含参量积分一致收敛及其应用

1 引言

无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.

广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.

1. 含参量的广义积分

和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。

1.1无穷限广义积分的定义

定义1：设),(y x f 为定义在[)I a D ⨯+∞=,（I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如dx y x f a

⎰

+∞),(的积分称为含参变量y 的广义积分。

从定义形式决定研究内容：

广义积分是否存在-----收敛性问题

与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。 1.1.2 含参量广义积分的收敛和一致收敛。

定义2：设),(y x f 定义在[)I a D ⨯+∞=,，若对某个I y ∈0，广义积分dx

y x f a

⎰+∞),(0在0y 点收敛，则称含参量广义积分dx y x f c

⎰+∞),(在0y 点收敛；若dx y x f c

⎰

+∞

),(在I 中每

一点都收敛，称含参量广义积分dx y x f a

⎰+∞),(在I 上收敛.

“δε-”定义：

dx y x f a

⎰

+∞

),(在I 上收敛是指：对每个I y ∈，a y A >∃>∀),(,00εε，使当

0,A A A >'时，

ε<⎰

'

A A

dx y x f ),(，

（或者

ε<⎰

+∞

A

dx y x f ),(）

。 注意：y A ,~0ε 由收敛性定义，若dx y x f c

⎰

+∞),(在I 上收敛，则可定义I 上的函数

)(y I =dx y x f a

⎰

+∞),(。

自然提出：此时)(y I 的性质如何?能否保证)(y I 具有较好的性质。事实上， 研究发现：正是由于定义中),(0y A ε与y 的依赖关系，使得)(y I 不能具有较好的性质。换句话说：为保证)(y I 具有可供利用的分析性质，必须改进收敛性，这就形成关于参量y 的一致收敛性。

定义3：若a A >∃>∀)(,00εε，使当0,A A A >'时，ε<⎰'

A A dx y x f ),(，对一切I

y ∈成立，称dx y x f a

⎰

+∞

),(在I 上关于y 一致收敛.

类似以前学过的相似内容，我们先给出一致收敛性的判断定理，然后分析性质的

研究.

1.1.3 一致收敛性的判别法

定理 1 （Weistrass 判别法）设存在定义于[)+∞,a 上的函数)(x F ，使

(,)(),(,)[,)f x y F x x y D a I ≤∀∈=+∞⨯，且dx x F a ⎰+∞)(收敛，则dx y x f a ⎰+∞

),(在J 上一致收敛。

定理2 （Abel 判别法）设),(),,(y x g y x f 定义在D 上且满足： 1）dx y x f a

⎰

+∞

),(在I 上关于y 一致收敛。

2）),(y x g 关于x 单调，即对每个固定y ,(,)I g x y ∈为x 的单调函数。 3）),(y x g 在D 上一致有界，即L ∃，使(,), (,)g x y L x y D ≤∀∈。 则⎰

+∞a

dx y x g y x f ),(),(关于y 一致收敛。

定理3 （Dirichlet 判别法）设),(),,(y x g y x f 定义在D 上且满足： 1）⎰>∀A

a dx y x f a A ),(,关于

y 一致有界，即0>∃K ，使

(,),,A

a

f x y dx K A a y I ≤∀≥∈⎰

都成立。

2）对固定的y I ∈，),(y x g 关于x 单调。

3）0),(lim =+∞

→y x g x 关于y I ∈一致成立：即a A ≥∃>∀0,0ε，当0A x ≥时，ε

<),(y x g 关于y I ∈一致成立。

则⎰

+∞

a

dx y x g y x f ),(),(关于y I ∈一致收敛。

注：上述两个定理的证明和广义积分的收敛性的证明类似， 其出发点都是积分第二中值定理：

⎰

⎰

⎰

'

'

'+=A y y A

A A

dx y x f y A g dx y x f y A g dx y x g y x f )

()

(),(),(),(),(),(),(ξξ

三、一致收敛性判别举例。

根据一致收敛判别定理，在讨论一致收敛性问题时，通常按如下顺序进行：首先考虑能否用Werstrass 判别法，其次，考虑用Abel 和Dirichlet 判别法，再次，考虑用Dini 判别法，最后，考虑非一致收敛性。但是，上述只是解决此类问题的一般规律。事实上，各类判别法所适用的对象都有相应的结构特点，因此，在熟练掌握了各判别法的实质后，可根据题目结构特点，选用相应的判别法。

例1：讨论⎰+∞

-0sin xdx e x α在i)00[,)(0)ααα∈+∞>ii) ()+∞,0内一致收敛性。

解、i)当0[,)αα∈+∞时，由于 x x e x e 0sin αα--≤，故，利用Werstrass 判别法可得 ，

⎰

+∞

-0

sin xdx e x α关于0[,)αα∈+∞一致收敛。

ii)、当(0,)α∈+∞时，可以考虑非一致收敛性。事实上：取2,4

n A n π

π=+

1

,2

n

n n n

A A A π

α'=+=

'，则，],[,22sin n n A A x x '∈≥

，因而

1

sin ()n

n n n n A A A x x n n A A e xdx e dx A A ααα'''----'≥

≥-=⎰

故，⎰+∞

-0

sin xdx e x α关于(0,)α∈+∞非一致收敛。

例2、证明⎰+∞

-0

sin dx x

x

e x

α在[)+∞,0上一致收敛。 证明：典型的Abel 判别法所处理对象。由于

⎰

+∞

sin dx x x 收敛（广义积分的Dirichlet 判别法：即2sin ,01

≤↓⎰'A A xdx x

），因此，

关于α一致收敛。又：x e α-是关于x 的单调函数且一致有界，故，由Abel 判别法可知该积分关于[0,)α∈+∞一致收敛。