高中数学立体几何题型

第六讲 立体几何新题型

【考点透视】

(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版.

①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.

②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.

空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】

考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题

例1如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．

（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力．

解答过程：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AO ∴⊥平面11BCC B ．

连结1

BO ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为 1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．

在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．

1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．

在1AA D △中，由等面积法可求得455

AF =，

又1122AG AB == ， 210sin 4

455AG AFG AF ∴===∠．

所以二面角1A A D B --的大小为10arcsin 4

．

（Ⅲ）1A BD △中，1115226A BD BD A D A B S ===∴=△，，，1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 的距离为3． 设点C 到平面1A BD 的距离为d ．

由1

1

A BCD C A BD V V --=，得1

11333

BCD A BD S S d = △△，

A

B C

D

1

A

1

C

1

B

A

B

C

D

1

A

1

C

1

B

O

F

1322

BCD A BD S d S ∴=

=

△△．

∴点C 到平面1A BD 的距离为22

．

解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AD ∴⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA

的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐

标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，， 1(123)AB ∴=- ，，，(210)BD =-

，，，1(123)BA =- ，，． 12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=

， 1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥．

1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ． (113)AD =-- ，，，1(020)AA = ，，． AD ⊥n ，1AA

⊥n ，

100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩

，，n n 3020x y z y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪

⎩，，03y x z =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，． 令1z =得(301)=-，，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ， 1AB ∴

为平面1A BD 的法向量．

cos

1

3364222AB AB AB -->===-

n n ． ∴二面角1A A D B --的大小为6arccos 4

．

（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB

为平面1A BD 法向量，

x

z A

B C D

1

A

1

C

1

B

O F

y