高中习题3-4. 数学数学doc

合集下载

高中数学必修4习题和复习参考题对应答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A 组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x 轴上的角的集合．答案：S={α|α=k ·180°，k ∈Z }．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k ·360°，k ∈Z }，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k ·360°，k ∈Z }，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k ·360°，k ∈Z }，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k ·360°，k ∈Z }，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k ·360°，k ∈Z }，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k ·360°，k ∈Z }，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k ·360°，k ∈Z }，－180°，180°；（8）{β|β=k ·360°，k ∈Z }，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．答案：象限角度制弧度制一 {β|k ·360°＜β＜90°＋k ·360°，k ∈Z } {|22,}2k k k πβπβπ<<+∈Z二 {β|90°＋k ·360°＜β＜180°＋k ·360°，k ∈Z }{|22,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z三 {β|180°＋k ·360°＜β＜270°＋k ·360°，k ∈Z }3{|22,}2k k k πβππβπ+<<+∈Z 四{β|270°＋k ·360°＜β＜360°＋k ·360°，k ∈Z }3{|222,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z 说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2α是（）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°．（2）D说明：因为k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k ∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角．6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念．7、把下列各角度化成弧度：（1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度：（1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23．答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值；（2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618S S =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度（2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数．因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=，时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以720144011n ≤，于是n ≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm ．说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°．答案：（1）31sin ,cos ,tan 322ααα===；（2）22sin ,cos ,tan 122ααα=-=-=；（3）133sin ,cos ,tan 223ααα===；（4）31sin ,cos ,tan 322ααα===．说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α的三角函数值．答案：当a ＞0时，434s i n ,c o s,t a n 553ααα===；当a ＜0时，434s i n ,c o s ,t a n 553ααα=-=-=-．说明：根据定义求三角函数值．3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°；（2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin2446663ππππππ-+-++；（4）2423sin cos tan 323πππ+-．答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-；（4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=．答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题．6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°；（2）tan505°；（3）sin7.6π；（4）23tan()4π-；（5）cos940°；（6）59cos()17π-．答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．7、确定下列式子的符号：（1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ．答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-；（2）15tan()4π-；（3）cos398°13′；（4）tan766°15′．答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值．9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sin θ·tan θ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cos θ·tan θ＜0；（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知3sin2α=-，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,3 2-；（2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34 sin,cos55αα==-，当α为第四象限角时，34 sin,cos55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin3x=-，求cosx，tanx的值．答案：当x为第三象限角时，222 cos,tan34x x=-=；当x为第四象限角时，222 cos,tan34x x==-.说明：要分别对x是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 3,2απαπ=<<，求cos α－sin α的值．答案：1(31)2- 说明：角α是特殊角．13、求证：（1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cos β－1）2＋sin 2β=2－2cos β；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边；（2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cos β＋cos 2β＋sin 2β=2－2cos β；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x ·cos 2x=1－2sin 2x ·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α．答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2、化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+，其中α为第二象限角．答案：－2tan α说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简．3、已知tan α=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式．4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x x x x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x ·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等．说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：（1）cos210°=__________；（2）sin263°42′=__________；（3）cos()6π-=__________；（4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________；（7）tan632°24′=__________；（8）17tan6π=__________．答案：（1）－cos30°；（2）－sin83°42′ （3）cos 6π；（4）sin3π；（5）2cos9π-；（6）－cos75°34′；（7）－tan87°36′；（8）tan6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数．2、用诱导公式求下列三角函数值：（1）17cos()4π-；（2）sin （－1574°）；（3）sin （－2160°52′）；（4）cos （－1751°36′）；（5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）22；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）32 -说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-；（4）tan()2πα-．答案：（1）12；（2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-；（4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x ∈[0，2π]；（2）y=3cosx ＋1，x ∈[0，2π]．答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ；（2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ；（4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k ∈Z }，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k ∈Z }，最大值是12；（2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3；（3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-．说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x ∈R ；（2）1cos 42y x =，x ∈R ．答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx ＋φ）和函数y=Acos （ωx ＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin103°15′与sin164°30′；（2）4744cos()cos()109ππ--与；（3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）．答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′；（2）4744cos()cos()109ππ->-；（3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．5、求下列函数的单调区间：（1）y=1＋sinx ，x ∈R ；（2）y=－cosx ，x ∈R ．答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数．（2）当x ∈[（2k －1）π，2k π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是减函数；当x ∈[2k π，（2k ＋1）π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是增函数．说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性．6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期．答案：2π．说明：可直接由函数y=Atan （ωx ＋φ）的周期T πω=得解．8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）13tan()tan()57ππ--与；（2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与；（4）7tan tan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1＋tanx ≥0；（2）tan 30x -≥．答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．10、设函数f （x ）（x ∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x ∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x ∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=．说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题．11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（k π，0），k ∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k ∈Z ，对称轴的方程是x=k π，k ∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k ∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）3sin ()2x x ∈R ≥；（2）22cos 0()x x +∈R ≥．答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤；（2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤．说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间．答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x ∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x ∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ． P57习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos 5xy =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）、A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变（3）为了得到函数1cos 4y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x ∈R ；（2）1cos32y x =，x ∈R ；（3）3sin(2)6y x π=+，x ∈R ；（4）112cos()24y x π=-，x ∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48x y π=-，x ∈[0,＋∞）；（2）1sin(3)37y x π=+，x ∈[0,＋∞）．答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-．先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x ∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x ∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相；（2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ．答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，532i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(),[0,)3g s t t l π=+∈+∞．（1）求小球摆动的周期；（2）已知g ≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2lgπ；（2）约24.8cm ．说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式．t 0 t 0 2t 0 3t 04t 05t 0 6t 0 7t 0 8t 0 9t 010t 0 11t 0 12t 0s－20.0－17.8－10.10.110.317.720.017.710.30.1 －10.1－17.8－20.0答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x ∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时问小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)；（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；（3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次．说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos2A=-；（3）tanA=1；（4）3 tan3A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin2x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论．P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π；（2）23π-；（3）125π；（4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ；（2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2k π，k ∈Z }，－2π，0，2π．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解．3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4；（2）cos5；（3）tan8；（4）tan （－3）．答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．4、已知1cos 4ϕ=，求sin φ，tan φ．答案：当φ为第一象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ==；当φ为第四象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ=-=-．说明：先求sin φ的值，再求tan φ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值．答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x =-=-．说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cos α表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形．7、求证：（1）2（1－sin α）（1＋cos α）=（1－sin α＋cos α）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1．答案：（1）左边=2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α=1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α =右边．（2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形．8、已知tan α=3，计算：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sin αcos α；（3）（sin α＋cos α）2．答案：（1）57；（2）310；（3）85．说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21c o s 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或222s incs i n c10sin cos tan 131αααααααα====+++．9、先估计结果的符号，再进行计算．（1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号．10、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos（2π－α）；（2）tan（α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，3 cos(2)2πα-=，当α为第二象限角时，3 cos(2)2πα-=-；（2）当α为第一象限角时，3 tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，3 tan(7)3απ-=-．说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算．11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°；（2）sin（－879°），313t a n(),c o s()810ππ--；（3）sin3，cos（sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；（2）sin（－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588 810ππ-=--=-；（3）sin3=0.141，cos（sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证．12、设π＜x＜2π，填表：x 76π74πsinx －1cosx22-32tanx 3答案：x 76π54π43π32π74π116πsinx12-22-32-－122-12-cosx32-22-12- 02232tanx3313不存在－133-说明：熟悉各特殊角的三角函数值．13、下列各式能否成立，说明理由：（1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos 1.5x =，或cos 1.5x =-，而 1.51, 1.51>-<-，所以原式不能成立；（2）因为3sin 4x π=-，而3||14π-<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合：（1）sin 2xy π=+，x ∈R ；（2）y=3－2cosx ，x ∈R ．答案：（1）最大值为12π+，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；最小值为12π-，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k ∈Z }；最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2k π，k ∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．15、已知0≤x ≤2π，求适合下列条件的角x 的集合：（1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数；（2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数；（4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤；（2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤．说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证．17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，π]的图象关于直线2x π=对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x ∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π．把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x ∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x ∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．。

