普朗特边界层微分方程的详细推导

普朗特边界层微分方程的推导

学校:内蒙古工业大学 专业：力 学 姓名：宗宇显

首先,我们明白普朗特边界层方程就是对二维定常纳维-－斯托克斯方程在一定情况下的简化。

Ⅰ 二维定常纳维-－斯托克斯方程

连续性方程

22221v ()u u p u u u X v x y x x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Ｘ方向上的动量方程 （1.1) 2222v v 1v v v ()p u Y v x y y x y

ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅱ 普朗特边界层理论相关知识

2.1概念:定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动,称这一层为边界层；边界层的流动可近似为无粘的理想流动。

２．2普朗特理论的基本思想：在大Re 数(一般在5×510～3×610)绕流中存在两个流动区域,即层流和紊流。

2．3边界层:流体流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。 2.4边界层厚度：以u =0.９9U e 位置和壁面间的距离定义为边界层得厚度。 故考虑到不可压缩流体作平面层流，则质量力对流动产生的影响较小,所以由二维定常纳维--斯托克斯方程可得到去质量力的下列式子：

连续性方程 2222

1v ()u u p u u u v x y x x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ﻫ Ｘ方向上的动量方程 (1.2)

v 0u x y

∂∂+=∂∂v 0u x y ∂∂+=∂∂

2222v v 1v v v ()p u v x y y x y

ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅲ 边界层中个物理量的数量级的确定 3．1边界层的厚度δ（x)量纲分析

根据实验条件分析，边界层厚度δ(x)可能与流体微团的所在位置x,流体速度U,粘性系数μ，密度ρ有关。设δ=k ·x m U n μk ρｌ,根据量纲分析法可求的：m=1

2

，n=－

12,k ＝12，l ＝-1

2

；

即:δ（ｘ）==···(1） 又因为Re x Ux Ux v ρμ

=

= 则关于δ的关系式(1)写成无量纲的形式如下：

~

x δ

=

··(２) 取物体的长度L 取代上式中的x 值，则公式(2)变为~

L

δ

··(3) （符号“~”表示数量级相同)其中Re L 称为绕流场的雷诺数。

由普朗特边界层理论相关知识２．２我们知道此次实验雷诺数在５×510~３×

610之间,所以从公式（3)我们可以得出结论:对长度相同的物体,边界层的厚度δ

是很小的,即相对于长度L 的数量级是很小的。 3.2几何尺寸的数量级确定

由边界层的厚度δ（x ）量纲分析我们可以得知:δ（x)与物体在x 方向上的长度l 相比为小量,假设物体在ｘ方向上的数量级为l (０≤ｘ≤l ）,边界层厚度δ在y 方向上的数量级为ε（0≤y ≤ε），则ε<

x ~l ,δ~ε，y ~ε 3.３速度数量级的确定

由普朗特边界层理论相关知识２．4我们知道流体速度u 在x 方向上的范围为:0≤u

v 0u x y

∂∂+=∂∂,可推得ｖ的数量级为ｖ~εＵ/l ，其它速度导数的数量级可以通过3.２几何尺寸数量级的确定来推导出,具体结果如下:

2222222222

322v v 1~,~,~,~.,~,~,v v 1~~.u U u U U U U u U u U x l y x l y l l x l y U U U

x l y l l

εεεεεεεε∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂，

由３.1边界层的厚度δ(ｘ）量纲分析中公式(3)我们可以推得Ｒe 数的数量级为Re ~

2

2

l ε

3．4对方程组(1.２）的各项进行量级分析比较 3.4.1 v

=0y

u x ∂∂+∂∂

U

l

1.U l εε

U l U l

在上述方程中两项的量级相同，不可偏废。

3．４.2 2222

1v ()u u p u u

u v x y x x y

ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ U

U

l

.U U l εε Re Ul (2U l 2

U

ε

）

2U l 2U l 22Ul l ε（2U

l

2

U

ε

)

22

3

U l

ε

2

U l

(因为Re=Ul v ,所以v ＝Re

Ul ) ∵22

22223

33.U U U U l l l l l

ε<<<= ∴

22

3

U l ε为无穷小量，可以略去。

∴上式方程中右边的粘性项与左边的惯性项的数量级均为2

U l

。这同时也说明粘

性力与惯性力在x 方向上同等重要，同样不可偏废。

3.4.3 2222

v v 1v v

v ()y p u v x y x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ 2

U

U

l ε

.U U

l l

ε

Re Ul (3U

l

ε U

l

ε）

2

2

U l ε

2

2

U l ε

22

Ul l ε(

3

U

l ε U

l

ε)

33

U

l

ε

2

2

U l ε

∵上式方程中右边的粘性项和左边的惯性项都包含无穷小量ε