2020年河北省张家口市高考数学二模试卷(文科) (解析版)

2020年河北省张家口市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足（z+1）（1+i）＝4（其中i是虚数单位），则复数z的模|z|＝（）A．2B．C．D．52．已知集合A＝{x|x2＜x}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．R B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞﹣1}3．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．124．已知正项等比数列{a n}的公比为q，若a1＝q≠1，且a m＝a1a2a3…a10，则m＝（）A．19B．45C．55D．1005．＝（）A．B．C．D．6．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数素数对（p，p+2）称为孪生素数对．若从素数均小于30的孪生素数对中随机抽取一组，则孪生素数对中孪生素数的乘积超过100的概率为（）A．B．C．D．7．要得到函数f（x）＝cos（x﹣）的图象，可将函数g（x）＝sin x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．已知直线y＝kx（k≠0）与椭圆交于两点P，Q点F，A分别是椭圆C的右焦点和右顶点，若，则a＝（）A．4B．2C．D．9．已知方程2﹣x﹣|log2x|＝0的两根分别为x1，x2，则（）A．1＜x1x2＜2B．x1x2＞2C．x1x2＝1D．0＜x1x2＜1 10．如图所示，四边形ABCD是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形ABCD内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．11．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作与l1平行的直线l交l2于点P，若|+|＝|﹣|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．312．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球O的表面上，侧面BCC1B1的面积为．给出下列四个结论：①若B1C1的中点为E，则AC1∥平面A1BE；②若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，则A1到平面BCC1B1的距离为3；③若BC＝BB1，AB⊥AC，则球O的表面积为；④若AB＝AC＝BC，则球O体积的最小值为．当则所有正确结论的序号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，且，则m＝．14．某班一学习小组8位学生参加劳动技能比赛所得成绩的茎叶图如图所示，那么这8位学生成绩的平均分与中位数的差为．15．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，，则A ＝．16．若函数f（x）＝（2ax﹣1）2﹣log a（ax+2）在区间上恰好有一个零点，则的最小值为．三、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21颗为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等差数列{a n}的各项均为正数，且a n+12＝a n2+8n．（1）求数列{a n}的通项公式a n．（2）求数列的前n项和S n．18．大学生是国家的未来，代表着国家可持续发展的实力，能够促进国家综合实力的提高．据统计，2016年至2020年我国高校毕业生人数y（单位：万人）的数据如表：年份20162017201820192020年份代号x 1617181920高校毕业生人765795820834874数y（单位：万人）（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱．（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|＜0.3，则认为y与x线性相关性较弱）（2）求y关于x的线性回归方程，并预测2022年我国高校毕业生的人数（结果取整数）．参考公式和数据：，，，，，．19．已知四边形ABCD是梯形（如图1），AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，AB＝AD＝1，E 为CD的中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（如图2），且．（1）求证：平面PAE⊥平面ABCE；（2）求点C到平面PBE的距离．20．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：x＝my+1与抛物线C交于A，B两点．（1）若|AF|•|BF|＝8，求直线的方程；（2）过点F作直线l′⊥l交抛物线C于P，Q两点，若线段AB，PQ的中点分别为M，N，直线MN与x轴的交点为T，求点T到直线与l′距离和的最大值．