离散数学第五章代数系统优秀课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元 运算，等等。
• 运算的例子很多。例如，在数理逻辑中，否定是 命题集合上的一元运算，合取和析取是命题集合 上的二元运算；在集合论中，集合的补是集合上 的一元运算，并与交是集合上的二元运算；在实 数算术中，加、减、乘、除运算都是二元运算。
• 有了集合上运算的概念后，便可以定义代数系统 了。
• 有时，要考察两个或多个代数系统，这里就有是 否为同类型之说，请看下面定义：
5.1 代数系统的基本概念
• 定义5.3 设两个代数系统<A，f1，f2，…，fm>和<B ，g1，g2，…，gm>，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相同的 元数，则称这两个代数系统是同类型的。
• 可见，判定两个代数系统是否同类型，主要是对 其运算进行考察。
5.1 代数系统的基本概念
• 定义5.2 设A是个非空集合且fi是A上的ni元运算， 其中i = 1，2，…，m。由A及f1，f2，…，fm组成 的结构，称为代数结构或代数系统，记作 < A，f1，f2，…，fm >。
• 此外，集合A的基数即|A|，定义为代数系统的基 数。如果A是有限集合，则说代数系统是有限代数 系统；否则便说是无穷代数系统。
• 很容易举出不封闭运算的例子：一架自动售货机， 能接受五角硬币和壹圆硬币，而所对应的商品是 矿泉水（瓶）、可口可乐（瓶）和冰淇淋（杯）。 当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机 将按表5-1所示的供应相应的商品。
5.1 代数系统的基本概念
表 5-1
*
五角硬币 壹圆硬币
五角硬币 壹圆硬币
矿泉水 可口可乐 可口可乐 冰淇淋
5.1 代数系统的基本概念
• 例5.3 设有一台字长为8位的计算机，它以定点加 、减、乘、除以及逻辑加和逻辑乘为运算指令， 并分别用01，02，…，06表示之。则在计算机中由 28个不同数字所组成集合S同该机中运算指令构成 一代数系统<S，01，02，…，06>。
5.1 代数系统的基本概念
• 例5.4 设Z是整数集合，+是普通的加法运算，则<Z ，+>是一个代数系统。显然，在这个代数系统中 ，关于“+”运算，具有以下三个运算规律，即对 于任意的x，y，zZ，有
•表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的 运算符。这个例子中的二元运算*就是集合{五角 硬币，壹圆硬币}上的不封闭运算。 •定义5.1 设A，B是两个集合，若f是从An到B的函 数，则称f为A上的一个n元运算。其中n是自然数， 称为运算的元数或阶。如果BA，则称该n元运 算是封闭的。
5.1 代数系统的基本概念
• 下面举例说明上述各个概念。
5.1 代数系统的基本概念
• 例5.1 设S是非空集合，P(S)是它的幂集。对任意集 合A，BP(S)上的运算和定义如下: AB =(A-B)∪(B-A) AB = A∩B
• 则<P(S)，，>是一个代数系统，并且是一个封 闭的代数系统。
5.1 代数系统的基本概念
• 例5.2 设Σ是由有限个字母组成的集合，称为字母 表。由Σ中的字母组成的有序集合，称为Σ上的串 。串中的字母个数m称为该串的长度。m = 0时， 叫做空串，用λ表示之。用Σ*表示Σ上的串集合。 在Σ*上定义一个并置或者连接运算，用∥表示之。 如α、β∈Σ*，则α∥β = αβ。那么，<Σ*，∥>是一代 数系统。如果令Σ+=Σ*-{λ}，则<Σ+，∥>也是一个代 数系统。
离散数学第五章代数系统
• 代数学的历史悠久，早期代数学的研究对象是具 体的，它以方程根的求解与分布为研究中心。但 自从20世纪初以来，代数学的研究对象和研究方 法都发生了重大的变化，形成了抽象代数学。这 一变化可以追溯到19世纪30年代法国数学家伽罗 瓦（Galois）提出的群的概念，证明了高于四次的 一般代数方程的不可解性，并且建立了具体数字
第5章 代数系统
5.1 代数系统的基本概念
• 代数系统，也称为代数结构，是一个具有运算的
