数学建模竞赛试题 2015

A题飞越北极

2000年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：

7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。

假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：

A1 (北纬31度，东经122度)； A2 (北纬36度，东经140度)；

A3 (北纬 53度，西经165度)； A4 (北纬62度，西经150度);

A5 (北纬 59度，西经140度)； A6 (北纬 55度，西经135度)；

A7 (北纬 50度，西经130度)； A8 (北纬 47度，西经125度)；

A8 (北纬 47度，西经122度)； A10 (北纬 42度，西经87度)。

请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：

（1）设地球是半径为6371千米的球体；

（2）设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。

B题：DNA限制性图谱的绘制

绘制DNA限制性图谱是遗传生物学中的重要问题。由于DNA分子很长，目前的实验技术无法对其进行直接测量，所以生物学家们需要把DNA分子切开，一段一段的来测量。在切开的过程中，DNA片段在原先DNA分子上的排列顺序丢失了，如何找回这些片段的排列顺序是一个关键问题。

为了构造一张限制性图谱，生物学家用不同的生化技术获得关于图谱的间接的信息，然后采用组合方法用这些数据重构图谱。一种方法是用限制性酶来消化DNA分子。这些酶在限制性位点把DNA链切开，每种酶对应的限制性位点不一样。对于每一种酶，每个DNA分子可能有多个限制性位点，此时可以按照需要来选择切开某几个位点（不一定连续）。DNA分子被切开后，得到的每个片段的长度就是重构这些片段的原始顺序的基本信息。在多种获取这种信息的实验方法中，有一种广泛采用的方法：部分消化（the partial digest, PDP）方法。

在PDP中，采用一种酶，通过实验得到任意两个限制性位点之间片段的长度。假设与使用的酶对应的限制性位点有n个，通过大量实验，可得到n+2个点（n个位点加上两个端点）中任意两点之间的距离，共2

C个值。然后用这22+n C个距离来重构n个限制性位点的位n

2

+

置(解不一定唯一，两个端点对应于最长的距离)。若∆X是线段上的点集X中所有点之间距离的集合，PDP就是给定∆X求X。下图给出了一个例子。

2 3 4 5 2

图1. A,B是DNA分子的两个端点。 a，b，c和d是限制性位点。通过实验可以得到

∆X={2,3,4,5,2,5,9,14,16,7,12,14,9,11,7}.

再通过∆X来求X，对应于上图的X={0,2,5,9,14,16}是一种解。

上述方法要把DNA分子在任意的两个限制性位点处切开，这对于当前的实验技术来说有相当难度，而且，还要对实验数据进行处理，也很复杂。最近研究人员提出了一种新的方法，称为简化的部分消化方法（SPDP）。这个方法与PDP的不同就在于它避免了在任意两个位点切开DNA分子的难题和处理重复数据的困难。仍假设与使用的酶对应的限制性位点有n个。首先DNA分子被复制成n+1份，前n个复制品中的每一个在一个限制性位点处被切开，最后一个复制品在所有的限制性位点处被切开。这样我们分别得到2n个片段长度（称为第一组数据）和n+1个片段长度（称为第二组数据）。在没有误差的前提下，第一组数据中2n个长度可以分成n对，每对的和都等于DNA分子的总长度；第二组数据中n+1个长度的和也等于DNA分子的总长度。SPDP问题是如何利用这两组数据重构出这n+1个片段在DNA分子上的排列，使得这个排列在n个位点切开后得到的2n个片段长度与实验得到的2n个长度相等。下图给出了一个例子。

(a)

2 6 1 4 3

(b)

2 14

8 8

9 7

13 3

2 1 4

3 6

图2. 这个例子对应的位点有4个。(a) 就是我们希望重构的顺序。

(b)中的前4对为第一组数据，它通过切开一个位点得到，每对长度的和都是16，剩下的为第二组数据，含5个片段长度，它通过切开所有位点得到，它们的长度总和也是16，但实验结果只告知每段的长度，不知道它们在DNA分子上的排列顺序。

现对上述SPDP问题，建立数学模型，并研究以下问题：

（1）设计求解该问题的算法，并评估该算法的效率和效果。对下述2个实例给出答案：

实例1：第一组数据：2，14，8，8，9，7，13，3

第二组数据：2，1，4，3，6

实例2: 第一组数据：1，14，12，3，7，8，9，6，11，4，12，3，13，2，5，10

第二组数据：1，1，2，1，2，2，1，2，3

（2）讨论在实验中测量片段长度时的误差，将在多大程度上影响算法的效果，当误差到多大程度时，限制性图谱的重构将无法进行。

C题：乒乓球新旧赛制对比分析

自2001年10月1日起，国际乒联改用11分制等新规则。中国乒乓球老将王家声认为，规则改变的实践效果的检验标准是三个有利于：要有利于运动的推广，有利于形成对抗激烈，场面精彩的比赛，有利于它的市场开发和赞助商利益。

11分制的实行，使比赛增加偶然性增加，让一些二三流选手也有机会战胜一流选手。“但这个偶然性应有个度”王家声说：“如果这个偶然性大到世界顶尖高手也纷纷被无名小卒淘汰，三四流选进决赛，那它就不是好规则了。”乒乓球11分制利弊如何，是否会象羽毛球7分制一样实行不久就取消呢？

1．试对11分制的5盘3胜与21分制的3盘2胜制作定量的比较分析；

2．试对11分制的7盘4胜和21分制的5盘3胜制作定量的比较分析；

3．综合评价及建议。