高等数学(理2)试题

高等数学（理下）试题（1997A ）

一、试解下列各题（每题7分，共21分）

（1） 求曲面x 3-y 3+z 3-3xyz-3x-9=0上点（0，-1，2）处切平面的法线方程。

（2） 计算I=

⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x f )(，区域Ω是由c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0所确定。

（3） 设Ω是由平面1,0,0,1,1====+=++z y x y x z y x 所围成的闭区域，将三

重积分⎰⎰⎰Ω

dxdydz z y x f ),,(化为先对z ，再对y ，最后对x 的三次积分，其中

f(x,y,z)连续。

二、试解下列各题（每题7分，共28分）

（1） 求微分方程x 4y (4)=6的通解。

（2） 求微分方程y ”-5y ’+6y=xe 2x 的通解。

（3） 设u=2

22z y x ++，证明：u z u y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂。 （4） 判别级数∑∞

=--1122)12(1n n n 的收敛性。 三、设a0,a1,a2,……an,….为等差数列，公差为d(d ≠0),试求幂级数∑∞=0n n n

x a 的收敛半径R 。

（13分）

四、试证曲面xyz=a 3的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。（12分） 五、设原点到平面

1=++c z b y a x 的距离为d ，证明22221111c b a d ++=（13分） 六、计算

dxdy e D y x ⎰⎰--22，其中区域D ：222a y x ≤=。（13分）

高等数学（理下）试题（1999A ）

一、选择题（每题4分，共16分）

（1） 由方程0)(=+x

z x y F 所确定的隐函数),(y x z z =，则=∂∂+∂∂y z y x z x （ ）。 （A ）、-z ；（B ）、z ；（C ）、-x ；（D ）、x 。

（2） 交换二重积分⎰

⎰x

a dy y x f dx 00),(的积分次序后可化为（ ）。

（A ）、⎰

⎰a y a dx y x f dy ),(0；（B ）、⎰⎰y

a dx y x f dy 00),(；

（C ）、⎰⎰x a dx y x f dy ),(；（D ）、⎰

⎰y

a dx y x f dy ),(。 （3） 用待定系数法解微分方程x e y y y x 2cos 5'2"=+-时，应假设其特解y *为何种形

式？（ ）。

（A ）、x Ae x 2cos ；

（B ）、x x A e 2sin ； （C ）、)2sin 2cos (x B x A e x +；（D ）、)2sin 2cos (x B x A xe x +。

（4） 幂级数n

x n n n )1()

1(11+-∑∞=-的收敛区间是（ ）。 （A ）、（-2，0）； （B ）、（-2，0]； （C ）、[-2,0）； （D ）、[-2,0]。

二、选择题（每题4分，共16分）

（1） 求极限y x x a y x x +→∞→-2)11(lim 。

（2） 设函数),(y x z z =由方程组⎪⎩

⎪⎨⎧===-+uv z e y e x v u v

u 所确定，求y z x z ∂∂∂∂,。 三、（10分）有一形状为抛物面22y x z +=的容器，原来盛有π8厘米3的水，后来又倒

入π64厘米3的水，试求水面比原来升高了多少厘米。

四、（15分）试证：

⎰⎰⎰-≤+=+1

1

1||||)()(du u f dxdy y x f y x 。 五、（15分）求级数ΛΛΛΛ++-+-•+•-•++)

1()1(43322111432n n x x x x n n 的收敛半径，并求其和函数。

六、（10分）求点P （2，1，3）到直线1

12131:--=-=+z y x L 的距离。 七、（10分）求微分方程23"2y y =满足初始条件1|',1|22-==-=-=x x y y 的解。

高等数学（理下）试题（2003A ）