21．已知函数f（x）＝x（1+a+a cos x）．（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（2）若a＝1，x∈[0，]时，f（x）≥m sin x恒成立，求m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1：，点A的极坐标为（2，），圆C2的圆心在极轴上，且过O，A两点．（1）求圆C2的极坐标方程；（2）若直线与曲线C1，C2分别交于异于原点的点P，Q，求线段PQ的中点M的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c均为正实数，且a+b+c＝1，证明：（1）；（2）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足（z+1）（1+i）＝4（其中i是虚数单位），则复数z的模|z|＝（）A．2B．C．D．5【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数模的计算公式求解．解：由（z+1）（1+i）＝4，得z+1＝，∴z＝1﹣2i，则|z|＝．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2＜x}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．R B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞﹣1}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故选：C．3．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．12【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值即可．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×4+2＝10．即目标函数z＝2x+y的最大值为10．故选：C．4．已知正项等比数列{a n}的公比为q，若a1＝q≠1，且a m＝a1a2a3…a10，则m＝（）A．19B．45C．55D．100【分析】由正项等比数列{a n}的公比为q，a1＝q≠1，a m＝a1a2a3…a10，得到q m＝q•q2•q3×…×q10＝q1+2+3+…+10＝q55．由此能求出m．解：正项等比数列{a n}的公比为q，a1＝q≠1，∴，∵a m＝a1a2a3 (10)∴q m＝q•q2•q3×…×q10＝q1+2+3+…+10＝q55．∴m＝55．故选：C．5．＝（）A．B．C．D．【分析】切化弦，易得原式为cos210°，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．解：＝＝cos210°＝﹣cos30°＝﹣．故选：D．6．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数素数对（p，p+2）称为孪生素数对．若从素数均小于30的孪生素数对中随机抽取一组，则孪生素数对中孪生素数的乘积超过100的概率为（）A．B．C．D．【分析】用列举法求出素数均小于30的孪生素数对有4个，孪生素数对中孪生素数的乘积超过100的有2个，由此能求出孪生素数对中孪生素数的乘积超过100的概率．解：素数均小于30的孪生素数对有：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），共4个，孪生素数对中孪生素数的乘积超过100的有：（11，13），（17，19），共2个，∴孪生素数对中孪生素数的乘积超过100的概率为P＝＝．故选：A．7．要得到函数f（x）＝cos（x﹣）的图象，可将函数g（x）＝sin x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．解：∵f（x）＝cos（x﹣）＝cos（﹣x）＝sin[﹣（﹣x）]＝sin （x+）＝sin[（x+）]，∴只需将函数g（x）＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．故选：B．8．已知直线y＝kx（k≠0）与椭圆交于两点P，Q点F，A分别是椭圆C的右焦点和右顶点，若，则a＝（）A．4B．2C．D．【分析】由椭圆的性质可得|PF'|＝|QF'|，|FA|＝a﹣c，所以|QF'|+|QF|＝2a，即|QF'|+|QF|+|FA|＝2a+a﹣c＝a，可得a，c的关系，再由椭圆的方程可得a的值．解：设左焦点F'，连接PF'，QF'，由直线和椭圆的对称性，可得|PF'|＝|QF'|，|FA|＝a﹣c，因为，由椭圆的定义可得：|QF'|+|QF|＝2a，即|QF'|+|QF|+|FA|＝2a+a﹣c＝a，可得c＝，由于c2＝a2﹣1，可得：a2﹣1＝a2，解得a2＝，因为a＞1，所以a＝，故选：D．9．已知方程2﹣x﹣|log2x|＝0的两根分别为x1，x2，则（）A．1＜x1x2＜2B．x1x2＞2C．x1x2＝1D．0＜x1x2＜1【分析】利用函数单调性和对数运算性质得出结论．