流体力学能量方程讲解

p1
由于是多变过程，所以
p
n

p
1n

p
2n
p2 p1
dP
d

n
n1(RT2

RT1)

n( n 1
p2v2

p1v1)
上式也可写成
pp12
1 dp


n( n 1
p2v2

p1v1)

(
p2v2

p1v1)
，由工程热力学知，
n( n 1
p2v2

p1v1)
这一项表示多变压缩过程中，

d损
或
d

d(v2 2
)

dp


d损
这就是微分形式的伯努利方程。
对上式积分得
C22 C12
2
p2 p1
dp


损
这就是积分形式的伯努利方程。
同能量方程一样，如果气体对外做功， 则

项前应取负号，因此伯努力方程可综合写成
C22 C12 2
p2 p1
压
p2 p1
1 dp


C22
2
C12
损
为了了解上式的物理意义，应先弄清
p2 1dp
p1
代表什么?显然
p2 1dp
p1
的值是与过程的性质有
关的。过程不同
p和v
，的变化就不同，pp12
1

dp
的值也产不同。为使论论具有普遍性，下面以
多变过程来研究
p2 1dp 的物理意义。
该方程表明，理想不可压流体，沿着流管其全压
p 保持不变。当流速增大时，动压增大，静压减 少；反之亦然。
二、伯努利方程的应用
发动机工作时，压缩器对气体做功，燃气对 涡轮做功等，均可应用伯努利方程作定量分析。 另外，空速表测速原理也是伯努利方程的具体应 用。
（一）求压缩器功
在压缩器中，压缩器对气体做功，机械能前 应取正号，故有
要得到机械能形式表示的能量方程，就需 要把能量方程中以热能形式出现的项，用适当 的机械能形式的项来代替。热力学第一定律提 供了这种可能性。因为热力学第一定律的解析 式正是表达了热与功相互转换的数量关系。将 这一解析式应用于能量方程，便可得到伯努利 方程。下面来推导伯努利方程。
一般形式的能量方程为
q
空速管上有两种孔，侧壁上一排孔叫静压孔， 它感受大气静压 pH ，并通过导管与开口膜盒外 部相通；空速管前端的孔叫全压孔，用来感受总 压 p，并通过导管和空速表的开口膜盒内腔相通。
这样，膜盒内外压强就是动压q。
当飞机在海平面飞行时，膜盒内外的压强差为
p2v2

p1v1)

n
n
1
R(T2
T1)

n
n
1
RT1
(
p2 p1
)
n1 n
1

至此，可以利用上式说明，得
压

多压

C22
2
C12

损
上式表明，压缩器对1千克气体所作的功，一 部分用来提高气体的压力，另一部分用来增加 气体的功能，还有一部分消耗于损失。



(
p2v2

p1v1)

损

C22
2
C12

(H2

H1 ) g

(u2

u)
将方程写成微分形式
dq

d

d
(
pv)

d损

d
(C2 2
)

gdH

du
由热力学第一定律知
dq du Pdv
（1） （2）
将（2）式代入（1）式并忽略位能的变化，
整理得
d

d
(C2 2
)

vdp
n( n 1
p1v1

p2v2 )
就表示1千克流动气体在多变膨胀
后所发出的功，简称多变膨胀功，以多膨 表示。
在压容图上多膨用面积 a12ba 表示(如图2—
2—8所示)。多膨也可以用压力比的形式表示


p2 p1
1 dp


n
n
1
RT1
1



(
1
p1
)
n1 n
p2

压缩1千克静止气体所耗费的功；( p2v2 p1v1) 表示 推动1千克流动气体所耗费的推动功。二者之和
n( n 1
p2v2

p1v1)
就表示多变压缩过程中，压缩1千
克流动气体所耗费的功，简称多变压缩功，用
多压 表示。
从积分的概念得知：pp12 vdp 等于压容图上面积
a12ba 见图(2—2—7)，即多变过程曲线1—2与纵 坐标轴所包围的面积。另外，还可以看出
为了使上式表示的物理意义更清楚，把它改写 成为
多膨

轮缘

C22
2
C12
损
由此可见，1千克流动气体膨胀后所发出的功， 用来对涡轮工作叶轮作机械功，增大气体的动 能和消耗于损失。
（三）空速表测速原理
飞行速度是由空速管、空速表系统来测量和指 示的。空速表上的粗针指示飞行表速 ，细针指示 飞行真速，如图2—2—9所示，其原理如下。
dp


损
对于无粘不可压流体(即理想不可压流体)， 常数，并沿流管积分得
dp CdC
p 1 C2 p
2
或
p 1 C2 p
2
上式为理想不可压流体的伯努利方程，或称低
速能量方程。其中 p 为静压；1 C2 为动压，记为
2
q；p 称为总压(或全压)。
多压
p2 p1
1dp


n( n 1
p2v2

p1v1)

(面积c12dc 面积od2bo 面积oc1aO) =面积 a12ba。
多压 常常用压力比的形式表示，将 pv RT 以及
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(T2
)

(
p2
)
n1 n
代入上式得
T1
p1
多压
p2 p1
1 dp


n( n 1
p2到p1 ，可得
p2 p1
1dp


n( n 1
p1v1

p2v2 )
或
p2 p1
vdp

n( n 1
p2v2

p1v1)

(
p1v1

p2v2 )
可以看出，
n( n 1
p1v1

p2v2 )
是表示多变膨胀过程
中，1千克静止气体膨胀所作的功，而 ( p1v1 p2v2)
是表示1千克流动气体所作的推动功，则
§2—4 伯努利方程
能量方程解决了流动气体能量的转换关系 问题。但是方程中既含有机械能，又含有热能， 且不显含损失功。在实际应用中，有时只希望 讨论机械能之间的转换和求解损失功的大小问 题，这时，用能量方程就不方便了。伯努利方 程就是用机械能形式写出来的能量方程。下面 我们就来研究伯努利方程。
一、伯努利方程的推导
（二）求轮缘功
在涡轮中，气体对工作叶轮作功，机械功应 取负号。故伯努利方程可写为
轮缘
p2 p1
1 dp


C22
2
C12
损
变换后得
轮缘

p2
1 dp
C
2 2
C12
p1
2
损
与讨论压缩功一样，也要弄清
p2 1dp
p1
代表什么。
对多变过程积分，并考虑到积分上下限为