固定收益证券久期与凸度课件
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d(1 d P y)tT 1(1 tC yt)t 11 1yP D
对于P和1+y的微小变化，有
P D(1 y)
P
1y
（4-3）
这表明，债券价格的利率敏感性与久 期成比例。
2021/3/13
令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可 以写为
P D*y P
（4-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式 （4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积 。因此，修正久期可以用来测度债券在利率 变化时的风险暴露程度。
• 思考：在上面的例子中，2年期息票债券的久 期为1.8853年。如果有期限为1.8853年的一张 零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？
2021/3/13
– 4.2.3 什么决定久期
影响利率敏感性的因素包括到期期限 、息票利率和到期收益率。以下的8个法则 归纳了久期与这三个因素之间的关系。图42表明了这些法则。
久期法则8：当息票债券以面值出售时
，法则7可简化为
1 y[1 y
1 (1 y)T
]
2021/3/13
• 4.3 债券的凸度
– 4.3.1 久期的局限性
根据式（4-3’），债券价格变化的百分 比作为到期收益率变化的函数，其图形是一 条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化 时，可以这条直线对新产生的价格进行估计 。
期的价格变化百分比的直线相切于该点。
这说明，对于债券收益的微小变化，久期
可以给出利率敏感性的精确测度。但随着 收益变化程度的增加，对应于债券A和债券 B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔 ”不断扩大，表明久期法则越来越不准确 。
5）债券的息票利率越高/低，由收益变动 引起的价格变动的百分比越小/大。也就是说， 息票利率较高的债券，其价格的利率敏感性低 于息票利率较低的债券。
6）当债券的初始到期收益率较低时，价 格的利率敏感性较高。
图4-1中四种债券的收益-价格关系曲线可 以说明上述6条法则。
2021/3/13
– 4.1.2 影响利率敏感性的因素
久期法则1：零息票债券的久期等于它 的到期时间。
久期法则2：到期日相同时，债券的久 期随着息票利率的降低而延长。
久期法则3：当息票利率相同时，债券 的久期通常随着债券到期期限的增加而增 加，但久期的增加速度慢于到期期限的增 加速度。
2021/3/13
2021/3/13
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
第4章 久期与凸度
• 4.1 债券价格的利率敏感性 • 4.2 债券的久期 • 4.3 债券的凸度
2021/3/13
• 4.1 债券价格的利率敏感性
思考：如何从经济学意义上解释债券价格与 收益之间存在反向变动关系？
– 4.1.1 债券定价法则
关于债券价格的利率敏感性，以下6条 法则已经得到证明：
1）债券价格与收益呈反向变动关系：当 收益上升时，债券价格下降；当收益下降时 ，债券价格上升。
2021/3/13
2021/3/13
然而，从图4-1以及关于债券价格的利 率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变 化的百分比与收益变化之间的关系并不是
线性的，这使得对于债券收益的较大变化
，利用久期对利率敏感性的测度将产生明 显的误差。图4-3表明了这一点。债券A和 债券B在初始处有相同的久期，相应的两条 曲线在这一点相切，同时也与久期法则预
2）债券收益变化引起的价格变化具有不 对称性，即由收益上升引起的价格下降幅度 低于由收益的等规模（相同的基本点）下降 引起的价格上升的幅度。
2021/3/13
2021/3/13
3）长期债券比短期债券具有更强的利率 敏感性，即对于等规模的收益变动，长期债券 价格的变动幅度大于短期债券。
4）当到期期限增加时，价格对收益变化 的敏感性以一下降的比率增加，即债券价格的 利率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加 。
2021/3/13
表4-2 两种债券的久期计算
名称
(1)
至支付的 时间/年
债券A
8％债券
0.5
1.0
1.5
2.0
总计
债券B
零息票债券 0.5～1.5
2.0
总计
(2) 支付/元
40 40 40 1040
0 1000
(3)
半年5%折现 支付/元
(4) 权重
38.095 36.281 34.553 855.611 964.540
上述6条法则中的后面4条指出了影响 利率敏感性的三个主要因素，即到期期限 、息票利率和到期收益率。从表4-1中的 数据可以看出这三个因素是如何影响利率 敏感性的。同时，第1条和第2条法则也能 够由表中的数据得到体现。
2021/3/13
例、息票利率为8％（半年付息）和零 息票两种债券，到期期限都是2年，到期收 益率为10％。表4-2给出了这两种债券久期 的计算。结果表明，零息票债券的久期就等 于它的到期期限，而息票债券的久期比它的 到期期限短。 • 思考：结合上例，如何理解久期与到期期限 的区别？
例如，图4-3中的债券A为30年期、8％息 票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其 初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升 1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝ 0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修正 久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。 而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为 998.875元。
0.0395 0.0376 0.0358 0.8871 1.0000
0
0
822.70
1.0822.70Fra bibliotek1.0
(5) (1)×(4)
0.0198 0.0376 0.0537 1.7742 1.8853
0 2 2
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– 4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
久期法则5：无限期债券的久期为
1
y
y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1y y
(1
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
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久期法则7：息票债券的久期等于 1y 1yT(cy) y c[(1y)T1]y
