期权定价的二叉树模型介绍PPT(24张)
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2
6.1 单期模型
Su
Cu
S Sd
C Cd
由于这个图形犹如一根叉开的树枝，所以被称为“二叉树”，
模型中，每一个数值被称作是一个节点，每一条通往各节
点的线称作路径。
Leabharlann Baidu
3
第一节 单期模型
[例8-1] 设股票的现价(S)为 $100,3月看涨期权的执行价 格(K)为$110。在U=1.3和 d=0.9情况下，期权价值？
再令q erT d ud
C erT qcu (1q)cd
8
6.1.3 期权定价与无风险套利 均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率
9
假定价格为$5.00，在期权价格被低估的情况下
10
假定价格为$8.00，在期权价格被高估的情况下
11
6.1.4 期权定价中的风险中立假设
1
6.1 单期模型
6.1.1单期二叉树期权定价模型 设目前为0期，期权合约的基础资产（如股票）价格
的现行市场价格为S，在下一期股票价格变动只存在两种 可能的结果：或者股票价格上升至Su，或者股票价格下降 至Sd，而上升或下降的概率呈二次分布状。在这里下标号 u和d表示变量数值上升或下降为原数值的倍数，即u>1， d<1。与此相对，股票看涨期权的初始价值为c，在下一期 （欧式期权的到期日）伴随着股票价格的上涨或下跌，该 期权合约的价格也有两种可能，即要么上升至cu，要么下 降至cd，作图。二叉树、节点、路径
二叉树期权定价模型并不依赖于投资 者对待风险的态度。也不涉及股票价格涨跌 的概率。究其原因是因为在金融市场上有价 证券的价格涨跌的概率都已经反映在现行的 市场价格之中，所以没有必要再对以股票作 为基础资产的期权定价另外作出股票涨跌概 率的假设。由此可见，公式中的q和1-q，从 本质上讲都不是概率，但其数学特征与概率 完全相同，因此q和1-q也被称作“假概率”。
j oj!(nj)!
18
6.4 美式期权的二叉树定价模型
6.4.1 美式看涨期权的定价及其不可能提前执行的理由
无红利支付情况下，美式看涨期权的定价
例：某公司股票的现行市价为$100，假定股价每三个月涨跌一次（即 ⊿t=0.25年），u=1.2，d=0.8。假定有一项以该公司股票为基础资产 的美式看涨期权，执行价格为$104，期限为9个月，当时市场上的无 风险利率为10%。判断提前执行的可能性及期初价值。
6 期权定价的二叉树模型
假设条件: (1)最基本的模型为不支付股利的欧式股票看涨期权定价模
型 (2)股票市场与期权市场是完全竞争的,市场运行是非常具有
效率的 (3)股票现货与期权合约的买卖,不涉及交易成本,而且也不
存在税收问题 (4)市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入资金或
贷出资金,利率在期权有效期内保持不变,而且不存在信 用风险或违约风险
12
将q和1-q解释成股票价格上涨和下跌的假 概率，实际上默认了定价中风险中立估价 原则假定。推导如下： E(ST)=qSu+(1-q)Sd E(ST)=qS(u-d)+Sd 再将q=(erT-d)/(u-d)代入 得：E(ST)=SerT
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6.1.5二项式期权定价中的u和d
二叉树期权定价模型中u和d与 基础资产价格的波动性是有联系的， 即u和d的数值取决于σ的大小及∆t 的长短。推导如下：
按上分析： 股票上涨 VT=Sux δ-Cu 股票下跌VT=Sdx δ-Cd Sux δ-Cu=Sdx δ-Cd
Cu Cd
Su Sd
Δ被称为套期保值比率，它代表无 风险资产组合所要求的股票持有 量。设无风险利率为r,且d<r<u( 一定成立，否则市场失衡，就会 产生套利）
保值型资产组合的现值为： （Sux δ-Cu）e-rt，或者 （Sdx δ-Cd）e-rt;而目前资产成本： Sx δ-C；市场均衡时，二者相等 （Sdx δ-Cd）e-rt= Sx δ-C； C= Sx δ- （Sdx δ-Cd）e-rt;
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6.3 期权定价N期模型的通用公式
n
c e rT[
n ! q j( 1 q )n jmsa ju d n x j ( k ,0 )]
j o j! (n j)!
