布尔函数
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裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
.
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广州大学数学与信息科学学院
.
化简得到 f(x) = 1 + x2 。
. .
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 定义 .. 布尔函数的多项式表示具有形式 f(x) =a0 + a1 x1 + · · · + an xn + a1,2 x1 x2 + · · · + an−1,n xn xn−1 + ···+ a1,··· ,n x1 · · · xn . 上述形式称为布尔函数的代数标准型。 . .. .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
.
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 引理 .. 在 Fn 2 上，有： ∑
x∈Fn 2
. { =
(−1)
w·x
0 w=0 n 2 w=0
由于 x, w 的对称性，显然也有 ∑ . ..
. Walsh 谱表示 . ..
.
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. . 定义 .. 设 x = (x1 , . . . , xn ), w = (w1 , . . . , wn ), x 与 w 的内积定义为 . .. . . x · w = x1 w1 + x2 w2 + · · · + xn wn .
.
. §11.1 布尔函数的表示方法 . .. .
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裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
.
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. . 定义 .. n 以 F2 表示所有 n 元组 (a1 , · · · , an ), ai ∈ F2 构成的集合，f 是从 Fn 2 到 F2 的映射，这里 F2 表示含有两个元素的有限 域，则称 f 是一个 n 元布尔函数，记作 f(x), x ∈ Fn 2。 . .. .
c∈Fn 2
. ..
上述表达式就称为小项表示，一般我们把 bc (x) 记为 xc ， 但其含义并非方幂。 .
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 记号 .. c 在小项表示中，设 x, c ∈ Fn 2 ，则 x 定义为： { 1 x = c; c x = 0 x = c. { 若对 xi , ci ∈ F2 定义 xi
.
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 小项表示 . ..
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 真值表表示 . ..
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.பைடு நூலகம்
.
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
x ∈ Fn 2
.
{ } n . Sf (w) | w ∈ F2 称为 f(x) 的循环 Walsh 谱。 ..
.
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
.
. (−1)w·x+f(x) . .
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
. . ..
布尔函数
. 广州大学数学与信息科学学院
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2007-05-20
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. Example .. 若布尔函数的真值表为： x 00 01 10 11 f(x) 1 0 1 0 写出 f(x) 的多项式表示。 . .. . 0 1 0 小项表示为 x0 1 x2 + x1 x2 ； 多项式表示为 (x1 + 0 + 1)(x2 + 0 + 1) + (x1 + 1 + 1)(x2 + 0 + 1) . .. .
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. n . 给定了 Fn 2 到 F 的函数 f(x)，也相当与对任意向量 a ∈ F2 ， 我们知道其相应的值 f(a). 是否存在一种类似 Lagrange 插值 之类的方法，可以得到 f(x) 的表达式呢？ . .. . . { . 1 x = c; 引人 Fn 2 到 F2 的函数 bc (x) = 0 x = c. ∑ 容易验证 f(x) = bc (x)f(c).
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 定理 .. 设 { n 元布尔函数 }f(x) 的循环 Walsh 谱为 Sf (w) | w ∈ Fn 2 ，则 (−1)f(x) = 2−n . .. ∑
.
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 定义 .. . 在 f(x) 的代数标准型中，非零单项的最大次数称为 f(x) . 1 的次数，记为 deg f(x). . 一次布尔函数称为仿射函数; . 2
.
.
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 在布尔函数的小项表示中，bc (x) = xc 起到了基的作用，容易 . 验证其具有多项式表示 xc =
n ∏ (xi + ci + 1), i=1
其中 xi 是向量 xi 的第 i 个分量，ci 是 c 的第 i 个分量。 . .. . . ∑ 把 f(x) = c xc f(c) 中的 xc 替换成多项式形式，并展开，化 . 简，我们就能得到 f(x) = f(x1 , x2 , · · · , xn ) 的多元多项式表示。 . .. .
0 1 0 = x0 1 x2 + x1 x2 。
.
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 多项式表示 . ..
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真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. Example .. 从 F2 2 到 F2 的函数 f(x) 满足 f(0, 0) = f(1, 0) = 1, f(0, 1) = f(1, 1) = 0. 则函数 f(x) 可以用真值表表示为 . .. x(十进制) 0 1 2 3 x(二进制) 00 01 10 11 f(x) 1 0 1 0 .
.
.
3 4
. . 常数项为零的仿射函数称为线性函数; . . . 次数大于 1 的布尔函数称为非线性函数。 . .. ..
.
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 当 L(x0 ) = f(x0 ) 时，(−1)w·x +f(x ) 为 1; . . . 当 L(x0 ) = f(x0 ) 时，(−1)w·x +f(x ) 为 −1; . . . 所以当 x 跑遍 Fn 时，我们得到了 L(x) 与 f(x) 在 Fn . . 2 2
0 0 0 0
的值体现了线性布尔函数 L(x) = w · x 与 f(x) 的关系。
.