解：由题意可知x1，x2是函数y＝2﹣x和y＝|log2x|的函数图象的交点横坐标：不妨0＜x1＜1＜x2，则＝﹣log2x1，＝log2x2，由y＝2﹣x是减函数，可得：﹣log2x1＞log2x2，∴log2（x1x2）＜0，故0＜x1x2＜1，故选：D．10．如图所示，四边形ABCD是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形ABCD内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设圆的半径为r，根据对角线长用r表示出正方形的边长，根据面积比得出概率．解：设圆的半径为r，则BD＝r+2r+•2r+2r+r＝4（+1）r，故正方形的边长为，∴正方形的面积S＝＝8（+1）2r2，∴P＝＝＝（3﹣2）π．故选：A．11．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作与l1平行的直线l交l2于点P，若|+|＝|﹣|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】由题意画出图形，求出过焦点F2平行于l1的直线方程，联立直线方程求得P 点坐标，得到|OP|，再由向量等式可得P在以线段F1F2为直径的圆上．由此得到c＝，从而求得双曲线的离心率．解：如图所示，l1：y＝，l2：y＝﹣，F2（c，0），则过焦点F2平行于l1的直线方程为y＝．由，解得P（）．∴|OP|＝．由|+|＝|﹣|，得F1P⊥F2P，即P在以线段F1F2为直径的圆上．则|OP|＝c＝，即e＝．故选：C．12．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球O的表面上，侧面BCC1B1的面积为．给出下列四个结论：①若B1C1的中点为E，则AC1∥平面A1BE；②若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，则A1到平面BCC1B1的距离为3；③若BC＝BB1，AB⊥AC，则球O的表面积为；④若AB＝AC＝BC，则球O体积的最小值为．当则所有正确结论的序号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【分析】（1）取BC的中点F，可通过证明平面A1BE∥平面AC1F，得出AC1∥平面A1BE；（2）根据棱柱的体积公式即可得出△A1B1C1的在边B1C1上的高，得出A1到平面BCC1B1的距离；（3）球心在EF的中点，计算球的半径R来得出球的表面积；（4）球心在棱柱上下底面中心连线的中点，根据基本不等式计算球的最小半径即可得出最小体积．解：（1）取BC的中点F，连接AF，C1F，BE，A1B，A1E，则AF∥A1E，BE∥C1F，∴平面A1BE∥平面AC1F，∴AC1∥平面A1BE，故①正确；（2）设A1到直线B1C1的距离为m，则V＝＝4，又S＝B1C1•CC1＝4，∴m＝2，∵平面A1B1C1⊥平面BCC1B1，平面A1B1C1∩平面BCC1B1＝B1C1，∴A1到平面BCC1B1的距离为2，故②错误；（3）若BC＝BB1，则BC＝BB1＝，又AB⊥AC，∴BC为△ABC所在截面的直径，∴球心O为EF的中点，∴外接球的半径R＝OC＝B1C＝•BC＝，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π•＝8π，故③正确；（4）若AB＝AC＝BC，三棱柱的底面为等边三角形，设M，N分别是△ABC，△A1B1C1的中心，连接MN，则球心O为MN的中点，设三棱柱底面边长为a，高为h，则ah＝4，∵B1N＝B1D＝a，ON＝，∴外接球的半径为R＝OB1＝＝≥＝2，∴球O的体积V＝≥，故④正确．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，且，则m＝1．【分析】可得出，然后根据即可得出m2+4＝（m﹣3）2+1，从而解出m即可．解：∵，，，∴m2+4＝（m﹣3）2+1，解得m＝1．故答案为：1．14．某班一学习小组8位学生参加劳动技能比赛所得成绩的茎叶图如图所示，那么这8位学生成绩的平均分与中位数的差为2．【分析】通过茎叶图可以看出，8位学生成绩的中位数为＝82，根据运算公式，可得平均数为84，所以平均分与中位数的差为2．解：由茎叶图可知，这8位学生成绩的平均分为：＝84，中位数为：＝82，所以这8位学生成绩的平均分与中位数的差为84﹣82＝2．故答案为：2．15．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，，则A＝．【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理即可直接求解．解：因为，由正弦定理可得，c＝，因为，所以，整理可得，a＝b，则cos A＝＝，由A为三角形内角可得，A＝．故答案为：16．若函数f（x）＝（2ax﹣1）2﹣log a（ax+2）在区间上恰好有一个零点，则的最小值为．【分析】由题可知，f（0）f（）≤0，，或，解得a的取值范围，令h（a）＝a+，a∈[2，3]，求导，分析单调性，再求最值．