人教版B版高中数学选修3-4(B版)置换的概念和表示符号

置换的概念和表示符号
知识填充
我们之前已经学习过了图形的对称变换。例如一个正三角形沿着每条边的对称轴做对称，就是一个变换。或者正三角形顺时针旋转60度、120度都是保持图形不变的变换。
知识填充
图形的变换是比较直观的，而在抽象代数中，我们有更加明确具体的定义。
设S是一个非空集合，M（S）是全体变换幺半群（有一个可结合的二元运算和单位元），用Sym（S）表示M（S）的单位群，即：
练习测评
解：先考虑所有对称变换的置换。对称变换的话，对称轴有所有边的中点和两条对：
练习测评
那么四个置换为：

A B
B A
C D
D C

A A
B D
C C
D B

A D
B C
C B
D A

A C
B B
C A
D D
Sym（S）={M（S）的所有可逆元}={所有双射S→S}，称Sym（S）为S上的对称群。当|S|=n为正整数时，Sym（S）中的元素就称为一个置换。
要点总结
用更加易懂的语言来说：我们把一个含有n个元素的有限集合S到它自身的双射，称作是集合S的一个置换。 S的全体置换记为：Sym（S）。
要点总结
通常，对于任意一个置换σ 属于Sn
（11）（nn）
τ （1）,…τ ,（n）是1,…,n 的一个全排列
典型剖析
例：写出有限集S={1，2，3}的所有置换。
（这是一个有有限个元素的集合，我们称之为有限集。用cardinal表示其中元素的个数，简写为CardS）