.
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. Example .. 若布尔函数的真值表为： x 00 01 10 11 f(x) 1 0 1 0 写出 f(x) 的小项表示。 . .. . 0 0 1 1 0 1 1 f(x) = 1 · x0 1 x2 + 0 · x1 x2 + 1 · x1 x2 + 0 · x2 x2 . ..
1 2 3 4
中每一处的关系。 . 5 S (w) 就是重合点个数减去不重合点的个数。 f . . .. . . 问题 . .. 若知道布尔函数 f 在每一处的取值，则可以用小项表示求出 f 的代数表达式。如果知道了 f 的 Walsh 谱，是否存在某种形式 的反转公式，通过它，能得到 f 的代数式呢？答案是肯定的。 . .. .
w∈Fn 2
(−1)
w·x
{ =
0 x=0 n 2 x=0 . .
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 定义 .. n 元函数 f(x) 的布尔函数 f(x) 的循环 Walsh 变换定义为 ∑ Sf (w) = (−1)w·x+f(x) .
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 由于布尔函数的定义域和值域都是有限集，因此可以把函数的对 . 应关系意义列举出来，这样就得到布尔函数的一种表示方法—真 值表表示法。 . .. .
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. Example . .. n 固定 w，让 x 跑遍 F2 ，w · x 中有多少次取 1，多少次取 0? . .. . . . 若 w = 0，则 w · x 总为 0； . . 1 . 当 w = 0 时，考虑加法群 Fn 到 F2 上的映射 2 .
w∈Fn 2
.
Sf (w)(−1)w·x . . .
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
. .
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2
f: w→w·x . 容易验证这是一个群同态，Fn /(ker f) Fn . . . 2 2 n . . F2 被划分成两个陪集，一个映射为 0，另一个映射为 1. . . 这两个陪集的大小是相等的，都是 2n /2 = 2n−1 . . . . 所以 w · x 在一半情况下为 0，一半情况下为 1. . .. .. .
ci
.
=
1 xi = ci ; ，有 0 xi = ci .
cn 1 c2 xc = xc 1 x2 · · · xn 。
f(x) 的小项表示具有形式 ∑ ∑ cn 1 c2 f(c)xc f(x) = f(c)xc = 1 x2 · · · xn 。 n n c∈ F2 c∈ F2 . ..
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化简得到 f(x) = 1 + x2 。
. .
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 定义 .. 布尔函数的多项式表示具有形式 f(x) =a0 + a1 x1 + · · · + an xn + a1,2 x1 x2 + · · · + an−1,n xn xn−1 + ···+ a1,··· ,n x1 · · · xn . 上述形式称为布尔函数的代数标准型。 . .. .
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 引理 .. 在 Fn 2 上，有： ∑
x∈Fn 2
. { =
(−1)
w·x
0 w=0 n 2 w=0
由于 x, w 的对称性，显然也有 ∑ . ..
. Walsh 谱表示 . ..
.
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. . 定义 .. 设 x = (x1 , . . . , xn ), w = (w1 , . . . , wn ), x 与 w 的内积定义为 . .. . . x · w = x1 w1 + x2 w2 + · · · + xn wn .
.
. §11.1 布尔函数的表示方法 . .. .
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. . 定义 .. n 以 F2 表示所有 n 元组 (a1 , · · · , an ), ai ∈ F2 构成的集合，f 是从 Fn 2 到 F2 的映射，这里 F2 表示含有两个元素的有限 域，则称 f 是一个 n 元布尔函数，记作 f(x), x ∈ Fn 2。 . .. .
c∈Fn 2
. ..
上述表达式就称为小项表示，一般我们把 bc (x) 记为 xc ， 但其含义并非方幂。 .
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 记号 .. c 在小项表示中，设 x, c ∈ Fn 2 ，则 x 定义为： { 1 x = c; c x = 0 x = c. { 若对 xi , ci ∈ F2 定义 xi
.
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 小项表示 . ..
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 真值表表示 . ..
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
x ∈ Fn 2
.
{ } n . Sf (w) | w ∈ F2 称为 f(x) 的循环 Walsh 谱。 ..
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
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. (−1)w·x+f(x) . .
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
. . ..
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真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. Example .. 若布尔函数的真值表为： x 00 01 10 11 f(x) 1 0 1 0 写出 f(x) 的多项式表示。 . .. . 0 1 0 小项表示为 x0 1 x2 + x1 x2 ； 多项式表示为 (x1 + 0 + 1)(x2 + 0 + 1) + (x1 + 1 + 1)(x2 + 0 + 1) . .. .
