双曲复数与方程

双曲复数与Cauchy —Riemann 方程

摘要: 利用Clifford 代数的双曲虚单位引入双曲复数和双曲复平面的概念，并讨论了它 们的性质，然后给出了Cauchy-Riemann 方程的几种不同的表达形式. 关键词: Clifford 代数;双曲复数; 双曲复平面; Cauchy —Riemann 方程

用Clifford 代数表述非欧几何及近代物理的有关问题已经成为人们关注的课题[1].文献［2］以 Clifford 代数为工具，讨论 Minkowski 空间的几何性质及狭义相对论的时空结构.文献［3］介绍了双曲复数，双曲复变函数及双曲正则函数，并且给出了Cauchy-Riemann 方程的代数表达式，本文在此基础上给出了Cauchy-Riemann 方程的极坐标表达式、向量形式和旋量形式的表达式，为讨论双曲正则函数奠定了基础.

1 双曲复数与双曲复平面 1．1 双曲复数的性质

形如z x jy =+的数，称为双曲复数，其中,x y R ∈(实数域)，j 为Clifford 代数的双曲虚单位，有2*1,,j j R j j =∉=-，将双曲复数的全体记为{,}H x jy x y R =+∈，H 是Clifford 代数的偶子代数2C l +

.事实上，Clifford 代数2C l 是基为1212{1,,,}e e e 的4维实代数，基元素的乘法表为：

1e 2e 12e

1e 1 12e 2e

2e 12e - -1 1e 12e 2e - 1e - 1

基元素生成的子空间由纯量1、向量1e 和2e 、以及双向量12e 组成，且2

2

2

2C l R R R =⊕⊕∧.令222C l R R +=⊕∧(称为偶部)，22C l R -=，(称为奇部)，则222

Cl Cl Cl

+-=⊕.偶部不仅

是子空间而且是子代数，它有形如12x ye +的元素组成，这里,x y R ∈且2

121e =，所以2C l 的偶子代数2C l +

同构于H ，记12j e =.

111222,,z x jy z x jy H ∀=+=+∈定义H 的加法和乘法运算为:

1212121212121221()(),

()().

z z x x j y y z z x x y y j x y x y +=+++=+++

--------------------------------- H 的加法和乘作成二维实交换代数.

定义H 的内积为：

*

1212121212()z z x x jy jy x x y y ⋅=+=-.

特别地z x jy H ∀=+∈，22z z x y ⋅=- ，令22

0x y -=，则有

(1)z x j =+ 或 (1)z x j =-.

若设22

{0}N z x y =-=，1{(1)},N x j x R =+∈2{(1)}N x j x R =-∈，则12,N N 是

H 的子空间，且有12N N N = ，12,H N N =+12{0}N N = .H 的所有零因子所成的

集为12N N N = ，1N 和2N 互为共轭零因子集，即**

12{(1)}{(1)}N x j x j N =+=-=，

12,N N 作为H 的子代数均与实数域R 同构，有同构映射：

12:,11;f N N j j →+-

1:,(1)/

1g N R j →+ .

\z x jy H N ∀=+∈，z 有逆元12

2

1x jy z x jy

x y

--=

=

+-.

定理1 \H N 关于H 的乘法作成Abel 群.

1．2 双曲复平面的对称性

与双曲复数对应的平面称为双曲复平面，又称H 平面.引入二元实函数

11221212:,(,)f H H R x jy x jy x x y y ⨯→++- ，则H 平面成为一个Minkowski 平面.

,z x jy H ∀=+∈

定义它的间隔数为()z σ=

=，

间隔数为0的数称为迷向数，H 平面的迷向数所成的集合恰为二维实代数H 的所有零因子所成的集合，H 平面的迷向数将H 平面分为四个部分，记为(),1,2,3,4:H t t =

(1){}{0}H x jy H x y =+∈> (2){}{0}H x jy H y x =+∈> ， (3){}{0}H x jy H x y =+∈->

(4){}{0}H x jy H y x =+∈->

(),1,2,3,4H t t =中的非零元均为非迷向数，定义非迷向数z x jy =+的示向数为

1(1)(2)

()1(3)(4)

x jy H j x jy H z x jy H j x jy H δ+∈⎧⎪

+∈⎪=⎨

-+∈⎪⎪

-+∈⎩ H 平面的间隔数与传统的模长

(z =

)概念不同，它具有如下性质：

(1)()0,()0z z z σσ≥=⇔为迷向数；

(2)()()z z σλλσ=；

1212(3)()()()z z z z σσσ+≥+

其中12,(),1,2,3,4.z z H t t ∈=

定义其幅角为

arctan (sgn()min{,}/max{,})h xy x y x y θ=，

任意非迷向数z x jy =+的指数式及双曲函数表达式依次为

()()exp(),

()()(cosh sinh ).

z z z j z z z j δσθδσθθ==+

直角坐标与极坐标的转化关系为