集合。因此在介绍它之前，先引进一个集合上的
运算的概念。例如，将实数集合R上的每一个数
a≠0映射成它的倒数
1 a
，或者将R上的每一个数y
映射成 y ，就可以将这些映射称为在集合R上的
一元运算；而在集合R上，对任意两个数所进行的
系统的代数方程可用根号求解的判别准则以及不
能用根号求解的数字系统代数方程的实例。
• 抽象代数学不同于以代数方程求根和根的分布情 况为研究中心的古典代数学，它研究所谓的抽象 代数系统。被处理的对象连同其上定义的运算（ 操作）称为一个代数系统。由于其研究对象的抽 象性，即它不以某一具体对象为研究对象，而是 以一大类具有某种共同性质的对象为研究对象， 因此其研究成果适用于这一类对象中的每个对象 ，从而达到事半功倍的效果。它在较高的观点上 ，把一些形式上很不相同的代数系统，撇开个性 ，抽出共性，用统一的方法描述、研究和推理， 从而得到一些反映事物本质的结论，再把它们应 用到那些系统中去，高度的抽象产生了广泛的应 用。
（1）x+yZ，
（封闭性）
（2）x+y=y+x
（交换律）
（3）(x+y)+z=x+(y+z)
（结合律）
• 容易找wenku.baidu.com与<Z，+>具有相同运算规律的一些代数 系统，如表5-2所示。
普通加法和乘法，都是集合R上的二元运算，也可
以看作是将R上的每二个数映射成R中的一个数；
至于对集合R上的任意三个数x，y，z，ALGOL算法
语言中的条件算术表达式if x=0 then y else z，就是
集合R上的三元运算。
5.1 代数系统的基本概念
• 上述一些例子，有一个共同的特征，就是其运算 结果都是在原来的集合R中，我们称那些具有这种 特征的运算是封闭的，简称闭运算。相反地，没 有这种特征的运算就不是封闭的。
• 代数系统这个具有运算的集合，是抽象代数研究 的主要对象，是离散数学的重要组成部分。它广 泛应用于自动机、形式语言、逻辑电路设计、编 码理论等研究中，成为计算机科学中重要的数学 工具。由于抽象代数的内容较多，作为离散数学 的内容之一，本篇主要介绍代数系统的基本概念 和几类典型的代数系统，包括半群、群、环、域 、格和布尔代数。
• 运算的例子很多。例如，在数理逻辑中，否定是 命题集合上的一元运算，合取和析取是命题集合 上的二元运算；在集合论中，集合的补是集合上 的一元运算，并与交是集合上的二元运算；在实 数算术中，加、减、乘、除运算都是二元运算。
• 有了集合上运算的概念后，便可以定义代数系统 了。
• 有时，要考察两个或多个代数系统，这里就有是 否为同类型之说，请看下面定义：
5.1 代数系统的基本概念
• 定义5.3 设两个代数系统<A，f1，f2，…，fm>和<B ，g1，g2，…，gm>，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相同的 元数，则称这两个代数系统是同类型的。
• 可见，判定两个代数系统是否同类型，主要是对 其运算进行考察。
5.1 代数系统的基本概念
• 定义5.2 设A是个非空集合且fi是A上的ni元运算， 其中i = 1，2，…，m。由A及f1，f2，…，fm组成 的结构，称为代数结构或代数系统，记作 < A，f1，f2，…，fm >。
• 此外，集合A的基数即|A|，定义为代数系统的基 数。如果A是有限集合，则说代数系统是有限代数 系统；否则便说是无穷代数系统。
• 很容易举出不封闭运算的例子：一架自动售货机， 能接受五角硬币和壹圆硬币，而所对应的商品是 矿泉水（瓶）、可口可乐（瓶）和冰淇淋（杯）。 当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机 将按表5-1所示的供应相应的商品。
5.1 代数系统的基本概念
表 5-1
*
五角硬币 壹圆硬币
五角硬币 壹圆硬币
矿泉水 可口可乐 可口可乐 冰淇淋
5.1 代数系统的基本概念
• 例5.3 设有一台字长为8位的计算机，它以定点加 、减、乘、除以及逻辑加和逻辑乘为运算指令， 并分别用01，02，…，06表示之。则在计算机中由 28个不同数字所组成集合S同该机中运算指令构成 一代数系统<S，01，02，…，06>。