解：依题意，函数f（x）在[0，]上恰有一个零点的充分条件为f（0）f（）≤0，即（1﹣log a2）（1﹣log a3）≤0，所以，或，解得2≤a≤3，令h（a）＝a+，a∈[2，3]，h′（a）＝1﹣＝，所以在[2，3]上，h′（a）＞0，h（a）单调递增，所以h（a）min＝h（2）＝2+＝，故答案为：．三、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21颗为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等差数列{a n}的各项均为正数，且a n+12＝a n2+8n．（1）求数列{a n}的通项公式a n．（2）求数列的前n项和S n．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后将已知条件根据等差数列的通项公式进行代入计算并化简整理，再与8n进行比较，可得关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再对通项公式进行转化，再根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和S n．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则由，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）＝8n，即[2a1+（2n﹣1）d]•d＝8n，整理，得2d2n+（2a1﹣d）d＝8n，∴，解得或（舍去），∴a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，＝，∴＝×41+×42+…+×4n＝＝＝．18．大学生是国家的未来，代表着国家可持续发展的实力，能够促进国家综合实力的提高．据统计，2016年至2020年我国高校毕业生人数y（单位：万人）的数据如表：年份20162017201820192020年份代号x1617181920高校毕业生人765795820834874数y（单位：万人）（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱．（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|＜0.3，则认为y与x线性相关性较弱）（2）求y关于x的线性回归方程，并预测2022年我国高校毕业生的人数（结果取整数）．参考公式和数据：，，，，，．【分析】（1）由已知表格中的数据结合相关系数公式求得r值，由0.75比较大小得结论；（2）求出与的值，可得y关于x的线性回归方程，取x＝22求得y值即可．解：（1）由题得，．∴＝（﹣2）×（﹣52.6）+（﹣1）×（﹣22.6）+16.4+2×56.4＝257，∴＝≈0.99，∵0.99＞0.75，∴y与x线性相关性很强；（2）．，∴y关于x的线性回归方程是．当x＝22时，．故预测2022年我国高校毕业生的人数约为920万．19．已知四边形ABCD是梯形（如图1），AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，AB＝AD＝1，E 为CD的中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（如图2），且．（1）求证：平面PAE⊥平面ABCE；（2）求点C到平面PBE的距离．【分析】（1）连接BE，由已知证明四边形ABED是边长为1的正方形，且BE＝EC．取AE的中点M，连接PM，BM，CM，求解三角形即可证明PM⊥平面ABCE，进一步得到平面PAE⊥平面ABCE；（2）由（1）知，PM⊥平面ABCE，再证明△PBE为正三角形且边长为1．设点C到平面PBE的距离为d，然后利用等体积法求点C到平面PBE的距离．【解答】（1）证明：连接BE，∵AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，E为CD的中点，AB＝AD＝1，∴四边形ABED是边长为1的正方形，且BE＝EC．如图，取AE的中点M，连接PM，BM，CM，∵AP＝PE＝1，∴PM⊥AE，且，．∵∠MBE＝∠EBC＝45°，∴BM⊥BC．∴．∵，，，∴PM2+MC2＝PC2，得PM⊥MC．∵AE∩MC＝M，∴PM⊥平面ABCE．∵PM⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCE；（2）解：由（1）知，PM⊥平面ABCE，BE⊥EC，且BE＝EC＝1．∵，∴△PBE为正三角形且边长为1．设点C到平面PBE的距离为d，则，∴，即，解得．∴点C到平面PBE的距离为．20．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：x＝my+1与抛物线C交于A，B两点．（1）若|AF|•|BF|＝8，求直线的方程；（2）过点F作直线l′⊥l交抛物线C于P，Q两点，若线段AB，PQ的中点分别为M，N，直线MN与x轴的交点为T，求点T到直线与l′距离和的最大值．【分析】（1）联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理得到y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，再利用抛物线的定义由|AF|•|BF|＝8得（x1+1）（x2+1）＝（my1+2）（my2+2）＝8，代入即可求出m的值，进而得到直线l的方程；（2）求出点M，N的坐标，得到直线MN的方程，从而求出点T的坐标，点T到直线l和l'的距离分别为d1，d2，由l⊥l'，|FT|＝2，由题意可得，再利用基本不等式即可求出点T到直线l和直线l'的距离之和的最大值．