练习测评
而顺时针旋转90度则是四个字母按顺序依次交换：

高中数学(必修一)第四章指数练习题及答案解析

高中数学（必修一）第四章指数练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：_____________一、解答题1．计算：2．求下列各式的值： (1)1236；(2)52164⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)1216-⨯．3．（1）已知11223x x-+=，计算：22111227x x x x x x ---+-+++；（2）设128x y +=，993y x -=，求x y +的值．4．（1）化简：()314211113643,01645x y x y x y x y ---->⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算：11026188100-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭．5．求解下列问题：(1)证明：log 1log log a a ab x b x =+．(2)已知333pa qb rc ==，且1111a b c ++=．求证：()11112223333pa qb rc p q r ++=++．6．求下列各式的值：；()3,3x ∈-． 7．计算下列各式：（1）()1020.52312220.0154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（322.551030.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）)0x ⎛> ⎪⎝⎭；（5）()21113322156630,0.13a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>>8．化简求值：(1)4133222333814a a b b a a ⎛- ÷ +⎝⎭；(2)48lg 2(log 3log 3)lg 3+⨯．9．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．经过研究发现，在25℃室温下，设茶水温度从85℃开始，经过x 分钟后的温度为y ℃，则满足25x y ka =+（k ∈R ，01a <<，0x ≥）．(1)求实数k 的值；(2)经过测试知0.9227a =，求在25℃室温下，刚泡好的85℃的茶水大约需要放置多长时间才能产生最佳饮用口感（结果精确到1分钟）．（参考数据：lg70.8451≈，lg12 1.0792≈，lg 0.92270.0349≈-）10．计算求值(1)()3620189-⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b-的值．11．定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=．(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；(2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥； (3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．12．已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+． (1)求a 的值；(2)求证：()()1f x f x +-为定值；(3)求12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．二、单选题13．已知函数()()ln ,0,e ,0,x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，则()()e f f -=（） A ．e -B ．0C ．1eD ．114．85-化成分数指数幂为（） A ．12x B ．415x C ．415x - D ．25x三、填空题15．若01b a <<<，b p a =，a q b =，b r b =，则__________．（用>连接）16．已知17a a+=，则1122a a -+=______． 17．一种药在病人血液中的量保持1000mg 以上才有疗效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg ，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg 20.3010≈，lg30.4771≈，精确到0.1h ）参考答案：1．6【分析】先将根指数幂转化成分数指数幂的形式，在按照分数指数幂的运算法则进行计算即可. 【详解】解：原式()()111111111123323623623323223236-+++-=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯=．故答案为：62．(1)6 (2)312532(3)232 (4)12【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解；（2）利用指数幂的运算性质即可求解；（3）将根式转化为分数指数幂，再利用幂的运算性质即可求解；（4）利用指数幂的运算性质即可求解.(1) 解：()1122122266663⨯===；(2) 解：552252252555316412522232⨯⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎛⎫⎥⎦⎝⎣ ⎪⎭； (3)()()11310112105223133113333222222⨯⨯-⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦==== (4)解：()11411112162222222-----===⨯=⨯⨯=. 3．（1）4；（2）27【分析】（1）对11223x x -+=两边平方，求出17x x -+=，再对此式两边平方，化简可得2247x x -+=，从而代入可求结果，（2）将等式两边化为同底数幂的形式，然后可得关于,x y 的方程组，求出,x y 的值，从而可求得x y +的值【详解】（1）因为11223x x -+=，所以211229x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以129x x -++=，所以17x x -+=，所以()2127x x -+=，即22249x x -++=，所以2247x x -+=，所以22111227477473x x x x x x ---+--==++++．（2）因为128x y +=，所以()3122y x +=，即()31x y =+．又993y x -=，所以2933y x -=，即29y x =-，由3(1)29x y y x =+⎧⎨=-⎩，解得216x y =⎧⎨=⎩，故x y +的值为27．4．（1）10y -；（2）3【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.【详解】（1）原式14223431310310x y y x y ---==--．（2）原式())()111113226210018210018210183--⎡⎤=--+=-+=+-=⎣⎦． 5．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）结合换底公式以及对数运算证得等式成立.（2）令333pa qb rc k ===，结合指数运算，通过证明等式左边=右边=13k 来证得等式成立.（1）左边1log log log log 1log 1log log log a x x a a ab x x x a ab ab b x aab =====+=右边（2）令333pa qb rc k ===，则2k pa a =，2k qb b=，2k rc c =，所以()1132223k k k pa qb rca b c ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭1133111k k a b c ⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 1111111133333333333111k k k p q r k k a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()12223pa qb rc ++=111333p q r ++． 6．(1)-2(3)π3-(4)22,31,4,1 3.x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩【分析】根据根式与分数指数幂的转化化简求值即可.(1)2=-(2)=(3)3ππ3-=-(4)原式13x x ==--+，当31-<≤x 时，原式()1322x x x =--+=--；当13x <<时，原式()134x x =--+=-．因此，原式22,31,4,1 3.x x x ---<≤⎧=⎨-<<⎩7．(1)1615；(2)100；(3)3；(4)2x ；(5)9a -. 【分析】利用根式与分数指数幂的互化，根式的性质，指数幂的运算性质计算求值.【详解】(1)原式()1122221412116110129431015-⎛⎫=+⨯-=+⨯-= ⎪⎝⎭. (2)原式()12232125273710396448--⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5937100331648=++-+100=. (3)原式()1315270.4128-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5350.51222=-++-3=. (4)原式31222x x x =⋅=.(5)原式21111532623699a b a +-+-=-=-.8．(1)2a (2)56【分析】（1）结合指数幂的运算公式以及立方差公式化简整理即可求出结果；（2）结合对数的换底公式化简整理即可求出结果.(1) 原式()1133211223333381242a a b b a b a b a a ⎛⎫- ⎪=÷- ⎪ ⎪++⎝⎭3311133311533621121333362242a a b a b a a b a b a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭-⎣⎦=÷⨯++ 111211211533333333362112133336(2)(24)242a a b a a b b a b a a b a b a a -++-=÷⨯++ 5445162336616aa a a a +-=⋅==451366a +-=2a =，(2) 原式lg3lg3lg2115()2lg23lg2lg3236=+⨯=+=．9．(1)60(2)大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感【分析】（1）直接由0x =时，85y =代入求解即可；（2）将60y =代入函数关系式，再结合对数的运算性质求解即可.（1）依题意，当0x =时，85y =，所以08525k a =⋅+，解得60k =，所以实数k 的值是60．（2）由（1）知，当0.9227a =时，600.922725x y =⨯+，当60y =时，600.92272560x ⨯+=，即70.922712x =，两边取对数，得lg0.9227lg7lg12x =-，所以lg 7lg120.8451 1.07927lg 0.92270.0349x --=≈≈-．所以刚泡好的85℃的茶水大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感．10．(1)44 (2)92(3)1【分析】（1）由指数的运算法则计算（2）由对数的运算法则计算（3）将指数式转化为对数式后计算(1)()33622023218323172271449-⨯⎛⎫---=⨯--=--= ⎪⎝⎭；(2)221lg lg 2log 24log log 32+++ ()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=-++⨯+-2239log 33log 322=++-=；(3)6log 3a =，2log 3b =，则31log 6a =，31log 2b=；所以33311log 6log 2log 31a b-=-==． 11．(1)11()(10)210x xf x =-，11()(10)210x xg x =+ (2)证明见解析 (3)121212()()()()()f x x f x g x g x f x -=-，121212()()()()()g x x g x g x f x f x +=+【分析】（1）由题意可得：()()10x f x g x +=，再根据函数的奇偶性可得：()()10()()x f x g x f x g x --+-==-+，进而结合两个式子求出两个函数的解析式．（2）由（1）可得12()()g x g x +的表达式，再利用基本不等式把12()()g x g x +进行化简整理即可得到答案．（3）由（1）可得1()f x 、2()f x 、1()g x 、2()g x 、12()f x x -与12()g x x +的表达式与结构特征，进而可求(1)解：()()10x f x g x +=℃()()10x f x g x -∴-+-=，()f x 为奇函数，()g x 为偶函数()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=()()10x f x g x -∴-+=℃由℃，℃解得11()(10)210x x f x =-，11()(10)210x x g x =+． (2) 解：1212121111()()(10)(10)221010x x x x g x g x +=+++ 1212121211111111(1010)()210102222210101010x x x x x x x x =+++≥⨯+⨯ 121212221102()210x x x x x x g +++=+=，当且仅当121010x x =，即12x x =时取等号；所以1212()()2()2x x g x g x g ++≥ (3)解：11()(10)210x x f x =-，11()(10)210x x g x =+． 12121211()(10)210x x x x f x x --∴-=- 122111010()21010x x x x =- 1212121221122112110101110101(10)(10)44101010101010x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=+----+- 12121212111111(10)(10)(10)(10)4410101010x x x x x x x x =-+-+- 1212()()()()f x g x g x f x =-121212111()(10)2210x x x x g x x +++=+⋅ 121211111010221010x x x x +⋅⋅⋅= 12121212111111(10)(10)(10)(10)4410101010x x x x x x x x =--+++． 1212()()()()g x g x f x f x =+即121212()()()()()f x x f x g x g x f x -=-，121212()()()()()g x x g x g x f x f x +=+；12．(1)4a =(2)证明见解析(3)100【分析】（1）函数x y a =在[]1,2上单调，得到220a a +=，排除5a =-，得到答案.（2）()442xx f x =+，代入数据计算得到()()11f x f x +-=，得到证明. （3）根据()()11f x f x +-=，两两组合计算得到答案.（1）解：因为函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，且函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上单调，所以当1x =和2x =时，函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上取得最值，即220a a +=，解得4a =或5a =-（舍去），所以4a =．（2）解：由（1）知，4a =，所以()442xx f x =+，故()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅．（3）解：由（2）知，()()11f x f x +-=，因为12001201201+=，21191201201+=，，1001011201201+=，所以12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12001192012012020121f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1001011100100201201f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 13．C【分析】直接代值计算即可.【详解】()e ln e=1f -=,则()()()1e 1e f f f --== 故选：C.14．B【分析】直接化根式为分数指数幂，即可得出答案．【详解】解：8855--=⎝⎭ 885145615x x ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B.15．p r q >>【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小即可【详解】解：因为01b <<，所以函数b y x =在(0,)+∞上为增函数，因为01b a <<<，所以011b b b b a <<<=，即01r p <<<，因为01b <<，所以函数x y b =在R 上为减函数，因为01b a <<<，所以01b a b b b b >>>，即1b q r <<<，所以p r q >>，故答案为：p r q >>16．3【分析】根据指数幂的运算即可求解.【详解】由17a a+=，可得0a >，11220a a -+>，11223a a -∴+==．故答案为：317．6.6【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.【详解】设x h 后血液中的药物量为y mg ，则有()020001100x y =-，令1000y ≥得：lg 20.3010 6.612lg 3120.4771x ≤≈≈--⨯ 故从现在起经过6.6h 内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 故答案为：6.6。

高中数学(新教材)人教B版必修第三册教材习题答案

一、第一章函数1.解：(1)若y=2x-1，则y=0时，x=1/2；(2)若y=3x+2，则y=0时，x=-2/3；(3)若y=-4x+3，则y=0时，x=3/4；(4)若y=5x-4，则y=0时，x=4/5。

2.解：(1)定义域：D={x|x≥-2}；(2)值域：R={y|y≥3}；(3)函数图象：3.解：由题意知，f（x）=x2+2x-3，f（x）的定义域为D={x|x∈R}，分析f（x）的单调性：f（x）的导数为f’（x）=2x+2，当x<-1时，2x+2<0，f’（x）<0，即f （x）在此区间内单调递减；当x>-1时，2x+2>0，f’（x）>0，即f （x）在此区间内单调递增。

所以，f（x）在x=-1处取得极值，极值为f （-1）=3。

4.解：(1)因为y=x2-2x+1是一个二次函数，它的定义域为D={x|x∈R}，它的值域为R={y|y≥1}；(2)函数图象如下：(3)函数的导数为y’=2x-2，当x<1时，2x-2<0，y’<0，即y在此区间内单调递减；当x>1时，2x-2>0，y’>0，即y在此区间内单调递增；所以，y=x2-2x+1在x=1处取得极值，极值为y=2。

5.解：(1)若y=x2+2x+3，则y=0时，x=-1；(2)若y=2x2+3x-4，则y=0时，x=-2；(3)若y=-3x2+2x+5，则y=0时，x=-1/3；(4)若y=4x2-3x+2，则y=0时，x=3/4。

