微积分(经管类,第三版)(中国人民大学出版社)复习题

一．

一．

单项选择题（每小题3分,共45分）

1．若级数∑∞

=1

n n u 发散，则∑∞

=1

n n au ()0≠a （① ）

① 一定发散 ② 可能收收敛，也可能发散

③ a ＞0时收敛，a ＜0 发散 ④a ＞0时收敛，a ＜0 时发散。 2．级数∑∞

=1n n u 收敛的充要条件是（ ③ ）

①0lim =∞→u n n ② 11lim r u

u n

n n =+∞

→ ③ s n n lim ∞→存在 ④ n

u n 2

1

≤

3.利用级数收敛时其一般项必须趋于零的性质,指出下列哪个级数一定发散.( ④ )

① ∑∞

=13s i n n n

π

② ∑∞

=1

3

2sin n n n

③ ∑∞

=1

2

1a r c t a n

n n ④ () +++-+--+n

n n 13423111

4. 0lim =∞→u n n ,则级数∑∞

=1

n n u ( ③ ) ① 一定收敛 ② 一定发散 ③ 可能收敛,可能发散 ④ 一定条件收敛

5.在下列级数中,发散的是( ③ ) ① ∑

∞

=13

1

n n

② ++++16

1

814121

③ +++3001.0001.0001.0 ④

-+-+-535353535

4

3

2

53 6.下列级数中收敛的是( ④ )

① ∑

∞

=+1

1

21

n n ②

∑∞

=+1

13n n n

③ ∑

∞

=1

100

n q

④ ∑∞=-1

`

13

2n n n

7. 下列级数中,收敛的是(① )

① ∑∞

=-1521n n

② ∑∞=11

s i n n n ③ ∑∞=11s i n n n ④ ∑⎪⎭

⎫ ⎝⎛∞

=1

35n n

8. 下列级数中,发散的级数的是( ① ) ①

∑∞

=1

2sin n n π

② ()

n

n n 1

1

1

1∑-∞=- ③ ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞

=1

43n n ④ ∑⎪⎭

⎫ ⎝⎛∞

=1

3

1n n 9.级数∑

∞

=+1

1

1

n p n

发散,则有( ① )

① p ≤0 ②

p ＞0 ③p ≤1 ④ p ＜1

10. 级数∑∞

=1

n n u 收敛(u n ＞0)则下列级数中收敛的是( ③ )

①)1001

(∑∞=+n n u ② )1001

(∑∞=-n n u ③∑∞

=1

100n n u ④∑

∞

=++11100

n n

n u u

11.在下列级数中,条件收敛的是( ② ) ①()

∑-∞=+1

1

1n n

n n ② ()

n

n n

11

1∑-∞= ③ ()

n

n n

2

1

1

1∑-∞= ④()

()

11

1

1+∑-∞=n n n n

12. 在下列级数中,绝对收敛的是( ③ ) ①∑

∞

=+11

21

n n ② ()⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑-∞

=2311n

n n

③ ()n

n n 3

1

1

1

1∑-∞

=- ④()n

n n n

`11

1-∑-∞

=

13. 级数x n n n

n ∑∞

=+12

2的收敛半径R 是( ③ )

① 1 ② 2 ③

2

1 ④ ∞

14. 级数x n n n

n ∑∞

=+13

3的收敛半径R 是( ③ )

① 1 ② 3 ③ 3

1 ④

∞

15.幂级数x n n n

11

1+∞

=∑的收敛区间是(③ )

① ()1,1- ② []1,1- ③ [)1,1- ④ (]1,1- 二．解答题

1．用比值法判断级数∑∞

15

!n n 的敛散性。

解：由()5

5

1

!

!1,!

+++=

=

n n n n n n u u 得到，()+∞=+=+=∞

→∞

→+∞

→5

1

!

!

1lim

5

5

lim

lim

1n n n n n n

n n u

u

根据比值判别法可知，级数∑∞

1

5

!n n 的发散。

2．用根值法判断级数∑⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞1

12n n n

的敛散性。 解：2

1

12112lim lim 12lim =+=+=∞→∞

→∞

→⎪⎭

⎫ ⎝⎛+n

n n n n n

n

n n n ＜1 ∴ ∑⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞1

12n n n

收敛 3．求幂级数()∑∞

--1

2212x n n 的和函数。

解：设()()() +-++++=-=-∞

-∑x x x x n n n n x s 22421

221253112

()()()∑∑⎰⎰∑⎰

∞

--∞

∞

-=-=-=1

1

22

21

1

2

20

1212x

x

x n n x

x n x

dx n dx n dx x S

=x

x x x x 2

531-=

+++