工程力学A单辉祖-第13章

•y•sy
•t
•s
y
•t sx
x
x
•x
•z
•sy
•微元体
•三向（空间）应力状态
•z
•§13-1 引言
•平面（二向）应力状态
•y
•x
•y
•x
•单向应力状态 •y
•( One Dimensional
State of Stresses )
•§13-1 引言
•纯剪应力状态 •y
( Shearing State of Stresses )
•例 13-2 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位 •解：1. 解析法
•2. 图解 •−−画应力圆 法
•§13-4 复杂应力状态的最大应力
•一、三向应力圆 •---与主应力平行的斜截面上应力
•y
•s2
•a
•s •s1
•s
1
3
•x •s3
•z•三向应力状态
•d •s3
•s •ta a •c
•例 试作图示平面应力状态微体
•tmax
的三向应力圆。
•单位：MPa
• 最大切应力为多少？ •最大切应力
• 注意区分面内最大切应力t'与所有方向面中的最大 切应力tmax—— 一点处的最大切应力
•例：求图示应力状态的主应力及最大切应力。 •解：由题可得
•（主应力）
•主应力 •最大切应力
• 单向应力状态的胡克定律：
•z
•s
y
•y
•t •s
yy
sα s
•tα •xtx
• 平面应力状态的应力分析
•
•
•x
已知sx , sy, tx , ty 求任意平行于z轴的斜截面上的
应力
•z
•§13-2 平面应力状态应力分析
一、平面应力状态斜截面应力
•正负号规定
•s：拉为正；压为负
•τx = − τy
•τ：使微元体顺时针转动为正（与剪力Fs规定相同
•§13-5 广义胡克定律
• 纯剪应力状态的胡克定律：
• 如何确定复杂应力状态下，应力与应变关系？
•s •ty y
•s
•s
x
•tx x
•？
•s
y
•研究方法：
•利用（变形）叠加原理，由单向 受力和纯剪状态的胡克定理推导复 杂应力状态的广义胡克定律。
•s •ty y
•s
x
•s •tx x
•=
•s
x
•s
•H
•E(30 ,20)
80°
•单位：MPa
•O
•c
•D(100 ,−20)
•建立坐标系
•σ−τ
•找两点
•确定圆心和半径
•§13-3 极值应力与主应力
•一、平面应力状态的极值应 •力斜截面应力公式
t sH
H (sa, ta)
•D tH
2 t
•C a 2
s
•o t
a0
x
•F
y
s E
•微体内最大与最小正应力？ •最大与最小切应力？
，成 夹角
•二、主应力
•§13-3 极值应力与主应力
• 主平面——切应力为零的截面 • 主应力——主平面上的正应力
• 主应力符号与规定—— •（按代数值排列）
• 主平面微体(主单元体)——三对互 相垂直主平面构成的正六面体微体
•二、主应力
•s •t y
y
•s
x
s •tx x
•s
y
•§13-3 极值应力与主应力
y
(sx+sy)/2 (sx-sy)/2
s
x
•微体内最大正应力与切应力方位
？
•一、平面应力状态的极值应
力•法一：解析法
•§13-3 极值应力与主应力
•当
•时，正应力有极
值。
•最大正应力方位角α0：
•一、平面应力状态的极值应
力•法一：解析法
•§13-3 极值应力与主应力
•当
•时，切应力有极
值。
•最大切应力方位角α1：
•§13-1 引言
一、强度条件回顾
•强度条件：保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条件。
• 拉压杆强度条件：
•单向应力状态
• 圆轴强度条件： • 梁的强度条件：
•纯剪切应力状 态
•单向应力状态
•纯剪切应力状
•建立强度条件的依据？ •危险点处的应力态状态！
• 螺旋桨轴:
•§13-1 引言
•A
•F
•F
•单向应力状态
•三、单向拉伸时的最大切应
力
•F
•F
•应力圆与纵轴相切 •四、纯剪切状态的最大应力
•§13-3 极值应力与主应力
•主平面微体位于 方位 •应力圆圆心在原点
•§13-3 极值应力与主应力
•例：纯剪应力状态下不同的断裂机理：
• 低碳钢圆轴扭转时滑移与剪断发生在τmax的作用面 ：
• 铸铁圆轴扭转时断裂发生在σmax的作用面：
•1、切应变为零，坐标x，y，z的方向即为主应变方向。 •2、主应力方向与主应变方向重合。
•例13-3 已知应力状态如图所示，E＝70GPa，泊松比 •求45o方向的应变。
•解：• 应力分析
• e45。计算
工程力学A单辉祖-第13 章
2020年5月23日星期六
•第十三章 应力状态分析
•§13-1 引言 •§13-2 平面应力状态应力分析 •§13-3 极值应力与主应力 •§13-4 复杂应力状态的最大应力 •§13-5 广义胡克定律
•本章主要研究：
应力状态应力分析的基本理论 应力、应变间的一般关系
•c
•E(sy ,tx)
•D(sx ,tx)
•§13-2 平面应力状态应力分析
•四、应力圆与微体对应关系
• 夹角2倍、转向一致：
• 夹角2倍：应力圆半径转过的角度是微体截面法线旋转角度的两倍。
• 转向一致：应力圆半径旋转方向与微体截面法线旋转方向一致
。
•H
•O
•c
•E(sy ,tx)
•2a
•D(sx ,tx)
•t
•以 •缺点：
•为圆心，
•R
•o
•s
•为半径作 圆
•(sx+ sy)/2
• 需用解析法计算圆心坐标和半径
• 没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系
•§13-2 平面应力状态应力分析 三、应力圆的绘制
绘制方法2（重点）
•B
•O
•c
•D(sx ,tx)
•E(sy ,tx)
•建立坐标系
•σ−τ
•§13-2 平面应力状态应力分析
•五、应力圆的应用
t sH
H (sa, ta)
•计算斜截面上的应力
•D tH
2 t
•C a 2
s
•o t
a0
x
•F
y
s E
y
(sx+sy)/2 (sx-sy)/2
s
x
•同理 ：
•§13-2 平面应力状态应力分析