二、第二章平面几何1.解：(1)若直线AB平行于直线CD，则∠A=∠C，∠B=∠D；(2)若直线AB垂直于直线CD，则∠A=90°，∠B=90°；(3)若直线AB与直线CD相交，则∠A+∠B=180°。

2.解：(1)由题意知，∠AOB=90°，∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°，∠BOC=∠AOC-∠AOB=150°-90°=60°；(2)由正弦定理可得：a/sinA=b/sinB=c/sinC，即6/sin60°=3/sin150°，解得：sin150°=2sin60°，由正弦函数的性质可知，sin150°=2sin60°，即c=2a；(3)由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc·cosA，即a2=9+4-2·3·2·cos60°，解得：a=3。

第4章-4.3.3-对数函数的图象与性质高中数学必修第一册湘教版

【解析】0,1, 1（【破题点】幂式或对数式比较大小时，常利用函数的单调性，借助中间值（0或1））且 , .
子题 (2024·江苏省镇江市期初)设,, ,则( )
A
A. B. C. D.
两头凑思维模型
求什么想什么
要比较,,的大小，而,,且为，因此比较与，与的大小即可.
【学会了吗丨变式题】
4.(2024·北京171中学调研)若函数在上是增函数，则实数的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】令，其图象的对称轴为直线，要使在上是增函数，则应满足解得 .故选B.
例15 (2024·广东省江门市期末)已知,, ,则( )
B
A. B. C. D.
6.已知函数在间上总有,求实数的取值范围.
【解析】, .当时，,即 . 对任意的, 恒成立,解得 .当时，,即 . 对任意的, 恒成立,解得 .综上可得，实数的取值范围是 .
题型4 对数型复合函数的奇偶性
例17 已知函数 .
（1）若为奇函数，求的值；
（2）在（1）的条件下，若在上的值域为，求, 的值.
高考帮丨核心素养聚焦
考向1 对数函数单调性的应用
例18（1） (2022·天津)已知，，，则( )
C
A. B. C. D.
【解析】，，因为在上为增函数，所以，故 .（【关键点】对于大小判断问题，很多时候会借助中间值0和1）
知识点2 指数函数与对数函数的图象与性质的比较
例2-2 已知函数，则的定义域为________；值域为___.
【解析】由，且得 .又在上为增函数，（【破题点】增函数增函数增函数）真数能取遍所有大于0的数，故值域为．
例2-3 已知，且，则函数与的图象可能是( )

高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)

(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)的全部内容。

【必修4】第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。

2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。

高中数学第三章函数概念与性质 3.4 函数的应用(一)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新

3.4 函数的应用（一）必备知识基础练知识点一用一次函数模型解决实际问题1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x 的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元 B．300元C．390元 D．280元知识点二用二次函数模型解决实际问题3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x 和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.知识点三用幂函数、分段函数模型解决实际问题5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．关键能力综合练一、选择题1．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为( )A ．4 050元B ．4 000元C ．4 100元D ．4 150元2．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A ．1 000件B ．1 200件C ．1 400件D ．1 600件3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10<x <100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．1306．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( ) A ．① B．①② C ．①③ D．①②③ 二、填空题7．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4 000元，定额减除费用800元；每次收入在4 000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4 000元的：应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在4 000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为________元． 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．9．(探究题)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．三、解答题10．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？学科素养升级练1．(多选题)生活经验告诉我们，当把水注进容器(设单位时间内进水量相同)，水的高度会随着时间的变化而变化，则下列选项中容器与图象匹配正确的是( )A ．(A)—(3)B ．(B)—(1)C ．(C)—(4)D ．(D)—(2)2．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－303．(学科素养—数据分析)医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x 表示时间(单位：小时)，f (x )表示药物的浓度：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ＋400<x ≤1，431<x ≤2，－3x ＋482<x ≤3.(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．3．4 函数的应用(一)必备知识基础练1．解析：由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 答案：C2．解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.答案：B3．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：C4．解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，0<x <6，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案：35．解析：t ＝2时，汽车行驶的路为s ＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．答案：C6．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.答案：125关键能力综合练1．解析：设每辆车的月租金为x (x ＞3 000)元，则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50，整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．答案：A2．解析：设生产x 件时自产合算，由题意得1.1x ≥800＋0.6x ，解得x ≥1600，故选D. 答案：D3．解析：设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20.B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15.t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.∴A 正确．答案：A4．解析：设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元．由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )(30≤x ≤54)．上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432. 所以当x ＝42时，利润最大．答案：B5．解析：若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用25人．答案：C6．解析：由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.答案：A7．解析：当此人收入为4 000元时(扣税前)，应纳税(4 000－800)×20%×(1－30%)＝448＞280，可知此人收入不超过4000元(扣税前)，则设此人应得稿费为x 元(扣税前)，则(x －800)×20%×(1－30%)＝280，解得x ＝2 800.故正确答案为2 800. 答案：2 8008．解析：设出租车行驶x 千米时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9. 答案：14.59 99．解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号.所以该容器的最低总造价为160元．答案：16010．解析：设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900，所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900，所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)．结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．学科素养升级练1．解析：(A)容器下粗上细最上方为柱形，水高变化为逐渐变快再匀速，故(A)应匹配(4)，(B)容器下方为球形上方为柱形，水高变化为先逐渐变慢再逐渐变快再匀速，故(B)应匹配(1)；(C)，(D)容器都是柱形的，水高变化的速度都应是不变的，但(C)容器细，(D)容器粗，故(C)容器水高变化快，(D)容器慢．(C)应匹配(3)，(D)应匹配(2)，故正确匹配的是BD.答案：BD2．解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元，则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)．由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.答案：A3．解析：(1)当0<x ≤1时，f (x )＝－x 2＋4x ＋40＝－(x －2)2＋44，∴f (x )在(0,1]上是增函数，其最大值为f (1)＝43；f (x )在(2,3]上单调递减，故当2<x ≤3时， f (x )<－3×2＋48＝42.因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．(2)当0<x ≤1时，令f (x )＝41.75，即－(x －2)2＋44＝41.75，解得x ＝3.5(舍去)或x ＝0.5；当2<x ≤3时，令f (x )＝41.75，即－3x ＋48＝41.75，解得x ≈2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时>1.5小时， ∴撒放药物后，能够达到消毒要求．。

高一数学必修1,2,3,4,5试题及答案

高二数学必修部分测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题５分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．0sin 390=()A ．21B ．21-C ．23 D ．23- 2．已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,则tan()4πα+的值为() A 1223133A 4.，b 满足：|3a =，|2b =，||a b +=||a b -=()A 3D ．105.下面结论正确的是（）C.6A C 789、函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈-=--),2(,22]2,(,2211x x y x x 的值域为______________。

A 、),23(+∞- B 、]0,(-∞ C 、23,(--∞ D 、]0,2(- 10.当x>1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞) D ．(－∞,3]11．已知a,b,c 成等比数列，且x,y 分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则y c x a +的值为（）（A ）21（B ）-2（C ）2（D ）不确定 12．已知数列{a n }的通项公式为a n =n n ++11且S n =1101-,则n 的值为（）（A ）98（B ）99（C ）100（D ）101二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13141516。

17得到y 1819（本小题满分12分）已知向量a ,b 的夹角为60,且||2a =,||1b =,(1)求a b ;(2)求||a b +.20.已知数列{a n }，前n 项和S n =2n-n 2,a n =log 5bn ，其中bn>0，求数列{bn}的前n 项和。