n
p e rT[
n ! qj(1 q )n jmka sx ju dn (j,0 )]
得无风险利率。换言之，资产组合在当前的价值，是其在到期日的价 值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。假定无风险利率为10%， 而且按连续复利进行贴现，那么： V0=$45xe-10%x0.25=$43.89 43.89=100x0.5-c C=50-43.89=$6.11
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6.1.2 单期二项式期权定价模型的通用公式
14
6.2 两步二叉树期权定价模型
6.2.1 欧式看涨 [例6-4] 有一种执行价格为$110，期限为6个月（每3个月算
一期，共两期）的欧式看涨股票期权，作为其基础资产 的股票价格每隔3个月变动一次，或上涨30%，或下跌 10%，且u和d在期权的有效期内保持不变，求期权期初 价值。
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6.2.2欧式看跌期权的两期定价模型
[例6-5] 有一种执行价格为$110，期限为6个月（每3个月算 一期，共两期）的欧式看跌股票期权，作为其基础资产 的股票价格每隔3个月变动一次，或上涨30%，或下跌 10%，且u和d在期权的有效期内保持不变，求期权期初 价值。
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6.2.3 无风险资产组合的套期保值率
[例6-6]设某公司股票的现价为$80，在3期（每6个月为1期， 180月）二杈树模型中，假定u=1.5,d=0.5,敲定价格$80, 无风险利率为20%。计算模型各节点的股价、期权价、 假概率、δ值
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分析： 当前
股票价格（s）=$100 期权价值（c）=？
u=1.3 d=0.9
下一期
股票价格（su）=$130 期权价值（cu）=
max(su-k，0)=$20
股票价格（sd）=$90 期权价值（cd）=
max（sd-k,0)=0
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资产组合的目前成本与未来价值
6
$130× δ -$20=$90× δ (风险中性假定） Δ=0.5 股票上涨：VT= $130× 0.5-$20=$45 股票下跌：VT=$90x0.5=$45 根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚
6.1 单期模型
Su
Cu
S Sd
C Cd
由于这个图形犹如一根叉开的树枝，所以被称为“二叉树”，
模型中，每一个数值被称作是一个节点，每一条通往各节
点的线称作路径。
Leabharlann Baidu
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第一节 单期模型
[例8-1] 设股票的现价(S)为 $100,3月看涨期权的执行价 格(K)为$110。在U=1.3和 d=0.9情况下，期权价值？
再令q erT d ud
C erT qcu (1q)cd
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6.1.3 期权定价与无风险套利 均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率
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假定价格为$5.00，在期权价格被低估的情况下
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假定价格为$8.00，在期权价格被高估的情况下
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6.1.4 期权定价中的风险中立假设
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6.1 单期模型
6.1.1单期二叉树期权定价模型 设目前为0期，期权合约的基础资产（如股票）价格
的现行市场价格为S，在下一期股票价格变动只存在两种 可能的结果：或者股票价格上升至Su，或者股票价格下降 至Sd，而上升或下降的概率呈二次分布状。在这里下标号 u和d表示变量数值上升或下降为原数值的倍数，即u>1， d<1。与此相对，股票看涨期权的初始价值为c，在下一期 （欧式期权的到期日）伴随着股票价格的上涨或下跌，该 期权合约的价格也有两种可能，即要么上升至cu，要么下 降至cd，作图。二叉树、节点、路径
二叉树期权定价模型并不依赖于投资 者对待风险的态度。也不涉及股票价格涨跌 的概率。究其原因是因为在金融市场上有价 证券的价格涨跌的概率都已经反映在现行的 市场价格之中，所以没有必要再对以股票作 为基础资产的期权定价另外作出股票涨跌概 率的假设。由此可见，公式中的q和1-q，从 本质上讲都不是概率，但其数学特征与概率 完全相同，因此q和1-q也被称作“假概率”。
j oj!(nj)!
