高数第七章无穷级数知识点

第七章 无穷级数

一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：

1、形如∑∞

=-11

n n aq

的几何级数（等比级数）：当1

发散。

2、形如∑∞

=1

1

n p

n

的P 级数：当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、⇒

≠∞

→0lim n n U 级数发散； 级数收敛

lim =⇒∞

→n n U

4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数∑∞

=1

n n

U

，满足

条件

l

U U n

n n =+∞→1

lim

：

?当1

?当1>l 时，级数发散（或+∞=l ）； ?当1=l 时，无法判断。

5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞

=1n n

U

，满足

条件λ

=∞

→n n n U lim ：

?当1<λ时，级数收敛；

?当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）； ?当1=λ时，无法判断。 注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）

推论：若∑∞

=1

n n

U

与

∑∞

=1

n n

V

均为正项级数，且

l

V U n

n

n =∞→lim

（n V 是已知敛散

性的级数)

?若+∞<

=1n n

U

与

∑∞

=1

n n

V

有相同的敛散性；

?若0=l 且级数∑∞

=1

n n

V

收敛，则级数

∑∞

=1

n n

U

收敛；

?若+∞=l 且级数∑∞

=1n n

V

发散，则级数

∑∞

=1

n n

U

发散。

7、定义判断：若

⇒

=∞

→C S n n lim 收敛，若n

n S ∞→lim 无极限⇒发散。

8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：

满足1+≥n n U U ，⇒=∞→0lim n n U 收敛，其和1u S ≤。

9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。 条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。

二、无穷级数的基本性质：

1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。

2、收敛的无穷级数

∑∞

=1

n n

U

，其和为S ，则∑∞

=1

n n

aU

，其和为aS （0≠a ）

（级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变） 3、?级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。

（逆否命题：加括号后发散，则原级数发散） ?加括号后级数收敛，原级数未必收敛。