21（本小题满分14分）已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+,且()f x a b =(1)求函数()f x 的解析式;(2)当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 的最小值是－4,求此时函数()f x 的最大值,并求出相应的x 的值. 22如图如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD ，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=1/2.ACAD 13.3π171)2-+x ，∴18.19.解：(1)1||||cos602112a b a b ==⨯⨯= (2)22||()a b a b +=+所以||3a b +=20.当n=1时，a 1=S 1=1当n ≥2时，a 1=S n -S n-1=3-2n ∴a n =3-2nb n =53-2n∵25155123)1(23==+-+-n n bn bn b 1=5∴{b n }是以5为首项，251为公比的等比数列。

人教版B版高中数学选修3-4(B版)正三角形的对称变换群

2.单位元集合G中，单位元是s（0）。有：
s(x)s(0) s(x)
3.逆元任取集合G中一个元素s（x），存在s（y）属于G
有：s(x)s(y) s(0) 那么存在 s(y) s(2 - x)
这样，我们得到了正三角形的平面旋转群。
谢谢观赏

A A
B B
C C

A B
B C
CA

A C
B A
C B

这三种分别是三角形旋转0度，120度，240度。
典型剖析

A A
B C
C B

A C
B B
CA

A B
B A
C C

这三种分别是沿着三条边的中垂线做反射。
可以看到，这些置换是3元置换。一共有6种。
练习测评
有了元素和运算，我们可以知道这个集合的表示形
式：G {s(x): 0 x 2}
那么，我们接下来要验证几个性质： 1.结合律。对于集合G中任意三个元素，有
(s(x1)s(x2 ))s(x3) s(x1 x2 x3) s(x1)(s(x2 )s(x3))
练习测评
要点总结
置换的定义：一个集合的置换是从该集合映至自身的双射。在这个定义中，首先应该注意的是置换本质是一个映射，它把一个集合中的元素映到这个集合中的某一个元素。其次，置换是一个双射，即既单又满。
要点总结
有了置换的定义，我们还要引入置换的表示方法：
设1，2，…，n是一个有限非空集合的元素，那么一个置换可以表示为：
11
2
2
其中， 1,2，，n
一个全排列。

数学高中集合大题练习题及讲解

数学高中集合大题练习题及讲解集合是数学中描述对象的集合体，是高中数学中的重要组成部分。

以下是一些集合相关的大题练习题及讲解：### 练习题1：集合的运算设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求以下集合运算的结果：1. A ∪ B（A并B）2. A ∩ B（A交B）3. A - B（A减B）讲解：1. A ∪ B表示A和B中所有元素的集合，不重复地列出，即{1, 2, 3, 4}。

2. A ∩ B表示A和B中共有的元素，即{2, 3}。

3. A - B表示A中有而B中没有的元素，即{1}。

### 练习题2：子集与幂集设集合S = {a, b, c}，求：1. S的所有子集。

2. S的幂集。

讲解：1. S的所有子集包括空集以及S中所有元素的所有组合，即：∅，{a}，{b}，{c}，{a, b}，{a, c}，{b, c}，{a, b, c}。

2. S的幂集是S所有子集的集合，即：{∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}。

### 练习题3：集合的包含关系设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4, 5}，判断A是否是B的子集，并说明理由。

讲解：A不是B的子集，因为A中的元素1不在B中。

子集的定义是如果集合A的所有元素都在集合B中，那么A是B的子集。

### 练习题4：集合的相等集合A = {1, 2, 3}和集合C = {3, 2, 1}是否相等？为什么？讲解：集合A和C相等。

根据集合的性质，集合的元素是无序的，即元素的排列顺序不影响集合的相等性。

### 练习题5：描述法和列举法用描述法表示集合{x | x是小于10的正整数}，并用列举法表示集合{x | x是偶数}。

讲解：1. 描述法表示为{x | x ∈ N, 1 ≤ x < 10}，其中N表示自然数集合。

2. 列举法表示为{2, 4, 6, 8, 10}。

数学习题精选.doc

（一）选择题1.下列方程中一、关于一元二次方程概念的题目）是一元二次方程⑵ /-2x-8-0（4）(A) (1) (5) (6) (C) (1) (3) (4) (6) 5(B) ( 1) (4) (5)(D) (2) (4) (5)2. 若方程是关于T 的-元二次方程，则织的取值范围是（）（A ）««**0 （B ）«**1 （C ）由或（D ）#遇1 且 m»*-1（二）填空题己知关于x 的方程当上时，方程为一元二次方程，当k 时,方程为一元一次方程。

（三）解答题巳知关于*的方程-I 是一元二次方程，求a 的取值范围。

【参考答案】（一）1. A 2. D（）A-3.（三）〃的取值范围是二、关于一元二次方程一般形式的题目（一）选择题1.方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为（）（A） 3, -4, -2 （B） 3,2, -4 （C） 3, -2, -4 （D） 2, -2, 02. -元二次方程（3X-1）（2x4 25 -化为一般形式T+M-e—O（ "0）后，的值分别为（）（A） 6,4, 3 （B） 6, -4, -3 （C） 5,4, -3 （D） 5, -4, 33. -元二次方程+ 化成-般式后，二次项系数为1, -次项系数为-1,则4的值为（）（A） -1 （B） 1 （C） -2 （D） 2（二）填空题1. 2 的二次项系数是,常数项为,射-4厦的值为。

2.方程（女*：）（L为= 化为-般式为,二次项系数，-次项系数，常数项的和为 O3.一元二次方程—'**<*« ■ 0 ,有两个解为1和一 1,则有« +-,且有tf-h+c-（三）解答题1.把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项。

（1）-3-3I⑵ 4 -lli - C⑶My+D・；OF・、⑷做-⑩♦«-可・7土⑸（5厂1）—«。

高中数学练习题及讲解整册

高中数学练习题及讲解整册# 高中数学练习题及讲解整册## 第一章：集合与函数### 练习题1：集合的运算1. 已知集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {2, 3, 4}，求A ∪ B 和A ∩ B。