5.1 代数系统的基本概念
• 例5.4 设Z是整数集合，+是普通的加法运算，则<Z ，+>是一个代数系统。显然，在这个代数系统中 ，关于“+”运算，具有以下三个运算规律，即对 于任意的x，y，zZ，有
•表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的 运算符。这个例子中的二元运算*就是集合{五角 硬币，壹圆硬币}上的不封闭运算。 •定义5.1 设A，B是两个集合，若f是从An到B的函 数，则称f为A上的一个n元运算。其中n是自然数， 称为运算的元数或阶。如果BA，则称该n元运 算是封闭的。
5.1 代数系统的基本概念
• 下面举例说明上述各个概念。
5.1 代数系统的基本概念
• 例5.1 设S是非空集合，P(S)是它的幂集。对任意集 合A，BP(S)上的运算和定义如下: AB =(A-B)∪(B-A) AB = A∩B
• 则<P(S)，，>是一个代数系统，并且是一个封 闭的代数系统。
5.1 代数系统的基本概念
• 例5.2 设Σ是由有限个字母组成的集合，称为字母 表。由Σ中的字母组成的有序集合，称为Σ上的串 。串中的字母个数m称为该串的长度。m = 0时， 叫做空串，用λ表示之。用Σ*表示Σ上的串集合。 在Σ*上定义一个并置或者连接运算，用∥表示之。 如α、β∈Σ*，则α∥β = αβ。那么，<Σ*，∥>是一代 数系统。如果令Σ+=Σ*-{λ}，则<Σ+，∥>也是一个代 数系统。
离散数学第五章代数系统
• 代数学的历史悠久，早期代数学的研究对象是具 体的，它以方程根的求解与分布为研究中心。但 自从20世纪初以来，代数学的研究对象和研究方 法都发生了重大的变化，形成了抽象代数学。这 一变化可以追溯到19世纪30年代法国数学家伽罗 瓦（Galois）提出的群的概念，证明了高于四次的 一般代数方程的不可解性，并且建立了具体数字
第5章 代数系统
5.1 代数系统的基本概念
• 代数系统，也称为代数结构，是一个具有运算的
集合。因此在介绍它之前，先引进一个集合上的
运算的概念。例如，将实数集合R上的每一个数
a≠0映射成它的倒数
1 a
，或者将R上的每一个数y
映射成 y ，就可以将这些映射称为在集合R上的
一元运算；而在集合R上，对任意两个数所进行的
系统的代数方程可用根号求解的判别准则以及不
能用根号求解的数字系统代数方程的实例。
• 抽象代数学不同于以代数方程求根和根的分布情 况为研究中心的古典代数学，它研究所谓的抽象 代数系统。被处理的对象连同其上定义的运算（ 操作）称为一个代数系统。由于其研究对象的抽 象性，即它不以某一具体对象为研究对象，而是 以一大类具有某种共同性质的对象为研究对象， 因此其研究成果适用于这一类对象中的每个对象 ，从而达到事半功倍的效果。它在较高的观点上 ，把一些形式上很不相同的代数系统，撇开个性 ，抽出共性，用统一的方法描述、研究和推理， 从而得到一些反映事物本质的结论，再把它们应 用到那些系统中去，高度的抽象产生了广泛的应 用。
（1）x+yZ，
（封闭性）
（2）x+y=y+x
（交换律）
（3）(x+y)+z=x+(y+z)
（结合律）
• 容易找wenku.baidu.com与<Z，+>具有相同运算规律的一些代数 系统，如表5-2所示。
普通加法和乘法，都是集合R上的二元运算，也可
以看作是将R上的每二个数映射成R中的一个数；
至于对集合R上的任意三个数x，y，z，ALGOL算法
语言中的条件算术表达式if x=0 then y else z，就是
集合R上的三元运算。
5.1 代数系统的基本概念
• 上述一些例子，有一个共同的特征，就是其运算 结果都是在原来的集合R中，我们称那些具有这种 特征的运算是封闭的，简称闭运算。相反地，没 有这种特征的运算就不是封闭的。
• 代数系统这个具有运算的集合，是抽象代数研究 的主要对象，是离散数学的重要组成部分。它广 泛应用于自动机、形式语言、逻辑电路设计、编 码理论等研究中，成为计算机科学中重要的数学 工具。由于抽象代数的内容较多，作为离散数学 的内容之一，本篇主要介绍代数系统的基本概念 和几类典型的代数系统，包括半群、群、环、域 、格和布尔代数。