椭圆的标准方程 课件 动画 定义

y
2
⇒ ( x + c ) + y 2 = 4a 2 - 4a
2 2
( x - c)
2
2 2
2
+ y2 + ( x - c ) + y2
F2 P
O
a cx x， x )是椭圆上任意一点 ⇒ 设- P( = a ( y - c ) + y ， 是椭圆上任意一点
⇒ (a - c
2 2
设F1F=2c，则有 1(-c，0)、F2(c，0) 1 F1F2 ，则有F ， x 轴 线段 以F1、F2 所在直线为 2、2 2，， F 设 a - c = b ( b > 0 ) 得 b2x2+a2y =a b 轴建立直角坐标系． 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． x y + = 1 ( a > b > 0) 即：
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 b a
F1 ( 0 , - c )，F2 ( 0 , c )
相 同 点 a b 点
点 c的 的
F1 ( -c , 0 )，F2 ( c , 0 )
a2=b2+c2 个大， 个大， 点 个
思考题
x y 对于方程 + = 1 满足什么条件时， m n 它表示椭圆？
MF1 + MF2 = 2 a > 2 c
4
若动点P到两定点F 若动点P到两定点F1(－4,0)， 4,0)， F2(4,0)的距离之和为8，则动点 (4,0)的距离之和为 的距离之和为8 P的轨迹为（ 的轨迹为（ A. 椭圆 C. 直线F1F2 直线F
B ）
B. 线段F1F2 线段F D. 不存在
∴
F2
o
x
( y − c) + x + ( y + c) + x = 2a
2 2 2 2
F1
(x − c) + y + (x + c) + y = 2a
2 2 2 2
y2 x2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
焦点在x轴上 焦点在 轴上 焦点在y轴上 焦点在 轴上
x2 y2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
2 2 2
2 2
)x
2
+ a y = a (a - c
2 2
2
)
x
a2
b2
方程的推导
以直线F 线段F 的垂直平分线为x 建立坐标系。 以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立坐标系。 y
设P(x,y)为椭圆上的任意一点， P(x,y)为椭圆上的任意一点， 为椭圆上的任意一点 ∵F1F2＝2c(c>0), (0， c)、 (0， 则：F1(0，-c)、F2(0，c) ∴ PF1+PF2=2a
1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上； a 焦点在x轴上；
x y + =1 16 9 2.b=1， = 15，焦点在y轴上 c
2
2
a=4
2
y 2 + x =百度文库 16
3、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 ,焦点在x轴上 若椭圆满足: ＝ ＝ 焦点在x 求它的标准方程。 求它的标准方程。
y2 x2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是 椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和， 常数1 常数1。
2 2 2 ②椭圆的标准方程中三个参数 a, b, c 满足 a = b + c 。
的值。 ③由椭圆的标准方程可以求出三个参数a, b, c 的值。 ④椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定，分 椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定， 母哪个大，焦点就在哪个轴上。 母哪个大，焦点就在哪个轴上。 及焦点的位置唯一确定， ⑤椭圆的标准方程由三个参数a, b, c 及焦点的位置唯一确定， a,的值就可以写出椭圆的标准方程。 b, c 的值就可以写出椭圆的标准方程。 即只要知道了
椭圆的标准方程
普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修1 普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修1—1） 》（选修
东方中学 王芳
椭圆形的尖嘴瓶
椭圆形的餐桌
椭圆形的精品
汽车贮油罐的横截面的 外轮廓线的形状像椭圆.
思考
把一个圆压扁了,也像椭圆
怎样判定它们就是椭圆呢?
