计算流体力学课程作业

计算流体力学大作业

——有限差分法解Poisson 方程

五点格式解区域内Poisson 方程

摘要：本文结合计算流体力学课上所学知识，采用数值解法中的有限差分法求解Poisson 方程（偏微分方程中椭圆型方程的一种），并用其五点格式采用高斯—塞德尔（Gauss-Seidel ）迭代求解。并比较了数值近似解与真实解，以及不同步长情况下误差的大小，得到了一定的结论。

关键词：Poisson 方程 有限差分法 五点格式

一、计算流体流体力学的特点

计算流体力学中许多问题求解最终都会变成偏微分方程的求解，而在数学上，除了几种极少数情况外，要求出它们精确解是很难的。计算机技术的发展使得这一难题的一很好地解决。

二、偏微分方程的种类

2.1、 椭圆型偏微分方程

椭圆型偏微分方程的一般形式为

(

)(,)div c u au f x t -∇+= 其中：若12(,,,,)(,)n u u x x x t u x t ==，u ∇为u 的梯度，则其定义为 12

,,,n u u x x x ⎡⎤∂∂∂∇=⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 散度()div v 的定义为

12

()n div v v x x x ⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂⎝⎭

这样，()div c u ∇可以更明确地表示为

1122()n n u u u div c u c c c x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇=++

+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎣⎦

若c 为常数，则进一步化简为 22

222212()n div c u c u c u x x x ⎛⎫∂∂∂∇=+++=∆ ⎪∂∂∂⎝⎭

其中，∆又称为Laplace 算子。这样椭圆型偏微分方程可以简单地写为

22

222212

(,)n c u au f x t x x x ⎛⎫∂∂∂-++++= ⎪∂∂∂⎝⎭

2.2、抛物型偏微分方程

抛物型偏微分方程的一般形式为 ()(,)u d div c u au f x t t

∂-∇+=∂ 根据上面叙述，若c 为常数，则该方程可以更简单地写为

22222212

(,)n u d c u au f x t t x x x ⎛⎫∂∂∂∂-++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2.3、双曲型偏微分方程

双曲型偏微分方程的一般形式为

22()(,)u d div c u au f x t t

∂-∇+=∂ 若c 为常数，则可以将该方程简化为

2222222212(,)n u d c u au f x t t x x x ⎛⎫∂∂∂∂-++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭

三类方程的直接的区别在于u 对t 的导数的阶次。

若对t 没有求导，可以理解为其值为常数，故称为椭圆型的。

若取u 对时间t 的一阶导数，则与u 对x 的二阶导数直接构成了抛物线关系，故称为抛物型偏微分方程。

若取u 对时间t 的二阶导数，称其为双曲型偏微分方程。

三、Poisson 方程：

泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。是从法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

泊松方程一般可写为：

△φ=f

在这里△代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密顿算符▽的平方)，而 f 和φ可以是在流形上的实数或复数值的方程。

拉普拉斯方程：

因此泊松方程通常写成：

在三维直角坐标系，可以写成

如果没有f，这个方程就会变成拉普拉斯方程△φ=0.

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解法，数学上，泊松方程属于椭圆型方程。

四、Poisson方程的解法

泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。由于Poisson方程难以求得其解析解，计算机技术发展之后，数值解法成为工程实际中应用最广泛的求Poisson方程解的方法，常见的数值解法有：里兹（Ritz）法，加权余量法，有限差分法，有限元法，边界元法及有限体积法等。

4.1、里兹（Ritz）法

瑞利-里兹法（也称里兹法）是通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法，是英国的瑞利于1877年在《声学理论》一书中首先采用，后由瑞士的W.

里兹于1908年作为一个有效方法提出。这一方法在许多力学、物理学、量子化学问题中得到应用。

同时它也是广泛应用于应用数学和机械工程领域的经典数值方法，它可以用来计算结构的低阶自然频率。它是直接变分法的一种，以最小势能原理为理论基础。通过选择一个试函数来逼近问题的精确解，将试函数代入某个科学问题的泛函中，然后对泛函求驻值，以确定试函数中的待定参数，从而获得问题的近似解。

4.2、加权余量法

加权余量法（Weighted residual approach），又称加权残量法，加权残余法。

当n 有限时，定解方程存在偏差（余量）。取权函数，强迫余量在某种平均意义上为零。采用使余量的加权积分为零的等效积分的“弱”形式来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

加权余量法在固体力学中，是求解线性、非线性微分方程的一种有效方法，它是基于等效积分形式的近似方法，也是通用的数值计算方法．有限元法、边界元法、无网格法都是加权余量法的特殊情况，由于这三种方法各有其特点，所以都各自发展为一种独立的方法，加权余量法最早是用于流体力学，传热等科学领域，后在固体力学中得到了更大的发展。

权函数的选择

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效方法．显然，任何独立的完全函数都可用来作为权函数，加权余量法可分为内部法、边界法和混合法，在内部法中，又可分为：配置法（以笛拉克函数δ作为权函数），子域法，最小二乘法，矩量法，伽辽金法等。

4.3、有限差分法

有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来

代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。

有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：

1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；

2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；

3、逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。

4.4、有限元法

有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的计算方法。有限

元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单