人教版九年级数学上《正多边形和圆》练习题含答案

24.3正多边形和圆

知识点1正多边形与圆的关系

1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是()

A．矩形B．菱形

C．正方形D．不能确定

2．如图24－3－1所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．

图24－3－1

知识点2与正多边形有关的计算

3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是()

A．4 B．5 C．6 D．7

4．若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为()

A．3 2 B．3 C．6 D．6 2

5．2016·南平若正六边形的半径为4，则它的边长等于()

A．4 B．2 C．2 3 D．4 3

6．如图24－3－2所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是()

图24－3－2

A．60°B．45°

C．30°D．22.5°

7．正八边形的中心角等于________度．

8．将一个边长为1的正八边形补成如图24－3－3所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)

图24－3－3

9．2017·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC ＝________°.

图24－3－4

10．如图24－3－5，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.

求证：(1)AC＝BE；

(2)AM⊥CD.

图24－3－5

知识点3与正多边形有关的作图

11．已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)．

12．如图24－3－6所示，⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是()

图24－3－6

A. 6

B.8

C.10

D.17

13．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于()

A．120°B．6°

C．114°D．114°或6°

14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()

A. 2 B．2 2－2

C．2－ 2 D.2－1

15．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()

A.

2

2 B.

3

2 C. 2 D.3

16．2017·云南如图24－3－7，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E，F，G，H.则图中阴影部分的面积为________．

图24－3－7

17．如图24－3－8，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 3，试求正六边形的周长．

图24－3－8

18．如图24－3－9①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

图24－3－9

(1)求图①中∠MON的度数；

(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；

(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．

教师详解详析

1．C [解析] 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C .

2．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.

又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°， 即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ， ∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，

∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点， ∴五边形AEBCD 是正五边形．

3．B [解析] 设这个正多边形为正n 边形，由题意可知72n ＝360，解得n ＝5.故选B . 4．B

5．A [解析] 正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于4.

6．C [解析] 连接OB ，则∠AOB ＝60°， ∴∠ADB ＝1

2∠AOB ＝30°.

7．45 8．1＋2

[解析] 如图，∵△BDE 是等腰直角三角形，BE ＝1，

∴BD ＝

22

， ∴正方形的边长等于AB ＋2BD ＝1＋ 2.

9．24 [解析] 正六边形的一个内角＝1

6×(6－2)×180°＝120°，正五边形的一个内角

＝1

5×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC ＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB ＝AC ，∴∠ABC ＝1

2

×(180°－132°)＝24°.

10．证明：(1)由五边形ABCDE 是正五边形，得AB ＝AE ，∠ABC ＝∠BAE ，AB ＝BC ， ∴△ABC ≌△EAB ，∴AC ＝BE.

(2)连接AD ，由五边形ABCDE 是正五边形，得AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ， ∴△ABC ≌△AED ， ∴AC ＝AD.

又∵M 是CD 的中点， ∴AM ⊥CD. 11．解：如图所示．

作法：①作直径AC ；

②作直径BD ⊥AC ，依次连接AB ，BC ，CD ，DA ，则四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形；

③分别以点A ，C 为圆心，OA 的长为半径画弧，交⊙O 于点E ，H 和F ，G ，顺次连接AE ，EF ，FC ，CG ，GH ，HA ，则六边形AEFCGH 为⊙O 的内接正六边形．

12．C [解析] 根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4，选项中只有C 满足要求．

13．D [解析] 分两种情况考虑：