1.根据椭圆的定义 2.根据椭圆的方程
坐标为（x’，y’），由题意可 得：
x/ = x / y = y
2 2
o
x
因为 所以 即
′ 2 + y ′ 2＝４ x
x + 4y = 4 2 x + y2 = 1 4
1）将圆按照某个方向均匀地压缩 拉长），可以得到椭圆。 ），可以得到椭圆 （拉长），可以得到椭圆 2）利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法； 的方法是解析几何中常用的方法；
x + y = 1(a > b > 0) a 2 b2
2
y M 0 x
F1
F2
所以： 所以：b2=1.52-1.22=0.81 因此，这个椭圆的方程为： 因此，这个椭圆的方程为：
y2 x + =1 2.25 0.81
2
根据题意:2a=3,2c=2.4, 根据题意
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程： 、求适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点分别是 F1 (-2，0)，2(2，0)， F 且过点P (3,2 6 ),
x 2 + y 2 = 4上的点的横坐标保持不变， 4上的点的横坐标保持不变 上的点的横坐标保持不变， 例3 ：将圆
纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ 并说明它是什么曲线？ 解： 设所的曲线上任一点的坐标为（x， 2 2 x ＝４上的对应点的 +y y）,圆
2 2
m>0,n>0, 且m≠n 怎样判断焦点在哪个轴上? 怎样判断焦点在哪个轴上? 当m > n > 0时,焦点在x轴上 0时 焦点在x 当n > m > 0时,焦点在y轴上 0时 焦点在y
作业
教材P 习题2.2(1)第2(1)(2)(3)、 教材P28习题2.2(1)第2(1)(2)(3)、3 题
椭圆的定义
椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的符号表述： 椭圆定义的符号表述：
• 平面上到两个定点的
距离的和（2a）等于 距离的和（ 定长（大于|F 定长（大于|F1F2 |） 的点的轨迹叫椭圆。 的点的轨迹叫椭圆。
MF + MF2 = 2a > 2c 1
• 定点F1、F2叫做椭圆 定点F
的焦点。 的焦点。
• 两焦点之间的距离叫
做焦距（2c）。 做焦距（2c）。
满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
• [1]平面上 [1]平面上 • [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的 [2]动点
距离之和是常数 2a • [3]常数 2a 要大于焦距 2c [3]常数
焦点在x轴上时： 焦点在x轴上时： 焦点在y轴上时： 焦点在y轴上时：
y x + =1 25 16
y x + =1 16 25
2 2
2
2
例1：已知一个运油车上的贮油罐横 截面的外轮廓线是一个椭圆， 截面的外轮廓线是一个椭圆，它的 焦距为2.4m， 焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两 个焦点距离的和为3m， 个焦点距离的和为3m，求这个椭圆 的标准方程。 的标准方程。 解：以两焦点F 1, F 2 所 在直线为X轴 线段 在直线为 轴，F 1 F 2 的垂直平分线为y轴 建立 的垂直平分线为 轴,建立 平面直角坐标系xOy。 平面直角坐标系 。 则这个椭圆的标准方程为: 则这个椭圆的标准方程为 2
2 2
(3) x + 2 y = 4
2 ,0 ,
)(
2 ,0
)
(0,− 7 ), (0, 7 )
定
平面内到两个定点F 平面内到两个定点 1，F2的距离的和等 于常数（大于F 于常数（大于 1F2）的点的轨迹
y P F F
O
y P x
不 同 点
F
x
O
F
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 a b
法一: c=2
x2 y2 设椭圆标准方程为: 2 + 2 = 1 a b
法二: c=2 2a=PF1+PF2
4、求下列椭圆的焦点坐标
x 2 (1) + y =1 9
2
(− 2 (−
2 ,0 , 2 2 ,0
2 2
)(
)
x y (2) + =1 3 12
2
2
(0,−3), (0,3)
(4) 16 x + 9 y = 144
求曲线方程的基本步骤？ 求曲线方程的基本步骤？
建系
设点 列式
找等量关系 化简
探讨
如何建立适当的直角坐标系？ 如何建立适当的直角坐标系？
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所 在的直线作为坐标轴。 在的直线作为坐标轴。)
y
P
F1
·
o
F2
·
x
建系 化简 设点 列式
椭圆上的点满足PF 椭圆上的点满足 1+PF2 为定值，设为2a， 为定值，设为 ，则2a>2c
y
P( , 2 则： ( x + c )2 + y 2 + ( x - c )2x+ y ) = 2a y
⇒
( x + c)
2
2
2 + y 2F=-2a0- O ( x -F2) c +0 )y 2 x c( , 1( c , )