2. 若集合 C = {x | x > 0}，判断5 ∈ C。

### 练习题2：函数的基本概念1. 判断函数 f(x) = x^2 是否为奇函数或偶函数。

2. 若 f(x) = 2x - 1，求 f(-1) 和 f(2)。

### 讲解- 集合的并集A ∪ B 包含所有在 A 或 B 中的元素，交集A ∩ B 包含同时在 A 和 B 中的元素。

- 函数的奇偶性可以通过 f(-x) 与 f(x) 的关系来判断。

奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足 f(-x) = f(x)。

## 第二章：不等式与方程### 练习题1：不等式的解法1. 解不等式 3x - 5 < 2x + 4。

2. 判断 x^2 - 4x + 4 ≤ 0 的解集。

### 练习题2：方程的解法1. 解方程 2x^2 - 5x + 3 = 0。

2. 判断方程 x^2 + 3x - 4 = 0 是否有实数解。

### 讲解- 解不等式时，可以通过移项、合并同类项等步骤找到 x 的取值范围。

- 判断不等式 x^2 - 4x + 4 ≤ 0，可以利用完全平方公式，即 (x - 2)^2 ≤ 0，解得 x = 2。

- 方程的解法包括因式分解、配方法、公式法等。

实数解的存在性可以通过判别式 D = b^2 - 4ac 来判断。

## 第三章：数列### 练习题1：等差数列1. 已知等差数列的第 3 项 a_3 = 7，第 5 项 a_5 = 12，求首项a_1 和公差 d。

2. 若等差数列的前 n 项和为 S_n = 20n，求 a_1 和 d。

### 练习题2：等比数列1. 已知等比数列的第 2 项 b_2 = 2，第 4 项 b_4 = 16，求首项b_1 和公比 q。

高一数学必修3必修4试题含答案2篇

高一数学必修3必修4试题含答案2篇题目1：高一数学必修3必修4试题含答案第一篇：在高中数学的学习中，必修3和必修4是两个重要的阶段。

这两个阶段涵盖了数学的基本概念和初步的应用。

为了帮助同学们更好地复习和巩固所学知识，我收集了一些必修3和必修4的试题，并附上了答案。

一、必修3试题：1. 已知函数 y = x^2 + 2x - 3，求函数的导函数。

答案：函数的导函数为 y' = 2x + 2。

2. 已知数列 {an} 的通项公式为 an = 2n^2 + 3n，求数列的前n 项和。

答案：数列的前 n 项和为 Sn = (n^4 + 2n^3 - n^2 - n) / 4。

3. 已知直线 l1 过点 A(1, 2) 和点 B(3, -1)，直线 l2 过点C(-2, 4) 和点 D(1, -3)，求直线 l1 和直线 l2 的夹角。

答案：直线 l1 的斜率为 k1 = (2 - (-1)) / (1 - 3) = -3/2；直线 l2 的斜率为 k2 = (4 - (-3)) / (-2 - 1) = 7/3。

直线 l1 和直线 l2 的夹角为 arctan((k2 - k1) / (1 + k1 * k2))。

二、必修4试题：1. 已知函数 y = x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求函数的极值点。

