人教版九年级数学上《正多边形和圆》练习题含答案

24.3正多边形和圆
知识点1正多边形与圆的关系
1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是()
A．矩形B．菱形
C．正方形D．不能确定
2．如图24－3－1所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．
图24－3－1
知识点2与正多边形有关的计算
3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是()
A．4 B．5 C．6 D．7
4．若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为()
A．3 2 B．3 C．6 D．6 2
5．2016·南平若正六边形的半径为4，则它的边长等于()
A．4 B．2 C．2 3 D．4 3
6．如图24－3－2所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是()
图24－3－2
A．60°B．45°
C．30°D．22.5°
7．正八边形的中心角等于________度．
8．将一个边长为1的正八边形补成如图24－3－3所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)
图24－3－3
9．2017·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC ＝________°.
图24－3－4
10．如图24－3－5，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.
求证：(1)AC＝BE；
(2)AM⊥CD.
图24－3－5
知识点3与正多边形有关的作图
11．已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)．
12．如图24－3－6所示，⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是()
图24－3－6
A. 6
B.8
C.10
D.17
13．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于()
A．120°B．6°
C．114°D．114°或6°
14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()
A. 2 B．2 2－2
C．2－ 2 D.2－1
15．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()
A.
2
2 B.
3
2 C. 2 D.3
16．2017·云南如图24－3－7，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E，F，G，H.则图中阴影部分的面积为________．
图24－3－7
17．如图24－3－8，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 3，试求正六边形的周长．
图24－3－8
18．如图24－3－9①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
图24－3－9
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
教师详解详析
1．C [解析] 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C .
2．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.
又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°， 即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ， ∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，
∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点， ∴五边形AEBCD 是正五边形．
3．B [解析] 设这个正多边形为正n 边形，由题意可知72n ＝360，解得n ＝5.故选B . 4．B
5．A [解析] 正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于4.
6．C [解析] 连接OB ，则∠AOB ＝60°， ∴∠ADB ＝1
2∠AOB ＝30°.
7．45 8．1＋2
[解析] 如图，∵△BDE 是等腰直角三角形，BE ＝1，
∴BD ＝
22
， ∴正方形的边长等于AB ＋2BD ＝1＋ 2.
9．24 [解析] 正六边形的一个内角＝1
6×(6－2)×180°＝120°，正五边形的一个内角
＝1
5×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC ＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB ＝AC ，∴∠ABC ＝1
2
×(180°－132°)＝24°.
10．证明：(1)由五边形ABCDE 是正五边形，得AB ＝AE ，∠ABC ＝∠BAE ，AB ＝BC ， ∴△ABC ≌△EAB ，∴AC ＝BE.
(2)连接AD ，由五边形ABCDE 是正五边形，得AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ， ∴△ABC ≌△AED ， ∴AC ＝AD.
又∵M 是CD 的中点， ∴AM ⊥CD. 11．解：如图所示．
作法：①作直径AC ；
②作直径BD ⊥AC ，依次连接AB ，BC ，CD ，DA ，则四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形；
③分别以点A ，C 为圆心，OA 的长为半径画弧，交⊙O 于点E ，H 和F ，G ，顺次连接AE ，EF ，FC ，CG ，GH ，HA ，则六边形AEFCGH 为⊙O 的内接正六边形．
12．C [解析] 根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4，选项中只有C 满足要求．
13．D [解析] 分两种情况考虑：
(1)如图①所示，∵AB 是⊙O 内接正五边形的一边，∴∠AOB ＝360°
5＝72°.∵AC 是
⊙O 内接正六边形的一边，∴∠AOC ＝360°
6＝60°，∴∠BOC ＝72°－60°＝12°，∴∠
BAC ＝1
2
∠BOC ＝6°.
(2)如图②所示，∠AOB ＝72°，∠AOC ＝60°，∴∠OAB ＝54°，∠OAC ＝60°，∴∠BAC ＝60°＋54°＝114°.综上所述，可知选D .
14．B [解析] ∵等腰直角三角形的外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边的长均为2 2.如图，根据三角形内切圆的性质可得CD ＝CE ＝r ，AD ＝BE ＝AO ＝BO ＝2 2－r ，∴AB ＝AO ＋BO ＝4 2－2r ＝4，解得r ＝2 2－2.故选B .
15．A [解析] 如图①，∵OC ＝2，∴OD ＝1；
如图②，∵OB ＝2，∴OE ＝2； 如图③，∵OA ＝2，∴OD ＝3， 则该三角形的三边长分别为1，2， 3. ∵12＋(2)2＝(3)2， ∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是12×1×2＝2
2.
故选A .
16．2π＋4 [解析] 如图，连接HO ，并延长交BC 于点P ，连接EO ，并延长交CD 于点M.
∵正方形ABCD 外切于⊙O ， ∴∠A ＝∠B ＝∠AHP ＝90°，
∴四边形AHPB 为矩形，∴∠OPB ＝90°. 又∵∠OFB ＝90°，∴点P 与点F 重合， ∴HF 为⊙O 的直径， 同理：EG 为⊙O 的直径．
由∠D ＝∠OGD ＝∠OHD ＝90°且OH ＝OG 知，四边形DGOH 为正方形． 同理：四边形OGCF 、四边形OFBE 、四边形OEAH 均为正方形， ∴DH ＝DG ＝GC ＝CF ＝2，∠HGO ＝∠FGO ＝45°， ∴∠HGF ＝90°，GH ＝GF ＝GC 2＋CF 2＝2 2， 则阴影部分面积＝1
2S ⊙O ＋S △HGF
＝12·π·22＋1
2×2 2×2 2 ＝2π＋4. 故答案为2π＋4.
17．解：如图，连接OA ，作OH ⊥AC 于点H ，则∠OAH ＝30°.
在Rt △OAH 中，设OA ＝R ，则OH ＝12
R ，由勾股定理可得AH ＝OA 2－OH 2＝R 2－（12R ）2＝12
3R. 而△ACE 的面积是△OAH 面积的6倍，即6×12×12 3R ×12
R ＝48 3，解得R ＝8， 即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.
18．解：(1)方法一：如图①，连接OB ，OC.
图①
∵正三角形ABC 内接于⊙O ，
∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°.
又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，
∴△OBM ≌△OCN ，
∴∠BOM ＝∠CON ，
∴∠MON ＝∠BOC ＝120°.
方法二：如图②，连接OA ，OB.
图②
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN.
又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON，
∴∠MON＝∠AOB＝120°.
(2)90°72°(3)∠MON＝360°n.。