普朗特边界层微分方程的详细推导

普朗特边界层微分方程的推导
学校:内蒙古工业大学 专业：力 学 姓名：宗宇显
首先,我们明白普朗特边界层方程就是对二维定常纳维-－斯托克斯方程在一定情况下的简化。

Ⅰ 二维定常纳维-－斯托克斯方程
连续性方程
22221v ()u u p u u u X v x y x x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Ｘ方向上的动量方程 （1.1) 2222v v 1v v v ()p u Y v x y y x y
ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅱ 普朗特边界层理论相关知识
2.1概念:定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动,称这一层为边界层；边界层的流动可近似为无粘的理想流动。

２．2普朗特理论的基本思想：在大Re 数(一般在5×510～3×610)绕流中存在两个流动区域,即层流和紊流。

2．3边界层:流体流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。

2.4边界层厚度：以u =0.９9U e 位置和壁面间的距离定义为边界层得厚度。

故考虑到不可压缩流体作平面层流，则质量力对流动产生的影响较小,所以由二维定常纳维--斯托克斯方程可得到去质量力的下列式子：
连续性方程 2222
1v ()u u p u u u v x y x x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ﻫ Ｘ方向上的动量方程 (1.2)
v 0u x y
∂∂+=∂∂v 0u x y ∂∂+=∂∂
2222v v 1v v v ()p u v x y y x y
ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅲ 边界层中个物理量的数量级的确定 3．1边界层的厚度δ（x)量纲分析
根据实验条件分析，边界层厚度δ(x)可能与流体微团的所在位置x,流体速度U,粘性系数μ，密度ρ有关。

设δ=k ·x m U n μk ρｌ,根据量纲分析法可求的：m=1
2
，n=－
12,k ＝12，l ＝-1
2
；
即:δ（ｘ）==···(1） 又因为Re x Ux Ux v ρμ
=
= 则关于δ的关系式(1)写成无量纲的形式如下：
~
x δ
=
··(２) 取物体的长度L 取代上式中的x 值，则公式(2)变为~
L
δ
··(3) （符号“~”表示数量级相同)其中Re L 称为绕流场的雷诺数。

由普朗特边界层理论相关知识２．２我们知道此次实验雷诺数在５×510~３×
610之间,所以从公式（3)我们可以得出结论:对长度相同的物体,边界层的厚度δ
是很小的,即相对于长度L 的数量级是很小的。

3.2几何尺寸的数量级确定
由边界层的厚度δ（x ）量纲分析我们可以得知:δ（x)与物体在x 方向上的长度l 相比为小量,假设物体在ｘ方向上的数量级为l (０≤ｘ≤l ）,边界层厚度δ在y 方向上的数量级为ε（0≤y ≤ε），则ε<<l ，所以用同数量级来表达上述关系则有：
x ~l ,δ~ε，y ~ε 3.３速度数量级的确定
由普朗特边界层理论相关知识２．4我们知道流体速度u 在x 方向上的范围为:0≤u <U,所以可以确定u 与U 为同数量级，则有u ~U 又由连续性方程
v 0u x y
∂∂+=∂∂,可推得ｖ的数量级为ｖ~εＵ/l ，其它速度导数的数量级可以通过3.２几何尺寸数量级的确定来推导出,具体结果如下:
2222222222
322v v 1~,~,~,~.,~,~,v v 1~~.u U u U U U U u U u U x l y x l y l l x l y U U U
x l y l l
εεεεεεεε∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂，
由３.1边界层的厚度δ(ｘ）量纲分析中公式(3)我们可以推得Ｒe 数的数量级为Re ~
2
2
l ε
3．4对方程组(1.２）的各项进行量级分析比较 3.4.1 v
=0y
u x ∂∂+∂∂
U
l
1.U l εε
U l U l
在上述方程中两项的量级相同，不可偏废。

3．４.2 2222
1v ()u u p u u
u v x y x x y
ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ U
U
l
.U U l εε Re Ul (2U l 2
U
ε
）
2U l 2U l 22Ul l ε（2U
l
2
U
ε
)
22
3
U l
ε
2
U l
(因为Re=Ul v ,所以v ＝Re
Ul ) ∵22
22223
33.U U U U l l l l l
ε<<<= ∴
22
3
U l ε为无穷小量，可以略去。

∴上式方程中右边的粘性项与左边的惯性项的数量级均为2
U l。

这同时也说明粘
性力与惯性力在x 方向上同等重要，同样不可偏废。

3.4.3 2222
v v 1v v
v ()y p u v x y x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ 2
U
U
l ε
.U U
l l
ε
Re Ul (3U
l
ε U
l
ε）
2
2
U l ε
2
2
U l ε
22
Ul l ε(
3
U
l ε U
l
ε)
33
U
l
ε
2
2
U l ε
∵上式方程中右边的粘性项和左边的惯性项都包含无穷小量ε
∴上式方程中的左右端的力相对于方程3．4.2中的相应力均可作为小量忽略不计，而压力项为了与其它的力保持平衡,也可作为小量处理,即可得：
0p
y
∂=∂ Ⅳ Navier-Sto ｋｅs 方程的简化—普朗特边界层微分方程
通过对上述各项的量级分析和比较，略去无穷小量之后,方程组（1.２)可简化为以下样式：
22
1v u u p u u v x y x y ρ∂∂∂∂+=-+∂∂∂∂ v =0y u x ∂∂+∂∂
p y ∂=∂边界条件为：
（1） ｙ=0时,ｕ=ｖ=0 ; （2） y =δ时,u=U ，v=０。

由0p
y
∂=∂,我们可以得出：在边界层内由边界层表面到边界层边缘处，其压力值全部相同,即边界层内的压力只p 只是x 的函数。

由于边界层外部区域为势流区，所以边界层边缘上的压力值p 和速度U(x)满足伯努利方程： Ｐ(x)+2()
2
U x ρ=co ｎst
则
dp dU
U dx dx
ρ=-，其中p ，U 分别为属于Ｐ（x)，U （ｘ），且均是已知值。

所以把
dp
dx
代替方程组（１.3）中的p x ∂∂则可得到以下式子:
22
1v u u dp u u v x y dx y ρ∂∂∂+=-+∂∂∂
v =0y
u x ∂∂+∂∂ 则方程（1.4）就是由二元不可压定常流动的N-S 方程最终简化得到的普朗特边界层微分方程，此方程只适用于比较平坦的二元曲壁。