解：（1）由题意可得F（1，0），联立方程，消去x得：y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，由|AF|•|BF|＝8，得（x1+1）（x2+1）＝（my1+2）（my2+2）＝8，即，得m2＝1，所以m＝1或m＝﹣1，所以直线l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1；（2）由（1）知y M＝2m，所以x M＝my M+1＝2m2+1，所以M（2m2+1，2m），因为直线l'过点F且l'⊥l，所以用﹣替换m得N（，﹣），当m2≠1时，直线MN的方程为y﹣2m＝，整理化简得y＝，所以当m2≠1时，直线MN过定点（3，0），当m2＝1时，直线MN的方程为x＝3，过点（3，0），所以点T的坐标为（3，0），设点T到直线l和l'的距离分别为d1，d2，由l⊥l'，|FT|＝2，得，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以点T到直线l和直线l'的距离之和的最大值为2．21．已知函数f（x）＝x（1+a+a cos x）．（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（2）若a＝1，x∈[0，]时，f（x）≥m sin x恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导数，计算f（π），f′（π），求出切线方程即可；（2）代入a的值，问题等价于x（2+cos x）≥m sin x．当m≤0时，不等式恒成立，当m ＞0时，x（2+cos x）≥m sin x恒成立等价于．令，根据函数的单调性求出m的范围即可．解：（1）由f（x）＝x（1+a+a cos x），得f'（x）＝1+a+a cos x﹣ax sin x，………………（1分）所以f（π）＝π，………………………………f'（π）＝1．………………………………所以曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为y﹣π＝x﹣π，即y＝x．……………（2）当a＝1时，f（x）＝x（2+cos x），则f（x）≥m sin x等价于x（2+cos x）≥m sin x．当时，x（2+cos x）≥0，sin x≥0，…………………………当m≤0时，f（x）≥m sin x恒成立；……………………………………当m＞0，时，x（2+cos x）≥m sin x恒成立等价于．令，则，……………………设t＝cos x，则t∈[0，1]，，，所以h（t）在[0，1]上递增，所以h（t）的值域为，………………………………①当，即0＜m≤3时，g'（x）≥0，g（x）为上的增函数，所以g（x）≥g（0）＝0，符合条件；………………………………………………②当，即m≥4时，g'（x）≤0，g（x）为上的减函数，所以当时，g（x）＜g（0）＝0，不符合条件，舍去；………………③当，即3＜m＜4时，存在，使g'（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，此时g（x）＜g（0）＝0，不符合条件，舍去．……………综上，所求的m的取值范围为（﹣∞，3]．………………………………（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1：，点A的极坐标为（2，），圆C2的圆心在极轴上，且过O，A两点．（1）求圆C2的极坐标方程；（2）若直线与曲线C1，C2分别交于异于原点的点P，Q，求线段PQ的中点M的直角坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和中点公式的应用求出结果．解：（1）设圆C2的直径长为d，由于点A的极坐标为（2，），圆C2的圆心在极轴上，且过O，A两点，所以d cos，解得d＝4．所以圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（2）由已知得直线l的极坐标方程为θ＝α．设P（ρ1，α），Q（ρ2，α），M（ρ，α），所以，ρ2＝4cosα，则，根据转换为直角坐标方程为．即线段PQ的中点M的方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c均为正实数，且a+b+c＝1，证明：（1）；（2）．【分析】（1）由条件可知1﹣a，1﹣b，1﹣c均为正数，然后根据++＝++，利用基本不等式即可证明++≥成立；（2）由条件可知，然后利用⩾＝，即可证明++≥81成立．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正实数，且a+b+c＝1，∴1﹣a，1﹣b，1﹣c均为正数．∴＝＝，∴，当且仅当时，等号成立．∴．（2）∵a，b，c均为正实数，且a+b+c＝1，∴，∴，即，当且仅当时，等号成立，∵，∴，当且仅当时，等号成立．∴．。