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6.4 美式期权的二叉树定价模型
6.4.1 美式看涨期权的定价及其不可能提前执行的理由
无红利支付情况下，美式看涨期权的定价
例：某公司股票的现行市价为$100，假定股价每三个月涨跌一次（即 ⊿t=0.25年），u=1.2，d=0.8。假定有一项以该公司股票为基础资产 的美式看涨期权，执行价格为$104，期限为9个月，当时市场上的无 风险利率为10%。判断提前执行的可能性及期初价值。
6 期权定价的二叉树模型
假设条件: (1)最基本的模型为不支付股利的欧式股票看涨期权定价模
型 (2)股票市场与期权市场是完全竞争的,市场运行是非常具有
效率的 (3)股票现货与期权合约的买卖,不涉及交易成本,而且也不
存在税收问题 (4)市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入资金或
贷出资金,利率在期权有效期内保持不变,而且不存在信 用风险或违约风险
12
将q和1-q解释成股票价格上涨和下跌的假 概率，实际上默认了定价中风险中立估价 原则假定。推导如下： E(ST)=qSu+(1-q)Sd E(ST)=qS(u-d)+Sd 再将q=(erT-d)/(u-d)代入 得：E(ST)=SerT
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6.1.5二项式期权定价中的u和d
二叉树期权定价模型中u和d与 基础资产价格的波动性是有联系的， 即u和d的数值取决于σ的大小及∆t 的长短。推导如下：
按上分析： 股票上涨 VT=Sux δ-Cu 股票下跌VT=Sdx δ-Cd Sux δ-Cu=Sdx δ-Cd
Cu Cd
Su Sd
Δ被称为套期保值比率，它代表无 风险资产组合所要求的股票持有 量。设无风险利率为r,且d<r<u( 一定成立，否则市场失衡，就会 产生套利）
保值型资产组合的现值为： （Sux δ-Cu）e-rt，或者 （Sdx δ-Cd）e-rt;而目前资产成本： Sx δ-C；市场均衡时，二者相等 （Sdx δ-Cd）e-rt= Sx δ-C； C= Sx δ- （Sdx δ-Cd）e-rt;
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6.3 期权定价N期模型的通用公式
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得无风险利率。换言之，资产组合在当前的价值，是其在到期日的价 值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。假定无风险利率为10%， 而且按连续复利进行贴现，那么： V0=$45xe-10%x0.25=$43.89 43.89=100x0.5-c C=50-43.89=$6.11
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6.1.2 单期二项式期权定价模型的通用公式
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6.2 两步二叉树期权定价模型
6.2.1 欧式看涨 [例6-4] 有一种执行价格为$110，期限为6个月（每3个月算
一期，共两期）的欧式看涨股票期权，作为其基础资产 的股票价格每隔3个月变动一次，或上涨30%，或下跌 10%，且u和d在期权的有效期内保持不变，求期权期初 价值。
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6.2.2欧式看跌期权的两期定价模型
[例6-5] 有一种执行价格为$110，期限为6个月（每3个月算 一期，共两期）的欧式看跌股票期权，作为其基础资产 的股票价格每隔3个月变动一次，或上涨30%，或下跌 10%，且u和d在期权的有效期内保持不变，求期权期初 价值。
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6.2.3 无风险资产组合的套期保值率
[例6-6]设某公司股票的现价为$80，在3期（每6个月为1期， 180月）二杈树模型中，假定u=1.5,d=0.5,敲定价格$80, 无风险利率为20%。计算模型各节点的股价、期权价、 假概率、δ值
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分析： 当前
股票价格（s）=$100 期权价值（c）=？
u=1.3 d=0.9
下一期
股票价格（su）=$130 期权价值（cu）=
max(su-k，0)=$20
股票价格（sd）=$90 期权价值（cd）=
max（sd-k,0)=0
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资产组合的目前成本与未来价值
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$130× δ -$20=$90× δ (风险中性假定） Δ=0.5 股票上涨：VT= $130× 0.5-$20=$45 股票下跌：VT=$90x0.5=$45 根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