答案：函数的极值点为 x = -1。

2. 已知函数 y = e^(2x) ，求函数的反函数。

答案：函数的反函数为 y = ln(x) / 2。

3. 已知数列 {an} 的通项公式为 an = 3^n + 2^n ，求数列的前 n 项和。

答案：数列的前 n 项和为 Sn = (3^(n+1) - 1) / 2。

以上是我整理的一些必修3和必修4的试题，希望对同学们的复习有所帮助。

如果还有其他问题，可以继续向我提问。

第二篇：高中数学是一个系统而复杂的学科，需要同学们在掌握了基本概念的基础上，能够进行灵活的应用。

高一数学(必修一)《第四章对数》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第四章对数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．求下列各式的值： (1)2log 32-； (2)2lg310； (3)3ln 7e ； (4)23log 9； (5)2lg100； (6)2lg 0.001． 2．求下列各式的值：（1）2log 32-；（2）2lg310；（3）3ln 7e ；（4）23log 9；（5）2lg100；（6）2lg 0.001. 3．化简下列各式(1)1223321()4(0.1)()a b ---．4．已知()2lg lg lg lg lg 0lg lg lg lg x y x y x y x y x y-⎡⎤++⎣⎦++=⋅，求()2log xy 的值． 5．对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就．(1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果0a >，且1a ≠，0M >那么()log log n a a M n M n =∈R ；(2)因为()10342102410,10=∈，所以102的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数），试判断220219的位数；（注：lg 219 2.34≈）(3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为3613=M ．根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为8010=N ，甲、乙两个同学都估算了MN的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310．现有一种定义：若实数x 、y 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ，试判断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由．（注：lg 20.3010≈和lg30.4771≈）6．计算：(1)21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48----+(2)lg232log 9lg lg 4105+--7．计算求值(1)()362189-⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b-的值．8．计算：(1)7lg142lg lg 7lg183-+-；(2)()2lg53lg 22lg5lg 2lg5+++⨯；(3)()()22666661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭．9．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=计算火箭的最大速度v （单位：m/s ）．其中0v （单位m/s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg ）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m/s ．参考数据：ln 230 5.4≈和0.51.648 1.649e <<．(1)当总质比为230时，则利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500 m/s ，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T ，求不小于T 的最小整数？ 10．(1)()()2293777log 49log 7log 3log 3log 3+--；(2)2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++11．已知函数()()()ln 3ln 3f x x x =++-. (1)证明：函数()f x 是偶函数；(2)求函数()f x 的零点.12．已知集合{}54log 2,log 25,2A =，集合231log 5,log 9B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．记集合A 中最小元素为a ，集合B 中最大元素为b ． (1)求A B 及a ，b 的值； (2)证明：函数()1f x x x =+在[)2,+∞上单调递增；并用上述结论比较a b +与52的大小． 13．某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y =0.025x ，y =1.003x ，y =12ln x +1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e ≈2.71828…，e 8≈2981)14．已知2x ＝3y ＝a ，若112x y+=，求a 的值．15．将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128； (2)12log 325=-；(3)lg1000＝3； (4)ln 2x =二、单选题16．在下列函数中，最小值为2的是（） A ．1y x x=+B ．1lg (110)lg y x x x=+<< C ．222(1)1x x y x x -+=>-D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭17．已知集合{}|2x A x x N *=≤∈，{}2|log (1)0B x x =-=，则A B =（）A ．{}1,2B ．{}2C ．∅D ．{}0,1,2参考答案与解析1．(1)13；(2)9；(3)343； (4)4； (5)4； (6)6-.【分析】根据指对数的关系及对数的运算性质求值. (1)由2log 3a =-，则1232aa -==，即123a=，故2log 33212a -==. (2)由22lg 3lg 3lg 9a ===，则109a =，故2lg309110a ==. (3)由33ln 7ln 7a ==，则3e 7343a ==，故3ln733e 4a e ==. (4)223333log 9log 9log 34log 2234====.(5)2222lg100lg100lg104lg104====.(6)23lg 0.001lg 0.001lg106lg10622-==-=-=. 2．（1）13（2）9（3）343（4）4（5）4（6）6-【解析】（1）根据log a b a b =,即可求得2log 32-; （2）根据log a b a b =,即可求得2lg310; （3）根据log a b a b =,即可求得3ln 7e ;（4）根据log log Ma ab M b =和log 1a a =,即可求得23log 9;（5）根据log log Ma ab M b =和log 1a a =,即可求得2lg100;（6）根据log log M a a b M b =和,log 1a a =,即可求得2lg 0.001.【详解】（1） log a b a b =∴ 22log 3log 31112(2)33---===;（2） log a b a b = ∴2lg3lg32210(10)39===;（3） log a b a b = ∴3ln 7ln 33e (e 7)7343===;（4） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴2433log 9log 34==;（5） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴24lg100lg104==;（6） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴26lg 0.001lg106-==-.【点睛】本题考查了对数的化简求值,解题关键是掌握log log Ma ab M b =和log 1a a =,考查了计算能力,属于基础题. 3．(1)425(2)-4【分析】（1）利用分数指数幂和根式的性质和运算法则求解即可得到结果；（2）利用对数的性质和运算法则求解即可得到结果．（1） ()1原式3312233221824222525100a ba b---⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭；（2）原式()()lg 812525100241111222lg ⨯÷÷====-⨯---． 4．()2log 0xy =【分析】对原式化简，得()()22lg lg lg 0x y x y ++-=⎡⎤⎣⎦，由对数的运算性质求解xy 的值，再代入即可. 【详解】由()2lg lg lg lg lg 0lg lg lg lg x y x y x y x y x y-⎡⎤++⎣⎦++=，去分母可得 ()()22lg lg lg 0x y x y ++-=⎡⎤⎣⎦，所以()lg lg lg 01lg 01x y xy xy x y x y +===⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩所以()2log 0xy =. 5．(1)答案见解析 (2)515(3)甲同学的近似值更接近MN，理由见解析【分析】（1）利用对数的恒等式结合指数的运算性质可证得结论成立；（2）利用对数运算性质计算出220lg 219的近似值，即可得出220219的位数；（3）由题意可得出36180310=M N ，比较7310M N -与9310M N -的大小关系，即可得出结论. （1）解：若0a >，且1a ≠，0M >和n ∈R ，则()log log a a nn M M n a a M ==化为对数式得log log na a M n M =．（2）解：令220219t =，所以lg 220lg 219t = 因为lg 219 2.34≈，所以lg 220lg 219514.8t =≈ 所以()514.85145151010,10t ≈∈，所以220219的位数为515．（3）解：根据题意，得36180310=M N 所以36136180803lg lg lg3lg10361lg38092.233110M N ==-=⋅-≈ 所以()92.233192931010,10MN≈∈ 因为()361173lg 23lg 2361lg3172.5341173lg10⨯=+⋅≈<=所以36117317315323101010⨯<<+，所以36193738023101010⨯<+ 所以361361739380803310101010-<-，所以甲同学的近似值更接近M N ．6．(1)4736- (2)1-【分析】(1)根据指数幂运算性质计算即可; (2)根据对数的运算性质计算即可. （1）解：21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48----+=212329273()1()()482=23233321[()]()223=22132()()223=194249=4736-；（2）解：lg232log 9lg lg 4105+--=2lg 2lg52lg 22=lg 2(1lg 2)2lg 21.7．(1)44 (2)92(3)1【分析】（1）由指数的运算法则计算（2）由对数的运算法则计算（3）将指数式转化为对数式后计算 (1)()33622023218323172271449-⨯⎛⎫---=⨯--=--= ⎪⎝⎭；(2)221lglg 2log 24log log 32+++ ()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=-++⨯+- 2239log 33log 322=++-=； (3)6log 3a = 2log 3b =则31log 6a = 31log 2b=；所以33311log 6log 2log 31a b-=-==．8．(1)0 (2)3 (3)1【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；（2）提公因式，逐步化简即可求解；（3）逐步将原式化成只含6log 2和6log 3形式. （1）方法一：（直接运算）原式227147lg14lg lg 7lg18lg lg1037183⎛⨯⎛⎫=-+-==⎫⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⨯．方法二：（拆项后运算）原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=．（2）原式()()lg5lg5lg22lg2lg5lg2=⨯++++()lg5lg102lg10lg22lg5lg23=⨯++=++=．（3）原式()()226666log 2log 33log 2log =++⨯ ()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯ ()626log 2log 31=+=．9．(1)10800 m/s (2)45【分析】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可. (1)当总质比为230时，则2000ln 2302000 5.410800v =≈⨯= 即A 型火箭的最大速度为10800m /s . (2)A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A 型火箭的喷流相对速度为2000 1.53000/m s ⨯=，总质比为3Mm由题意得：3000ln2000ln 5003M M m m-≥ 0.50.5ln 0.5272727M M M e e m m m⇒≥⇒≥⇒≥因为0.51.648 1.649e <<，所以0.544.4962744.523e << 即44.49644.523T <<，所以不小于T 的最小整数为45． 10．(1)2；(2)4.【分析】(1)将()237log 7log 3+展开再根据对数的运算求解； (2)根据对数的运算求解即可.【详解】解:(1)原式()()()2223373777log 7log 7log 32log 7log 3log 3log 3=++⨯-- ()()2233log 72log 72=+-=．(2)原式2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++323314log 3lg5lg 2log 33log 222=++-⨯++ ()4lg 52324114=+⨯-+=+-=．11．(1)证明见解析；(2)-【分析】（1）先证明函数()f x 的定义域关于原点对称，再证明()()f x f x -=即可；（2）利用对数运算对函数()f x 的解析式进行化简，求解方程()0f x =即可得到函数()f x 的零点. （1）证明：由3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<∴函数的定义域为{}33x x -<<，且定义域关于原点对称又∵()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=-++=，∴()f x 是偶函数. （2）解：()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x =-++=-，令()()2ln 90f x x =-=∴291x -=，解得x =±∴函数()f x的零点为-和12．(1){}2log 5⋂=A B ，5log 2a =和2log 5b =； (2)证明见解析52+>a b【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；（2）根据单调性的定义即可证明函数()1f x x x=+在[)2,+∞上单调递增，再根据单调性以及对数的性质1log log a b b a=即可比较出大小．（1）因为42log 25log 5=，所以{}52log 2,log 5,2A =，{}2log 5,2B =-即{}2log 5⋂=A B ．因为5522log 2log 252log 4log 5<==<，所以5log 2a = 2log 5b =．（2）设12,x x 为[)2,+∞上任意两个实数，且122x x ≤<，则120x x -< 121x x >()()()1212121212121212111110x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x <，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增．所以()()522f x f >=，所以()5222215log 2log 5log 5log 5log 52f +=+=>． 13．奖励模型1ln 12y x =+能完全符合公司的要求，答案见解析.【分析】由题意得模型需满足①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y ≤x ·25%，依次判断三个模型是否满足上述条件即可.【详解】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，则①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%. （1）对于y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，则y>5，不满足公司的要求；（2）对于y=1.003x，易知满足①，但当x>538时，则不满足公司的要求；（3）对于1ln12y x=+，易知满足①.当x∈[10，1000]时，则y≤12ln1000+1.下面证明12ln1000+1<5.因为12ln1000+1-5=12ln1000-4=12(ln1000-8)=12(ln1000-ln2981)<0，满足②.再证明12ln x+1≤x·25%，即2ln x+4-x≤0.设F(x)=2ln x+4-x，则F′(x)= 2x-1=2xx-<0，x∈[10，1000]所以F(x)在[10，1000]上为减函数F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)<0，满足③.综上，奖励模型1ln12y x=+能完全符合公司的要求.【点睛】本题主要考查函数的模型应用，属于简单题.14．a.【分析】利用对指互化得到x＝log2a，y＝log3a，再利用对数的运算化简求值. 【详解】因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a所以1x＋1y＝2311log loga a+＝log a2＋log a3＝log a6＝2所以a2＝6，解得a＝又因为a>0，所以a15．(1)log217 128=-(2)511 232-⎛⎫=⎪⎝⎭(3)103＝1 000(4)2e x=【分析】根据对数和指数互化公式得到相应结果即可.(1)由2－7＝1128，可得log 21128＝－7. (2) 由12log 325=-，可得512-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝32. (3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.(4)由ln 2x =，可得e 2＝x .16．C【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，1x =-时，则y 为负数，A 错误.以D 错误.故选：C17．B【分析】分别求出集合,A B ，根据集合的交集运算得出答案.【详解】由题意知：{}{}|20,1,2x A x x N *=≤∈= {}{}2|log (1)02B x x =-== {}2A B ⋂=.故选：B.。

浙江省9+1高中联盟长兴中学2024学年高三练习题四(全国卷)数学试题

浙江省9+1高中联盟长兴中学2024学年高三练习题四（全国卷）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（）（参考数据：003 1.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈）A．48 B．36 C．24 D．122．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（）A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒3．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q）C．（非p）∧q D．p∧（非q）4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．23B ．13C ．43D ．565．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（） A ．1-B ．1C ．i -D ．i6．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（） A ．134-B ．54C ．5D ．1547．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（） A ．13B ．23C ．33D ．238．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．329．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（） A ．B ．C ．D ．10．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（）A ．23B 6C 3D ．1311．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n、x的值分别为3、1，则输出v的值为（）A．7B．8C．9D．1012．执行如图所示的程序框图若输入12n ，则输出的n的值为（）A．32B．2C．52D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高中数学选择性必修一高考训练练习习题课时作业(四)