•五、应力圆的应用 • 利用应力圆明晰的几何关
系推导并记忆一些基本公 式，避免死记硬背；
•最大切应力方位角α1与最 大正应力方位角α0差45°
•一、平面应力状态的极值应
力•法二：应力圆法
•正应力极值在A和B点 ：（应力圆与横轴交 点）
•§13-3 极值应力与主应力
•最大正应力方位：
•（负号表示x截面至最大正应力所在截面为顺时针）
•最大切应力在K和M点（应力圆半径）：
• • s 极值与t 极值所在截面
•平面应力状态
• 主应力：
•另有
• 主平面:
•三、应力状态分
•类单: 向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态
• 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 • 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态
•复杂应 •力状态
•思考：下列单元体属于哪种应力状态？
•
平面应力状态和二向应力状态区别？
•二向应力状态
•s1
•A •x
•s3
•s2
•s1 •s
•三向应力 圆
• 与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，
或位于由应力圆所构成的阴影区域内。
•二、 最大应力
•t
•s3
•s2
•§13-4 复杂应力状态的最大应力
•smax= s1 •smin= s3
•s1 •s
•wenku.baidu.com
一点处的最大与最小正应
力分别为最大与最小主应力
y
•s
y
•s
•+y
•s
x
•+
•ty
•x
y
•tx
•➢ 平面应力状态的广义胡克定律
•§13-5 广义胡克定律
•➢ 三向应力状态的广义胡克定律
•➢ 以上结果成立的条件 ： • 各向同性材料 • 线弹性范围内 • 小变形
•➢主应力与主应变的关系
s2 s3
•主应变 •ε1≥ε2≥ε3
s
1
•§13-5 广义胡克定律
）•α：从坐标轴x正向逆时针旋转至斜截面法线方向为正
•§13-2 平面应力状态应力分析
•§13-2 平面应力状态应力分析
•平面应力状态下任意斜截面上应力表达式
•§13-2 平面应力状态应力分析
斜截面上的应力公式
•解析 法
•上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无 关。换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况， 也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。
•§13-2 平面应力状态应力分析 二、应力圆（图解法）
• •斜截面上的应力公式
•§13-2 平面应力状态应力分析
•t
•s—t坐标系下的圆方
程
•R
•圆心坐标 ： •半径 ：
•o
•s
•(sx+ sy)/2
•结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆
•
——应力圆
三、应力圆的绘制
绘制方法1：
•§13-2 平面应力状态应力分析
•找两点
•确定圆心和半径
• 证明分析
•§13-2 平面应力状态应力分析
t
•D
•C
•o t
t s
x
•F
s y E
y
(sx+sy)/2 (sx-sy)/2
s
x
•§13-2 平面应力状态应力分析 •四、应力圆与微体对应关系 • 点面对应：
• 微体截面上的正应力和切应力与应力圆点的坐标值一一对应。
•H
•O
•b
•s2
•t
•s1
•s
a
•ta
•s2
•d •s
a
•s1
•ta
•a
•b
•s
2
•c •s3
•s2 •s
•s1 •sa •ta
3•s
1
•s2
•s3
•s2
•s1 •s
•三向应力
•§13-4 复杂应力状态的最大应力 •一、三向应力圆•---其它任意斜截面上的应力
•y
•s2
•t
•B
•A
•C •o •s3
•z
；
•tmax=(s1- s3)/2
• 最大切应力位于与s1及 s3均成450的截面
•➢ 以上结论对于单向与二向应力状态均成立
•41
•§13-4 复杂应力状态的最大应力
• 例 图示单元体最大切应
力
作用面是图
______
•单位：MPa
•s1=100、s2=50、s3 =−50
•42
•§13-4 复杂应力状态的最大应力
• 在应用过程中，应当将应 力圆作为思考、分析问题 的工具，而不是计算工具 ；
t sH
H (sa, ta)
•D tH
2 t
•C a 2
s
•o t
a0
x
•F
y
s E
y
(sx+sy)/2 (sx-sy)/2
s
x
• 解析法才是计算重点。
•例13-1 求图示 ， •并画应力 圆。
•解：
•单位：MPa
•画应力圆
•x
•x
•三向应力状态 •平面应力状态
•单向应力状态 •纯剪应力状态
•特例
•特例
•§13-2 平面应力状态应力分析
•y
•s
• 平面应力状态
•s
x
•t •s•t y
y yy
s s•tx x •xtx
•微体有一对平行表面不受力的应力状态 。
•➢ 微体仅有四个面作用有应力；
•x •➢ •应力作用线均平行于不受力表面；
•T
•微体A
•采用拉伸强度条件、扭转强度条件，还是其它强度条件？
• 工字梁
•a 点处: 纯剪切； •c , d 点处: 单向应力； •b 点处: s ,t 联合作用
•复杂应力状态下（一般情况下），如何建立强度条件 ？
•分别满足 ?
•做实验找破坏时的组合形式？工作量与难度 ?
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
•材料物质点应力状态· 应力微体 •材料失效机理
•强度条件
• 应力状态
•构件受力后，通过其内一点在不同方向面上应力的集合 ，称之为该点的应力状态。
• 微（元）体、单元体
•围绕所研究点取无限小微六面体
(1)微体的尺寸无限小，边长为1 ；
(2)每个面上应力均匀分布； (3•)选对取面原上则应：力面相上等应。力已知或可求