用平移坐标法探究平行四边形的存在性问题0618.doc

初探动态几何综合题解法

——坐标系下平行四边形的存在性问题

石柱初中章玲一、设计意图

平面直角坐标系中图形位置的确定，是综合性较强、难度较大的一类问题，也是中考中的热点问题。本节课是从综合题中抽取出几何模型，把综合题分解为若干小综合题，通过一题多变，由易到难的引申，实现对常规方法的归纳和总结。本节课还注意对数学思想方法的

复习，始终强调数形结合的基本思想，强化分类讨论的意识和方法。

二、教学目标设计

1. 知识与技能：

（1）通过将ABC补成平行四边形复习平行四边形的判定，进一步理解图形变换；

（2）再把几何图形放在了平面直角坐标系中，对图形顶点的坐标求法进行归纳和总结，复习相关知识的目的的同时，也为后续例题的解决作好铺垫；

（3）通过对复杂条件的一步步加深，及时总结，掌握从众多的条件中确定类型，提高学生的解题能力；

2. 过程与方法：

（1）综合题中的几何模型【引例】，铺垫到位，总结作图定位的依据和方法；

（2）将专题细化，一题多变，充分引申，最大限度的发挥例题的作用。掌握数学解题策略，争取提升小综合题的解决能力；

（3）通过几何画板的使用，直观的展示思维轨迹，提高课堂效率。

3. 情感态度与价值观：

(1) 通过一题多变活跃思维，学会倾听他人的解题思路，理解他人的解法；

(2) 通过题后小结，提高复习效果，同时提高解题能力.

三、教学过程：

【考题再现】（2013年·昆明压轴题）

如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy 中，点A在x 轴的正半轴上，点C在y 轴的正

半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A 两点，直线AC交抛

物线于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x 轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平

行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．

【引例】如图1，请将ABC补成平行四边形。

A B

C

图1

方法1 过顶点画对边平行线，三条平行线的交点就是第四个顶点。

方法2 以AB为平行四边形的一边或是对角线进行分类，从而得到第四个顶点。

图 2

引申：将平行四边形放在平面直角坐标系下，如何求点的坐标？

【探究1】三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性

例 1 如图，在平面直角坐标系中A（-1,0 ）、B（3,0 ）、C(0，-3) ，请在平面内找一个

点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，先画出点D的位置，再写出点 D 的坐标；

y

y

D 3

A -1

B 3

A -1 O x O x

B 3

C -3 D2

D 1

C -3

已知三点，求第四点方法归纳：

①构造全等及平移

②中点的算法：若M(x1, y1),N( x2, y2), 则其中点

坐标为（x1 x y y

2 1 2

,

2 2

), 即有

同一条对角线上的两个顶点的横坐标之和相等，x A x C x B x D ;

同一条对角线上的两个顶点的纵坐标之和相等，y A y y y .

C B D

【推广与应用】

1、已知A、B、C 三点的坐标分别为

(3,7),(1,2), （6，4），求点 D 的坐标使四边形

ABCD 成为平行四边形;

变式1：求点 D 的坐标,使以A、B、C、

D 为顶点的四边形为平行四边形;

变式2：将△ABC 绕AC 的中点P 旋转

180°，点 B 落到点B’的位置，求点B’

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则三种情况都必须考虑．

【探究2】二个定点，二个动点，探究平行四边形的存在性

例2 如图，在平面直角坐标系中A（-1,0）、B（3,0），以及一个不定点C,记为C(a，b)，请在平面内找一个点D，使得以点 A 、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形，画出

点D 的位置并求出坐标；(用含a,b 的式子表示）

y

y

C(a,b) C(a,b) D1（a+4,b)

D2（a-4, b)

P（1,0）

A -1 O x A -1 O

x

B 3 B 3

D 3

(2- a,-b)

点评：①本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值（含字母a，b），但依然可以根据坐标平行四边形的性质直接写出第四个顶点的坐标．②看上去此法冗长，三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨，不易遗漏．

例3 抛物线y x2 2x 3 与x 轴交于 A 、B，抛物线的顶点为C，点D 在抛物线的

对称轴上，点 E 在抛物线上，且以B、A 、D、E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点

E 的坐标．

y

x

A O B

C

分析过程：

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