt T 0
是角频率, T是 f ( t )的周期。
2 T 1 2 ak f (t ) cos ktdt f (t ) cos ktd (t ) T 0 0 2 T 1 2 bk f (t ) sin ktdt f (t ) sin ktd (t ) T 0 0
f (t )
T
O
T /2
t
1 T a0 f (t )dt 0; T 0
2 T a k f (t ) cos ktdt 0 T 0
2 T 2 T /2 bk f (t ) sin ktdt f (t ) sin ktdt 0 T / 2 T T 4 T /2 f (t ) sin ktdt T 0
A 2A 1 f (t ) （ 2n 1 sin[ 2n 1)t ] 2 n 1
说明: 式中引入新的正整数 n 以区别原来的正整数 k 。
2A π
A 2
振幅频谱和相位频谱
直流 分量
2A 3π 2 A 2 A
5π
A/ 2
O 2A/ π
(a)
t
7π
O
2A 9π
k
O
3 5 7 9 k

T /2
0
f (t ) dt
取绝对值是将负值部分反号，即“全波整流”，就是“全波 整流”后的平均值。
例7-4:求正弦电压的平均值，并有效值与平均值之比;
解：已知：u(t)=Umsinωt · 平均值为:
U av 2 T

T 2 0
2U m 1 U m si n t d t ( ) cos t T
（3）f(t)函数为奇谐波函数：f(t)=－f(t+T/2)； 即：相隔 半个周期的函数值大小相等，符号相反；也称为半波对 称（镜对称）函数；
f (t )
t
T /2
O
T /2
T
1 T a0 f (t )dt 0 T 0
0 k为偶数 4 T /2 ak 0 f (t ) cos ktdt k为奇数 T 0 k为偶数 4 T /2 bk T 0 f (t ) sin ktdt k为奇数
A, 当0 t T / 2 f (t ) 0, 当T / 2 t T
T /2 2 T /2 2A bk A sin(kt )dt ( cos kt ) 0 T 0 kT
T 2
2A A , k 1,3,5,... (1 cos(k ) k k 0, k 2,4,6,...
第七章
非正弦周期电流电路的分析
随着科技的发展，非正弦周期函数的电流和电压愈加普 遍。本章介绍应用傅里叶级数和叠加定理分析非正弦周期 电流电路的方法，讨论非正弦周期电流、电压有效值和平 均功率的计算，简要介绍非正弦周期信号频谱的概念;
本章内容：
7.1 非正弦周期函数傅立叶级数展开式 7.2非正弦周期量的有效值和平均值、平均功率★ 7.3 正弦周期电流电路的稳态分析★★
7.2
非正弦周期量的有效值 平均功率
基本要求：理解非正弦周期量的有效值和平均功率的定义。
有效值：周期量的有效值等于其瞬时值的方均根值
1 U T

T
0
u 2 dt
1．函数 f ( t ) 在一个周期内的表达式，直接代入上式。
例7-2： 计算方波的有效值
f(t) A
t
O
解 ：
1 T F f (t ) 2 dt T 0
uS
t
uS
t
O
(a)
O
方波和锯齿波电压
(b)
引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 1. 非正弦周期电流的产生 3 ） 有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。
i
ui
D
uo
t t
ui

R
uo
O
(b) 二极管整流电路及半波整流电压
O
(c)
(a)
响应也是非正弦周期量，如何求响应？
T 2

2U m

0
0.64U m
· 有效值为:
U
Um 2
0.707 U m
· 有效值与平均值之比:
Um U 1.11 Uav 2 2U m 2 2
或
VaU=0.9U
7.2．非正弦周期量的有效值 平均功率
3.非正弦周期电流电路的平均功率 设一端口网络的端口电压、电流取关联参考方向，则其输 入的瞬时功率为 p=u i 平均功率就是瞬时功率在一周期内的平均值，即
1 T 0 Amk cos(kt k ) Amq cos(qt q )dt 0, q k T
7.2．非正弦周期量的有效值 平均功率
2．正弦级数形式求有效值
有效值：
A
1 T
2

T
0
[ A0 Am k cos(kt k )]2 d t
k 1


A
Ao
1 ） 当电路中有多个不同频率的电源同时作用
R1 US R2
L
U m sin t
R
引起的电流或电压便是非正弦周期电流， 解决方法是？
根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 1. 非正弦周期电流的产生 2 ） 非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波）
这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后 求解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加 。 对非正弦周期电流电路的分析方法：谐波分析法
§71 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式
1．傅里叶级数
周期函数
f ( t ) = f ( t + kT )
( k = 1, 2, 3, … )
1 2 Amk k 1 2

Ao A1 A2
2 2 2
式中 A1 Am1 / 2、A2 Am2 / 2 基波、二次谐波…的有效值
有效值等于恒定分量、基波分量与各谐波分量有效 值的平方和的平方根。
例7－3：
已知周期电流 i [1 0.707 cos(t 20 ) 0.42 cos(2t 50 )]A，求其有 效值。 解：
若满足狄里赫利条件
(1)函数f ( t ) 在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t0，积分
t 0 T
即：
t0
f ( t ) dt
存在；
(2)函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个极大值和极小值； (3)函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个不连续点；
则f(t)可展开为傅里叶级数：
f (t ) a0 [ a k cos(kt ) bk sin(kt )]
§71 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式
f (t ) A0 Akm cos(kt ) k )
k 1
恒定分量（直流分量）
k =1 — 基波； Am1 — 基波振幅 ， 1 —基波初相 k =2,3称为高次谐波,收敛的，次数越高，振幅越小
2．谐波分析: 将周期函数分解为恒定、基波和各次谐波的方法；
k 1

(7-2)
应用相量运算可得：
ak Am k cos k
bk Am k sin k
a 0 A0
Amk a b
2 k
2 k
bk k arctg ak
根据周期函数的某些对称性，可以简化傅里叶系数的求解， 分别讨论三种情况： （1）f(t)函数为奇函数，f(t)=-f(-t)
因为ak=0，所以： f (t ) a 0
[b
k 1

k
sin(kt )]
A 2A 1 1 f (t ) [sin t sin 3t sin 5t ] 2 3 5
A 2A 1 2n 1 sin[2n 1)t ] 2 n 1
对于周期性的激励与响应，可以利用傅里 叶级数分解为一系列不同频率的简谐分量,再 根据叠加定理。所以线性电路对非正弦周期性 激励的稳态响应，等于组成激励信号的各简谐 分量分别作用于电路时所产生的响应的叠加。 而响应的每一简谐分量可用正弦稳态分析的相 量法求得。
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 1. 非正弦周期电流的产生
积分区间也可以取（-T/2,T/2）和（,）
f (t ) a0 [ a k cos(kt ) bk sin(kt )]
k 1

(7-1)
将式（7－1）中频率相同的项合并成一项，则可变形为：
在电路分析中，傅里叶级数的另一种形式；
f (t ) A0 Akm cos(kt ) k )
T 1 T /2 2 A 0 A dt T /0dt 2 2 T
T/2
T
7.2．非正弦周期量的有效值 平均功率
2．正弦级数形式求有效值
设 f (t ) A0 [ak cos(k t ) bk sin(k t )] A0 Amk cos(k t k )
1 T 1 T P pdt uidt T 0 T 0
设 u U 0 U mk co Nhomakorabea(k t uk )
A1 m
A2 m
A3 m
A4 m A
5m
A6 m