课时作业(四) 空间直角坐标系[练基础]1．空间两点A ，B 的坐标分别为(a ，b ，c )，(－a ，－b ，c )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称2．空间直角坐标系下，点M (2，－1，3)关于x 轴对称的点的坐标为( )A ．(－2，1，3)B ．(－2，－1，－3)C ．(2，1，－3)D ．(－2，1，－3)3．在空间直角坐标系中，点P (1，2，－3)关于坐标平面xOy 的对称点为( )A ．(－1，－2，3)B ．(－1，－2，－3)C ．(－1，2，－3)D ．(1，2，3)4．在空间直角坐标系中，记点M (－1，1，2)关于x 轴的对称点为N ，关于yOz 平面的对称点为P ，则线段NP 中点坐标为( )A ．(1，0，0)B ．(－1，－1，0)C ．(1，0，1)D ．(0，0，0)5.以棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线交点的坐标为( )A ．(0，12 ，12 )B ．(12 ，0，12) C ．(12 ，12 ，0) D ．(12 ，12 ，12) 6．如图，正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为________．7．在空间直角坐标系中，已知点A (－1，2，－3)，则点A 在yOz 平面内射影的点的坐标是________．8．已知点A (－4，2，3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A 2，A 2关于z 轴的对称点为A 3，求线段AA 3的中点M 的坐标．[提能力]9．如图，正方体OABC O 1A 1B 1C 1的棱长为2，E 是B 1B 上的点，且EB ＝2EB 1，则点E 的坐标为( )A ．(2，2，1)B ．(2，2，2)C ．(2，2，23 )D ．(2，2，43) 10．(多选)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝5，AD ＝4，AA 1＝3，以直线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点B 1的坐标为(4，5，3)B ．点C 1关于点B 对称的点为(5，8，－3)C ．点A 关于直线BD 1对称的点为(0，5，3)D ．点C 关于平面ABB 1A 1对称的点为(8，5，0)11．在空间直角坐标系Oxyz 中，若点M (a 2－4a ，b ＋3，2c ＋1)关于y 轴的对称点M ′的坐标为(4，－2，15)，则a ＋b ＋c 的值为________．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标．[培优生]13．如图是从一个正方体中截下的一个三棱锥P ABC，|P A|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，则△ABC的重心G的坐标为________．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第3模块第4节[知能演练]一、选择题1．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6解析：由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π， ∴ω＝2，排除A 、C.∵图象过(π12，1)代入B 项，∴f (π12)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π6＝0≠1. 排除B ，选D. 答案：D2．为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6. 由题意知要得到y ＝sin(2x ＋5π6)的图象只需将y ＝sin2x 向左平移5π12个单位长度．答案：A3．设f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f (x )是偶函数的充要条件是( )A ．f (0)＝1B ．f (0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝0解析：∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)是偶函数， ∴sin(ωx ＋φ)＝sin(－ωx ＋φ)． ∴sin ωx cos φ＝0，∴cos φ＝0. ∴φ＝kπ＋π2k ∈Z)，∴f (0)＝sin φ＝±1.又f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，∴f ′(0)＝ωcos φ＝0. 答案：D4．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：由f (π6＋x )＝f (π6－x )可知x ＝π6是f (x )的一条对称轴．又∵y ＝2sin(ωx ＋φ)在对称轴处取得最值，故选B.答案：B 二、填空题5．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：如下图所示，∵f (x )＝sin(ωx ＋π3)，且f (π6)＝f (π3)，又f (x )在区间(π6，π3)内只有最小值、无最大值，∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值．∴π4ω＋π3＝2kπ－π2(k ∈Z)． ∴ω＝8k －103(k ∈Z)．∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间(π6，π3)内已存在最大值．故ω＝143.答案：1436．函数y ＝|sin x |cos x －1的最小正周期与最大值的和为________．解析：y ＝|sin x |cos x －1＝⎩⎨⎧12sin2x －1， 2kπ≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z ，－12sin2x －1， (2k ＋1)π<x ≤(2k ＋2)π，k ∈Z.其图象如下图所示：函数最小正周期T ＝2π，最大值y max ＝－12，故最小正周期与最大值之和为2π－12.答案：2π－12三、解答题7．已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)·sin(x ＋π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域．解：(1)∵f (x )＝cos(2x －π3＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin(2x －π6)． ∴周期T ＝2π2＝π.由2x －π6＝kπ＋π2(k ∈Z)，得x ＝kπ2＋π3(k ∈Z)．∴函数图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋π3(k ∈Z)．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6. ∵f (x )＝sin(2x －π6)在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡π3，π2上单调递减，∴当x ＝π3时，f (x )取得最大值1，又∵f (－π12)＝－32<f (π2)＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取得最小值－32.∴函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋sin(ωx －π6)－2cos 2ωx2，x ∈R(其中ω>0)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若对任意的a ∈R ，函数y ＝f (x )，x ∈(a ，a ＋π]的图象与直线y ＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调增区间．解：(1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1.由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin(ωx －π6)－1≤1.可知函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，又由ω>0，得2πω＝π，即得ω＝2.于是有f (x )＝2sin(2x －π6－1，再由2kπ－π2≤2x －π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)，解得kπ－π6≤x ≤kπ＋π3(k ∈Z)．所以y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π6，kπ＋π3(k ∈Z)．[高考·模拟·预测]1．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析：当a ＝0时，f (x )＝1，图象即为C ；当0<a <1时，三角函数的最大值为1＋a <2，图象即为A ；当a >1时，三角函数的周期为T ＝2πa<2π，图象即为B.故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[kπ－π12kπ＋5π12，k ∈Z B ．[kπ＋5π12，kπ＋11π12]，k ∈ZC ．[kπ－π3kπ＋π6]，k ∈ZD ．[kπ＋π6，kπ＋2π3]，k ∈Z解析：∵y ＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，且由函数y ＝f (x )与直线y ＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y ＝f (x )的周期T ＝π，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．令2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)，得kπ－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z)，故选C.答案：C3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( )A.π2B.3π8 C.π4D.π8 解析：由最小正周期为π得ω＝2，于是f (x )＝sin(2x ＋π4)，其图象向左平移|φ|个单位长度后所对应的函数的解析式为y ＝sin(2x ＋π4＋2|φ|)，由于该函数的图象关于y 轴对称，所以它是偶函数，所以π4＋2|φ|＝kπ＋π2，k ∈Z ，所以|φ|＝kπ2＋π8，k ∈Z ，故选D.答案：D4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如下图所示，则ω＝________.解析：观察函数图象可得周期T ＝2π3，又由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)得T ＝2πω，则T ＝2π3＝2πω，所以ω＝3.答案：35．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式．(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程．解：(1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×(5π12－π6)＝π，故ω＝2πT＝2.将点(π6，2)代入f (x )的解析式得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)变换过程如下：[备选精题]6．如右图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(Ⅰ)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离； (Ⅱ)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？解：(Ⅰ)依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3，∴M (4,3)，又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5.(Ⅱ)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5. 设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°.由正弦定理得MP sin120°＝NP sin θ＝MN sin(60°－θ)∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)．故NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033(12θ＋32cos θ)＝1033sin(θ＋60°)．∵0°<θ<60°，∴60°<θ＋60°<120°， ∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．。