这里，c为每个支付期的息票利率，T 为支付次数，y是每个支付期的年金收益率 。
对于P和1+y的微小变化，有
P D(1 y)
P
1y
（4-3）
这表明，债券价格的利率敏感性与久 期成比例。
2021/3/13
令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可 以写为
P D*y P
（4-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式 （4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积 。因此，修正久期可以用来测度债券在利率 变化时的风险暴露程度。
• 思考：在上面的例子中，2年期息票债券的久 期为1.8853年。如果有期限为1.8853年的一张 零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？
2021/3/13
– 4.2.3 什么决定久期
影响利率敏感性的因素包括到期期限 、息票利率和到期收益率。以下的8个法则 归纳了久期与这三个因素之间的关系。图42表明了这些法则。
久期法则8：当息票债券以面值出售时
，法则7可简化为
1 y[1 y
1 (1 y)T
]
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• 4.3 债券的凸度
– 4.3.1 久期的局限性
根据式（4-3’），债券价格变化的百分 比作为到期收益率变化的函数，其图形是一 条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化 时，可以这条直线对新产生的价格进行估计 。
期的价格变化百分比的直线相切于该点。
这说明，对于债券收益的微小变化，久期
可以给出利率敏感性的精确测度。但随着 收益变化程度的增加，对应于债券A和债券 B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔 ”不断扩大，表明久期法则越来越不准确 。
5）债券的息票利率越高/低，由收益变动 引起的价格变动的百分比越小/大。也就是说， 息票利率较高的债券，其价格的利率敏感性低 于息票利率较低的债券。
6）当债券的初始到期收益率较低时，价 格的利率敏感性较高。
图4-1中四种债券的收益-价格关系曲线可 以说明上述6条法则。
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– 4.1.2 影响利率敏感性的因素
久期法则1：零息票债券的久期等于它 的到期时间。
久期法则2：到期日相同时，债券的久 期随着息票利率的降低而延长。
久期法则3：当息票利率相同时，债券 的久期通常随着债券到期期限的增加而增 加，但久期的增加速度慢于到期期限的增 加速度。
2021/3/13
2021/3/13
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
第4章 久期与凸度
• 4.1 债券价格的利率敏感性 • 4.2 债券的久期 • 4.3 债券的凸度
2021/3/13
• 4.1 债券价格的利率敏感性
思考：如何从经济学意义上解释债券价格与 收益之间存在反向变动关系？
– 4.1.1 债券定价法则
关于债券价格的利率敏感性，以下6条 法则已经得到证明：
1）债券价格与收益呈反向变动关系：当 收益上升时，债券价格下降；当收益下降时 ，债券价格上升。
2021/3/13
2021/3/13
然而，从图4-1以及关于债券价格的利 率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变 化的百分比与收益变化之间的关系并不是
线性的，这使得对于债券收益的较大变化
，利用久期对利率敏感性的测度将产生明 显的误差。图4-3表明了这一点。债券A和 债券B在初始处有相同的久期，相应的两条 曲线在这一点相切，同时也与久期法则预
2）债券收益变化引起的价格变化具有不 对称性，即由收益上升引起的价格下降幅度 低于由收益的等规模（相同的基本点）下降 引起的价格上升的幅度。
2021/3/13
2021/3/13
3）长期债券比短期债券具有更强的利率 敏感性，即对于等规模的收益变动，长期债券 价格的变动幅度大于短期债券。
4）当到期期限增加时，价格对收益变化 的敏感性以一下降的比率增加，即债券价格的 利率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加 。
2021/3/13
表4-2 两种债券的久期计算
名称
(1)
至支付的 时间/年
债券A
8％债券
0.5
1.0
1.5
2.0
总计
债券B
零息票债券 0.5～1.5
2.0
总计
(2) 支付/元
40 40 40 1040
0 1000
(3)
半年5%折现 支付/元
(4) 权重
38.095 36.281 34.553 855.611 964.540
上述6条法则中的后面4条指出了影响 利率敏感性的三个主要因素，即到期期限 、息票利率和到期收益率。从表4-1中的 数据可以看出这三个因素是如何影响利率 敏感性的。同时，第1条和第2条法则也能 够由表中的数据得到体现。
2021/3/13
例、息票利率为8％（半年付息）和零 息票两种债券，到期期限都是2年，到期收 益率为10％。表4-2给出了这两种债券久期 的计算。结果表明，零息票债券的久期就等 于它的到期期限，而息票债券的久期比它的 到期期限短。 • 思考：结合上例，如何理解久期与到期期限 的区别？
例如，图4-3中的债券A为30年期、8％息 票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其 初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升 1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝ 0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修正 久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。 而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为 998.875元。
0.0395 0.0376 0.0358 0.8871 1.0000
0
0
822.70
1.0822.70Fra bibliotek1.0
(5) (1)×(4)
0.0198 0.0376 0.0537 1.7742 1.8853
0 2 2
2021/3/13
2021/3/13
– 4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
久期法则5：无限期债券的久期为
1
y
y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1y y
(1
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
2021/3/13
久期法则7：息票债券的久期等于 1y 1yT(cy) y c[(1y)T1]y
这里，c为每个支付期的息票利率，T 为支付次数，y是每个支付期的年金收益率 。