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. n . 给定了 Fn 2 到 F 的函数 f(x)，也相当与对任意向量 a ∈ F2 ， 我们知道其相应的值 f(a). 是否存在一种类似 Lagrange 插值 之类的方法，可以得到 f(x) 的表达式呢？ . .. . . { . 1 x = c; 引人 Fn 2 到 F2 的函数 bc (x) = 0 x = c. ∑ 容易验证 f(x) = bc (x)f(c).
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 定理 .. 设 { n 元布尔函数 }f(x) 的循环 Walsh 谱为 Sf (w) | w ∈ Fn 2 ，则 (−1)f(x) = 2−n . .. ∑
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 定义 .. . 在 f(x) 的代数标准型中，非零单项的最大次数称为 f(x) . 1 的次数，记为 deg f(x). . 一次布尔函数称为仿射函数; . 2
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 在布尔函数的小项表示中，bc (x) = xc 起到了基的作用，容易 . 验证其具有多项式表示 xc =
n ∏ (xi + ci + 1), i=1
其中 xi 是向量 xi 的第 i 个分量，ci 是 c 的第 i 个分量。 . .. . . ∑ 把 f(x) = c xc f(c) 中的 xc 替换成多项式形式，并展开，化 . 简，我们就能得到 f(x) = f(x1 , x2 , · · · , xn ) 的多元多项式表示。 . .. .
0 1 0 = x0 1 x2 + x1 x2 。
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 多项式表示 . ..
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真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. Example .. 从 F2 2 到 F2 的函数 f(x) 满足 f(0, 0) = f(1, 0) = 1, f(0, 1) = f(1, 1) = 0. 则函数 f(x) 可以用真值表表示为 . .. x(十进制) 0 1 2 3 x(二进制) 00 01 10 11 f(x) 1 0 1 0 .
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. . 常数项为零的仿射函数称为线性函数; . . . 次数大于 1 的布尔函数称为非线性函数。 . .. ..
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 当 L(x0 ) = f(x0 ) 时，(−1)w·x +f(x ) 为 1; . . . 当 L(x0 ) = f(x0 ) 时，(−1)w·x +f(x ) 为 −1; . . . 所以当 x 跑遍 Fn 时，我们得到了 L(x) 与 f(x) 在 Fn . . 2 2
0 0 0 0
的值体现了线性布尔函数 L(x) = w · x 与 f(x) 的关系。
.
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. Example .. 若布尔函数的真值表为： x 00 01 10 11 f(x) 1 0 1 0 写出 f(x) 的小项表示。 . .. . 0 0 1 1 0 1 1 f(x) = 1 · x0 1 x2 + 0 · x1 x2 + 1 · x1 x2 + 0 · x2 x2 . ..
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中每一处的关系。 . 5 S (w) 就是重合点个数减去不重合点的个数。 f . . .. . . 问题 . .. 若知道布尔函数 f 在每一处的取值，则可以用小项表示求出 f 的代数表达式。如果知道了 f 的 Walsh 谱，是否存在某种形式 的反转公式，通过它，能得到 f 的代数式呢？答案是肯定的。 . .. .
w∈Fn 2
(−1)
w·x
{ =
0 x=0 n 2 x=0 . .
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 定义 .. n 元函数 f(x) 的布尔函数 f(x) 的循环 Walsh 变换定义为 ∑ Sf (w) = (−1)w·x+f(x) .
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 由于布尔函数的定义域和值域都是有限集，因此可以把函数的对 . 应关系意义列举出来，这样就得到布尔函数的一种表示方法—真 值表表示法。 . .. .
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. Example . .. n 固定 w，让 x 跑遍 F2 ，w · x 中有多少次取 1，多少次取 0? . .. . . . 若 w = 0，则 w · x 总为 0； . . 1 . 当 w = 0 时，考虑加法群 Fn 到 F2 上的映射 2 .
w∈Fn 2
.
Sf (w)(−1)w·x . . .
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
. .
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f: w→w·x . 容易验证这是一个群同态，Fn /(ker f) Fn . . . 2 2 n . . F2 被划分成两个陪集，一个映射为 0，另一个映射为 1. . . 这两个陪集的大小是相等的，都是 2n /2 = 2n−1 . . . . 所以 w · x 在一半情况下为 0，一半情况下为 1. . .. .. .
ci
.
=
1 xi = ci ; ，有 0 xi = ci .
cn 1 c2 xc = xc 1 x2 · · · xn 。
f(x) 的小项表示具有形式 ∑ ∑ cn 1 c2 f(c)xc f(x) = f(c)xc = 1 x2 · · · xn 。 n n c∈ F2 c∈ F2 . ..
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